高中数学(人教A版,选修4-1)同步课件：1.1《平行线等分线段定理》

(2)推论2,如图③,已知在梯形ACC'A'中,AA'∥CC',B是AC的中点,
过点B作BB'∥CC'交A'C'于点B',求证:点B'是A'C'的中点.
证明:如图④,∵AA'∥CC',BB'∥CC', ∴AA'∥BB'∥CC'. ∵AB=BC, ∴A'B'=B'C',即点B'是A'C'的中点.
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D典例透析 IANLI TOUXI
知识拓展三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边, 并且等于第三边长的一半.
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M 一 平行线等分线段定理
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【做一做2】 如图,DE是△ABC的中位线,点F是BC上任一点,AF
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
证明:过点A作MN∥D5B. 则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
交DE于点G,则有( )
A.AG>GF B.AG=GF C.AG<GF D.AG与GF的大小不确定
解析:∵DE是△ABC的中位线, ∴在△ABF中,DG∥BF.
又AD=DB,

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栏 目 链 接
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点评：在几何证明中添加辅助线的常见方法：①在
三角形中，利用角平分线可构造全等三角形或相似
三角形；②在三角形或梯形中，若已知一边或一腰 栏
的中点，则过中点可作平行于底边的辅助线．
目 链
接
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►变式训练
2．如图，已知在△ABC中，D是AC的中点， DE∥BC，交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，求 证：BF＝CF.
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5
(3)连接A5B，分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行 线A1C、A2D、A3E、A4F，分别交AB于C、D、E、 F，那么
C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点．
如下图所示．
栏 目 链 接
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6
点评：求作已知线段AB的n等分点的一般作法：过线
段AB的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次 栏
栏 目 链 接
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分析：由于 OE∥AB，OA＝OC，根据平行线等分线段定理的推论 1，
得出 E 是 BC 的中点，所以 BE＝EC＝12BC＝12AD.
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
栏
目
∴OA＝OC，BC＝AD，
链 接
又∵OE∥AB，∴BE＝CE＝12BC，
又∵AD＝6，∴BE＝12BC＝12AD＝3.
分析：延长AE交BC于M，要证AF＝BF，因为EF∥BC， 所以需证明E是AM的中点，由于CD平分∠ACB，所以 ∠ACE＝∠ECM，因为AE⊥CD，所以△ACE≌△MCE， 即AE＝ME.
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证明：延长AE交BC于M. ∵CD平分∠ACB，AE⊥CD于E， ∴在△ACE和△MCE中， ∠AEC＝∠CEM，CE＝CE， ∠ACD＝∠MCD， ∴△ACE≌△MCE， ∴AE＝EM，即E是AM的中点． 又在△ABM中，EF∥BM，AE＝EM， ∴F是AB的中点，∴AF＝BF.

AB DE AB 2 探究 在图1 8中, 相等吗? 取 BC EF BC 3 l l` 的特殊情形进行探讨.
A D
l1
B
E
l2
C
F
l3
图1 8
我们可以将上述问题化归为平行 线间距离相等的情形 . AB 2 如图1 9, 如果 , 设线段 BC 3 AB的中点为P1 , 线段BC 的三分 点为P2、P3 , 这时有 AP P1 B BP2 P2 P3 P3C . 1
l
A D B
l`
l1
观察图1 10 和图1 11 , 它们是图1 8 的特殊情形,即 l 与 l `的交点都在l1上 . 根 据 平行线分线段成比例定理可得 , AD AE . AB AC
l2
E C
l3
图1 10
l
D
A B C
l` E
l1
l2
如果把图 10 和图1 11中的直线l2 1 看成是平行于 ABC的BC 边的直线, 那么可以得到:
A
D E
l1 l2
F
l3
AB AC DE DF BC AC EF DF AB DE AC DF BC EF AC DF
是 是
是
是
综合以上，结论是对应线段成比例.
上 全 ; 上 全 B 下 全 ;C 下 全 上 上 ; 全 全 下 下 ; 全 全
A
D E
l1 l2
F
l3
. .
.
一般地, 我们有 平行线分线段成比例定理 三条平行线 截两条直线,所截的对应线段成比例.
思考:你怎样理解“对应线段成比例”
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B

A
B
预设：如右图所示，根据平行线等分线段定理可知 B平分线段2：3
请谈谈你的想法。
C
提出疑问
平行线等分线段定理的条件相邻的两条平行线间的距离相等 问题：一组平行线中相邻两条平行线间距离不相等,结论如何?
提出疑问
l A
如图所示:三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果?
问题1
:
若
AB BC
34，那么DEFE
类 比
2)图形语言：如图l1//l2//l3，则有:
思 想
AB DE , AB DE , BC EF BC EF AC DF AC DF
.
变式有：AB DE
BC EF
, AB DE
AC DF
,BC EF
AC DF
定理说明
“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成 对应线段，如图中AB和DE；
E
F
问题2：由AD//BC//AB能否得出 AE DF EB CF
预设： AE DF , 即a c
b
?
EB CF b CF
CF bc (米)
a
B
C
例3，如图有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥直道，两个拐角A、B 处均为直角，草地中间 另有一条水泥直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长c米.求CF.
人民教育出版社 高二选修4-1
第一单元
平行线分线段等比例定理
复习回顾
问题1：请同学们回忆一下平分线等分线段定理？ 预设：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段 也相等 问题2：请同学们回忆一下平分线等分线段定理两个推论？ 预设：推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰