20172018学年江苏省南通市如皋市高三(上)第一次联考数学试卷

南通市2017届高三第一次调研测试数学试题Ⅰ一：填空题1．函数)33sin(2π-=x y 的最小正周期为 。

2．设集合}3{},5,2{},3,1{=+==B A a B A ，则B A = 。

3．复数2)21(i z +=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 。

4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球。

摸出红球 的概率为0.48，摸出黄球的概率是0.35，则摸出蓝球的概率 为 。

5．如图是一个算法流程图，则输出的n 的值为 。

6．若实数y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+007342y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为 。

7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为 。

8．如图，在正四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， 则三棱锥D 1 – A 1BD 的体积为 cm 3。

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线02=+y x 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 。

10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 升。

结束↓开始 ↓ a ←1 ↓输出n N ABCD D 1C 1B 1A111．在ABC ∆中，若CB CA AB AC BA BC ⋅=⋅+⋅2，则CAsin sin 的值为 。

12．已知两曲线)2,0(,cos )(,sin 2)(π∈==x x a x g x x f 相交于点P 。

若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 。

13．已知函数|4|||)(-+=x x x f ，则不等式)()2(2x f x f >+的解集用区间表示为 。

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆422=+y x 上两点，点)1,1(A ，且AC AB ⊥，则线段BC 的长的取值范围是 。

江苏省如皋中学2017-2018学年度第一学期阶段练习高三数学时间:120分钟 总分160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{－1,0,1}，则A∪B＝ ▲ .2．如果复数2()3bib R i-∈+的实部与虚部互为相反数,则b = ▲ .3．已知直线22+=+a ay x 与1+=+a y ax 平行，则实数a 的值为 ▲ ．4．函数2sin y x x =-在（0，2π）内的单调增区间为 ▲ ．5．已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为 ▲ ．6．圆心在抛物线y x 22=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．7．已知一个等比数列前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为 ▲ ．8．设双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上一点，且214PF PF =，则此双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．9．已知p ：1＜x2＜8；q ：不等式042≥+-mx x 恒成立，若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围 ▲ .10．已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为1234,,,,P P P P ⋅⋅⋅，则1324PP P P ⋅等于 ▲ ．11． △ABC 中，AB 边上的中线CD 等于2，动点P 满足AP →＝12t ·AB →＋(1－t)·AC →（0≤t ≤1），则(PA →＋PB →)·PC →的取值范围为 ▲ ．12．从直线0843=++y x 上一点P 向圆C ：012222=+--+y x y x 引切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则四边形PACB 的周长最小值为 ▲ ．13．已知函数),,()(23R c b a c bx ax x x f ∈+++=，若函数)(x f 在区间[－1,0]上是单调减函数，则22b a +的最小值为 ▲ ．14．已知实数,x y 满足:3210(12,0)x xy x x +-=-≤≤≠，这个方程确定的函数为()y f x =，若函数k x f x z -+=)(23有且只有一个零点,则实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△AB C 的面积为S ，且AB →·AC →＝S ． (1) 求tan2A 的值；(2) 若B ＝π4，|CB →－CA →|＝3，求△ABC 的面积S ．16．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知12AA AC AB ==，︒=∠=∠6011CAA BAA ，点D ，E 分别为AB ，C A 1的中点．求证： (1) DE ∥平面C C BB 11； (2) 1BB ⊥平面BC A 1．17．如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠PAB＝θ，tan θ＝t. (1) 用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长是否为定值；(2) 问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为多少(平方百米)?18．已知椭圆O 的中心在原点，长轴在x 轴上，右顶点A(2，0)到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为32．不过A 点的动直线m x y +=21交椭圆O 于P 、Q 两点．(1) 求椭圆的标准方程；(2) 证明P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值；(3) 过点A 、P 、Q 的动圆记为圆C ，动圆C 过不同于A 的定点，请求出该定点坐标．19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121==a a ，n n n a n nS b )2(++=，数列{}n b 是公差为d 的等差数列，n∈N *. (1) 求d 的值；(2) 求数列{}n a 的通项公式；(3) 请判断)2)(1(2)()(122121++⋅⋅⋅+n n S S S a a a n n n 和 的大小关系,并证明你的结论．20．已知函数x x f ln )(=，bx x x g -=221)( (b 为常数)． (1) 函数)(x f 的图象在点(1，)1(f )处的切线与函数)(x g 的图象相切，求实数b 的值； (2) 设)()()(x g x f x h +=，若函数)(x h 在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；(3) 若1>b ，对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数21,x x ，都有)()()()(2121x g x g x f x f ->-成立，求实数b 的取值范围．附加题（时间30分钟，总分40分）1．设A T 是逆时针旋转6π的旋转变换，B T 是以直线l ：y x =为轴的反射变换，求先进行A T 变换，后进行B T 变换的复合变换矩阵.2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ，圆心为直线sin()3πρθ-=圆C 的极坐标方程．3．一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个． (1) 从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望E(X)；(2) 每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．4．已知定点)81,0(F 和直线81:-=y l ,过定点F 与直线l 相切的动圆的圆心为点C .动点C 的轨迹记为曲线E .(1)求曲线E 的标准方程;(2)点P 是曲线E 上的一个动点, 曲线E 在点P 处的切线为1l ,过点P 且与直线1l 垂直的直线2l 与曲线E 的另一个交点为Q ,求线段PQ 的取值范围.高三阶段考试(数学试题)一卷1． {－1,0,1,2}; 2． 1; 3． 1; 4． 5(,)33ππ; 5． 233; 6． (x ±1)2＋(y-12)2=17． 10; 8． ⎥⎦⎤⎝⎛351，; 9． m ≤4; 10． 4; 11． [－2,0]; 12． 42＋2 13． 95; 14． ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，—415 15． 解：(1) 设△ABC 的角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c.∵ AB →·AC →＝S ，∴ bccosA ＝12bcsinA ，∴ cosA ＝12sinA ，∴ tanA ＝2.∴ tan2A ＝2tanA 1－tan 2A＝－43.(5分) (2) |CB →－CA →|＝3，即|AB →|＝c ＝3，∵ tanA ＝2，0＜A ＜π2，(7分) ∴ sinA ＝255，cosA ＝55.(9分)∴ sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝255·22＋55·22＝31010.(11分)由正弦定理知：c sinC ＝b sinB b ＝c sinC ·sinB ＝5，S ＝12bcsinA ＝125×3×255＝3.(14分)16． 证明：(1) 取AC 中点M ，连DM ，EM ，∵D 为AB 的中点，∴ DM ∥BC ，∵ 平面BB 1C 1C ，平面BB 1C 1C ， ∴ DM ∥平面BB 1C 1C.同理可证EM ∥平面BB 1C 1C.又DM ∩EM ＝M ，∴ 平面DEM ∥平面BB 1C 1C. ∵ 平面DEM ，∴ DE ∥平面BB 1C 1C.(7分) (2) 在△AA 1B 中，因为AB ＝2AA 1，∠BAA 1＝60°，设AA 1＝1，则AB ＝2，由余弦定理得A 1B ＝ 3.故AA 21＋A 1B 2＝AB 2，∴ AA 1⊥A 1B, 所以BB 1 ⊥A 1B (10分)同理可得BB 1⊥A 1C. 又A 1B ∩A 1C ＝A 1，∴BB 1⊥平面A 1BC. (14分) 17． 解：(1) BP ＝t ，CP ＝1－t,0≤t ≤1.∠DAQ ＝45°－θ，DQ ＝tan(45°－θ)＝1－t 1＋t ，CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t .(3分)∴ PQ ＝CP 2＋CQ 2＝(1－t )2＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 2＝1＋t21＋t .(6分)∴ l ＝CP ＋CQ ＋PQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t＝1－t ＋1＋t ＝2.(9分)(2) S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－12(1－t)－122t 1＋t ＝12(1＋t)＋11＋t －1(12分)∵ 1＋t ＞0，∴ S ≥212(1＋t )11＋t－1＝2－1.当t ＝2－1时取等号． 探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少为(2－1)平方百米．(14分)18． (1) 解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得a ＝2，e ＝32.(2分)∴ c ＝3，b ＝1，(2分)∴ 椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，将y ＝12x ＋m 带入椭圆，化简得x 2＋2mx ＋2(m 2－1)＝0，①∴ x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2(m 2－1)，(6分)∴ x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4，∴ P 、Q 两点的横坐标的平方和为定值4.(7分)(3) 解：解法1：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2PQ 中点M ⎝⎛⎭⎫－m ，m 2，PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －32m ，(8分) 圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2满足y ＝－2x －32m ，所以－E 2＝D －32m ，②(9分) 圆过定点(2，0)，所以4＋2D ＋F ＝0，③(10分)圆过P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＋Dx 1＋Ey 1＋F ＝0，x 22＋y 22＋Dx 2＋Ey 2＋F ＝0，两式相加得x 21＋x 22＋y 21＋y 22＋Dx 1＋Dx 2＋Ey 1＋Ey 2＋2F ＝0，x 21＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x 214＋⎝⎛⎭⎫1－x 224＋D(x 1＋x 2)＋E(y 1＋y 2)＋2F ＝0，(11分)∵ y 1＋y 2＝m ，∴ 5－2mD ＋mE ＋2F ＝0. ④(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.由②③④解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52，(13分)代入圆的方程为x 2＋y 2＋3（m －1）4x ＋⎝⎛⎭⎫32m ＋32y －32m －52＝0， 整理得⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2－34x ＋32y －52＋m ⎝⎛⎭⎫34x ＋32y －32＝0，(14分) ∴ ⎩⎨⎧x 2＋y 2－34x ＋32y －52＝0，34x ＋32y －32＝0，(15分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.(舍)∴ 圆过定点(0，1)．(16分)解法2：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将y ＝12x ＋m 代入的圆的方程：54x 2＋⎝⎛⎭⎫m ＋D ＋E 2x ＋m 2＋mE ＋F ＝0. ⑤(8分) 方程①与方程⑤为同解方程.154＝2mm ＋D ＋E 2＝2（m 2－1）m 2＋mE ＋F ，(11分)圆过定点(2，0)，∴ 4＋2D ＋F ＝0.(12分)∵ 动直线y ＝12x ＋m 与椭圆C 交于P 、Q(均不与A 点重合)，∴ m ≠－1.解得D ＝3（m －1）4，E ＝32m ＋32，F ＝－32m －52.(13分)(以下相同)19． (1) 解：∵ a 1＝a 2＝1，∴ b 1＝S 1＋3a 1＝4，b 2＝2S 2＋4a 2＝8，∴ d ＝b 2－b 1＝4.(3分)(2) 解：∵ 数列{b n }是等差数列，∴ b n ＝4n ，∴ nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，即S n ＋n ＋2n a n ＝4. ① 当n ≥2时，S n －1＋n ＋1n －1a n －1＝4. ② ①－②，得(S n －S n －1)＋n ＋2n a n －n ＋1n －1a n －1＝0.∴ a n ＋n ＋2n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即a n a n －1＝12·nn －1.(7分)则a 2a 1＝12·21，a 3a 2＝12·32，…，a n a n －1＝12·n n －1. 将各式相乘得a n a 1＝12n －1·n.∵ a 1＝1，∴ a n ＝n 2n －1.(9分) (3)判断:小于.(10分)证明：∵ S n ＋n ＋2n a n＝4，a n ＞0，S n ＞0，∴ S n ·n ＋2n a n ≤S n ＋n ＋2n an 2＝2.则0＜a n S n ≤4·nn ＋2.(13分)∴ (a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )≤4n ·1×2(n ＋1)(n ＋2). ③(15分)∵ n ＝1时，S n ≠n ＋2n a n， ∴ ③式等号不成立． 则(a 1a 2…a n )·(S 1S 2…S n )＜22n ＋1(n ＋1)(n ＋2).(16分)20． (1) 因为f(x)＝lnx ，所以f ′(x)＝1x，因此f ′(1)＝1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝x －1，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝12x 2－bx ，得x 2－2(b ＋1)x ＋2＝0.由Δ＝4(b ＋1)2－8＝0，得b ＝－1±2.(4分) (2) 因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx(x ＞0)，所以h ′(x)＝1x ＋x －b ＝x 2－bx ＋1x ，由题意知h ′(x)＜0在(0，＋∞)上有解，因为x ＞0，设u(x)＝x 2－bx ＋1，因为u(0)＝1＞0， 则只要⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞0，(－b )2－4＞0，解得b ＞2，所以b 的取值范围是(2，＋∞)．(8分)(3) 不妨设x 1＞x 2，因为函数f(x)＝lnx 在区间[1,2]上是增函数，所以f(x 1)＞f(x 2)，函数g(x)图象的对称轴为x ＝b ，且b ＞1.(ⅰ) 当b ≥2时，函数g(x)在区间[1,2]上是减函数，所以g(x 1)＜g(x 2)， 所以|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－f(x 2)＞g(x 2)－g(x 1)， 即f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)，等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1,2]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1,2]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1,2]上恒成立，所以b ≤2. 又b ≥2，所以b ＝2；(10分)(ⅱ) 当1＜b ＜2时，函数g(x)在区间[1，b]上是减函数，在[b,2]上为增函数．① 当1≤x 2＜x 1≤b 时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)＋g(x 1)＞f(x 2)＋g(x 2)， 等价于h(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx ＋12x 2－bx 在区间[1，b]上是增函数，等价于h ′(x)＝1x＋x －b ≥0在区间[1，b]上恒成立，等价于b ≤x ＋1x 在区间[1，b]上恒成立，所以b ≤2.又1＜b ＜2，所以1＜b ＜2；(12分)② 当b ≤x 2＜x 1≤2时，|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|等价于f(x 1)－g(x 1)＞f(x 2)－g(x 2)， 等价于H(x)＝f(x)－g(x)＝lnx －12x 2＋bx 在区间[b,2]上是增函数，等价于H ′(x)＝1x－x ＋b ≥0在区间[b,2]上恒成立，等价于b ≥x －1x 在区间[b,2]上恒成立，所以b ≥32. 故32≤b ＜2.(14分)③ 当1≤x 2＜b ＜x 1≤2时，由g(x)图象的对称性可知，只要|f(x 1)－f(x 2)|＞|g(x 1)－g(x 2)|对于①②同时成立，那么对于③，则存在t 1∈[1，b]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(t 1)－f(x 2)|＞|g(t 1)－g(x 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立； 或存在t 2∈[b,2]，使|f(x 1)－f(x 2)|＞|f(x 1)－f(t 2)|＞|g(x 1)－g(t 2)|＝|g(x 1)－g(x 2)|恒成立． 因此，32≤b ＜2.综上，b 的取值范围是32≤b ≤2.(16分)附加题（时间30分钟，总分40分）1．解：A T对应的变换矩阵为：1212A ⎤-⎥⎢=⎢⎢⎣， …………………3分 B T 对应的变换矩阵为：0110B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ………………………6分先进行A T 变换，后进行B T 变换的复合变换矩阵是：M=1212BA ⎡⎢⎥=⎥-⎥⎦． ……………………………10分2．解：因为圆心为直线sin()3πρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)， ………………………………2分又圆C 经过点P ，所以圆的半径1r =，……7分从而圆过原点，所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．…………………10分3． 解：(1) 随机变量---------(3分)X 的数学期望E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.(5分)(2) 记3次摸球中，摸到黑球次数大于摸到白球次数为事件A ， 则P(A)＝C 33⎝⎛⎭⎫4103＋C 23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4102·510＋⎝⎛⎭⎫4102·110＋C 13⎝⎛⎭⎫4101·⎝⎛⎭⎫1102＝91250. 所以3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率为91250.(10分)4．解:(1)由抛物线定义知曲线E 的标准方程:y x 212=-------------4分 (2)设)P(a,2a 2,R a ∈,x y 4/=,所以PQ 的斜率为a41-直线2l :)(41a x aa y --=-与22x y =联立得:04822=--+a a x ax 由两根之和得:a a x Q 8182+-=,所以22)818(2a a y Q +=---------------------6分22222)2)818(2()818(a aa a a a PQ -++-+-==116162)116(222+⋅+a a a令11162≥+=a t , 则121PQ 23-=t t 令1)(23-=t t t f , 0)1()3()(2222/=--=t t t t f 得3=t 列表判断知:433≥PQ -----------------------------10。

2017年江苏省南通市如皋市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 设全集，集合，则．2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是．3. 抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字，，，，，），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于”发生的概率为．4. 如图所示的流程图，当输入的值为时，则输出的的值为．5. 已知等差数列的前项的和为，，则．6. 若点位于曲线与所围成的封闭区域内（包含边界），则的最小值为．7. 已知棱长为的正方体中，是棱的中点，则三棱锥的体积为．8. 已知圆过点，且与直线相切于点，则圆的方程为．9. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，是的重心，且，则双曲线的离心率为．10. 已知三角形是单位圆的内接三角形，，过点作的垂线交单位圆于点，则．11. 已知函数，则不等式的解集为．12. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则．13. 已知函数，若在上有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围为．14. 设实数，满足，则的取值范围是．二、解答题（共10小题；共130分）15. 如图，直三棱柱中，，，且是的中点．（1）求证：直线平面；（2）若在线段上，且 平面，求证：是的中点．16. 在中，已知．（1）求角的大小；（2）若，求．17. 如图，矩形公园中，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路（点，分别在边与上），为切点．（1）试求观光道路长度的最大值；（2）公园计划在道路右侧种植草坪，试求草坪面积的最大值．18. 如图，已知为椭圆的左焦点，过点且互相垂直的两条直线分别交椭圆于，及，．（1）求证：为定值；（2）若直线交直线于点，试探究四边形能否为平行四边形，并说明理由．19. 已知函数，．（1）若，求证：在恒成立；（2）讨论的单调性；（3）求证：当时，．20. 已知数列的通项公式为，．（1）在数列中，是否存在连续项成等差数列?若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列中，一定存在满足条件的正整数，，使得，，成等差数列；并求出正整数，之间的关系；（3）在数列中是否存在某项成等差数列?若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．21. 已知，是实数，矩阵所对应的变换将点变成了点．（1）求实数，的值；（2）求矩阵的逆矩阵．22. 已知曲线的极坐标方程为，曲线和曲线关于直线对称，求曲线的极坐标方程．23. 甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选个，同学乙和丙从个课外活动中任选个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设表示参加舞蹈的同学人数，求的分布列及数学期望．24. 已知集合，规定：若集合，则称为集合的一个分拆，当且仅当：，，，时，与为同一分拆，所有不同的分拆种数记为．例如：当，时，集合的所有分拆为：，，，即．（1）求；（2）试用，表示；（3）证明：与同为奇数或者同为偶数（当时，规定）．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.【解析】设，，令代入双曲线的方程，可得，解得，可设，，由重心坐标公式可得；，则，，，由，即，即为，由，可得，解得10.11.12.【解析】将函数的图象向右平移个单位后得到函数，因为对满足的，，有，即两个函数的最大值与最小值的差为时，有，不妨设，则，，若，，此时，解得（舍去）．若，，此时，解得，满足题意．所以的值为．13.14.第二部分15. （1）因为直三棱柱，所以平面，平面，所以．因为，，所以平面，因为平面，所以，因为，且是的中点，所以，因为，所以直线平面．（2）因为 平面，所以，因为是的中点，所以是的中点．16. （1）由，根据三角形内角和定理消去，则由，则有．因为，故得．（2），令，即，因为，所以，则，那么：由，因为，所以，，，故得．17. （1）设，因为点，分别在边与上，所以，则，在中，，在中，，，因为，所以当时，，．答：观光道路长度的最大值为．（2）在中，，由（）可得，，，矩形梯形令，解得：．极大值因为在时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即的最大值．所以当时，．答：草坪面积的最大值为．18. （1）当直线，有一平行于轴时，，当直线，都不平行于轴时，设，，直线，则直线，将直线与椭圆方程联立整理，得，所以，．同理：，所以．综上：．故为定值．（2）假设四边形是平行四边形，即，此时直线，都不平行于轴．由（），得，则，，所以即又，则，所以解得无解．所以四边形不可能是平行四边形．19. （1）当时，设，，所以在恒成立，在上单调递增，所以，所以在恒成立．（2），令，即，，解得：或，①若，此时，在恒成立，所以在单调递增；②若，此时，方程的两根为，且，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；③若，此时，方程的两根为，且，所以在上单调递增；综上，若，在单调递增，若，在，上单调递增，在上单调递减．（3）由（）可知在恒成立，所以在恒成立，下证，即证，设，，，易知在恒成立，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以，即当时，．20. （1）若存在连续的三项，，成等差数列，，则，即：，所以，由于，所以，即．所以当且仅当时，，，成等差数列．（2）若，，成等差数列，则，所以，因为，所以，而，所以，可得，且为大于等于的偶数．（3）由于，不妨设，，，成等差数列，其中．于是，即，所以因为式左边，式右边，所以式无解，故在数列中不存在某项成等差数列．21. （1）由题意，得，，所以．（2）由（），，得矩阵的逆矩阵．22. 由题意：极坐标方程转化为直角坐标方程为：，直线转化为直角坐标方程为，因为曲线和曲线关于直线对称，所以曲线的直角坐标方程为：，由，，，所以曲线极坐标方程为：．23. （1）设表示事件“甲同学选中舞蹈”，表示事件“乙同学选中舞蹈”，表示事件“丙同学选中舞蹈”，则，，．因为事件，，相互独立，所以甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：（2）因为可能的取值为，，，，且取这些值的概率分别为，，，，所以的分布列为：所以的数学期望．24. （1）集合，对于每一个，都有进入或不进入两种可能，而且至少进入其中一个，所以有种进入，的不同方法；同理有种进入，的不同方法；根据分步计数原理，，进入，共有种不同方法，即．（2）因为集合，下面按是否进入分为步求解：第一步：对于每一个，都有进入或不进入两种可能，而且至少进入其中一个，所以有种进入，，，的不同方法；第二步：同理有种进入，，，的不同方法；第步：同理有种进入，，，的不同方法．根据分步计数原理，，，，进入，，，共有种不同方法，即．（3）运用二项式定理将展开可得：，其中，所以其中，所以当为奇数时，为奇数；当为偶数时，也为偶数，即与同为奇数或者同为偶数．第11页（共11 页）。

2016-2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A=｛1，cosθ}，B={,1}，若A=B,则锐角θ=．2．已知幂函数y=f(x)的图象过点（，）,则f（4）的值为．3．若函数是偶函数，则实数a的值为．4．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=．6．已知x，y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上,则P、Q两点间距离的最小值为．8．若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ｜＜）的图象关于坐标原点中心对称，且在y轴右侧的第一个极值点为x=,则函数f（x）的最小正周期为．9．函数f（x）的定义域为R,f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x•f （x）＞e x+1的解集为．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2，则的值为．11．在锐角三角形ABC中，若tanA,tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为．12．已知函数交于M、N两点，则｜MN｜的最大值是．13．已知函数f(x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R,若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则a的取值范围是．14．若实数x,y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时,的值为．二、解答题:本大题共6小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，)，β∈（，π）,cosβ=﹣，sin（α+β）=．(1）求tan的值；(2）求sinα的值．16．在△ABC中，三个内角A，B,C的对边分别为a,b，c,已知==．（1）求C；（2)如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ，求四边形APCB面积S（θ)的解析式及最大值．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图,其中支架OA，OB,OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC,且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比，比例系数为4k，设OA=x，OB=y．（1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求N﹣M的最大值及相应的x的值．18．对于定义域为D的函数y=f（x）,若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b］⊆D，使f（x）在［a，b]上的值域为［a，b］；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．（1)求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间[a，b］；(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f（x)的定义域和值域；（2)设F（x）=•[f2（x）﹣2］+f（x）（a为实数),求F(x）在a＜0时的最大值g（a）;(3）对（2）中g（a），若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1］恒成立，求实数m的取值范围．20．过点P(﹣1，0）作曲线f（x)=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证:x1+x2＜﹣4．附加题：（共4小题，满分0分)21．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．22．在平面直角坐标系xOy中,设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q(y﹣2，y），求．23．已知常数a＞0，函数f(x）=ln(1+ax）﹣．讨论f（x）在区间(0，+∞)上的单调性．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD．（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在,说明理由．2016—2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1．已知集合A={1，cosθ},B={,1},若A=B，则锐角θ=．【考点】集合的相等．【分析】根据集合相等的条件,建立方程关系即可得到结论．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=,故答案为：2．已知幂函数y=f（x)的图象过点（,），则f（4）的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f(x）=xα，根据f（x)的图象过点（，），求得α的值，可得函数f（x）的解析式,从而求得f（4）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（，），∴=，∴α=，∴f（x)=∴f（4)==2,故答案为：2．3．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣)=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（)，即﹣=a，∴a=﹣．故答案为:﹣．4．若函数f（x）=(e为自然对数的底数）是奇函数,则实数m的值为1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解:∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f(1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．5．函数y=的定义域为A，值域为B，则A∩B=［0，2] ．【考点】函数的值域；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】分别求出函数的定义域,和值域,然后利用集合的基本运算求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2﹣2x+8≥0，即x2+2x﹣8≤0,解得﹣4≤x≤2，即函数的定义域A=［﹣4，2]．y==，∵﹣4≤x≤2,∴0≤，即0≤x≤3，即函数的值域B=［0，3］，∴A∩B=［﹣4,2]∩[0，3]=[0，2]．故答案为:［0，2]．6．已知x,y满足且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是．【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义得到最大值和最小值的最优解，得到关于a 方程解之．【解答】解：由已知得到可行域如图:当直线y=﹣2x+z经过C（a,a）时z最小，经过A时z最大，由得到A（1，1）所以4×3a=2×1+1,解得a=；故答案为:．7．已知点P在直线y=2x+1上，点Q在曲线y=x+lnx上,则P、Q两点间距离的最小值为．【考点】两点间距离公式的应用．【分析】设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q(a，b）．利用=1+=2，解得切点为Q（1,1）．利用点到直线的距离公式可得Q到直线y=2x+1的距离d，即为所求．【解答】解：设直线y=2x+t与曲线y=x+lnx相切于点Q（a，b)．则=1+=2，解得a=1，∴b=1，∴切点为Q（1,1）．Q到直线y=2x+1的距离d==．∴P、Q两点间距离的最小值为．故答案为:．8．若函数f(x）=Asin（ωx+φ)（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的图象关于坐标原点中心对称,且在y轴右侧的第一个极值点为x=,则函数f（x）的最小正周期为．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象的特征,正弦函数的奇偶性、最值、周期性，求得函数f （x)的最小正周期．【解答】解：函数f(x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象关于坐标原点中心对称，可得φ=0，∵f（x)在y轴右侧的第一个极值点为x=，∴ω•=，∴ω=，∴函数f(x）=Asin（x），则函数f（x）的最小正周期为=,故答案为:．9．函数f（x)的定义域为R，f（0）=2,对任意x∈R,f(x）+f′（x)＞1，则不等式e x•f(x）＞e x+1的解集为｛x｜x＞0} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】设h（x）=e x f(x）﹣e x﹣1,则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h(x）＞0 的解集．由此利用导数性质能求出不等式e x•f(x）＞e x+1的解集．【解答】解：设h（x）=e x f（x）﹣e x﹣1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集就是h（x）＞0 的解集．h（0）=1×2﹣1﹣1=0，h′（x）=e x[f（x）+f′（x)］﹣e x,∵[f（x）+f′（x）］＞1，∴对于任意x∈R，e x［f（x）+f′（x)］＞e x，∴h'（x）=e x［f（x)+f'(x）]﹣e x＞0即h（x）在实数域内单调递增．∵h（0）=0,∴当x＜0 时，h（x）＜0；当x＞0 时，h（x)＞0．∴不等式e x•f（x）＞e x+1的解集为:｛x|x＞0｝．故答案为:｛x|x＞0｝．10．已知tan（α+β）=1，tan（α﹣β）=2,则的值为1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件求出αβ的正切函数值，然后求解的值．【解答】解：tan(α+β）=1，tan（α﹣β）=2，==，分式同除以cos(α+β)cos(α﹣β）),==1．故答案为：1．11．在锐角三角形ABC中，若tanA，tanB，tanC依次成等差数列，则tanAtanC的值为3．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用等差数列列出关系式，利用三角形的内角和以及两角和的正切函数,化简求解即可．【解答】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π，tanA，tanB，tanC依次成等差数列，∴2tanB=tanA+tanC，∴tan(A+B)=tan(π﹣C）=﹣tanC，又∵tan（A+B)=，∴tanA+tanB=tan(A+B）(1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，∴tanAtanC=3．故答案为：3．12．已知函数交于M、N两点，则｜MN|的最大值是．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用;正弦函数的定义域和值域．【分析】由已知中直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点,表示M、N的距离，根据辅助角公式化为一个正弦型函数的形式，根据正弦型函数的值域,即可得到结果．【解答】解：∵=cosx∵直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，则|MN｜=｜sinx﹣cosx|∴|f(x）﹣g（x)｜=｜sinx﹣cosx｜=|sin（x﹣）｜∵x∈R∴|f（x）﹣g(x）｜∈［0，］故M、N的距离的最大值为故答案为：13．已知函数f(x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R,若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2,则a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a)，从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b(2﹣x+a）=﹣+a﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解:f（x)=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x)=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b(2﹣x+a）,令F（x）=2x﹣1+a﹣b(2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立;②若b=0,则F(x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞)，故a=﹣2;③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=﹣+a﹣ab≥0的解集为[2，+∞）,故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣．14．若实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，则当x+2y取得最大值时，的值为2．【考点】不等式的基本性质．【分析】实数x，y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为：(x+2y）2+（2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ,2xy﹣2=2cosθ，θ∈[0，2π)．则当x+2y取得最大值时，θ=,即可得出．【解答】解:∵实数x,y满足x2﹣4xy+4y2+4x2y2=4，变形为:（x+2y）2+(2xy﹣2）2=8，令x+2y=sinθ,2xy﹣2=2cosθ,θ∈［0，2π）．则当x+2y取得最大值时，θ=,则x+2y=2,2xy﹣2=0，解得x=，y=．=2．故答案为：2．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α∈（0，）,β∈（，π），cosβ=﹣,sin（α+β）=．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）使用二倍角公式用tan表示出cosβ，求出的范围，解方程得出；（2)根据α，β的范围求出sinβ，cos（α+β）,利用差角的正弦函数公式计算．【解答】解:(1）∵,且，∴，解得，∵，∴,∴，∴．（2）∵，，∴，又，故，∴，∴sinα=sin［（α+β)﹣β］=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=．16．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b，c,已知==．（1）求C；（2)如图，设半径为R的圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧上，∠PAB=θ,求四边形APCB面积S（θ)的解析式及最大值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin2A=sin2B，再由角的范围可得A+B=，从而求得C；（2）把三角形ABC的三边用R表示,再由S(θ）=S△ABC +S△APC，代入三角形面积公式化简,然后由θ∈（)求得四边形APCB面积S（θ）的最大值．【解答】解：(1）由=，得=,∴sin2A=sin2B，∵2A,2B∈（0，2π）,∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=，∵,∴A=B舍去,从而C=；(2）由条件得：c=2R，a=R，b=R,∠BAC=，∠CAP=θ﹣,θ∈（），S(θ）=S△ABC +S△APC=====，θ∈（）,∵∈（），∴当时,．17．如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120°，OC=1，AB=OB+OC,且OA＞OB，现设计师在支架OB上装点普通珠宝,普通珠宝的价值为M，且M 与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数)：在△AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与△AOC的面积成正比,比例系数为4k,设OA=x，OB=y．（1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2)求N﹣M的最大值及相应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】(1）根据条件结合余弦定理建立函数关系即可求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;（2）求出N﹣M的表达式，利用换元法结合基本不等式的性质即可求出N﹣M的最大值及相应的x的值．【解答】解：（1）∵OA=x，OB=y，AB=y+1，由余弦定理得x2+y2﹣2xycos120°=（y+1)2，解得y=，由x＞0，y＞0，得1＜x＜2，∵x＞y,∴x＞，得1＜x＜，∴OA的取值范围是(1，）．=3kx,（2）M=kOB=ky,N=4k•S△AOC则N﹣M=k（3x﹣y）=k（3x﹣），设2﹣x=t,则t∈(，1），则N﹣M=k［3（2﹣t）﹣]=k[10﹣（4t+）]≤k（10﹣2）=（10﹣4）k，当且仅当4t=，即t=，x=2﹣时，N﹣M的最大值是）=（10﹣4）k．18．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减;②存在区间［a，b］⊆D,使f(x）在［a，b]上的值域为[a，b];那么把y=f（x）(x∈D）叫闭函数．（1）求闭函数y=﹣x3符合条件②的区间［a，b]；(2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；(3）若是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1)根据单调性依据闭区间的定义等价转化为方程,直接求解．（2）判断其在(0,+∞)是否有单调性，再据闭函数的定义判断；（3）根据闭函数的定义一定存在区间[a,b］，由定义直接转化求解即可．【解答】解：（1）由题意，y=﹣x3在[a，b］上递减,则解得所以，所求的区间为[﹣1，1]；（2）取x1=1，x2=10，则，即f（x）不是（0，+∞）上的减函数．取,,即f（x)不是（0，+∞）上的增函数所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数；（3）若是闭函数，则存在区间［a，b],在区间［a，b］上,函数f(x)的值域为［a，b]，即，∴a，b为方程的两个实数根，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0（x≥﹣2，x≥k）有两个不等的实根当k≤﹣2时,有，解得，当k＞﹣2时，有，无解，综上所述，．19．已知函数f（x）=+．（1）求函数f(x)的定义域和值域;（2）设F（x）=•[f2（x)﹣2]+f（x)(a为实数），求F（x）在a＜0时的最大值g(a）；（3）对（2）中g（a)，若﹣m2+2tm+≤g（a）对a＜0所有的实数a及t∈[﹣1，1］恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】(1)由1+x≥0且1﹣x≥0可求得定义域，先求［f（x）］2的值域，再求f（x）的值域；(2）F（x）=a++，令t=f（x）=+，则=﹣1，由此可转化为关于t的二次函数，按照对称轴t=﹣与t的范围[，2］的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；(3)先由（2）求出函数g（x）的最小值，﹣≤g（a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）恒成立，从而转化为关于t的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由1+x≥0且1﹣x≥0，得﹣1≤x≤1，所以函数的定义域为[﹣1，1]，又[f(x）]2=2+2∈［2，4］，由f（x）≥0,得f（x）∈[，2］,所以函数值域为［,2］；（2）因为F（x)==a++,令t=f（x）=+，则=﹣1，∴F（x）=m（t）=a（﹣1）+t=,t∈[，2]，由题意知g（a)即为函数m（t）=，t∈[，2]的最大值．注意到直线t=﹣是抛物线m（t)=的对称轴．因为a＜0时，函数y=m(t），t∈[，2］的图象是开口向下的抛物线的一段，①若t=﹣∈（0，］，即a≤﹣，则g（a）=m（)=；②若t=﹣∈(，2］，即﹣＜a≤﹣，则g（a)=m（﹣）=﹣a﹣;③若t=﹣∈（2，+∞），即﹣＜a＜0,则g(a）=m（2)=a+2，综上有g(a）=,（3）易得,由﹣≤g(a）对a＜0恒成立，即要使﹣≤g min（a）=恒成立, ⇒m2﹣2tm≥0，令h（t）=﹣2mt+m2，对所有的t∈［﹣1,1]，h（t)≥0成立,只需,解得m的取值范围是m≤﹣2或m=0，或m≥2．20．过点P(﹣1,0）作曲线f（x)=e x的切线l．（1）求切线l的方程；（2）若直线l与曲线y=（a∈R)交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1+x2＜﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(1）求导数，设切点，可得方程组，即可求切线l的方程；（2)设f（x）=(x+1）e x，则f(x1)=f（x2）．f'（x）=（x+2）e x,可得函数f(x）的单调性；设g （x）=f(x）﹣f(﹣4﹣x）,切点其单调性，即可证明结论．【解答】（1）解:y'=e x，设切点（x0，y0)，则，解得x0=0，因此y’|x=0=1，l的方程是y=x+1．…（2）证明：依题意有，所以…设f(x）=（x+1）e x，则f（x1）=f（x2）．f'（x）=（x+2)e x，当x＜﹣2时，f’（x)＜0，当x＞﹣2时，f’（x）＞0；所以f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，在(﹣2,+∞）单调递增．因为x1≠x2，不妨设x1＜﹣2，x2＞﹣2．设g（x）=f(x)﹣f（﹣4﹣x)，则g'（x)=f'（x）+f'（﹣4﹣x)=（x+2）e x（1﹣e﹣2（2+x））,当x＞﹣2时，g'（x）＞0,g（x）在在（﹣2，+∞)单调递增，所以g（x)＞g（﹣2)=0，所以当x＞﹣2时，f（x）＞f（﹣4﹣x）．…因为x2＞﹣2，所以f（x2）＞f（﹣4﹣x2），从而f（x1）＞f(﹣4﹣x2），因为﹣4﹣x2＜﹣2，f（x）在（﹣∞，﹣2）单调递减，所以x1＜﹣4﹣x2,即x1+x2＜﹣4．…附加题：（共4小题，满分0分）21．已知矩阵A=，B=满足AX=B,求矩阵X．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B,得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=22．在平面直角坐标系xOy中,设点P（x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q（y ﹣2,y)，求．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由题意得到，从而求出x，y，再由逆矩阵公式求出矩阵M的逆矩阵，由此能求出．【解答】解：∵点P(x，5）在矩阵M=对应的变换下得到点Q(y﹣2，y），∴依题意，=，即解得由逆矩阵公式知，矩阵M=的逆矩阵，∴==．23．已知常数a＞0，函数f(x)=ln（1+ax)﹣．讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断函数的单调性,注意对a分类讨论．【解答】解：∵f(x）=ln(1+ax）﹣，∴f′（x）=﹣=，∵(1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当0＜a≤1时，由f′(x）=0得x=±，则函数f（x)在（0,)单调递减，在（,+∞)单调递增．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=AD=1，PA⊥平面ABCD．(1）求PB与平面PCD所成角的正弦值;（2)棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在,求AE的长；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）假设存在E符合条件,设，则由∠AEC=90°得，，列出方程，判定方程在［0，1]上是否有解即可得出结论．【解答】解:（1)依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，1）,B（1，0，0），C（1,1，0）,D（0,2，0），从而,，，设平面PCD的法向量为=（a，b,c），即,不妨取c=2，则b=1，a=1，所以平面PCD的一个法向量为=（1，1，2）,此时cos＜，＞==﹣,所以PB与平面PCD所成角的正弦值为；（2）设，则E（0，2λ,1﹣λ)，则,，由∠AEC=90°得，，化简得，5λ2﹣4λ+1=0，该方程无解,所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．2017年1月5日。

2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填写在答题卷相应位置） 1.集合{}1,3A =，{}22,3B a =+，若{}1,2,3AB =，则实数a 的值为 .2. 复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为 .3. 从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，则事件“对数值大于2”的概率为 .4. 甲、乙两个城市2017年夏季连续5天中，每天的最高气温（C ︒）数据如下：则这的城市为 . (5. 在平行四边形ABCD 中，5(,0)2AB =，3(,2)2AD =-，则四边形ABCD 的面积为 .6. 抛物线22(0)y px p =>上一点(A m 到焦点的距离为4，则实数p 的值为 .7. 设变量,x y 满足2402020x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为 .8. 将函数sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，得到函数()y f x =的图象，则2()3f π的值为 .9. 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E ，F ，1F ，1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 .10.“3m =”是“两直线1:320l mx y ++=和2:(2)10l x m y m +-+-=平行”的 条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空) 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:9O x y +=，圆222:(6)16O x y +-=，在圆2O 内存在一定点M ，过M 的直线l 被圆1O ，圆2O 截得的弦分别为AB ，CD ，且34AB CD =，则定点M 的坐标为 .12. 已知点P 是边长为ABC 内切圆上的一点，则PA PB ⋅的取值范围为 .13. 已知,,x y z 均为正数，212x y+=，22x y z xyz ++=，则xyz 的最大值为 . 14. 已知函数21()()2f x x mx x R =++∈，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数2()()g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为 .二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本题满分14分)在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.16.(本题满分14分)如图，在四棱锥E ABCD -中，已知底面ABCD 为平行四边形，AE BC ⊥，三角形BCE 为锐角三角形，面AEB ⊥面BCE ，设F 为CE 的中点. 求证： (1) //AE 面BDF ； (2) AE ⊥面BCE .17.(本题满分14分)已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数.当0x <时，()ln()f x x x =-+.(1) 求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程；(2) 若关于x 的不等式()1f x a x ≤+恒成立,求实数a 的取值范围.18.(本题满分16分)在某城市街道上一侧路边边缘1l 某处安装路灯，路宽OD为AB 长4米，且与灯柱OA 成120︒角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC 与灯的边缘光线(如图BM ，BN )都成30︒角，当灯罩轴线BC 与灯杆AB 垂直时，灯罩轴线正好通过OD 的中点.（1）求灯柱OA 的高h 为多少米; （2）设ABC θ∠=，且5122ππθ≤≤，求灯所照射路面宽度MN 的最小值.19.(本题满分16分)C ABOM N Dl 1l 2在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于点A ，B （A在x 轴上方），且AB =.设点A 在x 轴上的射影为N ，三角形ABN 的面积为2（如图1）.（1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q .①求证：直线OQ 的斜率为定值；②设直线OQ 与椭圆相交于两点C ，D （D 在x 轴上方），点P 为椭圆上异于A ，B ，C ，D 一点，直线PA 交CD 于点E ，PC 交AB 于点F ，如图2，求证：AF CE ⋅为定值.20.(本题满分16分) 已知函数()1xxf x ax e =-+. （1）当1a =时，求()y f x =在[]1,1x ∈-上的值域； （2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）数学 Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-2：矩阵变换]（本小题满分10分）已知曲线x y 22=，先将曲线C 作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点顺时针旋转90。

2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A=．2．（5分）复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．3．（5分）抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．4．（5分）如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为．5．（5分）已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=．6．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为．7．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．8．（5分）已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为．9．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．10．（5分）已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．11．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为．12．（5分）将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．13．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．14．（5分）设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证：+为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1，+1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A={3} ．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x∈N}，∴∁U A={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．4．（5分）如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．（5分）已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=13．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为﹣5．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．【分析】三棱锥A 1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．8．（5分）已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．9．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得x G==c；y G=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．（5分）已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为（﹣2，1）．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤﹣．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，可得f′（x）=x（e x﹣2a），令x（e x﹣2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f （0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．14．（5分）设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cos C+（cos A﹣sin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cos（A+B）+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣sinA cosB=sinA sinB﹣sinA cosB=0；由sin A＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABC ﹣S梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣，在Rt△DOE中，DE=tan，在Rt△DOF中，DF=tan（﹣）==，EF=DE+DF=tan+=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cos]min=，EF max=2；（2）在Rt△DOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC=2+（0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜，），因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，S max=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证：+为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+=，当直线AB、CD 都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k （x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…（5分）同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．【分析】（1）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，判断h（x）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2e x﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣，h′（x）=﹣=，所以h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，所以f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x）=，令h′（x）=0，即x2﹣2（a﹣1）x+1=0，△=4（a﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a≤2，此时△≤0，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h（x）在（0，+∞）单调递增；②若a＞2，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1=（a﹣1）±，且x1，2＞0，，2所以h（x）在（0，a﹣1﹣）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减，在（a﹣1+，+∞）上单调递增；③若a＜0，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1=（a﹣1）±，且x1，2＜0，，2所以h（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a≤2，h（x）在（0，+∞）单调递增，若a＞2，h（x）在（0，a﹣1﹣），（a﹣1+，+∞）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx＞在（1，+∞）恒成立，所以f（x+1）=ln（x+1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2e x﹣x2﹣2x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，φ′（x）=2e x﹣2x﹣2，φ′′（x）=2e x﹣2，易知φ″（x）＞0在（0，+∞）恒成立，所以φ′（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ′（x）=2e x﹣2x﹣2＞φ′（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ（x）＞φ（0）=0，所以＞，即当x＞0时，f（x+1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【分析】（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，代入化简即可得出．（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t ﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，a k，a k+1，a k+2成等差数列…（4分）（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{a n}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1，+1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C 表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P （B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为：∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n==[（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个A j（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），下面按a i（i=1，2，…，n）是否进入A j（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个A j（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个A j（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…第n步：同理a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法．根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴=[（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）n n，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）n m为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）n m也为偶数，即f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查f n（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

第1页，总20页江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题（题型注释）1.集合{}1,3A =， {}22,3B a =+，若{}1,2,3A B ⋃=，则实数a 的值为_______. 2.复数()()21z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为_______.3.从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，则事件“对数值大于2”的概率为_______.4.甲、乙两个城市2017年夏季连续5天中，每天的最高气温（C ︒）数据如下：则这5 天中，每天最高气温较为稳定(方差较小)的城市为_______. (填甲或乙). 5.在平行四边形ABCD 中， 5,02AB ⎛⎫=⎪⎝⎭， 3,22AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则四边形ABCD 的面积为_______. 6.抛物线22(0)y px p =>上一点(A m 到焦点的距离为4，则实数p 的值为_______.7.设变量,x y 满足240{20 20x y x y y +-≥--≤-≤，则3z x y =+的最小值为_______.答案第2页，总20页订…………○…………内※※答※※题※※订…………○…………8.将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，得到函数()y f x =的图象，则23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为_______.9.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E ，F ，F 1，E 1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为_______.10.“3m =”是“两直线1:320l mx y ++=和()2:210l x m y m +-+-=平行”的_______条件．(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空)11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:9O x y +=，圆()222:616O x y +-=，在圆2O 内存在一定点M ，过M 的直线l 被圆1O ，圆2O 截得的弦分别为AB ， CD ，且34AB CD =，则定点M 的坐标为_______.12.已知点P 是边长为ABC 内切圆上的一点，则PA PB ⋅的取值范围为_______. 13.已知,,x y z 均为正数，212x y+=， 22x y z xyz ++=，则xyz 的最小值为_______. 14.已知函数()()212f x x mx x R =++∈，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______.二、解答题（题型注释）15.在ABC ∆中， CA CB CA CB +=-.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.16.如图，在四棱锥E ABCD -中，已知底面ABCD 为平行四边形， AE BC ⊥，三角形BCE 为锐角三角形，面AEB ⊥面BCE ，设F 为CE 的中点. 求证： (1) //AE 面BDF ； (2) AE ⊥面BCE .第3页，总20页……○…………装…………○…线…………○…学校:___________姓名：___________班……○…………装…………○…线…………○…17.已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数.当0x <时， ()()ln f x x x =-+. (1) 求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；(2) 若关于x 的不等式()1f x a x ≤+恒成立,求实数a 的取值范围.18.在某城市街道上一侧路边边缘1l 某处安装路灯，路宽OD 为灯杆AB 长4米，且与灯柱OA 成120︒角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC 与灯的边缘光线(如图BM ， BN )都成30︒角，当灯罩轴线BC 与灯杆AB 垂直时，灯罩轴线正好通过OD 的中点．（I ）求灯柱OA 的高h 为多少米; （II ）设ABC θ∠=，且5122ππθ≤≤，求灯所照射路面宽度MN 的最小值．19.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于点A ， B ，A 在x 轴上方），且3AB =.设点A 在x 轴上的射影为N ，三角形ABN 的面积为2（如图1）. ，1）求椭圆的方程；（2）设平行于AB 的直线与椭圆相交，其弦的中点为Q .答案第4页，总20页…………○…………线※※答※※题※※…………○…………线①求证：直线OQ 的斜率为定值；②设直线OQ 与椭圆相交于两点C ， D ，D 在x 轴上方），点P 为椭圆上异于A ， B ， C ， D 一点，直线PA 交CD 于点E ， PC 交AB 于点F ，如图2，求证： AF CE ⋅为定值.20.已知函数()1x xf x ax e=-+. （1）当1a =时，求()y f x =在[]1,1x ∈-上的值域； （2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.21.已知曲线22y x =，先将曲线C 作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点顺时针旋转90。

江苏省如皋中学2017-2018学年高三第一学期第一次月考数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置 1已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1,21,cos ,1B A θ，若B A =，则锐角θ= .2.已知幂函数()f x的图像过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()4f = .3.若函数()()ππ()sin 44f x a x x =+-是偶函数，则实数a 的值为 ．4.若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ．5.函数y =A ，值域为B ，则A ∩B = .6.已知x ，y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 ．7.已知点P 在直线21y x =+上，点Q 在曲线ln y x x =+上，则P 、Q 两点间距离的最小值为 ．8.若函数()sin()f x A x ωϕ=+(0 0 )A ωϕπ>><，，的图象关于坐标原点中心对称，且在y 轴右侧的第一个极值点为x π=3，则函数()f x 的最小正周期为 ．9.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为________．10.已知tan()1αβ+=，tan()2αβ-=，则sin 2αβ的值为 ．11.在锐角△ABC 中，若tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则tan tan A C 的值为 ．12.已知函数()sin f x x =，()sin 2g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线x m =与()f x 、()g x 的图像分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值是 ．13.已知函数()12x f x a -=+，()()1g x bf x =-，其中a ，R b ∈，若关于x 的不等式()()f x g x ≥的解的最小值为2，则a 的取值范围是 ．14.若实数x ，y 满足22224444x xy y x y -++=，则当2x y +取得最大值时，xy的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=．（1）求tan 2β的值；（2）求sin α的值．16.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A cos B ＝ba ＝3．（1）求C ；（2）如图，设半径为R 的圆O 过A ，B ，C 三点，点P 位于劣弧⌒AC 上，∠PAB ＝θ，求四边形APCB 面积S (θ)的解析式及 最大值．18.如图是某设计师设计的Y 型饰品的平面图，其中支架OA ，OB ，C O 两两成120，C 1O =，C AB =OB +O ，且OA >OB ．现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为k （k 为正常数）；在C ∆AO 区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N ，且N 与C ∆AO 的面积成正比，比例系数为．设x OA =，y OB =．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （2）求N -M 的最大值及相应的x 的值．PABC O18.对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件： ①)(x f 在D 内具有单调性； ②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在[b a ,]上的值域为[b a ,]；那么称)(x f y =(D x ∈)为闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间[b a ,]； （Ⅱ）判断函数31()(0)4f x x x x =+>是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若函数2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．19.已知函数 ()f x（1）求函数()f x 的定义域和值域； （2）设2()()2()2a F x f x f x ⎡⎤=⋅-+⎣⎦（a 为实数），求()F x 在0<a 时的最大值()g a ；（3）对（2）中)(a g ，若22()m tm g a -++对0<a 所有的实数a 及[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围。

江苏省南通市2017年高考一模数学试卷答 案1．2π3 2．{135},, 3．3- 4．0.17 5．5 6．7 7．20 8．32910．1322111213．(,2)(2,)-∞-+∞14．15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+∙∠-，所以，2222221135cos 22115OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===⨯⨯， 即3cos 5β=． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，∴4sin 5β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α===．所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+1235456sin 13513565β=⨯+⨯=， 即点3356(,)6565B -．16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA ．…4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线//PA 平面BDE ．…6分（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P =，所以OE ⊥平面PCD ．…12分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．17．解：（1）由题意得，c a =，21a c c -=，…2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．…4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以．…6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积2•2S PN MN m ==．…5分 （2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,()30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>*⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ+=--=-+…12分66≤-- 当且仅当3tan tan θθ=，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．…16分 解法二：设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =t BP -．所以2132(3)t BP t -=-，213333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分由22361302(3)13302(3)t t t tt t ⎧⎪<<⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪-⎪-+>-⎪⎩得236()12310t t t t <<⎧⎪>*⎨⎪-+<⎩ 所以四边形MNPE 面积为22111333067()[(3)(6)]2222(3)2(3t)t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-⨯=--…12分326[(3)]623t t =--+≤--．当且仅当32(3)23t t -=-，即33t ==+时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当点E 距B点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-2．…16分．19．解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)'()144x x f x x x x+-=--=，0x (＞)．…2分令'()0f x =，得2x =，当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞，所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1(2)ln 22f =--．…4分（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121'()21ax x f x ax x x--=--=，0x >．所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<，函数f x ()在0+∞(,)上单调递减，所以当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点．…6分因为当10a ≤≤-时，110f a =()-＜，221()0e e af e e-+=>， 所以当10a ≤≤-时，函数f x ()在0+∞(,)上有零点． 综上，当10a ≤≤-时，函数f x ()有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点． 因为函数f x ()有两个零点，所以0a ＞…9分由2ln f x ax x x =()--，得221'()ax x f x x--=，(0)x >，令221g x ax x =()--．因为010g =()-＜，20a ＞，所以函数g x ()在0+∞(,)上只有一个零点，设为0x ．当00x x ∈(,)时，0g x ()＜，'0f x ()＜；当0x x ∈+∞(,)时，0g x ()＞，'0f x ()＞． 所以函数f x ()在00x (,)上单调递减；在0x +∞(,)上单调递增． 要使得函数f x ()在0+∞(,)上有两个零点，只需要函数f x ()的极小值00f x ()＜，即2000ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +-＞， 又因为函数2ln 1h x x x =+()-在0+∞(,)上是增函数，且10h =()， 所以01x ＞，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a ＜＜．…13分 以下验证当01a ＜＜时，函数f x ()有两个零点． 当01a ＜＜时，21211()10a ag a a a a -=--=>， 所以011x a<<．因为22211()10a e e af e e e e-+=-+=>，且00f x ()＜． 所以函数f x ()在01(,)x e上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--≥--=>（因为ln 1x x ≤﹣），且00f x ()＜．所以函数f x ()在02(,)x a上有一个零点．所以当01a ＜＜时，函数f x ()在12(,)e a内有两个零点． 综上，实数a 的取值范围为01(，)．…16分 下面证明：ln 1x x ≤-． 设1ln t x x x =()--，所以11'()1x t x x x-=-=，0x (＞)． 令'0t x =()，得1x =．当01x ∈(,)时，'0t x ()＜；当1x ∈+∞(,)时，'0t x ()＞． 所以函数t x ()在01(,)上单调递减，在1+∞(,)上单调递增． 所以当1x =时，t x ()有最小值10t =()． 所以1ln 0t x x x =≥()--，得ln 1x x ≤-成立．20．解：（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+，…2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．…4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+．因为2213k k k =，所以121321322a k k k d k k k =(--)(--)．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．…6分 当11a d=时，11n a a n d nd =+=(-)，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．…8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，111n a a n d na =+=(-)．因为对于任意*n N ∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a qk q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n n n k q qna k q k q --+<<=+恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数01εε(＜＜)，总存在正整数1n ，使得11n n q ε<． 要证11n n q ε<，即证11ln ln ln n n q ε+＜． 因为11ln 2x x x e ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取01n =+，则当10n n ＞时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2+∞,)．…16分 21．解：设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得••CA CB CD CE =， 所以213?22x x x ⨯==，所以2x =．…2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥．因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…6分又因为2CE x ==所以OCE ∆的面积1122S OH CE ==⨯=10分． 22．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩…4分 因为点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)， 所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以33a b c d +=⎧⎨+=⎩…8分 解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…10分．23．解：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4R θρ=∈的直角坐标方程为y x =①，…3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +=-②．…6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩…8分所以00A(,)，22B (,)，所以直线π()4R θρ=∈被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =．…10分．24．解：3sin 3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，…8分 所以5max y =，此时3sin 5x =．所以函数3sin y x =+5．…10分．25．解：以1{,,}AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为(1,2,2)AP =，(2,0,1)AQ =，所以cos ,15APAQ AP AQ AP AQ===．所以AP 与AQ ．…4分 （2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为z n x y =(,,)，则00n AP n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以222n λλ=(,-,-)．…6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒， 所以111cos ,2n AA n AA n AA ==， 可得2540λλ=-，又因为0λ≠，所以45λ=．…10分．26．解：（1）抛物线220x py p =(＞)的准线方程为2py =， 因为1M m (,)，由抛物线定义，知12pMF =+， 所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．…3分（2）因为214y x =，所以1'2y x =． 设点2(,)4t E t ，0t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，01F (,)，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =-，即20x ty t +=-． 则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为d ==5分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(2t 16)0t y y t -++=． 因为224221646440t t t =+=+△()-()＞，所以1y =，2y = 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=．…7分 所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)'()(24)x g x x x+=-．因为x ∈时，'0g x ()＜ ，所以g x ()在)x ∈+∞上，'0g x ()＞，所以g x ()在)+∞上单调递增．所以当x时，32min()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．15．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．16．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．17．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．19．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x ﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．20．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．22．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．24．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．25．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．26．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．。

2017-2018学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= ．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= ．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为．6．若“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假，则实数m的取值范围是．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c的值为．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= ．13．已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f（）sinx的解集为．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．2014-2015学年江苏省南通市如皋中学高三（上）调研数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、填空题1．已知复数z=，则该复数的虚部为 1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i+1，其虚部为：1．故答案为：1．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．已知集合A={1，3，m+1}，B={1，m}，A∪B=A，则m= 3 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由两集合的并集为A，得到B为A的子集，可得出m=3或m=m+1，即可求出m的值．解答：解：∵A∪B=A，∴B⊆A，∴m=3或m=m+1，解得：m=3．故答案为：3．点评：此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型．3．已知=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣），则实数λ= 9 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由于向量的模的公式和数量积的坐标表示，求出向量a，b的模和数量积，再由由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，代入即可得到答案．解答：解：由于=（3，3），=（1，﹣1），则||=3，||=，=3﹣3=0，由（+λ）⊥（﹣），则（+λ）•（﹣）=0，即有2﹣2+（λ﹣1）=0，即有18﹣2λ=0，解得λ=9．故答案为：9．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和性质，考查两向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．4．已知角α的终边经过点P（x，﹣6），且cosα=﹣，则x= ﹣8 ．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值．解答：解：由题意可得cosα=﹣=，求得x=﹣8，故答案为：﹣8．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．函数函数y=是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则整数a的取值为 1 ．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由题设条件知a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．解答：解：根据题意，则a2﹣2a﹣3＜0，且为偶数，由（a+1）（a﹣3）＜0，得﹣1＜a＜3，所以，a的值为1．故答案为：1．点评：本题考查函数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意偶函数的灵活运用．6．若“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假，则实数m的取值范围是[4，+∞）．考点：特称．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：本题先利用原是假，则的否定是真，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论．解答：解：∵“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”，∴“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”的否定是“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”．∵“∃x∈R，使得x2+4x+m＜0”是假，∴“∀x∈R，使得x2+4x+m≥0”是真．∴方程x2+4x+m=0根的判别式：△=42﹣4m≤0．∴m≥4．故答案为：[4，+∞）．点评：本题考查了的否定、二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题．7．若实数x，y满足，则z=x2+y2的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义求最值．解答：解：设z=x2+y2，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知点A（3，4）到原点的距离最大，最大值为：5．原点到直线X+y=1的距离最小，最小值所以z=x2+y2的最大值为z=25．最小值为．x2+y2的取值范围是．故答案为：点评：本题主要考查点到直线的距离公式，以及简单线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决线性规划内容的基本方法，利用数形结合是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递增区间解答：解：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2π，又∵ω＞0∴ω=1故f（x）=2sin（x+），由2k⇒﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z故答案为：[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象和性质，属于中档题．9．已知奇函数f（x）=，则g（﹣3）的值为﹣7 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件利用奇函数的性质得f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，从而g（﹣3）=﹣f（3）=﹣23+1=﹣7．解答：解：∵奇函数f（x）=，∴f（0）=1+a=0，解得a=﹣1，∴g（﹣3）=﹣f（3）=﹣23+1=﹣7．故答案为：7．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．10．曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，其中m，n，c∈R，则m+n+c的值为 5 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可得到结论．解答：解：∵曲线y=x3+mx+c在点P（1，n）处的切线方程为y=2x+1，∴n=2+1=3，函数的f（x）的导数f′（x）=3x2+m，且f′（1）=3+m=2，解得m=﹣1，切点P（1，3）在曲线上，则1﹣1+c=3，解得c=3，故m+n+c=﹣1+3+3=5，故答案为：5点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．11．已知f（x）=log4（x﹣2），若实数m，n满足f（m）+f（2n）=1，则m+n的最小值是3+2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质可得：＞2，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵f（m）+f（2n）=1，∴log4（m﹣2）+log4（2n﹣2）=1，且m＞2，n＞1．化为（m﹣2）（2n﹣2）=4，即mn=2n+m．∴＞2，∴m+n=n+=n﹣1++3≥+3=2+3，当且仅当n=1+，m=2+时取等号．∴m+n的最小值是3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．12．若点P是△ABC的外心，且，∠C=60°，则实数λ= 1 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，利用点P是△ABC的外心，∠C=60°得出|+||+2||•||COS ∠APB=λ2||，从而求出λ的值．解答：解：如图示：，∵，∴+=﹣λ，∴=λ2，∴||+||+2||•||COS∠APB=λ2||，又∵点P是△ABC的外心，∠C=60°，∴||=||=||=R，∠APB=120°，∴R2+R2+2•R•R•（﹣）=λ2R2，∴λ2=1，∵，∴λ=1，故答案为：1．点评：本题考查了向量的运算和三角形外心的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．13．（3分）（2014秋•如皋市校级月考）已知定义在（0，）上的函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意x∈（0，），都有f′（x）sinx＜f（x）cosx，则不等式f（x）＜2f （）sinx的解集为（，）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：根据条件，构造函数g（x）=，求函数的导数，利用导数即可求出不等式的解集．解答：解：由f′（x）sinx＜f（x）cosx，则f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，构造函数g（x）=，则g′（x）=，当x∈（0，）时，g′（x）=＜0，即函数g（x）在（0，）上单调递减，则不等式式f（x）＜2f（）sinx等价为式＜=，即g（x）＜g（），则＜x＜，故不等式的解集为（，），故答案为：（，）点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．14．已知函数f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：通过对x与a的关系分类讨论，画出图象，路其周期性即可得出．解答：解：∵当x＞0时，f（x）=|x﹣a2|+|x﹣3a2|﹣4a2．∴当0＜x≤a2时，f（x）=a2﹣x+3a2﹣x﹣4a2=﹣2x；当a2＜x≤3a2时，f（x）=x﹣a2+3a2﹣x﹣4a2=﹣2a2；当x＞3a2时，f（x）=x﹣a2+x﹣3a2﹣4a2=2x﹣8a2．画出其图象如下：由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．∵∀x∈R，f（x+2）≥f（x），∴8a2≤2，解得a∈[﹣12，12]．点评：本题考查了函数的奇偶性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题15．若△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c（1）若sin（A+）=，求sin（2A﹣）的值；（2）cosA=，b=3c，求sinC的值．考点：余弦定理的应用；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（1）由sin（A+）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2A+）的值，再利用诱导公式即可求出所求式子的值；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosA，b=3c代入表示出a，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可．解答：解：（1）∵sin（A+）=，∴cos（2A+）=1﹣2sin2（A+）=，则sin（2A﹣）=sin（2A+﹣）=﹣cos（2A+）=﹣；（2）∵cosA=，b=3c，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=9c2+c2﹣2c2=8c2，∴a2+c2=b2，即B为直角，则sinC==．点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．在△ABC中，已知P为线段AB上的一点，=3．（1）若=x+y，求x，y的值；（2）已知||=4，||=2，且•=﹣9，求与的夹角．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：（1）据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，结合已知条件以及平面向量基本定理求出x，y的值．（2）由条件利用向量数量积的定义求得cosθ的值，可得与的夹角θ的值．解答：解：（1）∵=3，由题意可得=+=+=+（﹣）=+，再根据=x+y，∴x=，y=．（2）∵已知||=4，||=2，且•=﹣9=4×2×cosθ（θ为与的夹角），∴cosθ=，可得θ=60°，即求与的夹角为60°．点评：本题考查向量的加法、减法的运算法则，两个向量的数量积的定义及其运算律，根据三角函数的值求角，属于基础题．17．已知关于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．考点：一元二次不等式的解法．专题：分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（1）根据不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集与对应方程之间的关系，求出a的值；（2）讨论a的取值，求出对应不等式的解集来．解答：解：（1）∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集为，∴方程（ax﹣1）（x+1）=0的两根是﹣1，﹣；∴﹣a﹣1=0，∴a=﹣2；（2）∵（ax﹣1）（x+1）＞0，∴a＜0时，不等式可化为（x﹣）（x+1）＜0；若a＜﹣1，则＞﹣1，解得﹣1＜x＜；若a=﹣1，则=﹣1，解得不等式为∅；若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，解得＜x＜﹣1；a=0时，不等式为﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；当a＞0时，不等式为（x﹣）（x+1）＞0，∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞；综上，a＜﹣1时，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}；a=﹣1时，不等式的解集为∅；﹣1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜﹣1}；a=0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞}．点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论思想，是中档题．18．设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．（2）设函数在区间[﹣4，4]上的最大值为g（a）的表达式．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设﹣3≤x＜0、x＜﹣3，利用已知函数的解析式，即可求得结论；（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；解答：解：（1）令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）=，（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，而函数f（x）恒过点（2，0），当a≤2时，f（x）在[0，1]和[2，4]上单调递增，在[1，2]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得a≤，函数的最大值为f（4），当a＞2时，f（x）在[0，1]和[，4]上单调递增，在[1，]上单调递减，如图所示故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8﹣2a，当f（4）≥f（1）时，即8﹣2a≥1时，解得2＜a≤，函数的最大值为f（4），当f（4）＜f（1）时，即8﹣2a＜1时，解得a＞，函数的最大值为f（1），综上所述g（a）=点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．19．某公司为了公司周年庆典，现将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高为8+8m，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行装饰，有两种方法：（1）如图1，设柱子CD与墙面AB相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，形成一个直线型的灯带（图1中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？（2）如图2，设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面F处，再将灯带拉直依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的灯带（图2中虚线所示）．则BE多长时灯带最短？考点：解三角形的实际应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中和△CME中，分别用θ表示出CF和CE，即可列出l与θ的关系式，利用导数求出函数的最值，即可求得答案；（2）求出灯带长L，求导数，即可求得答案．解答：解：（1））设∠EFD=θ，EF=l，过C作CM⊥AB于点M，在△CFD中，CF=，在△CME中，CE=，∴l=+，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴l′=﹣+=0，可得tanθ=2此时BE=10米时，钢丝绳最短；（2）在△CFD中，CF=，FD=，在△CME中，CE=，EM=8tanθ∴灯带长L=+++8tanθ+16，θ∈（0，α]，其中α是锐角且tanα=8．∴L′=0，可得tanθ=1此时BE=16米时，钢丝绳最短．点评：本题考查了函数在生产生活中应用，关键是寻找到合适的变量建立数学模型，利用数学的相关知识求解函数的最值．本题主要是应用函数的导数求解函数的最值，导数是求函数最值的通法．属于中档题．20．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=的极值点个数．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），求导y'=lnx+x=lnx+1，由导数的正负确定函数的单调区间；（2）化简F（x）==（x＞0且x≠1），求导并令导数为0，化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）可得|a|＜1，故不成立，故当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．解答：解：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），y'=lnx+x=lnx+1，又∵当x=时，y'=0，则函数y=f（x）•g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）F（x）==（x＞0且x≠1），则令F'（x）==0，即，即（x+a）ln（x+a）﹣xlnx=0，若方程有解，可化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）知，y=xlnx在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；故在（0，）上，y＜0，在（，1）上，y＜0，在（1，+∞）上，y＞0，故|x+a﹣x|=|a|＜1，则方程也解，即不存在x，使F'（x）=0成立；即，当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．点评：本题考查了导数的综合应用，导数的正负可判断函数的单调性，可导时，存在零点的必要条件是导数为0；从而判断零点的个数，属于难题．。

2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A=．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f 2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A={3} ．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A 的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x ∈N}，∴∁U A={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=13．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B 的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F 1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得x G==c；y G=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为（﹣2，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，可得f′（x）=x（e x﹣2a），令x（e x﹣2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f （0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a ＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2017•如皋市一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC 1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•如皋市一模）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cos C+（cos A﹣sin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cos（A+B）+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣sinA cosB=sinA sinB﹣sinA cosB=0；由sin A＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．17．（15分）（2017•如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABC ﹣S梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=θ，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣，在Rt△DOE中，DE=tanθ，在Rt△DOF中，DF=tan（﹣）==，EF=DE+DF=tanθ+=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cosθ]min=，EF max=2；（2）在Rt△DOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC=2+（0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜，θ（0，）（，）S’+0﹣S↗极大值↘因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，S max=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．18．（15分）（2017•如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时， +=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．19．（16分）（2017•如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，判断h（x）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2e x﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣，h′（x）=﹣=，所以h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，所以f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x）=，令h′（x）=0，即x2﹣2（a﹣1）x+1=0，△=4（a﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a≤2，此时△≤0，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h（x）在（0，+∞）单调递增；②若a＞2，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1，2=（a﹣1）±，且x1，2＞0，所以h（x）在（0，a﹣1﹣）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减，在（a﹣1+，+∞）上单调递增；③若a＜0，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1，2=（a﹣1）±，且x1，2＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a≤2，h（x）在（0，+∞）单调递增，若a＞2，h（x）在（0，a﹣1﹣），（a﹣1+，+∞）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx＞在（1，+∞）恒成立，所以f（x+1）=ln（x+1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2e x﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2e x﹣x2﹣2x﹣2，φ′（x）=2e x﹣2x﹣2，φ′′（x）=2e x﹣2，易知φ″（x）＞0在（0，+∞）恒成立，所以φ′（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ′（x）=2e x﹣2x﹣2＞φ′（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ（x）＞φ（0）=0，所以＞，即当x＞0时，f（x+1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2017•如皋市一模）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的通项公式．【分析】（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，代入化简即可得出．（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t ﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，a k，a k+1，a k+2成等差数列…（4分）（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{a n}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题21．（10分）（2017•如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．22．（10分）（2017•如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．23．（10分）（2017•如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为：X0123P∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．24．（10分）（2017•如皋市一模）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）【考点】集合的表示法．【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n== [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个A j（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），下面按a i（i=1，2，…，n）是否进入A j（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个A j（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个A j（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…第n步：同理a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法．根据分步计数原理，a 1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴= [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）n n，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）n m为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）n m也为偶数，即f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查f n（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A=．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）2017年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁U A={3} ．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A 的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x ∈N}，∴∁U A={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为30．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题．5．已知等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，则a14=13．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{a n}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得x G==c；y G=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为（﹣2，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．13．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为a≤﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2，可得f′（x）=x（e x﹣2a），令x（e x﹣2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f （0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是．【考点】基本不等式．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2017•如皋市一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•如皋市一模）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cos C+（cos A﹣sin A）cos B=0，根据三角形内角和定理消去C，则cos C+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cos（A+B）+（cos A﹣sin A）cos B=﹣cosA cosB+sinA sinB+cosA cosB﹣sinA cosB=sinA sinB﹣sinA cosB=0；由sin A＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．17．（15分）（2017•如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABC ﹣S梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣，在Rt△DOE中，DE=tan，在Rt△DOF中，DF=tan（﹣）==，EF=DE+DF=tan+=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cos]min=，EF max=2；（2）在Rt△DOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC=2+（0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜，）因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，S max=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．18．（15分）（2017•如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证： +为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时， +=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB 与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．19．（16分）（2017•如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R ）．（1）若a=2，求证：f （x ）＞g （x ）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h （x ）=f （x ）﹣g （x ）的单调性；（3）求证：当x ＞0时，f （x +1）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设h （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h （x ）的导数，通过讨论a 的范围，判断h （x ）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2e x ﹣2x 2﹣x ﹣2＞0，设φ（x ）=2e x ﹣x 2﹣2x ﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=lnx ﹣，h′（x ）=﹣=， 所以h′（x ）＞0在（1，+∞）恒成立，h （x ）在（1，+∞）上单调递增，所以h （x ）＞h （1）=0，所以f （x ）＞g （x ）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x ）=，令h′（x ）=0，即x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0，△=4（a ﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a ≤2，此时△≤0，h′（x ）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h （x ）在（0，+∞）单调递增；②若a ＞2，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＞0，所以h （x ）在（0，a ﹣1﹣）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减，在（a ﹣1+，+∞）上单调递增；③若a ＜0，此时△＞0，方程x 2﹣2（a ﹣1）x +1=0的两根为x 1，2=（a ﹣1）±，且x 1，2＜0， 所以h （x ）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a ≤2，h （x ）在（0，+∞）单调递增，若a ＞2，h （x ）在（0，a ﹣1﹣），（a ﹣1+，+∞）上单调递增，在（a ﹣1﹣，a ﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx ＞在（1，+∞）恒成立，所以f （x +1）=ln （x +1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2e x ﹣2x 2﹣x ﹣2＞0，设φ（x ）=2e x ﹣x 2﹣2x ﹣2，φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2，φ′′（x ）=2e x ﹣2， 易知φ″（x ）＞0在（0，+∞）恒成立，所以φ′（x ）在（0，+∞）单调递增，所以φ′（x ）=2e x ﹣2x ﹣2＞φ′（0）=0，所以φ（x ）在（0，+∞）单调递增，所以φ（x ）＞φ（0）=0，所以＞，即当x ＞0时，f （x +1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（16分）（2017•如皋市一模）已知数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣（﹣1）n ，n ∈N *．（1）在数列{a n}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{a n}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、a r、a s成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{a n}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的通项公式．【分析】（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，代入化简即可得出．（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t ﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项a k，a k+1，a k+2成等差数列，k∈N*，则2a k+1=a k+a k+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，a k，a k+1，a k+2成等差数列…（4分）（2）若a1，a r，a s成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于a n+1﹣a n=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设a q，a r，a s，a t成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是a q+a t=a r+a s，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{a n}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．附加题21．（10分）（2017•如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1， +1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．22．（10分）（2017•如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．23．（10分）（2017•如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为：∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．24．（10分）（2017•如皋市一模）已知集合A={a1，a2，…a n}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，A m}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…A m=B m时，{A1，A2，…，A m}与{B1，B2，…，B m}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为f n（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示f n（m）；（3）证明：f n（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定f n（1）=1）【考点】集合的表示法．【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n== [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个A j（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个A j（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪A m=A（m≥2，m∈N*），下面按a i（i=1，2，…，n）是否进入A j（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个A j（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个A j（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法；…第n步：同理a n有2m﹣1种进入A1，A2，…，A m的不同方法．根据分步计数原理，a1，a2，…，a n进入A1，A2，…，A m共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴= [（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）n n，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）n m为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）n m也为偶数，即f n（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查f n（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。

2017～2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题（理科）一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1． 设集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}，则∁U (A ∩B )＝ ▲ ．2． 函数()f x =的定义域为 ▲ ．3． 已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|2a －b|的值为 ▲ ． 4． 若指数函数()f x 的图象过点()24-，，则不等式()()52f x f x +-<的解集为 ▲ ． 5． 已知函数()()23020x x x f x f x x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩，≥，，，则()9f -= ▲ ．6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()c o s 3c o s a B c b A=-，则cos A ＝ ▲ ．7． 已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为 ▲ ． 8． 已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()02，上是单调增函数，则实数a 的取值范围为▲ ．1≥a9． 已知函数()()()sin 00πf x x ωϕωϕ=+><<，的周期为4，将函数f (x )的图象向右平移13个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数y ＝f (x )在[]01，上的值域为 ▲ ． 10．已知函数()1e ex x f x =-，其中e 为自然对数的底数，则不等式()()2240f x f x -+-<的解集为 ▲ ．11．如图，在四边形ABCD 中，AB AD ⋅＝5，BD ＝4，O 为BD 的中点，且AO ＝3OC ，则CB CD ⋅＝ ▲ ． 12．已知函数()()2342ln 2f x x a x x =++-在区间()12，上存在最值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．BADOC（第11题图）13．已知函数()21ln 152128x x xf x m x mx x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪-++⎪⎩，，，≤，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14．在△ABC 中，若1tan A ，2tan C ，1tan B成等差数列，则cos C 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，设向量()sin cos m x x =，，()312n =，． （1）若m ∥n ，求x 的值； （2）若35m n ⋅=，求()πsin 12x -的值．16．已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中k ∈R ． （1）当3k =时，求函数()f x 在[]05，上的值域；（2）若函数()f x 在[]12，上的最小值为3，求实数k 的取值范围．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c －b ＝2b cos A ． （1）求证：A ＝2B ； （2）若cos B ＝34，c ＝5，求△ABC 的面积．18．如图，矩形ABCD 是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB ＝503米，AD ＝100米． 现拟在直角三角形OMN 内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O 为AD 的中点，OM ⊥ON ，点M 在AB 上，点N 在CD 上），将破旧的道路AM 重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM 成本为每米500元，设∠OMA ＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f (θ)． （1）求f (θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tan θ为何值时，总费用 f (θ)最小？OABCDMNθ（第18题图）19．已知二次函数()f x 为偶函数且图象经过原点，其导函数()'f x 的图象过点()12，． （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()'g x f x f x m =+-，其中m 为常数，求函数()g x 的最小值．20．设函数()1ln 1f x a x x=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当102a <<时，求证：对任意()1+2x ∈∞，，都有()1e x aa x ++<．2017～2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）数学试题（理科）参考答案一．填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．{}14， 2．(0 3．2 4．45．2 6．137．2 8．[)1+∞，9．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 10．()32-， 11．3- 12．()95--， 13．(714⎤⎥⎦， 14．13二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）因为()sin cos m x x =，，()312n =，，且m ∥n ，所以1sin cos 2x x ⋅=tan x =．……………………………………4分 又π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以π3x =．……………………………………………………………………6分 （2）因为()sin cos m x x =，，()312n =，，且35m n ⋅=，13cos 25x x +=，即()π3sin 65x +=．……………………………8分 令π6x θ=+，则π6x θ=-，且3sin 5θ=，因为π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故ππ62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以4cos 5θ==．……………………………………11分 所以()()()ππππππsin sin sin sin cos cos sin 12612444x θθθθ-=--=-=-3455=-=．………………………………14分16．解：（1）由题意可知，不等式222x mx m x k --<+的解集为()26-，， 即不等式()22120x m x m k -+--<的解集为()26-，， 所以方程()22120x m x m k -+--=的两个实根分别为2-，6，根据一元二次方程根与系数的关系，可得2261262m m k -+=+⎧⎪⎨-⨯=--⎪⎩，， 解得36m k =⎧⎨=-⎩，．……………………………………………………………………6分（2）由题意可知，对任意[)1x ∈+∞，，恒有2220x mx m -->， 即对任意[)1x ∈+∞，，恒有()()20x m x m +->， 所以121m m -<⎧⎨<⎩，，解得112m -<<．………………………………………………………………14分 16．解：（1）当3=k 时，196)(23++-=x x x x f ，)3)(1(39123)(2'--=+-=x x x x x f ，令0)('=x f 得3,121==x x ，列表：由上表知，函数()f x 的值域为]21,1[．……………………………………6分 （2）))(1(33)1(33)(2'k x x k x k x x f --=++-=，① 当1≤k 时，0)('],2,1[≥∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递增，所以313)1(231)1()(min =+++-==k k f x f ，即35=k （舍）． …………………………………………………8分② 当2≥k 时，0)('],2,1[≤∈∀x f x ，函数)(x f 在区间]2,1[单调递减，所以3123)1(68)2()(min =+⋅++-==k k f x f ，符合题意．…………………………………………………10分③ 当21<<k 时,当),1[k x ∈时，0)('<x f )(x f 区间在),1[k 单调递减； 当]2,(k x ∈时，0)('>x f )(x f 区间在]2,(k 单调递增． 所以3)2()()(min =<=f k f x f ，不符合题意．综上所述：实数k 取值范围为2≥k ． ……………………………………14分17．解：（1）由c －b ＝2b cos A 及正弦定理sin sin b cB C=可得， sin sin 2sin cos C B B A -=， （*）……………………………2分()sin πsin 2sin cos A B B B A ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()sin sin 2sin cos A B B B A +-=，所以sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B B B A +-=， 整理得sin cos cos sin sin A B A B B -=，即()sin sin A B B -=，…………………………………………………………4分 又A ，B 是△ABC 的内角， 所以()0πB ∈，，()0πA B -∈，， 所以A B B -=或πA B B -+=（舍去），即A ＝2B ．………………………………………………………………………6分（2）由cos B ＝34及()0πB ∈，可知，sin B ． 由A ＝2B 可知，()2231cos cos 22cos 12148A B B ==-=⨯-=，3sin sin 22sin cos 24A B B B ===⨯=．由（*）可得，1sin sin 2sin cos 28C B B A =+==10分在△ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =5=，解得4b =， 所以△ABC的面积11sin 4522S bc A ==⨯⨯14分18．解：（1）据题意，在Rt∆OAM 中，OA ＝50，∠OMA ＝θ，所以AM ＝50tan θ，OM ＝50sin θ． 据平面几何知识可知∠DON ＝θ．在Rt∆ODN 中，OD ＝50，∠DON ＝θ，所以ON ＝50cos θ． 所以f (θ)＝20500OMN S AM ∆⋅+⋅＝1505050205002sin cos tan θθθ⨯⨯⨯+⨯＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+．………………………………………6分 据题意，当点M 与点B 重合时，θ取最小值π6；当点N 与点C 重合时，θ取最 大值π3，所以ππ63θ≤≤．所以f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+，其定义域为ππ63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．………………8分 （2）由（1）可知，f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+，ππ63θ≤≤． ()'f θ＝()()2222220cos sin sin cos 25000sin sin cos θθθθθθθ⎡⎤----⎢⎥⋅+⎢⎥⎣⎦＝()2222sin cos 125000sin sin cos θθθθθ⎡⎤-⎢⎥⋅-⎢⎥⎣⎦＝()222sin 2cos 25000sin cos θθθθ-⋅，令()'f θ＝0，得0tan θ=0ππ63θ⎡⎤∈⎢⎥，，列表：所以当tan θ f (θ)取最小值…………………………………………………16分法二：f (θ)＝()1125000sin cos tan θθθ⋅+＝()22sin cos 125000sin cos tan θθθθθ+⋅+＝()1125000tan tan tan θθθ⋅++＝()225000tan 25000tan θθ⋅+⨯=≥，…………13分 当且仅当2tan tan θθ=，即tan θ= …………………………15分所以当tan θ f (θ)最小，可节约投入成本．…………………16分 19．解：（1）因为二次函数()f x 经过原点，可设()()20f x ax bx a =+≠， 又因为()f x 为偶函数，所以对任意实数x ∈R ，都有()()f x f x -=，即()()22a x b x ax bx -+-=+， 所以20bx =对任意实数x ∈R 都成立，故0b =． 所以()2f x ax =，()'2f x ax =， 又因为导函数()'f x 的图象过点()12，， 所以212a ⨯=，解得1a =．所以()2f x x =．…………………………………………………………………5分（2）据题意，()()()2'2g x f x f x m x x m =+-=+-，即()222222m x x m x g x m x x m x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩，，，≥，① 若12m<-，即2m <-． 当2m x <时，()()22211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()2m -∞，上单调递减；当2m x ≥时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在()12m -，上单调递减，在()1-+∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()11g m -=--．……………………………………8分 ② 若112m-≤≤，即22m -≤≤． 当2m x <时，()()211g x x m =-+-，故()g x 在()2m -∞，上单调递减；当2mx ≥时，()()211g x x m =+--，故()g x 在()2m +∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()224m mg =． ……………………………………11分③ 若12m>，即2m >． 当2m x <时，()()22211g x x x m x m =-+=-+-，故()g x 在()1-∞，上单调递 减，在()12m，上单调递增；当2m x ≥时，()()22211g x x x m x m =+-=+--，故()g x 在()2m +∞，上单调递增．故()g x 的最小值为()11g m =-． ……………………………………14分 综上所述，当2m <-时，()g x 的最小值为1m --；当22m -≤≤时，()g x 的最小值为24m ；当2m >时，()g x 的最小值为1m -．…………………………16分20．解：（1）当2a =时，()12ln 1f x x x =+-，()112ln1101f =+-=， ()221'f x x x =-，()221'1111f =-=， 所以函数()f x 在点()10，处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． ……………………………………………………………4分（2）()1ln 1f x a x x=+-，定义域为()0+∞，， ()2211'a ax f x x x x-=-=．① 当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减；② 当0a >时，令()'0f x =，得1x=． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在()10a，上单调递减，在()1a +∞，上单调递增．……………………………………………………………9分（3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在()10a ，上单调递减，显然，12a>，故()()1120a ⊆，，， 所以函数()f x 在()12，上单调递减， 对任意()1+2x ∈∞，，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以()()11af f x+<，即()1ln 1101a a a x x++-<+， 所以()ln 1a a a x x a +<+，即()1ln 1a x x a+<+， 所以()()ln 11ax a x++<，即()ln 11x aa x ++<，所以()1e x aax++<．……………………………………………………………16分。