专题13 圆计算综合(原卷版)-备战2022年中考数学必刷300题(全国通用)

十八、几何综合问题

例题演练

1．在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为线段AD上的一点，AE：DE＝2：1，以AE为直角边在直线AD右侧构造等腰Rt△AEF，使∠EAF＝90°，连接CE，G为CE的中点．

（1）如图1，EF与AC交于点H，连接GH，求线段GH的长度．

（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α且45°＜α＜135°，H为线段EF的中点，连接DG，HG，猜想∠DGH的大小是否为定值，并证明你的结论；

（3）如图3，连接BG，将△AEF绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出BG长度的最大值．

2．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AC的中点，EF＝EC，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，连接FG、FC；点D为BC中点，连接GD，直线GD与直线CF交于点N．

（1）如图1，若∠FCA＝30°，DC＝，求CF的长；

（2）连接BG并延长至点M，使BG＝MG，连接CM．

①如图2，若NG⊥MB，求证：AB＝CM；

②如图3，当点G、F、B共线时，∠BCH＝90°，连接CH，CH＝BC，请直接写出的值．

3．已知△ABC是等边三角形，CD⊥AB交AB于M，DB⊥BC，E是AC上一点，EH⊥BC，垂足为H，EH与CD交于点F，连接BE．

（1）如图1，若EC＝AC，EH＝6，求BE的长；

（2）如图2，连接AF，将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，AG交CD于Q，求证：BG＝CF；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接FG，交BE于N，连接MN，若＝，△AGF的面积为49，求MN的长．

4．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．

（1）如图1，点D在BC上，DE⊥BC于点D，连接BE，若∠DBE＝60°，AC＝4，BD＝2，求线段AE的长；

（2）如图2，点D在△ABC内部，连接AD，BD，CD，F是CD的中点，连接BF，若∠BAD＝∠CBF，求证：∠DBF＝45°；

十三、圆的综合计算

知识点拨

圆的基本性质

1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。

3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆周角定理推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆周角定理推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

直线和圆的位置关系：相交、相切、相离

当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。

当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。

当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径

切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。

切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。

例题演练

1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长； （3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．

2．如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．

（1）求证：CD＝ED；

（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．

①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；

专题09平面直角坐标系和函数基础（7大考点）（原卷版）

三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）

【考点归纳】

一、考点01点的坐标.................................................................................................................................................1

二、考点02点所在的象限.........................................................................................................................................4

三、考点03坐标与图形.............................................................................................................................................6

四、考点04点坐标的规律探索...............................................................................................................................13

五、考点05函数解析式...........................................................................................................................................18

专题05 化简与求值

考向1

整式的化简与求值

【母题来源】2021年中考长沙卷

【母题题文】（2021•长沙）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x．

【试题解析】原式＝x2﹣6x+9+x2﹣9+4x﹣2x2

＝﹣2x，

当x时，

原式＝﹣2×（）

＝1．

【命题意图】运算能力。

【命题方向】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式是解题关键。

【得分要点】整式化简一般会用到的运算法则:

(1)乘法公式:平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2;

(2)单项式乘以多项式:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加;

(3)多项式乘以多项式:先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加;

(4)合并同类项时,只把系数相加减,字母及字母的指数不变.

考向2 分式的化简与求值

【母题来源】2021年中考鞍山卷

【母题题文】先化简，再求值：（），其中a2．

【试题解析】

．

当a2时，原式1．

【命题意图】分式；运算能力

【命题方向】考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解决本题的关键

【得分要点】分式化简求值的一般步骤:

(1)有括号的先算括号内的,如括号内是异分母分式的加减运算,应先通分化为同分母分式,再将分子相加减;

(2)将除法转化为乘法运算;

(3)分式的分子、分母能因式分解的先因式分解,然后约分化简;

(4)将所给数值带入求值时,要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义.

1．（2021•义乌市模拟）先化简，再求值：（2x﹣y）2y（3x﹣2y），其中x＝1，y＝2．

2．（2021•襄州区二模）先化简，再求值：已知：（x﹣y）2﹣y（x+y）+x2，其中x＝1，y＝1．

3．（2021•石景山区二模）已知2x2+3y2＝1，求代数式（2x+y）2﹣4y（xy）的值．