高中数学北师大版选修2-1课时作业：1.3.1 全称量词与存在量词 Word版含解析

1.3 全称量词与存在量词学习目标1．通过实例，理解全称量词与存在量词的意义． 学习重点和难点1．重点：理解全称量词与存在量词的意义； 2．难点：全称命题和特称命题的真假判定． 学习过程 一、课前自主学习 1．教材助读（1）什么是全称量词？全称命题？ （2）全称命题的真假判定方法什么？ （3）什么是存在量词？特称命题？ （4）特称命题的真假判定方法什么？ 2．预习自测（1）判断下列命题的真假．①每个指数函数都是单调函数． （ ）②∀x R ∈，20x >． （ ） ③∃0x R ∈，200x ≤． （ ）④至少有一个整数 ，它的绝对值小于零． （ ）3．我的疑惑二、探究·合作·展示 ※ 学习探究【探究一】判断下列全称命题的真假．1．所有的素数都是奇数． （ ）2．∀x R ∈，233x +≥． （ ）【探究二】判断下列特称命题的真假．1．有一个实数0x ，使20020x x +-=． （ ） 2．∃0{|x x x ∈是无理数}，1x -是有理数． （ ） 三、我的收获学习评价 ※ 当堂检测：1．下列语句中是全称命题的是（ ）A. 在{2，2.5，3}中，有一个元素是整数B. 明天的降水概率为20%C. 在抛掷骰子的实验中，上面的数字为1、2、3、4、5、6的概率都是16D. 全部没来 2．判断下列命题的真假（1）所有菱形的四条边都相等． （ ） （2）有的实数是无限不循环小数． （ ） ※ 课后作业：1．下列语句中是特称命题的是（ ）A. 所有的矩形都是菱形B. 每一个棱柱都是多面体C. 奇数不能被2整除D. 有一个实数没有算数平方根2．判断下列命题的真假（1）任何实数都有算术平方根． （ ） （2）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数． （ ） （3）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数． （ ） （4）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数． （ ）。

§3全称量词与存在量词知识点一全称量词与全称命题的定义[填一填](1)在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，像这样含有全称量词的命题叫作全称命题．(2)在某些全称命题中，有时全称量词可以省略．[答一答]将下列不含全称量词的全称命题改写成含有全称量词的命题．(1)不共线的三点确定一个平面；(2)平行线不相交；(3)对顶角相等．提示：(1)任意不共线的三点都可以确定一个平面．(2)任意两条平行线都不相交．(3)每一组对顶角都相等．知识点二存在量词与特称命题的定义[填一填]在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．[答一答]下列各命题中含有的量词分别是什么？(1)任意实数的平方都是正数；(2)0 乘以任何数都等于0；(3)任何一个实数都有相反数；(4)△ABC的内角中有小于60°的角．提示：(1)任意(2)任何(3)任何(4)有知识点三全称命题、特称命题的否定形式[填一填](1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．[答一答]1．命题的否定和否命题的区别与联系．提示：命题的否定是只否定命题的结论，而否命题是条件和结论同时否定，原命题和命题的否定必须一真一假，原命题和否命题没有固定的真假关系．2．如何写出含有量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有何变化？提示：写含有量词的否定，不只是否定命题的结论，还要把全称量词改为存在量词或把存在量词改为全称量词．1．关于全称量词和全称命题的几个注意点：(1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，全称命题成立，则全称命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．(2)有的命题省去全称量词，仍是全称命题．如“有理数都是实数”就省去了全称量词“所有”．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义．(3)在全称命题中，可以包括多个变量．如：对任意a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．当然，当a＝3，b＝5 时，上式自然是正确的．2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个元素，使特称命题成立即可；否则，这一特称命题为假．3．常见量词的否定形式：类型一全称命题、特称命题的判断【例1】判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0 成立；(6)存在a＝1 且b＝2，使a＋b＝3 成立．【思路探究】先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．【解】(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”“存在”“存在”．规律方法判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：(1)若命题中含有量词，则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．判断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)所有不等式的解集A，都有A⊆R.(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定．(5)自然数的平方是正数．解：因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题．又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均为全称命题．(3)是疑问句，不是命题．综上所述，(1)(4) 为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．类型二全称命题、特称命题的否定形式【例2】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【思路探究】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．【解】(1)是全称命题且为真命题．命题的否定是：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定是：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定是：所有的四边形都是平行四边形．规律方法解题时要注意存在量词、全称量词的不同表示形式．特称命题p：存在x∈A，p(x)，其否定为：任意x∈A，非p(x)；全称命题q：任意x∈A，q(x)，其否定为：存在x∈A，非q(x)．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．(1)有理数都能写成分数的形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0 有实数解；(3)有一个素数是偶数；(4)对任意m∈Z，都有m2－3>0 成立．解：(1)是全称命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，命题的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，为假命题．(2)是特称命题，即“存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0 成立”，命题的否定为：对任意实数x，方程x2＋2x＋8＝0 不成立，为真命题．(3)是特称命题，即“存在一个素数是偶数”，命题的否定为：所有的素数都不是偶数，为假命题(2 是素数，也是偶数)．(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0 成立．类型三利用全称命题、特称命题求参数的取值范围【例3】对于满足0≤p≤4 的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3 恒成立，试求x的取值范围．【思路探究】本题看上去是一个不等式的问题，但是经过等价转化，确定适当的变量和参数，把它转化为一个简单的一次函数，并借助函数图像建立一个关于x的不等式组，从而求得x的取值范围．【解】不等式x2＋px>4x＋p－3 恒成立，即(x－1)p＋x2－4x＋3>0恒成立，构造函数f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3.当x＝1 时，f(p)＝0，不满足f(p)>0，∴f(p)表示p的一次函数．∵p∈[0,4]，∴函数f(p)的图像是一条线段，要使f(p)>0 在[0,4]上恒成立，需满足Error!即Error!解得x<－1 或x>3.所以x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．规律方法全称命题的考查在试题中经常出现，如：“恒成立”问题就属于这一题型．其命题方向往往是求式子中某个参数的取值范围．而特称命题常常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”，求出相应的参数的取值范围．解题时的依据是：“假设存在，利用条件进行推理论证，若导出合理结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性．”已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1 成立，试求实数a的取值范围．解：|f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①当x＝0 时，a≠0，①式显然成立；1 1 1 1当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－在x∈(0,1]上恒成立．x2 x x2 x1设t＝，则t∈[1，＋∞)，x则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需Error!故－2≤a<0.综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．——规范解答——根据全称命题、特称命题的真假确定参数范围【例4】若命题“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0 成立”是真命题，求实数a的取值范围．【思路分析】解决本题的关键是将已知的特称命题是真命题转化为相应的函数在x轴下方一定有图象，这是函数思想的应用．【解】设函数f(x)＝ax2＋2x＋a，原命题为真等价于函数f(x)在x轴下方有图象．当a＝0 时，f(x)＝2x，满足题意；当a<0 时，二次函数f(x)的图象是开口向下的抛物线，在x轴下方一定有图象，满足题意；当a>0 时，只需4－4a2>0，所以0<a<1.综上，实数a的取值范围是(－∞，1)．(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“存在实数x，使不等式sin x＋cos x>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，π∵y＝sin x＋cos x＝2sin(x＋≥－，) 24又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，∴所求m的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，π∵y＝sin x＋cos x＝2sin(x＋4)∈[－2，2]．又∵存在x∈R，使sin x＋cos x>m有解，∴只要m< 2即可，∴所求m的取值范围是(－∞，2)．1．下列特称命题是真命题的是(B)A．存在x∈R，使x2<0B．有的三角形是等边三角形C．有的偶数不能被2 整除D．平面内存在一个四边形的内角和小于360°解析：A，C，D 均为假命题，B 是真命题．2．给出下列四个命题：①对任意的x∈R，x2>0；②存在x∈R，使得x2≤x成立；③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N；④存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.其中真命题的个数是(D)A．0 B．1C．2 D．3解析：存在x＝0，使x2＝0，故①是假命题；显然②③④都是真命题．3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是(C)A．某些平行四边形不是矩形B．每一个平行四边形都是矩形C．每一个平行四边形都不是矩形D．以上都不对解析：先否定结论，再把量词“某些”变成“每一个”．4．命题“所有偶函数的图像关于y轴对称”是真命题(填“真”或“假”)．其命题的否定为存在一个偶函数的图像不关于y轴对称，是假命题(填“真”或“假”)．5．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)所有能被5 整除的整数的末位数字都是0；(2)有的等腰三角形是直角三角形；(3)任意两个等边三角形都是相似的．解：(1)存在一个能被5 整除的整数的末位数字不是0，真命题；(2)所有的等腰三角形都不是直角三角形，假命题；(3)存在两个等边三角形不相似，假命题．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1.下列命题中为真命题的是( )A.，B.,是整数C.,D.,2.（2012·山东泰安二模）下列命题中为真命题的是( )A.x∈R,sin x+cos x=B.x∈(0,π),sin x＞cos xC.x∈(－∞,0),＜D.x∈(0,+∞),＞x+13.下列判断正确的是( )A.设x是实数，则“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分不必要条件B.p:“x∈R,≤0”则有p:不存在x∈R,＞0C.命题“若=1,则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”D.x∈(0,+∞),＞为真命题二、填空题（本题共6小题，每小题7分，共42分）4.已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是________．5.命题“对任何，”的否定是________．6.下列四个命题：；；；.其中真命题是________．7.下列命题中的假命题是________．①，；②，；③，；④，.8.下列四个命题：①x∈R,+x+1≥0；②x∈Q,+x－是有理数；③α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ；④x,y∈Z,使3x－2y=10.其中真命题的序号是.9.已知对，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题（本题共3小题，共40分）10.（本小题满分12分）写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)x∈R，＋x＋1＞0；(2)x∈Q，＋x＋1是有理数；(3)α，β∈R，使cos(α＋β)=cosα＋cosβ. 11.（本小题满分12分）已知两个命题.如果对，与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.12.（本小题满分16分）已知函数.（1）若,使，求实数的取值范围；（2）设，且在上单调递增，求实数的取值范围．§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修2-1）答题纸得分：_______ 一、选择题二、填空题4.________5._________6._________7._________8._________9._________三、解答题10.解：11.解：12.解：§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修2-1）答案一、选择题1.B解析：一般地，要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个验证成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需要举出一个反例即可．要判定一个特称命题为真，只要在限定集合中，能找到一个，使成立即可，否则这一命题就为假．据此易知B是正确的．2. D解析：A选项：sin x+cos x=sin(x+π)＜，故A为假命题；B选项：当x=π时，有sinππ，故B 为假命题；由指数函数的性质知，x∈(－∞,0),＞，故C为假命题；D选项：设f(x)=，g（x）=x＋1，由两函数图象可知在(0,+∞)内＞x+1，故D为真命题.3.A解析：A中x＞1|x|＞1,|x|＞1x＞1或x＜－1，所以正确;B中p:x∈R,＞0;C中否命题为：“若≠1，则x≠1”;D中x=时是错误的.二、填空题4.－解析：已知命题是假命题，则原命题的否定“对任意，使－”是真命题，所以－－，解得－.5.存在，－－解析：全称命题的否定为特称命题，所以命题“对任何，”的否定是“存在，－－”.6.，解析：由图像可得命题是假命题当时,所以命题是真命题由图像可得命题是假命题对，所以命题是真命题7.③解析：当时，，所以①是真命题；当时，，所以②是真命题；当时，，所以③是假命题；④显然是真命题.8.①②③④解析：①②显然正确；③中，若α=π,β=0，则sin(α+β) =1,sinα+sinβ=1+0=1，等式成立，所以③正确；④中，当x=4,y=1时，3x－2y=10成立，所以④正确.9.解析：原不等式可化为，要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最值问题，.所以，即，等价于，，，或，，解得.三、解答题10.解：(1)的否定是“x∈R，使＋x＋1≤0”，假命题.(2)的否定是“x∈Q，使＋x＋1不是有理数”，假命题.(3)的否定是“α，β∈R，cos(α＋β)≠cosα＋cosβ”，真命题.11.解：因为－，所以当是真命题时，－.当为真命题，即对，恒成立时,有，解得－.所以当是真命题时，－.又对，与有且仅有一个是真命题，所以与一真一假当为真，为假时，.当为假，为真时，.综上，实数的取值范围是或.12.解：（1）由，，得，，所以－，解得或.（2）由题设得，对称轴方程为，方程=0的根的判别式为.由于在上单调递增，则有，解得.①当，即时，有，②当，即或时，设方程的根为，，(ⅰ)若，即，则有，解得；，(ⅱ)若，即，则有，解得.，由(ⅰ) (ⅱ)得或.综合①②有或.。

教学设计北师大-选修2-1-第一章§3 全称量词与存在量词的否定西安市第一中学孙丽荣课题：全称量词与存在量词的否定学习目标1,通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的含义．2．会判断全称命题，特称命题的真假．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定（一）复习1全称量词与全称命题在指定范围内，表示整体或全部的含义的词叫做____________．我们把含有全称量词的命题，叫做____________．全称量词一般有：“所有的”、“任何一个”、“每一个”、“一切”、“任意一个”等等．2．存在量词与特称命题在指定范围内，表示个别或一部分的含义的词叫做________．我们把含有存在量词的命题叫做________．存在量词一般有：“有一个”、“有些”、“存在”、“至少有一个”等等．思考1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数（3） ∈R，2-21≥0；←探究：写出命题的否定（1）≥0,则2-m=0有实数根。

←（3）可以被5整除的整数，末位是0。

←（4）被8整除的数能被4整除。

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

←（1）：若＞,则5＞5；←（2）：若2﹤2,则2-﹤2；←（3）：正方形的四条边相等；←（4）：已知a,b为实数，若2ab≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

←练习：写出下列命题的否定：←（1）：所有能被3整除的整数都是奇数；←（2）：每一个四边形的四个顶点共圆；←（3）：对任意∈Z，2的个位数字不等于3；←（4）：任意素数都是奇数；←（5）：每个指数函数都是单调函数；←（6）：线段的垂直平分线上的点到这条线段两←个端点的距离相等；。

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1.3.2 存在量词与特称命题［基础达标]1.下列命题为特称命题的是( )A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于或等于3解析:选D。

选项D中的命题含有存在量词“存在”，因此它是特称命题．2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是（）A．每一个二次函数的图像都是开口向上B．存在一条直线与两个相交平面都垂直C．存在一个实数x,使x2－3x＋6＜0D．对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b解析：选D。

对A当二次项系数小于零时不成立，A为假命题；B、C均为特称命题．故选D。

错误!下列命题中，真命题是( )A．存在m∈R,使函数f（x）＝x2＋mx（x∈R)是偶函数B．存在m∈R，使函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）是奇函数C．对任意m∈R，函数f（x)＝x2＋mx（x∈R）都是偶函数D．对任意m∈R，函数f(x）＝x2＋mx（x∈R）都是奇函数解析：选A.由于当m＝0时,函数f（x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f （x）＝x2＋mx(x∈R）为偶函数”是真命题．错误!下列命题是假命题的为( )A．存在x∈R,lg e x＝0B．存在x∈R，tan x＝xC．任意x∈（0，π2）,错误!＞cos xD．任意x∈R，e x＞x＋1解析：选D。

§3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一全称量词和全称命题短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.知识点二存在量词与特称命题短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题叫作特称命题.【预习评价】(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示(1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.题型一全称量词与全称命题【例1】试判断下列全称命题的真假：(1)任意实数x，使x2＋2>0；(2)所有自然数x，使x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于任意实数x，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“对于任意实数x，x2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“所有自然数x，x4≥1”是假命题.(3)由于任意角α，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.规律方法判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时，可以用反例进行否定.【训练1】试判断下列全称命题的真假：(1)任意x∈R，x2＋1≥2；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数.解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋1≥1，所以“任意x∈R，x2＋1≥2”是假命题.(2)当直线的倾斜角为π2时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.(3)无论底数a>1还是0<a<1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.题型二存在量词与特称命题【例2】判断下列特称命题的真假：(1)存在x0∈Z，使得x30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)存在x0∈R，使得cos x0＝π2.解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x 0∈Z ，使得x 30<1”是真命题.(2)真命题，如梯形.(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义.(4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1，1]，而π2>1，∴不存在x 0∈R ，使cos x 0＝π2，∴“存在x ∈R ，使得cos x 0＝π2”是假命题.规律方法 判定特称命题真假的方法——代入法：在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真，否则命题为假.【训练2】 试判断下列特称命题的真假：(1)存在x 0∈Q ，x 20＝3；(2)存在x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0；(3)存在x 0∈R ，tan x 0＝1；(4)存在x 0∈R ，lg x 0＝0.解 (1)由于使x 20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x 0∈Q ，x 20＝3”为假命题.(2)因为x 0>0，y 0>0，所以x 20＋y 20>0，所以“存在x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0”为假命题.(3)当x 0＝π4时，tan π4＝1，所以“存在x 0∈R ，tan x 0＝1”为真命题.(4)当x 0＝1时，lg 1＝0，所以“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”为真命题.【探究1】 若命题p ：存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0为真命题，求实数a 的取值范围.解 方法一 由ax 20＋2x 0＋a <0，得a (x 20＋1)<－2x 0，当x 0＝0时，a ＜0；∵x 20＋1>0，∴a <－2x 0x 20＋1＝－2x 0＋1x 0， 当x 0>0时，x 0＋1x 0≥2，∴－2x 0＋1x 0≥－1，当x 0<0时，x 0＋1x 0≤－2，∴－2x 0＋1x 0≤1，∴－2x 0＋1x 0的最大值为1.又∵存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立，∴只要a <1，∴a 的取值范围是(－∞，1).方法二 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0成立；当a ＞0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＞0，解得－1＜a ＜1， 综上，a 的取值范围是(－∞，1).【探究2】 若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.解 ①当m ＋1＝0即m ＝－1时，2x －6<0不恒成立.②当m ＋1≠0，则⎩⎨⎧m ＋1<0，Δ<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，Δ＝[－（m －1）]2－4（m ＋1）·3（m －1）<0⇒⎩⎨⎧m <－1，m <－1311或m >1，综上，m <－1311.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1311. 【探究3】 已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围.解 关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞. 【探究4】 若命题p ：1－sin 2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围.解 由1－sin 2x ＝sin x －cos x ， 得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ， ∴（sin x －cos x ）2＝sin x －cos x ，即|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，∴sin x ≥cos x .结合三角函数图像得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，此即为所求x 的取值范围.规律方法 应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质；所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.课堂达标1.下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3解析①③是全称命题.答案 C2.下列命题中，不是全称命题的是()A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是特称命题.答案 D3.已知命题：“对任意x＞3，x＞a恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是________.解析对任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.答案(－∞，3]4.已知命题：“存在x0∈[1，2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________.解析要使命题为真命题，则22＋2×2＋a≥0，即a≥－8.答案[－8，＋∞)5.判断下列命题的真假.(1)p：任意x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0.解(1)∵任意x∈R，x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，∴p为真命题.(2)q为真命题.(3)∵任意x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，∴r为假命题.课堂小结1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.基础过关1.下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①②④都是全称命题.答案 C2.下列命题中特称命题的个数是()。

§全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定.理解全称量词和存在量词的意义.(重点).能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(难点).能判断含一个量词的命题的真假.(易混点)教材整理全称量词与全称命题阅读教材上半部分，完成下列问题.”“任何每一个所有”““”“整体或全任意一条都是在指定范围内，表示”“”一切的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词部的命题，叫作全称命题.下列命题是全称命题的个数是( )①任何实数都有平方根；②所有素数都是奇数；③有的等差数列是等比数列；④三角形的内角和是°.【解析】①②④是全称命题，故选.【答案】教材整理存在量词与特称命题阅读教材下半部分～上半部分，完成下列问题.”“有一个至少有一个”““有些”“个别一部分存在或的含义，这样的词都有表示”存在量词叫作存在量词，含有的命题，叫作特称命题.“有些长方形是正方形”含有的量词是，该量词是量词(填“全称”或“存在”)【解析】含的量词是有些，为存在量词.【答案】有些存在教材整理全称命题与特称命题的否定阅读教材下半部分～，完成下列问题.；特称命题的否定是全称命题的否定是特称命题全称命题.命题“对任意一个实数，都有＋≥”的否定为.【解析】此命题为全称命题，其否定为特称命题.【答案】存在一个实数，使＋＜成立预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：①对任意实数，都有＋＞；②存在一个自然数小于；③菱形的对角线相等；④至少有一个实数，使＋＝.【自主解答】①全称命题.由≥，知＋＞，所以①是真命题.②特称命题.由于∈，且＜，所以②是真命题.③全称命题.由于有一个角为°的菱形对角线不相等，所以③是假命题.④特称命题.由于＋＝≤＜，所以④是假命题.。