江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷(三)(5月份)

……………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2023年高三数学对接新高考全真模拟试卷（05）（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知全集{}33U xx =-<<∣，集合{}220A x x x =+-<∣，则UA =（ ）A ．(]2,1-B ．][()3,21,3--⋃C ．[)2,1-D ．()()3,21,3--⋃2．设复数21iz =+(其中i 为虚数单位)，则z =（ ）A ．5B ．3C ．5D ．33．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．不能确定4．平面向量a b ，满足||3,||2||a b a b -==，则a b -与a 夹角最大值时||a 为（ ） A ．2B ．3C ．22D ．235．盒中有大小相同的5个红球和3个白球，从中随机摸出3个小球，记摸到白球的个数为X ，则随机变量X 的数学期望()E X = （ ）A ．118B ．98C ．78D ．586．将函数tan()(0)2y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．67．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则 A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤8．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意,()0x ∈+∞，都有()2()log 20f f x x -=．现已知()()17f a f a +'=，那么（ ） A ．(1,1.5)a ∈B ．(1.5,2)a ∈C ．(2,2.5)a ∈D ．(2.5,3)a ∈二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是（ ）A ．A 与BB ．D 与EC ．B 与DD ．C 与F10．关于函数()1ln1xf x x-=+，下列选项中正确的有（ ） A ．()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在定义域上是增函数D ．函数()f x 与()()ln 1ln 1y x x =--+是同一个函数11．已知圆 22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=， 直线 :l y kx =，下面四个命题，其中真命题是（ ）A ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 相切B ．对任意实数k 与θ，直线l 与圆M 有公共点C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与圆M 相切D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与圆M 相切 12．已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b +D ．e 1a b >第Ⅰ卷二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．如图，用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.……………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________14．焦点为F 的抛物线24y x =上有三点,,A B C 满足ABC 的重心是F ，且,,FA FB FC 恰成等差数列，则直线AC 的方程是_______．15．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =.则函数()()3210x g x f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的所有零点之和为___________.16．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截得的截面图形为椭圆，截得的几何体的最短母线长和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为___________，截面椭圆的离心率为___________.四、解答题：本小题共6小题，共70分。

2024年高考仿真模拟数学试题（三）试卷+答案本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式，适合黑龙江、吉林、安徽、江西、甘肃、河南、新疆、广西、贵州等省份考生模拟练习.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（）A．﹣1∉A B．C．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x﹣y∈A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1，2，3，4”4个数字组成的六位数，每个数字至少出现一次. (1)求满足条件的对接码的个数；(2)若对接密码中数字1出现的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.16．（15分）已知函数()()ln 1f x x a x =−−. (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.2024年高考仿真模拟数学试题（三）试卷+答案（题型同九省联考，共19个题）注意事项：]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则；②若x，y∈A，则x+y∈A下列判断中，正确的有（）A．﹣1∉A B．C．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x﹣y∈A答案ABC解析：对于A，假设﹣1∈A，则令x＝y＝﹣1，则＝1∈A，x+y＝﹣2∈A，令x＝﹣1，y＝1，则＝﹣1∈A，x+y＝0∈A，令x＝1，y＝0，不存在，即y≠0，矛盾，∴﹣1∉A，故A对；对于B，由题，1∈A，则1+1＝2∈A，2+1＝3∈A，…，2022∈A，2023∈A，∴∈A，故B对；对于C，∵1∈A，x∈A，∴∈A，∵y∈A，∈A，∴＝xy∈A，故C对；对于D，∵1∈A，2∈A，若x＝2，y＝1，则x﹣y＝1∈A，故D错误．故选ABC．的部分图三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1，2，3，4”4个数字组成的）连接当5k ≥时，可得()111k k ii a a a i k −+−=≤≤−， （∗） ②设32i k ≤≤−，则112k i k k a a a a a −−+>+=，所以{}1k i n a a a −+∉， 由111213320k k k k k k k a a a a a a a a a −−−−−−=−<−<<−<−= ， 又由12320k k a a a a −−≤<<<< ，可得111122133133,,k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a −−−−−−−−−=−=<−=−= ， 所以1(13)k k ii a a a i k −−−=≤≤−， 因为5k ≥，由以上可知：111k k a a a −−−=且122k k a a a −−−=， 所以111k k a a a −−−=且122k k a a a −−−=，所以1(11)k k ii a a a i k −−−=≤≤−，（∗∗） 由（∗）知，()111k k ii a a a i k −+−=≤≤− 两式相减，可得()1111k k i i a a a a i k −+−=−≤≤−， 所以当5k ≥时，数列{}n a 为等差数列. ……………17分.。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x) + f(-x) = 2，则x的取值范围是（）A. x > 0B. x < 0C. x ≥ 0D. x ≤ 02. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^43. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+b+c=10，a^2+b^2-c^2=20，则三角形ABC的面积S是（）A. 10B. 15C. 20D. 254. 下列复数中，是纯虚数的是（）A. 2 + 3iB. -2 + 3iC. 2 - 3iD. -2 - 3i5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 120，S20 = 240，则数列的公差d是（）A. 2B. 3C. 4D. 56. 下列不等式中，恒成立的是（）A. x^2 - 2x + 1 > 0B. x^2 + 2x + 1 > 0C. x^2 - 2x - 1 > 0D. x^2 + 2x - 1 > 07. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (1, 4)D. (4, 1)8. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，若x的取值范围为[1, 3]，则函数的最小值是（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1, 2, 4, 8, ...B. 1, 3, 9, 27, ...C. 1, 4, 16, 64, ...D. 1, 2, 4, 8, 16, ...10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f'(x) = 0，则x的值是（）A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若a > b > 0，则a^2 + b^2 > 2ab的充分必要条件是________。

2023年高考适应性考试（三）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}1,2,3A a =+，集合{},5B a =，若A B A = ，则a =（）A.0B.1C.2D.32.已知i 为虚数单位，复数()()1i 2i z m ⋅=+-在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m 的取值范围为（）A.2m > B.02m << C.22m -<< D.2m <-3.已知非零向量a ，b 满足2a b a b +=- ，且b 在a 上的投影向量为23a，则a b=（）A.12B.32C.24.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r 满足函数模型()()0.25*0103,n tn r r r r t n +=+-⋅∈∈R N ，其中0r 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）A.14次B.15次C.16次D.17次5.将函数()sin 13f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到数()g x 的图象，若存在()0,θπ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x R ∈恒成立，则θ=（）A.6πB.3π C.23π D.56π6.如图，湖面上有4个小岛A ，B ，C ，D ，现要建3座桥梁，将这4个小岛联通起来，则所有不同的建桥方案种数为（）A.6B.16C.18D.207.已知各项均为正整数的递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，2023n S =，当n 取大值时，n a 的值为（）A.10B.61C.64D.738.在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，1AB =，3AC =33PB =90ABP ∠=︒，点M 在该三棱锥的外接球O 的球面上运动，且满足60AMC ∠=︒，则三棱锥M APC -的体积最大值为（）A.322B.5216C.36D.534二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市（新版）2024高考数学人教版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知定义在上的函数满足，当时，，则（）A．1B．2C．D．－2第(2)题已知函数与的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数t的取值范围是（ ）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）A．B．C．D．第(3)题已知函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题=ax3+b sin x+4（a，b∈R），f（lg（log 210））=5，则f（lg（lg2））=（ ）A．﹣5B．﹣1C．3D．4第(6)题若为实数,且,则A．B．C．D．第(7)题执行如图的程序框图，如果输出i的值是5，那么在空白矩形框中可以填入的语句为（）A．B．C．D．第(8)题已知是所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知曲线，则下列结论正确的是（）A．曲线可能是直线B．曲线可能是圆C．曲线可能是椭圆D．曲线可能是双曲线第(2)题已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（）A．B ．为其一个对称中心C．若在单调递增，则D．曲线与直线有7个交点第(3)题已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C ．在区间上单调递增D．在区间上有且只有两个极值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数，则______．第(2)题已知函数的图象过点，且相邻两个零点的距离为.若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则函数的解析式为___________.第(3)题已知△ABC的顶点坐标分别为，则内角的角平分线所在直线方程为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，是的平分线，，求：(1)的长；(2)的面积.第(2)题已知函数．(1)求函数的极值；(2)若为整数，且函数有4个零点，求的最小值．第(3)题如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点.(1)若为的中点，求证：；(2)若三棱台的体积为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.第(4)题我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．第(5)题如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且．(1)证明：平面；(2)若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值．。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

2021年全国高考数学模拟试卷（三）（5月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|9﹣x2＞0}，B＝{x|0＜x﹣1≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣3，4]B．[3，4]C．[﹣3，3）D．（3，4]2．（5分）若复数z满足z﹣iz＝3i+4，则|z|＝（）A．B．C．D．53．（5分）已知点P（，），O为坐标原点，线段OP原点O时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）4．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝，则S99＝（）A．7B．8C．9D．105．（5分）命题“∀x＞2，x2+2＞6”的否定（）A．∃x≥2，x2+2＞6B．∃x≤2，x2+2≤6C．∃x≤2，x2+2＞6D．∃x＞2，x2+2≤66．（5分）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A（2，0），B（3，2﹣），C（1，2+），D（4，a），若它们都在同一个圆周上，则a的值为（）A．0B．1C．2D．7．（5分）《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，△ADE与△BCF是等边三角形，EF∥AB，AB＝2EF，则该刍甍的外接球的半径为（）A．B．C．D．8．（5分）若不等式lnx≤ax+b恒成立，则2a+b的最小值为（）A．2B．3C．ln2D．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）下列说法正确的是（）A．若，，为平面向量，∥，∥，则∥B．若，，为平面向量，⊥，⊥，则∥C．若||＝1，||＝2，（）⊥，则在方向上的投影为﹣D．在△ABC中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ10．（5分）若正实数a，b满足a+b＝2，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为1B．的最大值为2C．a2+b2的最小值为1D．2a2+b2的最小值为11．（5分）在（x2+x+1）3（x2+）2的展开式中，下列说法正确的是（）A．x4的系数为16B．各项系数和为108C．无x5项D．x2的系数为812．（5分）若函数f（x）＝，g（x）＝xf（x），则下列说法正确的是（）A．f（x）为周期函数，无最小正周期B．g（x）为单调函数C．∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立D．∀x1∈R，∃x2∈R满足g2（x2）＝g（x1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市如皋市2023届高三下学期三模化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．X为苯和溴水的混合液B．Y可以是CCl下列说法正确的是A．Fe元素位于元素周期表第四周期，B．22S-的电子式为C．晶胞中距离每个22S-最近的FeD．常温下浓硫酸与铁不反应7．黄铁矿是自然界中常见的金属矿物，主要成分为渣和含硫气体。

含硫气体可用来提取硫和制造硫酸，制硫酸时的尾气常用氨水吸收；含铁矿渣与硫酸反应后再加入NaFeS的晶胞如下图所示。

浓硫酸。

2下列化学反应表示正确的是A．电极a上发生的电极反应为2HB．Ⅰ室出口处溶液的pH大于入口处C．如果将Ⅰ室、Ⅱ室间改为阳离子交换膜，则电池工作时D ．该装置可以制取2CaCl 和3NaHCO 11．室温时，实验室以含铬废液(主要离子含K +、3Fe +、3Cr +、24SO -)制取含227K Cr O 溶液的流程如下：已知：①室温时，()31sp 3Cr OH 610K -⎡⎤=⨯⎣⎦，()38sp 3Fe OH 410K -⎡⎤=⨯⎣⎦②“氧化”时()3Cr OH 转化为24CrO -下列说法正确的是A ．“过滤Ⅰ”所得滤液中()371Cr610mol L c +--=⨯⋅B ．“氧化”时的离子方程式为：()2224234OH 2Cr OH 3H O 2CrO 8H O--++=+C ．“酸化”时溶液pH 越低，24CrO -转化为227Cr O -的比例越低D ．将“含227K Cr O 溶液”蒸干可得纯净的227K Cr O 固体12．23Na SO 溶液可吸收2SO ，得到的吸收液可通过电解法再生。

室温下用0.11mol L -⋅23Na SO 溶液吸收2SO ，用如下图所示装置进行电解。

吸收2SO 、电解所引起的溶液体积变化和2H O 的挥发可忽略。

已知：()2a123H SO 1.310K -=⨯、()8a223H SO 6.310K -=⨯。

2019年江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、填空题（共70分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，4}，C＝A∩B，则集合C的子集共有个．2．（5分）已知复数z满足为虚数单位），则z的共轭复数＝3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为x+3y＝0，则m＝4．（5分）随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为．5．（5分）为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取3所进行污水合格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是6．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．7．（5分）已知一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6πcm2，则该圆锥的体积是cm3．8．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝2A，则cos C的值为10．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆C的离心率e的取值范围是11．（5分）已知数列{a n}的首项，数列{b n}是等比数列，且b5＝2，若，则a10＝12．（5分）在平面四边形OABC中，已知，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB＝60°，若＝6，则＝13．（5分）已知正数x，y满足，则的最小值为14．（5分）定义min{a，b}＝，已知函数，若h（x）＝min{f（x），g（x）}恰好有3个零点，则实数m的取值范围是二、解答题（共90分）15．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面P AD，AP＝AD，AB∥CD，CD＝2AB，M是PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD．16．（14分）如图在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q有右侧），点O为半圆的圆心，已知AB＝2，∠BOP＝θ，∠POQ＝α．（1）若点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，求cosα的值；（2）若PQ＝1，求的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中点，点A，F分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝﹣1，求直线l的方程．18．（14分）如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上，已知AB＝8，AD＝6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米．（1）若l＝4，求S1的最大值；（2）若S2＝2S1，求l的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣mx，x∈R，其导函数为f'（x）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x＞0，关于x的不等式f（x）≥x2+1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：f'（x1）+f'（x2）＞0．20．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n满足2S n﹣na n＝n．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的公差d＞0，设，求证：存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n＜a n+2；（3）若a2＝2，设，求证：数列{c n}中任意一项都可以表示成其他两项的乘积．【选做题】本题包括21、22、23、24四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，A＝，B＝，若直线l依次经过变换T A，T B后得到直线l'：2x+y ﹣2＝0，求直线l的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ，若直线l 与圆C有公共点，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣1，0），F（1，0），若动点P满足＝2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于A，B，与y轴相交于Q，若＝，＝，求证：λ+μ为定值．24．已知A n＝{x＞0|x＝k1•2+k2•22+…+k n•2n}，其中n∈N*，n≥2，k i∈{﹣1，1}（i＝1，2，…n），记集合A n的所有元素之和为S n．（1）求S2，S3的值；（2）求S n．2019年江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷（二）（4月份）参考答案与试题解析一、填空题（共70分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，4}，C＝A∩B，则集合C的子集共有4个．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，2，4}，∴C＝A∩B＝{0，2}，则集合C的子集共有22＝4．故答案为：4．【点评】本题考查交集中子集的个数的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知复数z满足为虚数单位），则z的共轭复数＝﹣3+4i 【解答】解：由，得z＝3i2﹣4i＝﹣3﹣4i，∴．故答案为：﹣3+4i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为x+3y＝0，则m＝9【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为x+3y＝0，可得：x+y＝0，所以＝3，解得m＝9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10＝0.2，∴不小于40岁的人的频数是100×0.2＝20；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在[50，60）年龄段抽取的人数为8×＝8×＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．5．（5分）为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取3所进行污水合格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是【解答】解：为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中，随机抽取3所进行污水合格检测，基本事件总数n＝＝10，在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽到包含的基本事件个数m＝＝3，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽到的概率是p＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．【解答】解：根据题意，执行程序框图后输出的是分段函数y＝，当输入x＝时，sin＞cos，所以输出的y＝cos＝．故答案为：．【点评】本题考查了选择语句的应用问题，是基础题目．7．（5分）已知一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6πcm2，则该圆锥的体积是3πcm3．【解答】解：一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6πcm2，可得，解得l＝2，所以圆锥的高为：＝3（cm），所以，圆锥的体积为：＝3π（cm3）．故答案为：3π．【点评】利用考查圆锥的体积以及圆锥的侧面积的求法，是基本知识的考查．8．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是【解答】解：先画出实数x，y满足可行域如图：因为目标函数表示动点P（x，y）与定点D（0，﹣1）连线斜率k；由图可知；K OA最小；联立可得A（3，1），K DA＝＝，∴则的取值范围：[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝2A，则cos C的值为【解答】解：∵a＝2，b＝3，C＝2A，∴由正弦定理，可得：＝＝，∵可得：cos A＝，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，解得：c2＝10，∴可得：cos C＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆C的离心率e的取值范围是【解答】解：F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，可得AB：bx+ay﹣ab＝0，满足，a2b2≤c2a2+c2b2，可得：（a2﹣c2）2≤（ac）2，可得a2﹣c2≤ac，即e2+e﹣1≥0，e∈（0，1）．解得e∈．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用．11．（5分）已知数列{a n}的首项，数列{b n}是等比数列，且b5＝2，若，则a10＝64【解答】解：因为数列{b n}是等比数列，且b5＝2，设其公比为q，则，所以＝2q n﹣5，所以，，……，等式左右两边相乘，得，即a10＝＝64．故填：64．【点评】本题考查等比数列的通项公式，累乘法计算某一项，属基础题．12．（5分）在平面四边形OABC中，已知，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB＝60°，若＝6，则＝3【解答】解：如图所示，设|OC|＝a，易求，故＝＝＝，又＝6，所以，解之得a＝3．故答案为3．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题目．13．（5分）已知正数x，y满足，则的最小值为【解答】解：正数x，y满足，可得4x+y++＝+x﹣，由4x+≥2＝4，当且仅当x＝取得等号，y+≥2，当且仅当y＝1取得等号，可得+x﹣≥6，则x﹣≥6﹣＝﹣，即所求最小值为﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．（5分）定义min{a，b}＝，已知函数，若h（x）＝min{f（x），g（x）}恰好有3个零点，则实数m的取值范围是【解答】解：依题意可得m＞0，令f（x）＝0，得x＝﹣lnm，令g（x）＝0，得x＝1或x＝，又h（x）＝min{f（x），g（x）}恰好有3个零点，由图可知：，解得：或，即实数m的取值范围是（）∪（，1），故答案为：（）∪（，1）．【点评】本题考查了“取小函数”的定义及函数图象间的位置关系，属中档题．二、解答题（共90分）15．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面P AD，AP＝AD，AB∥CD，CD＝2AB，M是PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取CP的中点N，连接MN．∵M，N分别是PD，PC的中点，∴MN∥CD，MN＝CD，∵AB∥CD，AB＝CD，∴AB∥MN，AB＝MN．∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC．（2）∵CD⊥平面P AD，AM⊂平面P AD，∴AM⊥CD，∵AP＝AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，又PD∩CD＝D，∴AM⊥平面PCD，由（1）可知AM∥BN，∴BN⊥平面PCD，又BN⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．16．（14分）如图在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q有右侧），点O为半圆的圆心，已知AB＝2，∠BOP＝θ，∠POQ＝α．（1）若点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，求cosα的值；（2）若PQ＝1，求的取值范围．【解答】解：（1）依题意有，半圆O的半径为1，点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，点P在y轴上方，所以cosθ＝，sin（θ+α）＝，所以sinθ＝＝，cos（θ+α）＝＝，因为点Q在点P的左侧，所以cos（θ+α），所以cos（θ+α）＝﹣，故cosα＝cos[（θ+α）﹣θ]＝cos（θ+α）cosθ+sin（θ+α）sinθ＝．（2）因为PQ＝1，所以△POQ为正三角形，所以，所以P（cosθ，sinθ），Q（cos（），sin（）），又A（﹣1，0），B（1，0），所以＝[cos（）+1]（cosθ﹣1）+sin（）sinθ＝＝sin（）﹣，其中θ∈[0，]，又θ∈[0，]，所以，]，所以sin（）﹣∈[0，]，所以∈[0，]．【点评】本题考查了三角函数辅助角公式、平面向量数量积的性质及其运算，属难度较大的题型17．（14分）在平面直角坐标系xOy中点，点A，F分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝﹣1，求直线l的方程．【解答】解：（1）依题意，A（﹣a，0），F（c，0），Q（，0），∵F是AQ的中点，∴，又2c＝2，得c＝1，代入上式可得：a＝2或a＝﹣1（舍）．∴b2＝a2﹣c2＝3，则椭圆C的标准方程为；（2）设直线MN的方程为x＝my+1，M（my1+1，y1），N（my2+1，y2），联立，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．，．∴＝＝＝，又k1+k2＝﹣1，∴﹣m＝﹣1，即m＝1．∴直线l的方程为x＝y+1，即x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．18．（14分）如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上，已知AB＝8，AD＝6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米．（1）若l＝4，求S1的最大值；（2）若S2＝2S1，求l的取值范围．【解答】解：由题意，折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．（1）在情形②③中，MN≥6．故当l＝4时，折痕必定是情形①．设AM＝xcm，AN＝ycm．则x2+y2＝16≥2xy，可得xy≤8，当且仅当x＝y＝2时取等号．∴S＝xy≤4，此时最大值为4．（2）由长方形的面积S＝6×8＝48．S2＝2S1，∴S2＝32，S1＝16．（i）当折痕是情形①时．设AM＝xcm，AN＝ycm，可得xy＝16，即y＝．由0≤x≤8，6，可得：≤x≤8．∴l＝＝，≤x≤8．令t＝x2，则≤t≤64．设g（t）＝，g′（t）＝1﹣，令g′（t）＝1﹣＝0，解得t＝32．g（t）min＝g（32）＝64．又g（）＝64，g（64）＝80．∴g（t）∈[64，80]．∴l∈[8，4]．（ii）当折痕是情形②时．设AM＝xcm，DN＝ycm，可得（x+y）×6＝16，即y＝﹣x．由0≤x≤8，0≤﹣x≤8，可得：0≤x≤．∴l＝＝∈．（iii）当折痕是情形③时．设BN＝xcm，AM＝ycm，可得（x+y）×8＝16，即y＝x﹣4．由0≤x≤8，0≤4﹣x≤6，可得：0≤x≤4．∴l＝＝∈[8，4]．综上可得：l∈[6，4]．【点评】本题考查了勾股定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣mx，x∈R，其导函数为f'（x）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x＞0，关于x的不等式f（x）≥x2+1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：f'（x1）+f'（x2）＞0．【解答】解：（1）依題意，f（x）＝e x﹣mx，x∈R，f′（x）＝e x﹣m．①若m≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，②若m＞0，令f′（x）＝0，得x＝lnm．当x＜lnm时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，当x＞lnm时，f′（x）＞0，函数f′（x）＞0，在（lnm，+∞）上单调递增，综上当m≤0时，函数f（x）在R上单调递增，当m＞0吋，函数f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，在（lnm，+∞）上单调递增．（2）依題意，当x＞0肘，e x﹣mx≥x2+1恒成立，即m≤﹣x﹣対任意実数x＞0恒成立．令g（x）＝﹣x﹣，x＞0．则g′（x）＝﹣1+＝＝，由（1）可知，当m＝1肘，f（x）＝e x﹣x在（0，+∞）上单调递增，故f（x）＞f（0）＝1，即e x﹣x＞l，得e x﹣x﹣l＞0．所以方程g′（x）＝0有唯一解x＝l，且当0＜x＜1吋，g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，．当x＞1吋，g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．所以g（x）min＝g（1）＝e﹣2，所以m≤e﹣2．（3）∵x1，x2是f（x）＝e x﹣mx的两个零点，∴＝mx1，＝mx2，故m＝，故f′（x1）+f′（x2）＝﹣m+﹣m＝+﹣2m＝+﹣2•．要证：f′（x1）+f′（x2）＞0，即证：+﹣2•＞0，不妨没x1＞x2即证：（x1﹣x2）（+）﹣2（﹣）＞0，即证（x1﹣x2）（+1 ）﹣2（﹣1）＞0令h（t）＝t（e t+1）﹣2（e t﹣1），即h′（t）＝（t﹣1）e t+1令φ（t）＝h′（t）＝（t﹣1）e t+1，t＞0，所以φ′（t）＝te t＞0，φ（t）＝h′（t）在（0，+∞）上单调递增，故φ（t）＞φ（0）＝0，即h′（t）＞0，所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，所以h（t）＞h（0）＝0，即t（e t+1）﹣2（e t﹣1）＞0对任意实数t＞0恒成立．又x1﹣x2＞0，所以（x1﹣x2）（+）﹣2（﹣）＞0，得证．【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，最值与导数之间的关系，进行转化，利用构造函数研究函数的最值和单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．20．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n满足2S n﹣na n＝n．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的公差d＞0，设，求证：存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n＜a n+2；（3）若a2＝2，设，求证：数列{c n}中任意一项都可以表示成其他两项的乘积．【解答】证明：（1）∵2S n﹣na n＝n，∴2S n+1﹣（n+1）a n+1＝n+1，相减可得：na n﹣（n ﹣1）a n+1＝1，n≥2时，（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝1，相减可得：2a n＝a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．（2）由题意可得：当n＝1时，2S1﹣a1＝1，解得a1＝1．故S n+1＝（n+1）+d，∴＝，若a n+1≤b n＜a n+2；∴1+nd≤＜1+（n+1）d，化为：，解得＜n≤．＞0．∵﹣＝1．故存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n＜a n+2．（3）由（1）可得：数列{a n}是等差数列；又a1＝1，a2＝2，∴公差d＝1，∴a n＝1+n﹣1＝n，∴＝，对于∀n∈N*，设c n＝c k•c l，其中k，l∈∈N*．k≠n，l≠n．故＝•，可得：1+＝（1+）（1+）．∴k＝．取l＝n+1，则k＝n（n+2）．∴数列{c n}中任意一项c n，都存在l＝n+1，k＝n（n+2）．使得c n＝c k•c l．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选做题】本题包括21、22、23、24四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，A＝，B＝，若直线l依次经过变换T A，T B后得到直线l'：2x+y ﹣2＝0，求直线l的方程．【解答】解：设点P（x，y）是直线l上的任意一点，其依次经过变换T A，T B后得到点P′（x′，y′）．则有：＝，整理，得：＝．即：．∵点P′（x′，y′）在直线l'上，∴2x′+y′﹣2＝0．可将代入2x′+y′﹣2＝0，得：2（x+4y）+2y﹣2＝0，整理，得：x+5y﹣1＝0．∴直线l的方程为x+5y﹣1＝0．【点评】本题主要考查一条直线经过一定的变换得到对应的直线，已知其中一条直线方程求另一条直线方程，本题可通过设对应点和变换对应的矩阵找到两个点的坐标的关系表达式来求出．本题属基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ，若直线l 与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：直线l：消去参数t，可得直线l的普通方程为x﹣﹣a＝0，圆C：ρ＝4cosθ，x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，圆心C（2，0），半径r＝2，又直线l与圆C有公共点，所以≤2，解得﹣2≤a≤6，所以实数a的取值范围是[﹣2，6]．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣1，0），F（1，0），若动点P满足＝2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于A，B，与y轴相交于Q，若＝，＝，求证：λ+μ为定值．【解答】解：（1）设动点P（x，y），则＝（x+1，y），＝（2，0），||＝，因为＝2||，所以2（x+1）＝2，整理得：y2＝4x，故动点P的轨迹C的方程为：y2＝4x（2）证明：设Q（0，t），A（，y1），B（，y2），其中y1≠y2，依题意有A，F，B三点共线，则，又＝（1﹣，﹣y1），B（1﹣，﹣y2），则有y1y2＝﹣4，又＝，所以λ＝＝，同理μ＝，故λ+μ＝+＝+＝﹣1，故λ+μ为定值【点评】本题考查了平面向量的性质及其运算及曲线的轨迹方程，属中档题24．已知A n＝{x＞0|x＝k1•2+k2•22+…+k n•2n}，其中n∈N*，n≥2，k i∈{﹣1，1}（i＝1，2，…n），记集合A n的所有元素之和为S n．（1）求S2，S3的值；（2）求S n．【解答】解：（1）当n＝2时，A2＝{x＞0|x＝2k1+4k2}＝{2，6}，所以S2＝2+6＝8，当n＝3时，A3＝{x＞0|}x＝k1•2+k2•22+k3•23}＝{2，6，10，14}，所以S3＝2+6+10+14＝32．（2）若k n＝﹣1，且k1＝k2＝……＝k n﹣1＝1，n∈N*，则x＝2+22+……+2n﹣1﹣2n＝＝﹣2＜0，此时x∉A n．所以k n必然为1，且当k1＝k2＝……＝k n﹣1＝﹣1，n≥2，n∈N*时，x＝﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＝﹣＞0，此时x∈A n，根据乘法原理，使得k i＝﹣1（i＝1，2，3，…n﹣1．n∈N*）的2i共有＝2n﹣1个，使得k i＝1（i＝1，2，3，…n﹣1．n∈N*）的2i共有＝2n﹣1个，所以S n中的所有（i＝1，2，3，…n﹣1．n∈N*）项的和为0，又因为使得k n＝1的x有2n﹣1个，所以S n＝2n﹣1×2n＝22n﹣1．【点评】本题考查了数列求和，计数原理等知识，发现最后一项的系数必须为1，是解决本题的关键，然后用计数原理处理前n﹣1项的和，即可求出S n．本题属中档题．。