【高考数学二轮复习压轴题微专题】第30讲 用导数研究和证明函数不等式问题-原卷+解析

第30讲 用导数研究和证明函数、不等式问题

函数背景下的不等式证明是个难点,面临两个方面的挑战:一是其基本方法是构造函数法,要善于观察待证不等式的等价不等式的结构特征去构造出相应的、适当的、合理的函数,将不等式证明的问题转化为对函数有关性质的研究的问题;二是要掌握有关函数性质的知识,掌握对有关函数性质研究的方法,特别是导数法,积累对有关函数性质研究的经验.函数不等式的形式通常为()()fxgx.证明方法如下：

(1)构造函数()()()Hxfxgx,确定函数的定义域后,通过求导数()Hx,求出()Hx的最小值(或极小值)；

(2)说明函数()Hx的最小值(或极小值)为非负数即可.

另一种证法是把待证不等式等价转化为()()fxgx型,由此构造两个函数()(),hxfx,()()uxgx接下来的工作是利用导数判断(),()hxux的单调性,进而求出函数(),()hxux的最值或临界值.

典型例题

【例1】已知函数21()exaxxfx.

(1)求曲线()yfx在点(0,1)处的切线方程;

(2)证明:当1a时,()e0fx.

【例2】已知函数 21,32fxxhxx.

（1）设函数 2218[]Fxfxxhx, 求 Fx 的单调区间与极值;

（2） 设 aR, 解关于 x 的方程

33lg12lg2lg424fxhaxhx;

（3）设 *nN, 证明: 1126fnhnhhhn.

【例3】已知()fx是定义在R上的奇函数,且当0x时,()fx单调递增,(1)0f,设2()sincos2xxmxm,集合Mm∣对任意的0,,()0,2xxxNm∣对任意的0,,(())02xfx,求MN.

【例4】已知函数()(2)2ln(1)(02)fxaxxa.

（1）讨论函数()fx的单调性;

(2)设2()4gxxxa,若对任意1[0,3]x,存在2[0,3]x,使1gx2fx成立,求实数a的取值范围；

(3)求证:222211113243451eeee(234nnnnN,且2n).

强化训练

1.已知函数1()ln1fxxax.

(1)求()fx的单调区间;

(2)若()fx的最小值为0,求实数a的值;

(3)在(2)的条件下,数列na满足111,2nnaafa.记x表示不超过x的最大整数,求12.naaa

第30讲 用导数研究和证明函数、不等式问题

函数背景下的不等式证明是个难点,面临两个方面的挑战:一是其基本方法是构造函数法,要善于观察待证不等式的等价不等式的结构特征去构造出相应的、适当的、合理的函数,将不等式证明的问题转化为对函数有关性质的研究的问题;二是要掌握有关函数性质的知识,掌握对有关函数性质研究的方法,特别是导数法,积累对有关函数性质研究的经验.函数不等式的形式通常为()()fxgx.证明方法如下：

(1)构造函数()()()Hxfxgx,确定函数的定义域后,通过求导数()Hx,求出()Hx的最小值(或极小值)；

(2)说明函数()Hx的最小值(或极小值)为非负数即可.

另一种证法是把待证不等式等价转化为()()fxgx型,由此构造两个函数()(),hxfx,()()uxgx接下来的工作是利用导数判断(),()hxux的单调性,进而求出函数(),()hxux的最值或临界值.

典型例题

【例1】已知函数21()exaxxfx.

(1)求曲线()yfx在点(0,1)处的切线方程;

(2)证明:当1a时,()e0fx.

【分析】

本题主要考查导数的几何意义,利用导数证明不等式,考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.第(1)问,首先求出导函数()fx,然后将0x代入,得切线的斜率,从而求出切线方程;第(2)问,利用放缩法进行转化,构造函数,判断单调性,求最值,即可完成证明.当然,不等式证明的关键是合理放缩,可降低难度,不等式证明的放缩技巧性强,要㫃悉常见的几种函数放缩模型:e1;1ln;sin(0)xxxxxxx,选择恰当的放缩模型,对函数进行转化、变形,构造新函数,判断新函数的单调性,求出最值,这其中,运用导数研究和证明函数的单调性是证明的核心步骤.

【解析】

(1)2(21)2(),(0)2exaxaxfxf.

因此曲线()yfx在(0,1)处的切线方程是210xy.

(2)【证法一】

当1a时,21()e1eexxfxxx.

令21()1exgxxx,则1()21exgxx.

当1x时,()0,()gxgx单调递减;

当 1x 时, 0,gxgx 单调递增;

10gxg, 因此 e0fx。

【证法二】

函数 yfx 的定义域为 21,exxaxfxR.

当 1a 时, 令 0fx, 得 2x 或 1xa, 其中 12a.

则函数 yfx 的单调递减区间为 1,,2,a, 单调递增区间 为 1,2a.

又 11e0afa, 当 2,x 时, 0fx 恒成立,

故 min1[]efxfa.

故当 1a 时, e0fx.

【证法三】

不等式 e0fx 等价于 211e0xaxx.

2122e1,1e11121xxxaxxaxxxaxx

当 1a 时, 2222121(1)0axxxxx, 即结论得证.

【例2】已知函数 21,32fxxhxx.

（1）设函数 2218[]Fxfxxhx, 求 Fx 的单调区间与极值;

（2） 设 aR, 解关于 x 的方程 33lg12lg2lg424fxhaxhx;

（3）设 *nN, 证明: 1126fnhnhhhn.

【分析】

本例是一道有众多知识相交汇的综合题, 主要考查函数导数的应用、 不等式的证明、解方程等基础知识、考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方 法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力, 其中 1 是容易题; 对于 2, 必须对参数 a 进行讨论; 对于 3, 含字母的式子较为复杂,运算变形要仔细.

【解析】

（1）223218[]1290,312FxfxxhxxxxFxx.

令 0Fx, 得 2(2xx 舍去).

当 0,2x 时, 0;2,Fxx 时, 0Fx,

即当 0,2x 时, Fx 为增函数; 当 2,x 时, Fx 为减函数.

2x 为 Fx 的极大值点, 2824925F.

（2）原方程变为 lg12lg42lgxxax.

40,1,0,14xaxxxaxx214,,(3)5,xxaax如图38所示

当14a时,原方程有一解35;xa

当45a时,原方程有两解1,235xa;

当5a时,原方程有一解3x;

当1a或5a时,原方程无解.

（3）【证明】

由已知得(1)(2)()12hhhnn

1431()()666nfnhnn

设数列na的前n项和为nS,且1()()(6nSfnhnn*N,从而有111aS,

当2k时,14341166kkkkkaSSkk,

又2211(43)(41)(1)[(43)(41)1]66(43)(41)1kkkkkakkkkkkkkk

1106(43)(41)1kkkk

即对任意的2k,有kak,

又11211,12naaaan

(1)(2)()nShhhn,故原不等式成立.

【例3】已知()fx是定义在R上的奇函数,且当0x时,()fx单调递增,(1)0f,设2()sincos2xxmxm,集合Mm∣对任意的0,,()0,2xxxNm∣对任意的0,,(())02xfx,求MN.

【分析】 本例是2011年清华大学原自主招生数学试题,把函数性质、三角知识与集合运算融为一体,有考查学生数学基础知识及解题能力的功能,求解本题的关键是转化,转化为含参数一元二次不等式在区间上的恒成立问题,再转化为函数问题,运用函数与方程的思想方法求解,然而分