计算方法练习题与答案

练习题与答案

练习题一

练习题二

练习题三

练习题四

练习题五

练习题六

练习题七

练习题八

练习题答案

练 习 题 一

一、是非题

1。 *x–12。0326作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限41021。 ( ）

2。 对两个不同数的近似数，误差越小,有效数位越多。 ( )

3. 一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。 （ )

4. 用212x近似表示cosx产生舍入误差。 ( )

5. 3。14和3.142作为的近似值有效数字位数相同。 （ )

二、填空题

1. 为了使计算2334912111yxxx的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ;

2. *x–0。003457是x舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限为 ，相对误差限为 ；

3. 误差的来源是 ；

4. 截断误差为 ；

5。 设计算法应遵循的原则是 。

三、选择题

1．*x–0。026900作为x的近似值,它的有效数字位数为（ ） .

(A） 7； (B) 3；

（C） 不能确定 （D) 5.

2．舍入误差是( )产生的误差。

（A） 只取有限位数 （B） 模型准确值与用数值方法求得的准确值

(C） 观察与测量 （D） 数学模型准确值与实际值

3．用 1+x近似表示ex所产生的误差是( ）误差。

（A）. 模型 （B）。 观测 （C）. 截断 （D）. 舍入

4．用s＊=21gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度），st是在时间t内的实际距离,则st  s＊是（ ）误差。

（A)。 舍入 (B）. 观测 （C）。 模型 (D）. 截断

5．1。41300作为2的近似值，有（ ）位有效数字。

（A) 3; (B） 4； (C) 5； (D） 6。

四、计算题

1． 3.142，3.141，227分别作为的近似值，各有几位有效数字？

2． 设计算球体积允许的相对误差限为1%,问测量球直径的相对误差限最大为多少？

3． 利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：

(1）1||,11211xxxx， （2） 1||1112xdttxx

（3） 1||,1xex， (4) 1)1ln(2xxx

4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=21gt2，g为重力加速度。现设g是精确的,而对t有0.1秒的测量误差,证明：当t增加时,距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。

5＊。 采用迭代法计算7，取

)7(21210kkkxxxx k=0，1，…,

若kx是7的具有n位有效数字的近似值，求证1kx是7的具有2n位有效数字的近似值。

练 习 题 二

一、是非题

1. 单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 （ ）

2。 牛顿法是二阶收敛的。 ( )

3. 求方程310xx在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的. （ ）

4。 迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 （ )

5。 求非线性方程 f （x）=0根的方法均是单步法。 （ ）

二、填空题

1. 1。 用二分法求非线性方程f （x)=0在区间（a，b)内的根时，二分n次后的误差限为 ；

1. 2. 设)(xf可微，求方程)(xfx的牛顿迭代格式是 ;

2. 3. 用二分法求方程310xx在区间［0,1]内的根，进行一步后根的所在区间为 ，要求准确到310，则至少应二分 次；

3. 4. 2()(5)xxx，要使迭代格式1()kkxx局部收敛到*5x，则的取值范围是 ；

4. 5。 求方程340xx根的单点割线法是 ，其收敛阶为 ;双点割线法是 ，其收敛阶为 .

三、计算题

1. 用二分法求方程210xx的正根，使误差小于0。05.

2。 求方程3210xx在01.5x附近的一个根,将方程改写为下列等价形式,并建立相应迭代公式。

（1) 211xx，迭代公式1211kkxx；

(2) 321xx，迭代公式12311kkxx；

(3） 211xx,迭代公式111kkxx;

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似值。

3。 用牛顿切线法求5的近似值。取02x， 计算三次,保留三位小数。

4. 用割线法求方程3310xx的在01.5x附近的一个根，精确到小数点后第二位。

四*、证明题

已知方程()0fx，试导出求根公式

122()()2[()]()()kkkkkkkfxfxxxfxfxfx

并证明：当*x是方程()0fx的单根时，公式是3阶收敛的。

练 习 题 四

一、是非题

1．矩阵521352113A具有严格对角优势。 ( )

2．521351113A是弱对角优势矩阵. ( ）

3．高斯—塞德尔迭代法一定比雅可比迭代法收敛快. ( )

4．1||||M是迭代格式(1)()kkMxxf收敛的必要条件. ( )

5*. 逐次超松弛迭代法是高斯—赛德尔迭代法的一种加速方法。 （ )

二、填空题

1. 解方程组 021532121xxxx 的雅可比迭代格式（分量形式）为

, 该迭代矩阵的谱半径)(1B ；

2。 解方程组021532121xxxx的高斯—赛德尔迭代格式（分量形式）为 ，迭代矩阵2B ， 该迭代矩阵

的谱半径)(2B ；

3. 幂法的迭代公式为 ；

4*．QR算法是用来求 矩阵的全部特征值的一种方法。

5＊．雅可比方法是用来求 矩阵的全部特征值及特征向量的一种变换方法。

三、选择题

1。 解方程组bAx的迭代格式(1)()kkMxxf收敛的充要条件是（ ）

（A）1||||A； （B）1||||M；

（C）1)(A； （D)1)(M。

2．幂法的收敛速度与特征值的分布（ ）

（A）有关; （B）无关； （C）不一定。

3．幂法是用来求矩阵( ）特征值及特征向量的迭代法。

（A）按模最大; （B）按模最小；

（C）任意一个; （D)所有的。

4．解代数线性方程组的松弛法收敛的必要条件是 ( ）

(A）10； （B）10；

(C）20； （D)20。

5．反幂法是用来求矩阵（ )特征值及特征向量的迭代法。

（A）按模最大； (B)按模最小;

(C)任意一个； (D）所有的。

四、计算题

1．用简单迭代法（雅可比迭代法）解线性方程组

84135332132131xxxxxxxx

取(0)(0,0,0)Tx,列表计算三次，保留三位小数。

2．用高斯—赛德尔迭代法解线性方程组

13123123353148xxxxxxxx

取(0)(0,0,0)Tx，列表计算三次，保留三位小数。

3．用幂法求矩阵210121004A按模最大特征值及相应特征向量,列表计算三次，取(0)(1,1,1)Tx，保留两位小数。

4*．取46.1，用松弛法解线性方程组

041202124343232121xxxxxxxxxx

取(0)(0,0,0)Tx，列表计算三次，保留三位小数。

5*．用雅可比方法求实对称矩阵110121014A的特征值及相应特征向量（按四位小数计算，1.0)。

6*．用QR算法求矩阵410131012A的全部特征值。

练 习 题 五

一、是非题

1。 在求插值多项式时,插值多项式的次数越高,误差越小。 （ )

2. 120102()()()()xxxxxxxx表示节点0x处的二次插值基函数。 （ )

3. 牛顿插值多项式的优点是:在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 ( )

4。 在拉格朗日插值中,插值节点01,,,nxxx必须按顺序排列. ( ）

5. 利用等距节点的牛顿插值公式计算0x附近的)(xf,用后插公式。 ( )