微专题12 导数解答题之证明不等式问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分(原卷版

微专题12 导数解答题之证明不等式问题

【秒杀总结】

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式fxgx（或fxgx）转化为证明0fxgx（或0fxgx），进而构造辅助函数hxfxgx；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

【典型例题】

例1．（2024·高三·北京·开学考试）已知1e,0kxfxxk.

(1)若1k，求fx在0,0f处的切线方程；

(2)设gxfx，求gx的单调区间；

(3)求证：当0k时，,0,,1mnfmnfmfn.

例2．（2024·广东湛江·一模）已知函数1ln1lneaxfxx．

(1)讨论fx的单调性；

(2)若方程1fx有两个根1x，2x，求实数a的取值范围，并证明：121xx．

例3．（2024·高三·北京·阶段练习）设函数()ln(1),Rfxaxxa，曲线()yfx在原点处的切线为x轴，

(1)求a的值；

(2)求方程2()2xfxx的解；

(3)证明：2023.52024e2023

例4．（2024·广西柳州·三模）已知函数1lnexxfx．

(1)求函数fx在点1,fx处的切线方程；

(2)求函数fx的单调区间；

(3)若fx为fx的导函数，设2gxxxfx．证明：对任意0x，21egx．

例5．（2024·云南贵州·二模）已知函数1lnRfxaxxax.

(1)若2a，求证：当1x时，0fx

(2)若fx有两个不同的极值点1212xxxx，且124xx.

（i）求a的取值范围；

（ii）求证：223fx.

例6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数1ln,Rxfxaxax．

(1)当2a时，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；

(2)当0x时，证明：eln1ecos0xxxx．

例7．（2024·高三·山东潍坊·阶段练习）已知函数21e2xfxaxx．

(1)若()fx在R上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)当1a时，证明：(2,)x，()sinfxx．

例8．（2024·高三·青海海南·开学考试）已知函数 1e1.xfxax

(1)讨论()fx的单调性;

(2)证明:当1a时， 22ln.1afxxxa

例9．（2024·四川广安·二模）已知函数e1xfxax.

(1)若fx存在极值，求a的取值范围；

(2)若1a，0,x，证明：sinfxxx.

【过关测试】

1．（2024·高三·山东·开学考试）已知函数21ln,,2fxxaxafxR是fx的导函数，exgxx.

(1)求fx的单调区间；

(2)若fx有唯一零点.

①求实数a的取值范围；

②当0a时，证明：4gxfx.

2．（2024·江西上饶·一模）已知函数ln1xfxx，若a为实数，且方程fxa有两个不同的实数根12,xx．

(1)求a的取值范围：

(2)①证明：对任意的1,1ex都有e1e1xfx；

②求证：1212111exxaa．

3．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知fx为函数ln1fxxax的导函数．

(1)讨论fx的单调性；

(2)若2a，证明：当0x时，2fxx．

4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数exfx的反函数为ygx，令Fxfxgx

(1)求曲线yFx在1x处的切线的方程；

(2)证明：2Fx.

5．（2024·广东广州·一模）已知函数()cossinfxxxx，(π,π)x.

(1)求()fx的单调区间和极小值；

(2)证明：当[0,π)x时，2()eexxfx.

6．（2024·安徽合肥·一模）已知函数exaxbfx，当1x时，fx有极大值1e.

(1)求实数,ab的值；

(2)当0x时，证明：1xfxx.

7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()2fxxa． (1)若0a，求曲线()yfx在2x处的切线方程；

(2)当2a时，证明：1()exfxa．

8．（2024·高三·浙江·开学考试）设π02x.

(1)若1tan2x，求cos44cos23cos44cos23xxxx；

(2)证明：tan2sinxxxx；

(3)若tan2sin0xxax，求实数a的取值范围.

9．（2024·高三·山东青岛·期末）已知函数e()ln(R)xafxxxax．

(1)当0a时，求fx的单调区间；

(2)当1a时，证明：e1fx．

10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数2ln21fxxaxax.

(1)当1a时，求fx的单调区间

(2)讨论fx的单调性；

(3)当a<0时，证明324fxa.

11．（2024·高三·广东深圳·期末）已知定义在0,上的函数exmfxx. (1)若fx为单调递增函数，求实数m的取值范围；

(2)当0m时，证明：112xfxx.

12．（2024·高三·山东潍坊·期末）已知函数e2ln0xfxaaxa，fx的导函数为fx.

(1)当1a时，解不等式exfx；

(2)判断fx的零点个数；

(3)证明：224ln4afxa≥.

13．（2024·广西来宾·一模）已知函数e1xfxmx.

(1)讨论fx的单调性；

(2)当0m时，证明：ln1sinfxxxmx.

14．（2024·天津河东·一模）已知函数2ln,ln12xfxxgxxx．

(1)求函数fx在点1,1f处的切线方程；

(2)求函数gx的最小值；

(3)函数2,11FxfxmgxmFFnn，证明：1,,1ln1xnmxx．

15．（2024·北京石景山·一模）已知函数e0axfxxa．

(1)求曲线yfx在点0,0f处的切线方程； (2)求fx在区间1,1上的最大值与最小值；

(3)当1a时，求证：ln1fxxx．

16．（2024·四川·模拟预测）已知函数1()2ln(01)fxxxxx．

(1)求函数()fx的最小值；

(2)当01a，01x时，求证：321lnexxxxxxa．

17．（2024·吉林·模拟预测）已知函数21()ln,()e144xaxfxxxgxxx．

(1)求函数()gx的单调区间和最小值；

(2)若12ax，证明：22e()2aafx．

18．（2024·湖南·模拟预测）已知函数2e3(,0,exfxaaxaaR是自然对数的底数，e2.71828).

(1)当1a时，求函数fx的零点个数；

(2)当1a时，证明：cos2fxxx；

(3)证明：若1,,axR，则12sinfxx.

19．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式

伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数 1,x，在 1,n时，有不等式 11nxnx成