(考前大通关)高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题一《第三讲 二次函数、指数函数与对数

第2讲 数形结合思想「思想方法解读」 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化．数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．热点题型探究热点1 数形结合化解方程问例1(1)(2019·聊城市高三一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1，x ≤0，ln xx ，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝x ＋a 无实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(－1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e D ．(0,1)答案 B解析因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －1，x ≤0，ln xx ，x ＞0，所以关于x 的方程f (x )＝x ＋a 无实根等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 无交点，设直线y ＝x ＋a 与f (x )＝ln xx (x >0)切于点P (x 0，y 0)，由f ′(x )＝1－ln x x 2，由已知得1－ln x 0x 20＝1，解得x 0＝1，则P (1,0)，则切线方程为y ＝x －1，作出函数f (x )与直线y ＝x ＋a 的图象如图所示．由图知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 无交点时实数a 的取值范围为－1<a <0，故选B.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．1．(2019·天津市重点中学毕业班联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，－3≤x ≤0，2x －3，x ＞0，若方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3－22B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3＋22 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，16 答案 A解析 f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数根，等价于y ＝f (x )＋|x －2|与y ＝kx 的图象有三个交点，画出y ＝f (x )＋|x －2|＝⎩⎨⎧x 2＋3x ＋2，－3≤x ≤0，x －1，0＜x ≤2，3x －5，x ＞2与y ＝kx 的图象如图，y ＝kx 与y ＝x 2＋3x ＋2相切时，k ＝3－22，y ＝kx 过(－3,2)时，k ＝－23，∴根据图象可知，－23≤k <3－22时，两函数图象有三个交点，∴若方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3－22，故选A. 2．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≤12 B ．－1≤k ＜－12 C ．－12＜k ≤12 D ．－12＜k ≤12或k ＝－1答案 D解析 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到h (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以g (x )＋k ＝0，即为方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0.令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6.若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点.如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k ＜12或－k ＝1，即－12＜k ≤12或k ＝－1.热点2 数形结合化解不等式问题例2(1)(2019·安徽省江南十校高三联考)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，z ＝xy的最小值、最大值分别为a ，b ，且x 2－kx ＋1≥0对x ∈[a ，b ]恒成立，则k 的取值范围为( )A ．－2≤k ≤2B ．k ≤2C ．k ≥－2D ．k ≤14572答案 B解析作出⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然z ＝xy的最小值为0，当点(x ，y )在线段x ＋2y ＝3(0≤x ≤1)上时，z ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 2＝－12x 2＋32x ≤1；当点(x ，y )在线段2x ＋y ＝3(0≤x ≤1)上时， z ＝xy ＝x (3－2x )＝－2x 2＋3x ≤98；即a ＝0，b ＝98； 当x ＝0时，不等式x 2－kx ＋1＝1≥0恒成立， 若x 2－kx ＋1≥0对x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98恒成立，则k ≤x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98上恒成立，又x ＋1x 在(0,1]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，98上单调递增，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，即k ≤2. (2)已知关于x 的不等式x ＞ax ＋32的解集为{x |4＜x ＜b }，则ab ＝________. 答案 92解析 设f (x )＝x ，g (x )＝ax ＋32(x ≥0)．因为x ＞ax ＋32的解集为{x |4＜x ＜b }，所以两函数图象在4＜x ＜b 上有f (x )＞g (x )，如图所示．当x ＝4，x ＝b 时，由f (x )＝g (x )，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＝4a ＋32，b ＝ab ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝36，所以ab ＝18×36＝92.数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式．1．(2019·湖南三市高三联考)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(x )>0，且∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则下列选项中不一定正确的一项是( )A ．f (2)<f (e)<f (π)B ．f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)C ．f (2)<f ′(2)－f ′(3)<f (3)D ．f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 C解析 因为f ′(x )>0，所以f (x )在R 上单调递增．∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，恒有f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，所以y ＝f (x )的图象是向上凸起的，如图所示．所以f (2)<f (e)<f (π)，故A 正确；因为f ′(x )反映了函数f (x )图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x 的增大，f (x )的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)，故B 正确；因为f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，表示点A (2，f (2))与B (3，f (3))连线的斜率，由图可知f ′(3)<k AB <f ′(2)，故D 正确；C 无法推出，故选C.2．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，8x ＜log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 13≤a ＜1解析 当0＜x ＜13时，函数y ＝8x －1的图象如图中实线所示．∵∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，8x ＜log a x ＋1恒成立， ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，y ＝log a x 的图象恒在y ＝8x －1的图象的上方(如图中虚线所示)．∵y ＝log a x 的图象与y ＝8x－1的图象交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，a ＝13，∴13≤a ＜1. 热点3 数形结合化解平面向量问题例3 (1)(2019·东北三省三校高三第二次模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，则( )A.AD→＝213AC →＋913AB →B.AD→＝29AC →＋127AB → C.AD→＝313AC →＋613AB →D.AD→＝313AC →＋913AB →答案 D解析 设DF ＝2AF ＝2，因此BD ＝AF ＝1，又由题意可得∠ADB ＝120°， 所以AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ＝32＋12－6cos120°＝13，因此AB ＝13；延长AD 交BC 于M ，记∠DAB ＝θ，∠AMB ＝α， 则cos ∠DAB ＝AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝9＋13－1613＝71326，所以sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝3926； 又由题意易知∠DAB ＝∠DBM ，则α＝120°－θ， 在三角形DBM 中，由正弦定理可得 BM sin ∠MDB ＝DM sin ∠DBM ＝BDsin ∠DMB ，即BM sin60°＝DM sin θ＝1sin (120°－θ)，因此BM ＝sin60°sin (120°－θ)＝3232cos θ＋12sin θ＝134＝14BC ，DM ＝sin θsin (120°－θ)＝sin θ32cos θ＋12sin θ＝14，所以AD ＝33＋14AM ＝1213AM ， 因为BM ＝14BC ，所以BM →＝14BC →，即AM →－AB →＝14(AC →－AB →)，整理得AM →＝34A B →＋14AC →，所以AD →＝1213AM →＝1213⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋14AC →＝913AB →＋313AC →.故选D.(2)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB︵上运动．若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________，此时∠AOC＝________.答案2π3解析由图示和题意可知，A(1,0)，B⎝⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC＝α⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C(cosα，sinα)．由OC→＝xOA→＋yOB→，得⎩⎪⎨⎪⎧cosα＝x－12y，sinα＝32y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝cosα＋33sinα，y＝233sinα，所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6.又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y取得最大值2.建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．1．(2019·马鞍山市第二次教学质量监测)已知圆C1，C2，C3是同心圆，半径依次为1,2,3，过圆C 1上点M 作C 1的切线交圆C 2于A ，B 两点，P 为圆C 3上任一点，则P A →·PB→的取值范围为( ) A ．[－8，－4] B ．[0,12] C ．[1,13] D ．[4,16]答案 C解析 设同心圆的圆心为O ，由切线性质可知OM ⊥AB ，又过圆C 1上点M 作C 1的切线交圆C 2于A ，B 两点，∴OA ＝OB ＝2，OM ＝1，在Rt △OAM 中，sin ∠OAM ＝OM OA ＝12，∴∠OAB ＝∠OAM ＝π6，根据OA ＝OB ＝2，可知∠OAB ＝∠OBA ＝π6，∴∠AOB ＝2π3，P A →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝|PO →|2＋PO →·OB →＋OA →·PO →＋OA →·OB →＝9＋PO →·(OB →＋OA →)＋|OA →||OB →|·cos 2π3＝7－OP →·(OB →＋OA →)．∵OM ⊥AB ，OA ＝OB ，∴M 是AB 的中点，根据向量加法的几何意义得OA →＋OB →＝2OM →，代入上式得，P A →·PB →＝7－OP →·(OB →＋OA →)＝7－2OP →·OM →＝7－2|OP →||OM →|cos 〈OP →，OM →〉＝7－6cos 〈OP →，OM →〉，∵〈OP →，OM →〉∈[0，π]，∴cos 〈OP →，OM →〉∈[－1,1]，∴P A →·PB →∈[1,13]，故选C.2．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC→＝________.答案 12解析 解法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD→，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB →·DC →＝AB →·AD →. 因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4， 所以2|AB→|＝|AB →||AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12. 解法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m ＞0，n ＞0， 则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )， 所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12. 热点4 数形结合化解圆锥曲线问题例4 (1)(2019·河南省高三一模)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若双曲线的渐近线被圆M ：x 2＋y 2－10x ＝0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin P ||sin A －sin B |的值等于( )A.35B.73 C.53 D.7答案 C解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，∵双曲线的渐近线被圆M ：x 2＋y 2－10x ＝0即(x －5)2＋y 2＝25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到渐近线的距离为d ，则d ＝25－9＝4.∴5b a 2＋b2＝4，即5b ＝4c ，b ＝45c .∵a 2＝c 2－b 2＝925c 2，∴a ＝35c ，∵A，B分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，∴|AP－BP|＝2a，根据正弦定理可得APsin B＝BPsin A＝ABsin P＝2R，∴sin B＝AP2R，sin A＝BP2R，sin P＝2c2R，∴|sin P||sin A－sin B|＝2c2R⎪⎪⎪⎪⎪⎪BP2R－AP2R＝2c2a＝53，故选C.(2)已知A(1,1)为椭圆x29＋y25＝1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|＋|P A|的最大值和最小值．解由x29＋y25＝1可知a＝3，b＝5，c＝2，左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2,0)．由椭圆定义，知|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|，∴|PF1|＋|P A|＝6－|PF2|＋|P A|＝6＋|P A|－|PF2|.如图，由||P A|－|PF2||≤|AF2|＝(2－1)2＋(0－1)2＝2，知－2≤|P A|－|PF2|≤ 2.当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“＝”，当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“＝”，即|P A|－|PF2|的最大、最小值分别为2，－ 2.于是|PF1|＋|P A|的最大值是6＋2，最小值是6－ 2.与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解．但一味的强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．1．椭圆x25＋y24＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是()A.55 B.655 C.855 D.455答案 C解析如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝2b2a＝855，又c＝a2－b2＝5－4＝1，所以此时△FMN的面积S＝12×2×855＝855.故选C.2．(2019·四川省成都市第七中学高三下学期三诊)已知双曲线C：x2a2－4y2＝1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1的距离之和的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析 由双曲线方程x 2a 2－4y 2＝1(a >0)可得，双曲线的右顶点为(a,0)，渐近线方程为y ＝±12a x ，即x ±2ay ＝0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于34，∴a1＋4a 2＝34，解得a 2＝34，∴双曲线的方程为4x23－4y 2＝1，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为F (1,0)．如图，设点M 到直线l 1的距离为|MA |，到直线l 2的距离为|MB |，则|MB |＝|MF |，∴|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MF |.结合图形可得当A ，M ，F 三点共线时，|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MF |最小，且最小值为点F 到直线l 1的距离d ＝|4×1＋6|42＋32＝2.故选B.。

高考数学二轮复习7大专题复习内容高三的同学开学了，开学即将面临高考数学二轮复习啦，下面是店铺给大家带来的高考数学二轮复习7大专题复习内容，希望对你有帮助。

高考数学二轮复习专题内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n 项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

（考前大通关）2013高考数学二轮专题复习 第一部分专题突破方略专题二《第三讲 极限、数学归纳法》专题针对训练 理一、选择题1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x 2x －1－4x 2－1x在x ＝1处连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选B.若f (x )在x ＝1处连续，则有lim x →1－f (x )＝lim x →1＋ (2x －1－4x 2－1)＝lim x →1＋ 2x ＋1＝a ，解得a ＝1，故选B. 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n＝( )A.2n ＋2B.2n n ＋C.22n －1D.22n －1解析：选B.由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n (n ≥2)． 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110.猜想a n ＝2n n ＋.3．若复数a ＋3i 1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则lim n →∞ (1a ＋1a 2＋…＋1a n )＝( ) A.17 B.57 C ．－17D ．－57解析：选C.a ＋3i 1＋2i ＝a ＋＋－2a 5＝a ＋65＋3－2a5i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋65＝0，3－2a 5≠0，解得a ＝－6，所以lim n →∞(1a ＋1a 2＋…＋1an )＝lim n →∞[(－16)＋(－16)2＋…＋(－16)n ]＝－161＋16＝－17. 4．已知a ，b ∈R ，|a |>|b |，且lim n →∞ a n ＋1＋b n a n >lim n →∞a n －1＋b nan，则a 的取值范围是( ) A ．a >1B ．－1<a <1C ．a <－1或a >1D ．－1<a <0或a >1解析：选D.∵|a |>|b |，则lim n →∞ a n ＋1＋b n a n＝lim n →∞[a ＋(b a)n]＝a ， lim n →∞ a n －1＋b n a n ＝lim n →∞[1a ＋(b a )n ]＝1a. ∴a >1a ⇒a ＋a －a>0⇒－1<a <0或a >1，故选D.5．函数f (x )＝x －a x ＋bx －c在点x ＝1和x ＝2处的极限值都是0，且在点x ＝－2处不连续，则不等式f (x )>0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(1,2) 解析：选C.由已知得f (x )＝x －x －x ＋2，则f (x )>0的解集为(－2,1)∪(2，＋∞)，故选C.二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a cos xx ≥0x 2－ 1x在点x ＝0处连续，则a ＝________.解析：由题意得lim x →0－f (x )＝lim x →0－ (x 2－1)＝－1，lim x →0＋f (x )＝lim x →0＋a cos x ＝a ，由于f (x )在x ＝0处连续，因此a ＝－1. 答案：－17．在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则lim n →∞ a n －b na n ＋bn 的值为________． 解析：∵a n ＝4n －52，∴a 1＝32，而数列{a n }显然是等差数列，∴S n ＝n 32＋4n －522＝2n 2－n 2，∴a ＝2，b ＝－12，∴lim n →∞ 2n－－12n 2n＋－12n ＝1. 答案：18．(2010年高考上海卷)将直线l 1：x ＋y －1＝0、l 2：nx ＋y －n ＝0、l 3：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2)围成的三角形的面积记为S n ，则lim n →∞S n ＝________. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧nx ＋y －n ＝0x ＋ny －n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝n n ＋1，y ＝n n ＋1.则直线l 2、l 3交于点A (n n ＋1，nn ＋1)．点A 到直线l 1的距离d ＝|n n ＋1＋nn ＋1－1|2＝|n －1n ＋1|2＝n －12n ＋.又∵l 1分别与l 2、l 3交于B (1,0)，C (0,1)，∴BC ＝2，∴S n ＝12AB ·d ＝n －1n ＋.∴lim n →＋∞S n ＝lim n →＋∞ n －1n ＋＝12. 答案：12三、解答题9．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n 2＋n )·3n. (1)求lim n →∞a nS n； (2)证明：a 112＋a 222＋…＋a nn2>3n.解：(1)因为lim n →∞ a n S n ＝lim n →∞S n －S n －1S n＝lim n →∞(1－S n －1S n )＝1－lim n →∞ S n －1S n， 又lim n →∞ S n －1S n ＝13lim n →∞ n －1n ＋1＝13， 所以lim n →∞ a n S n ＝23. (2)证明：当n ＝1时，a 112＝S 1＝6>3；当n >1时，a 112＋a 222＋…＋a n n 2＝S 112＋S 2－S 122＋…＋S n －S n －1n 2＝(112－122)·S 1＋(122－132)·S 2＋…＋[1n －2－1n 2]·S n －1＋1n 2·S n >S n n 2＝n 2＋n n 2·3n >3n. 综上知，当n ≥1时，a 112＋a 222＋…＋a nn2>3n.10．已知各项均为正数的数列{a n }，a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝a 2n a n －，其中n ∈N *.(1)证明：a n >2； (2)设b n ＝a na n －2，证明：b n ＋1＝b 2n .证明：(1)运用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，由条件知a 1＝a >2， 故命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，有a k >2成立． 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2ka k －－2＝a k －2a k －>0.即a k ＋1>2，故命题成立．综上所述，命题a n >2对于任意的正整数n 都成立． (2)b n ＋1＝a n ＋1a n ＋1－2＝a 2n a n－a 2na n －－2＝a 2n a 2n －4a n ＋4＝b 2n . 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点(n ，S n n )都在函数f (x )＝x ＋a n2x的图象上．(1)求a 1，a 2，a 3的值，猜想a n 的表达式，并证明你的猜想；(2)设A n 为数列{a n －1a n }前n 项的积，是否存在实数a ，使得不等式A n a n ＋1<f (a )－a n ＋32a对一切n ∈N *都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)∵点(n ，S n n )都在函数f (x )＝x ＋a n2x 的图象上，∴S n n ＝n ＋a n2n.∴S n ＝n 2＋12a n .令n ＝1得a 1＝1＋12a 1，∴a 1＝2；令n ＝2得a 1＋a 2＝4＋12a 2，∴a 2＝4；令n ＝3得a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，∴a 3＝6.由此猜想：a n ＝2n (n ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k 成立， 那么，当n ＝k ＋1时，由条件知，S k ＝k 2＋12a k ，S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，两式相减，得a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，∴a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①、②知，对一切n ∈N *，都有a n ＝2n 成立．(2)∵a n －1a n ＝1－1a n，故A n ＝(1－1a 1)(1－1a 2)…(1－1a n)，∴A n a n ＋1＝(1－1a 1)(1－1a 2)…(1－1a n)2n ＋1.又f (a )－a n ＋32a ＝a ＋a n 2a －a n ＋32a ＝a －32a，故要使A n a n ＋1<f (a )－a n ＋32a 对一切n ∈N *都成立，即(1－1a 1)(1－1a 2) (1)1a n )·2n ＋1<a －32a对一切n ∈N *都成立． 设g (n )＝(1－1a 1)(1－1a 2)…(1－1a n )2n ＋1，则只需g (n )max <a －32a即可．由于g n ＋g n ＝(1－1a n ＋1)·2n ＋32n ＋1＝2n ＋12n ＋2·2n ＋32n ＋1＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4<1. ∴g (n ＋1)<g (n )，故g (n )单调递减，于是g (n )max ＝g (1)＝32， 由32<a －32a ，得a －3a ＋3a>0，解得－32<a <0或a > 3. 综上所述，使得所给不等式对一切n ∈N *都成立的实数a 存在，且a 的取值范围为(－32，0)∪(3，＋∞)．。