高三数学考点大扫描限时训练007

2011届高三数学考点大扫描限时训练0131. 某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆybx a =+中2b =-，预测当气温为04C -时，用电量的度数约为______.2. 已知函数2f (x )f ()sin x conx π'=+，则()4f π= . 3. 若曲线()2f x ax lnx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .4. 若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 .5. 已知5102cos 2sin =-αα，1222(,),tan(),(,)ππαππββπ∈-=∈，求βα2+的值．6. 已知函数2()21x f x xe ax x =+++在1x =-处取得极值.（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数x y xe = 与22y x x m =--+的图象有惟一的交点，试求实数m 的值.参考答案：1.68；2.0；3. (),0-∞；4. 1-或25-64；5.解：由sin cos 22αα-=52sin 1=-α，所以53sin =α，因为),,2(ππα∈所以54cos -=α，43tan -=α。

因为21)tan(=-βπ，),,2(ππβ∈所以21tan -=β，34tan 1tan 22tan 2-=-=βββ。

因为),,2(ππα∈),,2(ππβ∈所以32(,3),2παβπ+∈1)34()43(2tan tan =-⋅-=βα，所以.252πβα=+ 6.（1）/()22(1)22,x x x f x e xe ax e x ax =+++=+++由/(1)0f -=得 220,a -+= 1a ∴=，2()21x f x xe x x =+++，/()(1)22(1)(2),x x f x e x x x e =+++=++由/()0,f x > 得 1;x >- 由/()0,f x < 得 1;x <-故函数)(x f 的单调增区间为(1,)-+∞，单调减区间为(,1)-∞-.………………………8分（2）函数x y xe = 与22y x x m =--+的图象有惟一的交点等价于方程22x xe x x m =--+ ， 即()1f x m =+有惟一解，由（1）)(x f 在(,1)-∞-递减，(1,)-+∞递增，故)(x f 在1x =-时取极小值（最小值）1e-. ……………12分 从而方程()1f x m =+有惟一解的充要条件是11(1)m f e+=-=-. 所以，函数x y xe =与22y x x m =--+的图象有惟一交点时11m e =--……16分。

高三数学考点大扫描限时训练0131. 某为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆybx a =+中2b =-，预测当气温为04C -时，用电量的度数约为______.2. 函数2f (x )f ()sin x conx π'=+，那么()4f π= . 3. 假设曲线()2f x ax lnx =+存在垂直于y 轴的切线，那么实数a 的取值范围是 .4. 假设存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，那么a 等于 .5. 5102cos 2sin=-αα，1222(,),tan(),(,)ππαππββπ∈-=∈，求βα2+的值．6. 函数2()21x f x xe ax x =+++在1x =-处取得极值.〔1〕求函数)(x f 的单调区间；〔2〕假设函数x y xe = 与22y x x m =--+的图象有惟一的交点，试求实数m 的值.参考答案：1.68；2.0；3. (),0-∞；4. 1-或25-64；5.解：由sin cos 22αα-=52sin 1=-α，所以53sin =α，因为),,2(ππα∈所以54cos -=α，43tan -=α。

因为21)tan(=-βπ，),,2(ππβ∈所以21tan -=β，34tan 1tan 22tan 2-=-=βββ。

因为),,2(ππα∈),,2(ππβ∈所以32(,3),2παβπ+∈1)34()43(2tan tan =-⋅-=βα，所以.252πβα=+ 6.〔1〕/()22(1)22,x x x f x e xe ax e x ax =+++=+++由/(1)0f -=得 220,a -+= 1a ∴=，2()21x f x xe x x =+++，/()(1)22(1)(2),x x f x e x x x e =+++=++由/()0,f x > 得 1;x >- 由/()0,f x < 得 1;x <-故函数)(x f 的单调增区间为(1,)-+∞，单调减区间为(,1)-∞-.………………………8分〔2〕函数x y xe = 与22y x x m =--+的图象有惟一的交点等价于方程22x xe x x m =--+ ， 即()1f x m =+有惟一解，由〔1〕)(x f 在(,1)-∞-递减，(1,)-+∞递增，故)(x f 在1x =-时取极小值〔最小值〕1e-. ……………12分 从而方程()1f x m =+有惟一解的充要条件是11(1)m f e+=-=-. 所以，函数x y xe =与22y x x m =--+的图象有惟一交点时11m e =--……16分。

高三数学考点大扫描限时训练0291. 函数x tan x sin )x (f +=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .假设0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，那么当k =____________时，0)(=k a f .2. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街 距都为1.两街道相交的点称为格点。

假设以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点)22(，-，)13(，，)43(，，)32(，-，)54(，，)66(，为报刊零售点.请确定一个格点〔除零售点外〕__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.3. 过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四局部〔如图〕，假设这四局部图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+那么直线AB 有__________条。

4. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，假设目标函数z=ax+by 〔a>0，b>0〕的最大值为12，那么23a b+的最小值为 . 5．在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++. 〔I 〕设n n a b n =，求数列{}n b 的通项公式 〔II 〕求数列{}n a 的前n 项和n S参考答案：1. 14 2．〔3，3〕 3.1 4.256. 5. 〔I 〕由有1112n n n a a n n +=++112n n n b b +∴-=， 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122n n b -=-(*n N ∈) 〔II 〕由〔I 〕知122n n n a n -=-,∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑，而1(2)(1)n k k n n ==+∑,又112n k k k -=∑是一个典型的错位相减法模型，易得1112422n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++-。

高三数学考点大扫描限时训练0201. 曲线313y x x =+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 2．对于任意[]21,1,()(4)24k f x x k x k ∈-=+--+函数的值恒大于零，那么x 的取值范围是 .3. 函数2()f x x x =-，假设2(1)(2)f m f --<，那么实数m 的取值范围是 ．4．假设两个函数的图象经过假设干次平依后能够重合，那么称这两个函数为“同形〞函数．给出以下四个函数：①()1sin cos ,f x x x =+②()2f x x =+()3sin f x x =，④()4cos ),f x x x =+其中“同形〞函数有 ．5. 复数ααsin cos 1i z +=， ββsin cos 2i z +=， 55221=-z z ，求： 〔1〕求)cos(βα-的值；〔2〕假设202π<α<<β<π-,且135sin -=β,求αsin 的值．6. 某个体户方案经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x ()0x ≥万元时，在经销A 、B 商品中所获得的收益分别为)(x f 万元与)(x g 万元、 其中2)1()(+-=x a x f 〔0>a 〕；()6ln()g x x b =+〔0>b 〕投资额为零时，收益为零．〔1〕试求出a 、b 的值；〔2〕如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值、〔精确到0.1，参考数据：10.13ln ≈〕．参考答案： 1. 19； 2．(,1)(3,)-∞+∞；3. (1,1)-；4．①② ；5. 解：〔1〕∵)sin (sin )cos (cos 21βαβα-+-=-i z z ，55221=-z z ， 552)sin (sin )cos (cos 22=-+-∴βαβα，∴cos(α-β)=532542=-. 〔2〕∵-202π<α<<β<π,∴0<α-β<π,由〔1〕得cos(α-β)=53, ∴sin(α-β)=54. 又sin β=-135,∴cosβ= 1312. ∴sinα=sin ［(α-β)+β］=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =54×6533)135(531312=-⨯+． 6. 解：〔1〕根据问题的实际意义，可知：0)0(=f ，0)0(=g ；即⎩⎨⎧==+-0ln 602b a ， ∴⎩⎨⎧==12b a 。

高三数学考点大扫描限时训练0101. 下列图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是_____________(不作过高要求)．主视图 左视图 俯视图2.函数f(x)的定义域为),2[+∞-，局部对应值如右表：()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图，假设两正数a ，b 满足f (2a +b )<1，那么33++a b 的取值范围是________________． 3.假设向量b a ,满足2||,1||==b a ，且a 与b 的夹角为3π，那么||b a +=________________． 4. 53)4cos(,430=+<<παπα，那么=αtan ． 5. 向量R x x x x n x x m ∈-=-=),cos 32sin ,(cos ),sin ,(cos ，令n m x f ⋅=)(， (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域．6. 在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC⊥平面ABC ，EB⊥平面ABC ， F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1 〔1〕求证：DC∥平面ABE ； 〔2〕求证：AF⊥平面BCDE ；〔3〕求证：平面AFD⊥平面AFE ．ABCDEF参考答案：1. 12π；2. 37(,)53； 4.71。

5. (1) n m x f ⋅=)(2cos sin (sin )x x x x =--cos22x x =2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……〔4分〕∵函数sin y x =的单调增区间为[2,2]22k k ππππ-+，k Z∈，∴222262k x k πππππ-≤+≤+，∴36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数f (x )的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+，k Z ∈……〔8分〕，(2)当[0,]4x π∈时，22663x πππ≤+≤，∴12sin 226x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴函数f (x )的值域为[1,2]……〔14分〕6. (1) ∵DC⊥平面ABC ，EB⊥平面ABC ，∴DC//EB，又∵DC ⊄平面ABE ，EB ⊂平面ABE ，∴DC∥平面ABE ……〔4分〕(2)∵DC⊥平面ABC ，∴DC⊥AF，又∵AF⊥BC，∴AF⊥平面BCDE ……〔8分〕 (3)由(2)知AF⊥平面BCDE ，∴AF⊥EF，在三角形DEF 中，由计算知DF⊥EF， ∴EF⊥平面AFD ，又EF ⊂平面AFE ，∴平面AFD ⊥平面AFE ．……〔14分〕。

高三数学复习限时训练（01）1、 设集合{}R x x x x A ∈+≤-=,112)2(2，则集合*⋂N A 中有 个元素。

2、若()35cos =+απ且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα，2，则()απ-2sin =__________ 3、已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若137a S =，则等比数列{}n a 的公比等于_____4、 已知函数2()f x x x =-，若2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是 ．5、 已知直线1l ：32+=x y ，直线2l 与直线1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为_______6、 已知函数xbe ax x f +=)(图象上在点)2,1(-P 处的切线与直线x y 3-=平行，则函数)(x f 的解析式为_____7、 已知等差数列{}n a 的前n 项和为()21,n S a n a =++某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为 ____8、 已知直线0132=+++y x 与圆032-22=-+x y x 交于N M ,两点，则弦MN 的垂直平分线方程为__________9、 在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=． （1）求角B 的大小；（2）设(sin ,1),(3,cos2)m A n A ==，试m n ⋅ 求的取值范围．限时训练（01）参考答案1.72. 23-3.24. (1,1)-5. 0.56. 12.50.5x y x e +=--7. 1208. 3x-2y-3=09．（1）60B = ， （2）17(2,]8高三数学复习限时训练（02）1、若复数2(3)(,()z a a i a R =--∈2007=2、若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是___________3、已知点A 、B 、C 3=4=5=，则⋅+⋅+⋅的值是____.4、ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a -+=，若n m //，则角B 的大小为_____________5、已知：}2|1||{<-=x x A ，}11|{+<<-=m x x B ,若B x ∈成立的一个充分不必要条件是A x ∈ ，则实数m 的取值范围6、过点()0,4-作直线l 与圆0204222=--++y x y x 交于A 、B 两点，若AB=8，则直线l 的方程为______7、已知||1a = ，||2b = ，()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的度数为 .8、若]2,0[πθ∈，且54sin =θ，则2tan θ= 9、已知向量a = (1，1)，向量b 与向量a 的夹角为34π，且a ·b = －1.（1）求向量b ；（2）若向量b 与q =（1，0）的夹角为2π，向量p =2(cos ,2cos )2CA ，其中A ，C 为△ABC 的内角，且A + C =23π，求|b + p |的最小值.限时训练（02）参考答案12、53、 25-4、π655、),2(+∞ 6.、 020125=++y x 或4-=x7、23π 8、21 9、（1）b =(－1,0)或b =(－1,0).；（2）22高三数学复习限时训练（03）1、函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为_____2、设复数1212,()z i z x i x =-=+∈R ，若12z z ⋅为实数，则x = ．3、已知{}n a 为等差数列，且74321,0a a a -=-=,则公差d ＝4、有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号5、设命题014,::22>++∈∀<cx x R x q c c p 对和命题，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是 6、1tan 2a =，则sin cos a a = 7、过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 .8、设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知38S =，67S =,则789a a a ++= .9、已知函数()ln f x x ax =-()a ∈R . (Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当a >0时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.限时训练（03）参考答案1. {}0,1,3-2. 21-3. －124. （1）5. 121021<≤≤<-c c 或6. 527. 32 8.819． (Ⅰ) 1()f x a x '=-(0x >),①当a ≤ 0时，1()f x a x'=->0， 故函数()f x 增函数，即函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞． ②当0a >时，令1()0f x a x '=-=，可得1x a=, 当10x a <<时，1()0ax f x x -'=>；当1x a>时，1()0ax f x x -'=<， 故函数()f x 的单调递增区间为1(0,]a,单调减区间是1[,)a +∞.(Ⅱ)①当11a≤,即1a ≥时,函数()f x 在区间[1,2]上是减函数,∴()f x 的最小值是(2)ln 22f a =-.②当12a ≥，即12a ≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数， ∴()f x 的最小值是(1)f a =-.③当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在1[1,]a 上是增函数，在1[,2]a是减函数． 又(2)(1)ln 2f f a -=-，∴当1ln 22a <<时,最小值是(1)f a =-；当ln 21a ≤<时,最小值为(2)ln 22f a =-.综上可知,当0ln 2a <<时, 函数()f x 的最小值是min ()f x a =；当l n2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 2f x =.高三数学复习限时训练（04）1、=︒+︒-︒570sin 2135cos 315sin 。

2014-2015学年高三数学（理科）限时训练（7）一、选择题1. 正弦型函数在一个周期内的图象如图所示，则该函数的表达式是( )A . y = 2sin(x -4π)B .y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin(2x -8π) D.y = 2sin(2x +8π)2. 若函数y = sinx 和y = cosx 都是减函数，则x 是 ( )的角 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3．函数y ＝tan 35x 是( )A.周期为π的偶函数B.周期为53 π的奇函数C.周期为53π的偶函数 D.周期为π的奇函数4．若x ∈(0，2π)，函数y ＝sin x ＋－tan x 的定义域是( )A.( π2 ,π］B.( π2 ,π)C.(0,π)D.( 3π2 ,2π)5．函数y ＝sin(2x ＋5π2 )的图象的一条对称轴方程为( )A.x ＝5π4B.x ＝－π2C.x ＝π8D.x ＝π46．要得到函数y ＝sin(2x －π4 )的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A.向左平移π4B.向右平移π4C.向左平移π8D.向右平移π87．在［0，2π］上满足sin x ≥12 的x 的取值范围是( )A.［0，π6］B.［π6 ，5π6 ］C.［π6 ，2π3］D.［5π6，π］8．函数y ＝5＋sin 22x 的最小正周期为( ) A.2π B.π C. π2D. π4二、填空题9． 若函数y ＝A cos(ωx －3)的周期为2，则ω＝ ；若最大值是5，则A ＝ .10. 振动量y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和32，则它的相位是________．11．不等式sin x ＞cos x 的解集为 . 12．函数y ＝sin(2x ＋π3)的递增区间是 .13．已知f (x )＝ax ＋b sin 3x ＋1(a ，b 为常数)，且f (5)＝7，则f (－5)＝ .14. 方程2cos()14x π-=在区间(0,)π内的解是 ．答题栏姓名：_____________________学号：_____________________分数：_____________________9．___________________ 10．_________________ 11．_________________12.___________________ 13．_________________ 14.__________________15. 设a 是第二象限的角，sin a =53，求sin （637π－2a ）的值.。

高三数学限时练习题本文是一份高三数学限时练习题集，旨在帮助学生加强对数学知识的掌握和应用能力。

请同学们根据题目要求认真思考并完成每一道题目，以检验自己在数学方面的能力。

第一题：已知函数 f(x) = 2x^2 + bx + c，其中 b，c 为常数。

若该函数在 x = -2 处有极值，并且在 x = -1 处取得最小值 -5，则求函数 f(x) 的解析式。

第二题：给定一准直光线 AO 与反射线 BC，如图所示。

已知入射角α=60°，折射角β=30°，弯折角δ=105°。

求反射角θ。

（插入图示）第三题：已知集合 A = {x | x^2 - 5x + 6 ≤ 0}，集合 B = {x | 2x - 1 > 0}，求 A∩ B 的解集。

第四题：某市的人口数量随年份变化，已知2015 年的人口数量为100 万人，且每年增长率恒定。

设 x 为年份，y 为该年份的人口数量（单位：万人）。

试求人口数量 y 关于年份 x 的增长函数 f(x) 的解析式，函数图像的横坐标为年份 x（2015 ≤ x ≤ 2020），纵坐标为人口数量y（单位：万人）。

第五题：已知集合 U = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}，集合A = {x | 2x + 1 ≠ 0}，集合 B = {x | -x^2 + 4x ≠ 0}，求集合 A ∪ B 的解集。

第六题：某公司计划购买一批电脑，设公司购买的电脑总价为 x 元（单位：万元），购买数量为 N 台。

电脑的单价为 4000 元/台。

已知公司预算为 100 万元，且购买数量 N 为整数。

求购买数量 N 的取值范围，使得购买电脑的总价 x 不超过预算。

题目描述如上，请同学们认真思考，通过合理的数学计算和推理，逐题解答。

希望这份限时练习题能够为同学们的数学学习提供一定的帮助。

如果遇到任何难题，可以向老师或同学请教，共同进步。

加油！（文章共计193字）。

高三数学考点大扫描限时训练0161.2,230x R x x ∃∈-->〞的否认是__ _ ．2. 假设函数()(13)cos f x x x =，02x π≤<，那么()f x 的最大值为___ ．3. 函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，那么)27(f 的值是___ ． 4. 给定正整数(2)n n ≥按右图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数l ，2，3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数，例如n =6时数表如图所,那么当n ＝2009时最后一行的数是___ ．5. ]4,2[,2∈=x y x 的值域为集合A ，)]1(2)3([log 22+-++-=m x m x y 定义域为集合B ，其中1≠m ． 〔1〕当4=m ，求B A ⋂； 〔2〕设全集为R ，假设B C A R ⊆，求实数m 的取值范围．6. )(x f y =是定义在]1,1[-上的奇函数，]1,0[∈x 时，144)(++=x x a x f ． 〔1〕求)0,1[-∈x 时，)(x f y =解析式，并求)(x f y =在]1,0[∈x 上的最大值； 〔2〕解不等式51)(>x f ．参考答案：1. ,x R ∀∈2230x x --≤；2. 2；3. 0；4．200810052⨯。

5. 解：(1)[4,16],(2,5),[4,5)A B A B ==∴=。

(2)1,{|21}m B x x x m >=≤≥+R 若则C 或，14,13m m ∴+≤∴<≤ 1,{|12}m B x x m x <=≤+≥R 若则C 或，此时R A C B ⊆成立. 综上所述，实数m 的取值范围为()(),11,3-∞. 6. 解：()()(1)00,1y f x f a =∴=∴=-为奇函数，[1,0)(0,1]()()x x f x f x ∈--∈∴=--=当时，4141x x -+ ()()[]2[1,0),1,0,141x x f x y f x ∈-=-∴=+当时在上是增函数.()()max 315f x f ∴==. (2) ()f x =4141x x -+[1,1]x ∈-.411415x x -∴>+,解得43(log ,1]2x ∈。

0.01频率组距2019届高三数学考点大扫描限时训练0071. 复数13i z =+，21i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第_______象限． 2. 一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .3. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后：（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.(2) 观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．4. 在ABC ∆中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边，,a (n ),C cos ,c b (m =-=→→2)A cos ，且→→n //m ．（1）求角A 的大小；（2）求)23cos(sin 22B B y -+=π的值域．参考答案：1. 第一象限；2. 0.01；3. （1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=……3′直方图如右所示…………………………… 6′ （2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=所以，抽样学生成绩的合格率是75%.…………………… 9 ′利用组中值估算抽样学生的平均分123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ ＝450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝71，估计这次考试的平均分是71分……………………………………………………… 12′ 4.（1）由→→n//m 得0cos cos )2(=-⋅-C a A c b ………………………………………………………4′由正弦定理得0cos sin cos sin cos sin 2=--C A A C A B ，∴0)sin(cos sin 2=+-C A A B ， ∴0sin cos sin 2=-B A B ……………………… 6′()3,21cos ,0sin ,0,ππ=∴=≠∴∈A A B B A Θ ………………………………………… 8′ （2）B B B y 2sin 3sin2cos 3cossin 2ππ++=，=B B 2sin 232cos 211+-………… 10′ =1)62sin(+-πB ………………………………………………………12′由（1）得67626320ππππ<-<-∴<<B B ， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-∴1,21)62sin(πB ⎥⎦⎤⎝⎛∈∴2,21y …………………………………………15′。

2011届高三数学考点大扫描限时训练0061. 2275157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是 ．3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）．（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值．4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．参考答案： 1. 54；2.5； 3. 解：（I ）依题意[2000400(20)](7),[2000100(20)](7),x x y x x +--⎧=⎨---⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈…………………3分 ∴ 400(25)(7),100(40)(7),x x y x x --⎧=⎨--⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈ ………………………5分 此函数的定义域为*{|740,}x x x N <<∈ ………………………7分 （Ⅱ）22400[(16)81],271089100[(),24x y x ⎧--+⎪=⎨--+⎪⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈ …………………………9分 当720x <≤，则当16x =时，max 32400y =（元）；…………………………11分当2040x <<，因为x ∈N *，所以当x ＝23或24时，max 27200y =（元）；……13分综合上可得当16x =时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．……………15分4. 解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．……………………1分又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．………………………3分（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；...........................4分 也满足条件②1)1(=g ． (5)若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，..................8分 故)(x g 理想函数． (9)（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，由n m <知∈-m n [0，1]， )()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴．………………………11分 若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾；………………………13分若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾．………………………15分 故)(00x f x = ． ………………………16分。

2022届高三数学考点大扫描限时训练0171. ⎪⎭⎫ ⎝⎛3∈=⎪⎭⎫⎝⎛-4,2,1024cos πππx x . 〔1〕求x sin 的值； 〔2〕求⎪⎭⎫⎝⎛+32sin πx 的值.2. 函数32()f x x ax bx =++。

(1)假设函数()26()y f x x y f x ==-=在处有极值，求的单调递减区间； (2)''()()[1,1]()21by f x f x x f x a =∈-≤-若的导数对都有，求的范围. 3.)矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，AD=12cm ，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B 落在矩形的边AD 上，且折痕MN 的两端点M 、N 分别位于边AB 、BC 上，设,MNB MN l θ∠==。

〔1〕试将l 表示成θ的函数； 〔2〕求l 的最小值。

参考答案：1. 解：〔1〕因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，于是10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x44444445sin x sin x sin x cos cos x sin ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭〔Ⅱ〕因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x所以5037243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+πππx x x . 2. 解:(1)''2(2)0()32,(2)6f f x x ax b f ⎧==++⎨=-⎩依题意有，即51240284262a b a a b b ⎧⎧++==-⎪⎪⎨⎨++=-⎪⎪=-⎩⎩解得 '2()352f x x x ∴=--，'1()023f x x <-<<由得，∴C NE()y f x =的单调递减区间是1(,2)3- (也可写成闭区间)。

2022届高三数学考点大扫描限时训练0011.假设ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a m -+=,，),(b c a -=，假设⊥，那么∠C 等于 ；2．等比数列{}n a 中，363,24a a ==，那么该数列的通项n a = ；3．函数)(x f 是R 上的减函数，)2,3(),2,0(--B A 是其图象上的两点，那么不等式|2|)2(>-x f 的解集是 ； 4．假设()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，那么(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，那么2008(8)f = ▲ ；5. 把自然数按上小下大、左小右大的原那么排成如图的三角形数表〔每行比上一行多一个数〕．设(,)ij a i j N *∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数的第j 个数〔如428a =〕．⑴试用i 表示ii a 〔不要求证明〕； ⑵假设2008ij a =，求,i j 的值；⑶记三角形数表从上往下数第n 行的各数之和为n b ，令1,(1),(2)n nn c n n b n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，假设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ． 参考答案 1． π3；2． 3·2n －3；；3． ),2()1,(+∞--∞ ；4．11。

5. 解：〔1〕∵三角形数表中前n 行共有(1)122n n n ++++=个， 即第i 行的最后一个数是(1)2i i + ∴ii a =(1)2i i + 〔2〕由题意，先求使得i 是不等式(1)20082i i +≥的最小正整数解． 由(1)20082i i +≥，得240160i i +-≥ １２ ３４ ５ ６７ ８ ９ 10…………∵*i N ∈，∴112662.52i -+≥>==，∴63i = 〔另解：∵626363641953,201622⨯⨯== ∴63i =〕 于是，第63行的第一个数是6263119542⨯+=， 故(20081954)155j =-+= 〔3〕前n 行的所有自然数的和为21(1)(1)(1)(2)[1]2222n n n n n n n n n S +++++=⨯+= 那么21(1)2n n n n n b S S -+=-=，所以，当2n ≥时，2211111n n n c b n n n n ===----+， 当1n =时，1n T =也适合，521()2(1)n n T n N n n *+∴=-∈+。

2022届高三数学考点大扫描限时训练0221.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.假设,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,那么x y +的最大值是________.2. 将函数])32,0[(14)3(2∈-+--=x x y 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(αθ≤≤0)，得到曲线C ．假设对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，那么α 的最大值为 ．3.∆ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长分别为,,a b c ，向量)cos 1,(sin B B m -=与向量)0,2(=n 夹角θ余弦值为12。

(1)求角B 的大小； (2)∆ABC 外接圆半径为1，求a c +范围4.R a ∈，函数||)(2a x x x f -= ⑴当3=a 时，求使x x f 2)(=成立的x 的集合；⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值参考答案：1. 2；2.6π； 3. 解：(1)m 2sin (cos ,sin )222B B B =，2(1,0)n =，4sin cos 22B B m n ⋅=⋅ 又 |m |2sin2B =，|n |2=，cos cos 2||||m n B m n θ⋅∴==⋅ 由1cos 22B =，0θπ<<得23B π=，即23B π=………………7分 〔2〕a c +=2sin 2sin R A RC +=)sin (sin 2C A +23B π=，3A C π∴+= 又03A π<<，2333A πππ∴<+<，3sin()123A π∴<+≤ 所以)sin (sin C A +3(,1]2∈所以a c +3,2⎤∈⎦………14分 4. 解：〔1〕由题意，|3|)(2-=x x x f当3<x 时，由x x x x f 2)3()(2=-=，解得0=x 或1=x 或2=x ；…..2分当3≥x 时，由x x x x f 2)3()(2=-=，解得2173+=x ……………………….4分 综上，所求解集为}2173,2,1,0{+………………………………………..5分 (2)设此最小值为m ①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=， 因为0)32(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 那么)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以a f m -==1)1(…………….7分②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知0)(==a f m ..........8分③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -=,)32(332)('2x a x x ax x f -=-= 假设3≥a ，在区间〔1，2〕上，0)('>x f ，那么)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以1)1(-==a f m 假设32<<a ，那么2321<<a ,当a x 321<<时，0)('>x f ，那么)(x f 是区间[1，a 32]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，那么)(x f 是区间[a 32，2]上的减函数， 因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或)2(4)2(-==a f m ………12分 当372≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ………13分 当337<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m ………………14分 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=371372)2(421011a a a a a a a m ….16分。

参考答案制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一．选择题〔一共16小题〕1．B； 2．B； 3．D； 4．A； 5．A； 6．D； 7．C； 8．B； 9．B；10．D； 11．C； 12．D； 13．B； 14．B； 15．D； 16．D；二．填空题〔一共4小题〕17．4； 18．； 19．〔3，5〕； 20．﹣1，或者；三．解答题〔一共3小题〕21．【解答】解：〔I〕设等差数列{a n}的公差为d，∵a10＝21，S10＝120．∴a1+9d＝21，10a1+d＝120，解得a1＝3，d＝2．∴a n＝3+2〔n﹣1〕＝2n+1．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日〔II〕b n ＝+1＝+1＝+1，∴数列{b n}的前n项和T n ＝++…++n＝+n＝+n．22．【解答】解：f〔x 〕＝sin2x+2sin2x ＝＝．〔Ⅰ〕由，解得．∴函数f〔x〕的单调增区间为[]，k∈Z；〔Ⅱ〕将函数f〔x 〕的图象向左平移个单位，得y＝2sin[2〔x 〕﹣]+1＝2sin2x+1．再向下平移1个单位后得到函数g〔x〕＝2sin2x．由x∈[﹣，]，得2x∈[]，制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日∴sin2x∈[﹣]，那么函数g〔x〕的值域为[﹣]．23．【解答】解：〔1〕，那么所以f〔x〕＝x+xlnx，f'〔x〕＝lnx+2，x∈〔0，+∞〕所以f〔x〕在〔0，e﹣2〕上单调递减，在〔e﹣2，+∞〕上单调递增，所以函数f〔x〕在x＝e﹣2处获得极小值，且极小值为f〔e﹣2〕＝﹣e﹣2，没有极大值…..〔5分〕〔2〕由〔Ⅰ〕和题意得对任意的x＞1都恒成立，即对任意的x＞1都恒成立，令，那么，令h〔x〕＝x﹣lnx﹣2〔x＞0〕…〔7分〕那么h′〔x〕＝1﹣＝＞0，所以函数h〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增因为h〔3〕＝1﹣ln3＜0，h〔4〕＝2﹣ln2＞0，制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日所以方程h〔x〕＝0在存在唯一实根x0，且满足x0∈〔3，4〕，即有h〔x0〕＝x0﹣lnx0﹣2＝0，lnx0＝x0﹣2…〔9分〕当1＜x＜x0时，h〔x〕＜0，即g'〔x〕＜0，当x＞x0时，h〔x〕＞0即g'〔x〕＞0所以函数g〔x〕在〔1，x0〕上单调递减，在〔x0，+∞〕上单调递增所以所以k＜g〔x〕min＝x0∈〔3，4〕，故整数k的最大值为3…〔12分〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

高三数学限时训练71．已知tan (α＋β)＝25，tan (β－π4)＝14，则tan (α＋π4)＝( )．A ．16B ．1322C ．322D ．1318答案：C2．已知sin (30°＋α)＝35，60°＜α＜150°，则cos α的值是( ).A ．B ．C D 答案：D3.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= ( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案：C3)22(log 1)2(2=++=-f ，又112log 2>，所以62)12(log 112log 22==-f ，故2(2)(log 12)f f -+=94.若e c b a 4ln ,5ln 2ln ,10ln =⋅==，则c b a ,,的大小关系是A. b a c <<B.c b a <<C. a b c <<D.c a b <<答案：D解：a c =>=210ln 24ln ，而22245ln 2ln 44)5ln 2(ln b a =>+=，且0,0>>b a ， 故c a b <<5.若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+=（ ） A.79- B.13- C.79 D.13答案：A6. 函数()2sin cos f x x x x =⋅的最小正周期为（ ） A. 4 B. 2C. 2πD. π【答案】D【解析】【分析】化简可得π()sin(2)3f x x =-，可求最小正周期.【详解】()22313sin cos 3cos sin 2(2cos 1)222f x x x x x x =⋅-+=--13πsin 2cos2sin(2)223x x x =-=-， 函数()f x 的最小正周期为2ππ2=. 故选：D.7.若340tan 140sin =- λ，则实数λ的值为A. 2-B. 2 C, 3 D.4 答案：D440cos 40sin 100sin 240cos 40sin 40cos 340sin 40sin 340tan ==+=+=λ8. 已知函数()()()44cos sin (0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+-+><<的部分图象如图所示，则函数的解析式是（ ） A. )64sin()(π-=x x f B. )654sin()(π+=x x f B. )654cos()(π+=x x f D.)64cos()(π-=x x f答案：C 解)(sin )(cos )(44ϕωϕω+-+=x x x f )](sin )([cos )](sin )([cos 2222ϕωϕωϕωϕω+-+⋅+++=x x x x )(2cos ϕω+=x又5πππ21264T =-=，所以2222=∴=ωπωπ，，则)24cos()(ϕ+=x x f ， 点），（06π在递增曲线上得，6523232,0)264cos(πϕπϕπϕπ=⇒=+∴=+⨯所以)654cos()(π+=x x f ，答案C 9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数⎩⎨⎧=为无理数，为有理数x x x f 0,1)(称为狄利克雷函数，则关于)(x f ，下列说法正确的是( )A.1))((,=∈∀x f f R xB.函数)(x f 是偶函数C.任意一个非零有理数T ，)()(x f T x f =+ 对任意R x ∈恒成立D.存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x ，使得ABC ∆为等腰直角三角形答案：ABC解：对于A ；当x 是有理数时，1)1())((,1)(===f x f f x f ；当x 是无理数时，1)0())((,0)(===f x f f x f ；故A 正确；对于B:当x 是有理数时，x -还是有理数，1)()(1)(,1)(==-∴=-=x f x f x f x f ，；当x 是无理数时，x -还是无理数，0)()(0)(,0)(==-∴=-=x f x f x f x f ，；故B 正确对于C ：由于任意R x ∈，当x 是有理数时，任意一个非零有理数T ，T x +仍为有理数，则1)()(==+x f T x f ；当x 是无理数时，任意一个非零有理数T ，T x +为无理数，则0)()(==+x f T x f ；故C 正确对于D ：ABC ∆为等腰直角三角形，若直角顶点C 在直线1=y 上，则A,B 两点分别为)1,(,1,21x x ）（，且21,x x 都是有理数，那么）（0,221x x C +且221x x +为无理数，与21,x x 都是有理数矛盾，若直角顶点C 在直线x 轴上，同样产生矛盾，故D 错误10．（多选）已知函数()2sin cos f x x x x =，则下列说法正确的是（ ）． A ．()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到D ．函数()f x 的对称轴方程为()5ππZ 12x k k =+∈ 【答案】ABC【分析】化简()f x 的解析式，根据三角函数的最小正周期、图象变换、对称轴等知识对选11．【2013年课标1，理15】设当x=θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ=______【答案】12.若函数()6,2,3log,2,ax xf xx x-+≤⎧=⎨+>⎩（0a>且1a≠）的值域是[)4,+∞，则实数a的取值范围是．13．（10分）已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx＋π4)(ω＞0)的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f (x )在区间[0，π2]上的单调性．17．（1）f (x )＝4cos ωx ·sin (ωx ＋π4)＝ωx ·cos ωx ＋2 ωx （1分）(sin 2ωx ＋cos 2ωx )2分）＝2sin (2ωx ＋π4)4分） 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π2＝π，故ω＝1．（5分）（2）由（1）知f (x )＝2sin (2x ＋π4)0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4．（6分） 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； （7分） 当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π2时，f (x )单调递减．（8分） 综上可知，f (x )在区间[0，π8]上单调递增，在区间(π8，π2]上单调递减．（10分）14．（10分）已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos (x －π3) （1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间[－π4，π4]上的单调性． 19． （1）f (x )的定义域为{x ∣x ≠π2＋π，Z }．（1分）f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos (x －π3)4sin x cos (x －π3)＝4sin x (12cos x ＋sin x )2sin x cos x ＋2 x＝sin 2x 2x ＝2sin (2x －π3)．（4分）所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π． （5分） （2）令z ＝2x －π3,函数y ＝2sin z 的单调递增区间是[－π2＋2π，π2＋2π]，Z ． 由－π2＋2π≤2x －π3≤π2＋2π，（6分）得－π12＋π≤ x ≤5π12＋π，Z ． （7分）设A ＝[－π4，π4]，B ＝{x ∣－π12＋π≤x ≤5π12＋π，Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4]（8分）所以，当x[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上单调递增，（9分）在区间[－π4，－π12]上单调递减．（10分）。

高三数学复习限时训练〔50〕1、假设“2230x x -->〞是“x a <〞的必要不充分条件，那么a 的最大值为 ．2、双曲线221412x y -=上一点M 到它的右焦点的距离是3，那么点M 的横坐标是 ．3、设1tan 31tan θθ+=+-sin2θ 的值为 . 4、函数|2|y x x =-的递增区间是 ． 5、在△ABC 中，,26-=AB 030C =，那么AC BC +的最大值是________.6、在平面直角坐标系中， 直线L ：R m 4m,3+mx =y ∈-恒过一定点，且与以原点为圆心的圆C 恒有公共点。

〔1〕求出直线L 恒过的定点坐标； 〔2〕当圆C 的面积最小时，求圆C 的方程；〔3〕定点Q )3,4(-，直线L 与〔2〕中的圆C 交于M 、N 两点，试问MQN QN QM tan ⋅⋅ 是否存在最大值，假设存在那么求出该最大值，并求出此时直线L 的方程，假设不存在请说明理由。

限时训练〔50〕参考答案1、1-2、523、 34、 (,1),(2,)-∞-+∞5、 4 ,,sin sin sin sin sin sin AC BC AB AC BC AB B A C B A C+===+AC BC +sin )cos 22A B A B A B +-=+= max 4cos 4,()42A B AC BC -=≤+=6：〔1〕直线L ：y=mx+3-4m 可化简为y=m(x-4)+3所以直线恒过定点T 〔4，3〕〔2〕由题意，要使圆C 的面积最小，定点T 〔4，3〕在圆上，所以圆C 的方程为2522=+y x 。

〔3〕MQN QN QM ∠⋅⋅tan =MQN MQN QN QM ∠⋅∠⋅tan cos |||| =MQN QN QM ∠⋅⋅sin ||||MQ N S ∆=2由题意得直线L 与圆C 的一个交点为M 〔4，3〕，又知定点Q 〔–4，3〕， 直线L MQ ：y=3，|MQ|=8，那么当N 〔0，–5〕时S MQN 有最大值32. 即MQN QN QM ∠⨯⋅tan 有最大值为64，此时直线L 的方程为2x –y –5=0。