中值定理及其应用

中值定理及其应用中值定理是微积分中的一项重要定理，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。

本文将对中值定理的概念、原理以及其在实际问题中的应用进行探讨。

一、中值定理的概念和原理中值定理是微积分中的一个基本定理，它涉及到函数的导数和函数的连续性。

中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个重要的定理。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的一个基本定理，它是由法国数学家拉格朗日提出的。

该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

数学表达式为：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)，其中a < c < b其中f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。

2. 柯西中值定理柯西中值定理是中值定理的另一种表达形式，由法国数学家柯西提出。

柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)上不为零，则存在一点c在(a, b)内，使得函数的导数之比等于函数值之比：(f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)，其中a < c < b其中f'(c)和g'(c)分别表示两个函数在点c处的导数。

二、中值定理的应用中值定理在实际问题中具有广泛的应用，下面将以一些具体的例子来说明其应用。

1. 函数图像的研究通过中值定理，我们可以研究函数在区间内的性质，例如函数的单调性、极值点的位置以及图像的凹凸性等。

通过计算函数的导数和应用中值定理，可以得到函数在不同区间的性质，并进一步绘制函数的图像。

2. 物理学中的应用在物理学中，很多物理量都可以通过导数和中值定理来描述。

例如，在描述物体的运动过程中，我们可以通过速度函数的导数来计算物体的加速度，而中值定理则可以用来描述物体在某一时间段内的平均速度和瞬时速度之间的关系。

第三章 中值定理及其应用一．基础题１．验证罗尔定理对函数x y sin ln =在区间［65,6ππ］上的正确性．证 函数x x f s i n ln )(=在［65,6ππ］上连续，在（65,6ππ）内可导，又1()ln sin ln 662f ππ==，21ln 65sin ln )65(==ππf 即)65()6(ππf f =，故)(x f 在［65,6ππ］上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知至少存在一点)65,6(ππξ∈，使0)('=ξf ．又，x x x x f cot sin cos )('==，令0)('=x f 得2ππ+=n x （ ,2,1,0±±=n ）． 取0=n ，得)65,6(2πππξ∈=．因此罗尔定理对函数x y sin ln =在区间]65,6[ππ上是正确的．２．试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间．证 任取数值a ，b ，不妨设b a <，函数r qx px x f ++=2)(在区间［b a ,］上连续，在（b a ,）内可导，故由拉格朗日中值定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使))(()()('a b f a f b f -=-ξ，即 ).)(2(22a b q p r qa pa r qb pb -+=---++ξ 经整理得2ba +=ξ．即所求得的ξ总是位于区间的正中间． ３．不用求出函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的导数，说明方程0)('=x f 有几个实根，并指出它们所在的区间．解 函数)(x f 分别在]4,3[],3,2[],2,1[上连续，分别在)4,3(),3,2(),2,1(内可导，且0)4()3()2()1(====f f f f ．由罗尔定理知至少存在)4,3(),3,2(),2,1(321∈∈∈ξξξ，使 0)()()(3'2'1'===ξξξf f f ．即方程0)('=x f 至少有三个实根，又方程0)('=x f 为三次方程，故它至多有三个实根，因此方程0)('=x f 有且仅有三个实根，它们分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内．４．证明恒等式：)11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π．证 取函数()arcsin arccos ,(1,1)f x x x x =+∈-．因01111)(22'≡---=xxx f ，故C x f ≡)(．取0=x ，得2)0(π==C f ．从而当(1,1)x ∈-时,有arcsin arccos 2x x π+=.又1,1x =-时, 也有arcsin arccos 2x x π+=,因此2arccos arcsin π=+x x ，]1,1[-∈x ．５．若方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =，证明方程0)1(12110=++-+---x a x n a nx a n n n 必有一个小于0x 的正根．证 取函数x a x a x a x f n n n 1110)(--+++= ．)(x f 在],0[0x 上连续，在),0(0x 内可导，且0)()0(0==x f f ，由罗尔定理知至少存在一点),0(0x ∈ξ，使0)('=ξf ，即方程0)1(12110=++-+---x a x n a nx a n n n 必有一个小于0x 的正根．６．若函数)(x f 在（b a ,）内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中b x x x a <<<<321．证明：在（31,x x ）内至少有一点ξ，使得0)(''=ξf ．证 根据题意知函数)(x f 在],[],,[3221x x x x 上连续，在),(),,(3221x x x x 内可导且)()()(321x f x f x f ==，故由罗尔定理知至少存在点)(),,(3,22211x x x x ξξ∈，使0)()(2'1'==ξξf f又)('x f 在],[21ξξ上连续，在),(21ξξ内可导，故由罗尔定理知至少存在点),(),(2121x x ⊂∈ξξξ使0)(''=ξf ．７．设0>>b a ，1>n ，证明：)()(11b a na b a b a nbn n n n -<-<---．证 取函数nx x f =)(，)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点),(a b ∈ξ，使))(()()('b a f b f a f -=-ξ， 即 )(1b a n b a n nn-=--ξ．又 1,0><<<n a b ξ故1110---<<<n n n a b ξ．因此 )()()(111b a na b a n b a nbn n n -<-<----ξ， 即 )()(11b a na b a b a nbn n n n -<-<---．８．设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln ． 证 取x x f ln )(=，)(x f 在],[a b 上连续，在),(a b 内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点),(a b ∈ξ，使))(()()('b a f b f a f -=-ξ，即 )(1ln ln b a b a -=-ξ．又a b <<<ξ0，故ba 1110<<<ξ， 因此 b ba b a a b a -<-<-ξ， 即 bba b a a b a -<<-ln ． ９．证明：当1>x 时，x e e x ⋅>．证 取函数te tf =)(，)(t f 在],1[x 上连续，在),1(x 内可导．由拉格朗日中值定理知，至少至少存在一点),1(x ∈ξ，使),1)(()1()('-=-x f f x f ξ即 )1(-=-x e e e xξ．又，x <<ξ1，故e e >ξ，因此)1(-=-x e e e x，即 x e e x⋅>．10．设)(x f 、)(x g 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明在),(b a 内有一点ξ，使)()()()(b g a g b f a f ＝)()()()()(''ξξg a g f a f a b -． 证 取)()()()()(x g a g x f a f x F =，由)(x f 、)(x g 在［b a ,］上连续，在（b a ,）内可导 知)(x F 在［b a ,］上连续，在（b a ,）内可导，由拉格朗日中值定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使))(()()('a b F a F b F -=-ξ．而 )()()()()(b g a g b f a f b F =，0)()()()()(==b g a g b f a f a F ，)(0)(0)('x g x f x F =＋)()()()(''ξξg a g f a f ＝)()()()(''ξξg a g f a f 故)()()()()()()()()(''a b g a g f a f b g a g b f a f -=ξξ 11．证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()('x f x f =，且(0)1,f =则()e x f x =．证 取()()ex f x G x =，则由2()e e ()()()()0e e x x x x f x f x f x f x G x ''--'===，得()G x C =．又(0)()1G C f x ===，因此()1G x =．即()1ex f x =．12.设函数()y f x =在0x =的某邻域内具有n 阶导数，且(1)(0)(0)(0)0n f f f -'====，试用柯西中值定理证明：()()(),(01)!n n f x f x x n θθ=<<．证 取()ng t t =，则由假设()f t 及()g t 的表达式知，()f t 及()g t 在由0与x 组成的区间上满足柯西中值定理的条件，因此有111()()()(0)0n n n n f f x f x f x x n ξξ-'-==-，其中1ξ在0与1之间． 又 1121112112()()(0)()0(1)n n n n f f f f n n n n n ξξξξξξ----'''''-==--， 其中2ξ能在0与1ξ之间． 如此类推，得()1)(1)(1)1111()()()(0)!!!0!n n n n n n n f f f f n n n n ξξξξξ------==-， 其中n ξ能在0与1n ξ-之间． 因此 ()()(),(01)!n n f x f x x n θθ=<<． 13．设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对(,)a b 内的一切x ，有()()()()0f xg x f x g x ''-≠ 证明：若()f x 在(,)a b 内有两个相邻的零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点．证 采用反证法．若()g x 在12(,)x x 之间没有零点，其中1212,()x x x x <为()f x 在(,)a b 内有两个相邻的零点．显然12()0,()0g x g x ≠≠，若不然由11()()0g x f x ==或22()()0g x f x ==，得1111()()()()0f x g x f x g x ''-≠或2222()()()()0f x g x f x g x ''-≠，这与假设矛盾．取()()()f x F xg x =，则()F x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，又 111()()0()f x F x g x ==，222()()0()f x F xg x ==． 即12()()F x F x =，从而()F x 在12[,]x x 上满足罗尔定理条件，于是存在12(,)(,),x x a b ξ∈⊂使得2()()()()()0()f g f g F g ξξξξξξ''-'==． 即 ()()()()0f g f g ξξξξ''-=．这与假设矛盾．故结论成立．14．用洛必达法则求下则极限：（1）1ln(1)lim arc t x x co x→+∞+； （2）2120lim e x x x →； （3）sin 0e e lim sin x x x x x →--； （4）e 2arctan lim e x x x x x x π→∞+-；（5）lim(1)x x a x →∞+；（6）sin 0lim xx x +→；（7）tan 01lim xx x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭． 解（1）2222211111ln(1)111lim lim lim lim 111arc t 11x x x x x x x x x co x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭++++====+-++． （2）22221111220000221e ()e lim e limlim lim e 11()x x x x x x x x x x x x →→→→'⋅====+∞'． （3）sin sin sin sin sin 0000e e e 1e 1lim lime lime lim sin sin sin x x x xx x x xx x x x x x x x x x --→→→→---==⋅---sin sin 00e (1cos )limlim e 11cos x x x x x x x x--→→-===-． （4）因为当x →+∞时，e x→+∞，arctan 2x π→．当x →-∞时，e 0x→，arctan 2x π→-，所以碰到当x →∞，被求极限函数含有e x或arctan x 时，应分别求x →+∞及x →-∞时的函数极限，并以此判断当x →∞时函数是否有极限．22e 2arctan e 2arctan 1lim lim e e x x x x x x xx x x x x ππ→+∞→+∞++++=-- ＝22e 12arctan 1lim11e xxx x x x π--→+∞+++=-． 22e 2arctan e 2arctan 1lim lim 1e e x xx x x x xx x x x x ππ→-∞→-∞++++==--．故e 2arctan lim 1e x x x x xxπ→∞+=-． （5）221()1ln(1)ln(1)limlimlimlim111lim ln(1)1lim(1)eee eee x x x x x aa aa x a x x x aa x x a xxx xxx a x→∞→∞→∞→∞→∞-+++-++→∞+======．（6）sin 0lim xx x +→002001sin ln limlim11lim sin ln lim 0eeeee 1x x x x x xx x x xxxx ++→→++→→--======．（7）00201tan ln limlim tan 111lim tan ln lim 001lim eeee e 1x x x x x xx xx x xx xx x x ++→→++→→+--⋅-→⎛⎫======⎪⎝⎭．15.验证极限201sinlimsin x x x x →存在,但不能用洛必达法则得出.解 因为2111(sin )2sin coslimlim (sin )cos x x x x x x x x x →∞→∞'-='不存在,所以只能说不能用洛必达法则来求极限cos lim x x xx→∞+,但不能说该极限不存在.事实上,此极限可用下面方法来求:200001sin11limlim(sin )lim limsin 100sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x→→→→=⋅=⋅=⋅=. 16.讨论函数11120,(1),e ()e ,0xxx x f x x -⎧>⎡⎤+⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎪⎪⎪≤⎪⎩在点0x =处的连续性.解 因为 10011(1)1lim ln 11e limln(1)100(1e lim()lim e eex x x x xx xx x x x x f x +→+→++⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→→⎡⎤+⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦2000111ln(1)11limlimlim 2(1)22eeee x x x x xx x xx+++→→→--+-+-+====.112200lim ()lim e e x x f x ----→→==.所以12lim ()lim ()e x x f x f x -+-→→==,故函数()f x 在点0x =处连续.17.按所给条件,解答下列各题:(1) 求函数()ln f x x =按(2)x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式; (2) 求函数()tan f x x =的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.;(3) 验证当102x <≤时,按公式23e 126xx x x ≈+++计算e x 的近似值时,所产生误差小于0.01的,,使误差小于0.01.(4) 应用三阶泰勒公式求sin18的近似值,并估计误差.解 (1) 2131231112!()(ln )(,()()(1),()(1)f x x f x f x x x x x --'''''''''====-=- (4)4143!()(1)f x x -=-,一般地有()1(1)!()(1)k k kk f x x--=-(1,2,,)k n =. 于是 ()1(1)!(2)(1)2k k k k f --=- (1,2,,)k n =.故 ()2(2)(2)ln (2)(2)(2)(2)(2)[(2)]2!!n n n f f x f f x x x x n ο'''=+-+-++-+- 23331111ln 2(2)(2)(2)(2)[(2)]22322n nx x x x x n ο=+---+-++-+-⋅⋅.. (2) 因为22()(tan )sec ,()2sec tan ,f x x x f x x x ''''===224(4)234()4sec tan 2sec ,()8sec tan 16sec tan ,f x x x x f x x x x x '''=+=+ 所以(0)0,(0)1,(0)0,(0)2,f f f f ''''''====从而(4)2234345(0)(0)()1(sin 2)sin tan (0)(0)2!3!4!33cos f f f x f f x x x x x x x ξξξξ'''''+'=++++=++其中ξ介于0,x 之间.(3)设()e ,x f x =则()()()e ,(0)1n x n f x f ==,故数()f x 的3阶麦克劳林公式为234e e 1,2!3!4!xx x x x ξ=++++其中ξ介于0,x 之间.按23e 126x x x x ≈+++计算e x的近似值,其误差为3()R x =4e 4!x ξ.当102x <≤时,102ξ<<, 142331()0.00450.014!2R x ⎛⎫≤≈< ⎪⎝⎭,23111111()() 1.64522262≈+++≈.(4)sin x 的三阶泰勒公式为355sin()2sin ,3!5!x x x x ξπ+=-+其中ξ介于0,10π之间.故 355411sin18sin 0.3090, 2.551010103!105!10R ππππ-⎛⎫⎛⎫==-=≤≈⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.利用泰勒公式求下列极限:(1)lim ;x →+∞(2)[]2220cos elimln(1)x x x x x x -→-+-;解(1)lim lim x x x →+∞→+∞= 131121lim 1()1()34x x x x x x οο→+∞⎡⎤=+⋅+-+⋅+⎢⎥⎣⎦1()33lim 122x x x ο→+∞⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) []22422424222002211()1()()()cos e 24!222lim lim ln(1)()2x x x x x x x x x x x x x xx x x x οοο-→→-++-----+-=+-⎡⎤⎛⎫+--+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦ 4444400444111()1()14!81212lim lim 111()6()222x x x x x x x x x xοοοο→→⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭====-+--+. 19.确定下列函数的单调区间:(1)3210496y x x x=-+;(2)0)y a =>; (3)sin 2y x x =+. 解 (1)所给函数除0x =外在(,)-∞+∞处处可导,且22222221120()(1)10(12186)2(496)(496)x x x x y x x x x x x -----+'==-+-+. 令0,y '=得驻点121,12x x ==.由驻点121,1x x ==及0x =划分区间(,)-∞+∞列表如下:由上表可知给函数在(,0),(0,],[1,)2-∞+∞内单调减少,在[,1]2上单调增加.(2) 所给函数在(,),(,22a a a -∞）,(,)a +∞内可导,当12,2ax x a ==时,函数不可导,26a x y ⎛⎫-- ⎪'=. 令0,y '=得驻点323a x =.由点12,2a x x a ==323ax =划分区间(,)-∞+∞列表如下:由上表可知给函数在(,),[,)3a a -∞+∞内单调增加,在[,]3a a 上单调减少. （3）所给函数的定义域为(,)-∞+∞,且sin 2,,2(0,1,2,)sin 2,(1),2x x n x n y n x x n x n ππππππ⎧+≤≤+⎪==±±⎨⎪-+<≤+⎩ 12c o s 2,,2(0,1,2,)12c o s 2,(1),2x n x n y n x n x n ππππππ⎧+<<+⎪'==±±⎨⎪-+<<+⎩ 令0,y '=得驻点3x n ππ=+及56x n ππ=+(0,1,2,)n =±±,按照这些驻点划分区间(,)-∞+∞为55(,),(,),(,),(,(1))332266n n n n n n n n ππππππππππππππ+++++++其中0,1,2,n =±±.当5,326n x n n x n πππππππ<<++<<+时,0y '>,因此函数在[,]223k k πππ+上单调增加(0,1,2,)k =±±;当5,(1)326n x n n x n πππππππ+<<++<<+时,0y '<,因此函数在[,]2322k k ππππ++上单调减少(0,1,2,)k =±±. 20.证明下列不等式: (1) 当02x π<<时,sin tan2x x x +>； (2) 当02x π<<时,31tan 3x x x >+; (3) 当4x >时,22x x >;(4) 当01x <<时,22(1)ln (1)x x x ++<;(5) 当02x π<<时,2sin x x x π<<.证 (1) 当02x π<<时,令()f x =sin tan 2x x x +-,则221()cos sec 2cos 2220cos f x x x x x '=+-=+-≥=>. 因此当02x π<<时,()f x 单调增加,从而()(0)0f x f >=,即当02x π<<时,sin tan 2x x x +-0>,也就是sin tan 2x x x +>.(2) 当02x π<<时,令()f x =31tan 3x x x --,则2222()sec 1tan f x x x x x '=--=-.取()tan g x x x =-.当02x π<<时,由22()sec 1tan 0g x x x '=-=>知()g x 单调增加,因此()tan 0g x x x =->,即当02x π<<时,tan x x >,从而22tan x x >.于是()0f x '>,故当02x π<<时,()f x 单调增加,从而()(0)f x f >=,即当02x π<<时, 31tan 03x x x -->0>,也就是31tan 3x x x >+.(3) 当4x >时,令()f x =22x x -,则()2ln 22x f x x '=-, 222()2ln 222(ln 4)2x x f x -''=-=- .当4x >时,()0f x ''>,()f x '单调增加,从而3()(4)2ln 480f x f ''>=->,故当4x >时,()f x 单调增加,从而()(4)0f x f >=.即当4x >时,即22x x >.(4) 当01x <<时,令()f x =22(1)ln(1),x x x ++-,则(0)0f =.2()ln (1)2ln(1)2,(0)0f x x x x f ''=+++-=1()[ln(1)]0ln(1)f x x x x ''=+-<+ .所以当01x <<时,()f x '单调减少,从而()(0)0f x f ''<=,故当01x <<时, ()f x 单调减少,从而()(0)0f x f <=.即当01x <<时,即22(1)ln (1)x x x ++<.(6) 先证当02x π<<时, sin x x <.令()f x =sin x x -, 则当02x π<<时,有()1cos 0f x x '=->.因此当02x π<<时,()f x 单调增加,从而()(0)0f x f >=,即当02x π<<时, sin x x >0>.再证当02x π<<时,2sin x x π<,即证sin 2x x π>. 令sin 2()x g x x π=-, 则当02x π<<时,有22cos sin cos ()(tan )0x x x xg x x x x x-'==-<. 因此当02x π<<时,()g x 单调减少,从而()()02g x g π<=,即当02x π<<时,sin 2x x π>, 亦2sin x x π<.21.讨论方程ln x ax =(其中0a >)有几个实根.解 取()ln ,(0,),f x x ax x =-∈+∞则1()f x a x '=-.令()0f x '=,得驻点1x a=. 当10x a <<时,()0f x '>,因此函数()f x 在1(0,)a 内单调增加,当1x a<<+∞时,()0f x '<,因此函数()f x 在1(,)a +∞内单调减少.从而1()f a为最大值,由0lim (),lim ()x x f x f x +→+∞→=-∞=-∞,知(i)在11()ln10f a a =-=即1ea =时, 曲线()ln f x x ax =-与x 轴仅有一个交点,这时方程ln x ax =有惟一实根.(ii)在11()ln 10f a a =->即10ea <<时, 曲线()ln f x x ax =-与x 轴有两个交点,这时方程ln x ax =有两个实根.(iii)在11()ln 10f a a =-<即1ea >时, 曲线()ln f x x ax =-与x 轴没有交点,这时方程ln x ax =没有实根.22.求下列函数图形的拐点及凹或凸区间.(1)2ln(1)y x =+: (2)arctan e xy =.解 由22222(1)(1),1(1)x x x y y x x -+'''==++,令0y ''=得121,1x x =-=.当1x -∞<<-时,0y ''<,因此曲线在(,1]-∞-内是凸的; 当11x -<<时,0y ''>,因此曲线在[1,1]-内是凹的; 当1x <<+∞时,0y ''<,因此曲线在[1,]+∞内是凸的; 故所给曲线有两个拐点(1,ln 2),(1,ln 2)-.(2) 由arctan arctan 22212()12e,e 1(1)x x x y y x x --'''==++,令0y ''=得12x =. 当12x -∞<<时, 0y ''>,因此曲线在1(,]2-∞内是凹的;当12x <<+∞时,0y ''<,因此曲线在1[,]2+∞内是凸的; 故所给曲线有两个拐点为1arctan 21(,e)2. 23.利用函数图形的凹凸性,证明下列不等式:(1)1()(0,0,,1);22nn n x y x y x y x y n +⎛⎫+>>>≠> ⎪⎝⎭(2)ln ln ()ln(0,0,).2x yx x y y x y x y x y ++>+>>≠ 证 (1)令(),(0,)n f t t t =∈+∞,则12(),()(1)n n f t nt f t n n t --'''==-.从而当1n >且(0,)t ∈+∞时,()0f t ''>.因此函数()n f t t =在(0,)+∞内图形是凹的,故对于任意0,0,x y x y >>≠,恒有1[()()](),22x yf x f y f ++>即 1()(0,0,,1)22nn n x y x y x y x y n +⎛⎫+>>>≠> ⎪⎝⎭.(2) 令()ln ,(0,)f t t t t =∈+∞,则1()ln 1,()0f t t f t t'''=+=>..因此函数()ln f t t t =在(0,)+∞内图形是凹的,故对于任意0,0,x y x y >>≠,恒有1[()()](),22x yf x f y f ++>即1(ln ln )ln (0,0,)222x y x y x x y y x y x y +++>>>≠, 亦即ln ln ()ln (0,0,).2x yx x y y x y x y x y ++>+>>≠24.解答下列各题:(1) 证明曲线211x y x -=+的三个拐点在同一条直线上; (2) 问a 、b 为何值时，(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点？(3) 试决定曲线32y ax bx c d =+++中的a 、b 、c 、d ，使得2x =-处曲线有水平切线，(1,10)-为拐点，且点(2,44)-在曲线上．(4) 试决定22(3)y k x =-中k 的值，使曲线的拐点处的法线过原点；(5) 设()y f x =在0x x =的某个邻域内具有三阶连续导数，如果0()0,f x ''=而0()0,f x '''≠试问00(,())x f x 是否为拐点？为什么？解（1）22221,(1)x x y x -++'=+32232326622(1)[(2(2(1)(1)x x x x x x y x x --++--''==++． 令0y ''=，得1231,22x x x =-==当1x -∞<<-时，0y ''<，因此曲线在(,1]-∞-内是凸的，当12x -<<0y ''>，因此曲线在(1,2--内是凹的，当22x -<+0y ''<，因此曲线在(22内是凸的，当2x +<<+∞时，0y ''>，因此曲线在(2)+∞内是凹的，由上可知点(1,1),(2--+为曲线的三个拐点．又14==，因此这三个拐点在同一条直线上．（２）由232,626()3b y ax bx y ax b a x a '''=+=+=+，令0y ''=，得03b x a=-．当3b x a -∞<<-时，0y ''<，因此曲线在(,]3b a -∞-内是凸的；当3bx a-<<+∞时，0y ''>，因此曲线在(,)3b a -+∞内是凹的；当03b x a=-时，3230223327b b b y a b a a a⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故点322(,)327b b a a -为曲线的惟一的拐点．因此要使(1,3)为拐点，必须321,32 3.27b a ba ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解之得39,22a b =-=． （3）232,62y ax bx c y ax b '''=++=+．依题中条件有(2)44,(2)0,(1)10,(1)0y y y y '''-=-==-=．即84244,1240,10,620.a b c b a b c a b c d a b -+-+=⎧⎪-+=⎨+++=-⎪+=⎩解之得1,3,24,16a b c d ==-=-=．（４）222(3)24(3),12(1))(1).y k x x kx x y k x x '''=-⋅=-=-+令0y ''=，得121,1x x =-=．当1x -∞<<-时，0y ''>，因此曲线在(,1]-∞-内是凹的， 当11x -<<时，0y ''<，因此曲线在(1,1]-内是凸的， 当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在(1,)∞内是凹的， 故(1,4),(1,4)k k -为由线的拐点．从而由18x y k ='=-得过点(1,4)k 的法线方程为14(1)8y k x k-=-，要使该法线过原点，则(0,0)在法线方程上，从而有104(01),8k k-=-解之得8k =±． 又由18x y k ='=得过点(1,4)k -的法线方程为14(1)8y k x k-=-+，要使该法线过原点，则(0,0)在法线方程上，从而有104(01),8k k-=-+解之得k =所以，当8k =±时，所给曲线的拐点处的法线过原点．（５）由0()0f x '''≠，我们不妨设0()0f x '''<．又()f x '''在0x x =的某个邻域内连续，所以必存在0δ>，当00(,)x x x δδ∈-+时()0f x '''<，故在00(,)x x δδ-+内()f x ''单调减少．而由0()0f x ''=知：当00(,)x x x δ∈-时，0()()0f x f x ''''>=，即函数()f x 在00(,)x x δ-内的图形是凹的；当00(,)x x x δ∈+时，0()()0f x f x ''''<=，即函数()f x 在00(,)x x δ-内的图形是凸的，因此点00(,())x f x 是拐点．2５．求下列函数的极值：（1）223441x x y x x ++=++； （2）e cos xy x =； （3）1x y x =； 解 （１）函数的定义域为(,)-∞+∞，在(,)-∞+∞内可导，且()()222222(64)(1)(21)(344)(2)11x x x x x x x x y xx xx +++-+++-+'==++++。

高考数学中的微积分中值定理应用在高中数学教学中，微积分中值定理是一个十分重要的概念。

这个定理不仅是微积分的基石，也是解决许多实际问题的关键。

在高考数学中，中值定理应用广泛，掌握这个概念不仅对于考生来说非常重要，对于实际生活中的数学应用也有重要意义。

一、中值定理的基本概念中值定理是微积分中的一种非常基本的定理，它基于微积分的洛必达法则。

中值定理是指在某些条件下，如果一个函数在两个端点位置的值相等，那么这个函数在这两个点之间必然有一点值等于这个函数在两端点位置上的平均值。

数学形式为：若$f(x)$在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，$f(a)=f(b)$，则存在一个$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

二、中值定理的实际应用中值定理有许多实际的应用。

下面我们来看几个典型例子。

1. 速度平均值假设一个物体在时间$t$内沿着轴线移动$x$的距离，速度$v=x/t$。

那么，如果这个物体在$t_1$和$t_2$时刻在同一位置，也就是说，$x(t_1)=x(t_2)$，那么速度$v(t)$在$t_1$和$t_2$时刻之间必然存在一点$v(t_0)$等于$v$的平均值，也就是：$v(t_0) = \frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}$这个式子与中值定理的形式非常相似。

只需要令$f(t)=x(t)$，$a=t_1$，$b=t_2$，那么根据中值定理就可以得到上述式子。

这是中值定理的一个典型应用，也是物理学中很常见的应用。

2. 单调递增函数与单调递减函数如果一个函数在一个区间内的导数为正，我们就称这个函数是单调递增的。

相反，如果这个函数在这个区间内的导数为负，我们就称这个函数是单调递减的。

那么，根据中值定理，一个函数在一个区间内连续且可导的时候，如果导数始终为正，那么这个函数就是单调递增的，如果导数始终为负，那么这个函数就是单调递减的。

定积分中值定理定积分是微积分中的一个重要概念，描述了函数在某个区间上面的累积变化量。

而定积分中值定理是对定积分的一个重要性质的描述，它给出了函数在某个区间上面的平均值与某个特定点的值之间的关系。

在本文中，我们将详细介绍定积分中值定理及其应用。

定积分中值定理是由函数连续和函数可导的性质推导出来的。

具体来说，假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，那么存在一个点c，c∈(a,b)，使得函数的平均值等于该点的导数值，即：f(c) = (1/(b-a)) ∫(a to b) f(x)dx。

这个定理的意义非常重要，因为它告诉我们，对于一类特定的函数，它们在某个区间上的平均值与某个特定点的值是相等的。

也就是说，我们可以通过定积分来求解函数在某个区间上的平均值，进而得到函数在该区间上某个点的值。

那么，我们如何应用定积分中值定理呢？一种常见的应用是计算函数在某个区间上的平均值。

通过定积分中值定理，我们可以得到函数在该区间上的平均值等于该区间上的积分值。

这个应用非常有用，比如在物理学中，我们经常需要计算函数在某个时间段内的平均值，通过使用定积分中值定理，我们可以很方便地求解这个问题。

另外一个常见的应用是求解函数在某个区间上的特定点的值。

假设我们已知函数在某个区间上的平均值，并且函数在该区间上满足定积分中值定理的条件，那么我们可以通过已知的平均值和定积分中值定理来求解函数在该区间上的某个点的值。

这个应用也非常有实际意义，比如在经济学中，我们经常需要计算某个产品在某个时间段内的平均产量，通过使用定积分中值定理，我们可以很方便地求解这个问题。

除了上述的两个应用以外，定积分中值定理还有其他一些应用，比如在数值计算中，我们经常需要对函数进行数值积分，通过使用定积分中值定理，我们可以将数值积分转化为求解函数在某个区间上的特定点的值，进而得到数值积分的近似结果。

这个应用在工程学和科学研究中非常常见。

中值定理的内容及应用中值定理是微分学中的重要定理之一，它是基于连续函数的连续性与导数的连续性之间的关系而得出的。

中值定理包括鲁尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

这三个定理都是基于函数连续性与导数连续性的条件，从而得到函数在某一区间上的性质。

1. 鲁尔中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

鲁尔中值定理的几何意义是：存在一点c，使得函数在左右两个点的切线斜率等于函数在这两个点间的平均变化率。

2. 拉格朗日中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

拉格朗日中值定理的几何意义是：存在一点c，使得函数在左右两个点的切线斜率等于函数在这两个点间的平均变化率。

3.柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)] = f'(c)/g'(c)。

柯西中值定理的几何意义是：存在一点c，使得函数f(x)和g(x)在左右两个点的切线斜率之比等于函数在这两个点间的平均变化率之比。

中值定理的应用非常广泛，其中最为常见的应用是求函数在某个区间内的极值和方程的根。

首先，中值定理可以用来证明函数在某个区间内的极值存在性。

根据鲁尔中值定理，如果函数在某个区间上连续，并在这个区间内可导，且函数的导数在这个区间内的某个点等于零，那么这个点就是函数在这个区间上的一个极值点。

其次，中值定理也可以用来求函数在某个区间内的极值。

首先可以根据拉格朗日中值定理找到函数在该区间内的一个极值点，然后再通过导数的正负性和二阶导数的存在性来确定这个点是极大值还是极小值。

中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。

（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

中值定理使用条件中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一个重要定理，它描述了一个连续函数在一个区间上取值的性质。

该定理的应用非常广泛，涵盖了许多数学领域，包括实分析、复分析、微分方程等等。

下面我将详细介绍中值定理的条件，并解释它的几个重要推论。

中值定理的条件如下：1.连续性：函数必须在给定区间上连续。

这意味着在这个区间上，函数的图像没有断裂和跳跃，能够被一支连续的曲线表示。

2.端点值：函数在区间的两个端点处需要取到不同的函数值。

也就是说，如果函数的两个端点的函数值相等，那么中值定理将不再适用。

基于这样的条件，中值定理提供了以下几个重要推论：1.零点存在性：如果一个连续函数在一个区间的两个端点处取到不同的函数值（一个是正数，一个是负数），那么在这个区间内至少存在一个零点（函数取到值为零的点）。

证明思路：考虑函数在区间的两个端点处取到的函数值的符号，由于函数是连续的，所以这个区间上函数的取值会从正数（或负数）连续变化到负数（或正数）。

根据连续函数的介值性质，存在一个点使得函数的值为零，即函数存在一个零点。

2.中点斜率：如果一个函数在一个区间上连续，并且在这个区间的两个端点处可导，则函数在这个区间内至少存在一个点，该点的导数等于函数在这个区间的平均导数。

证明思路：首先定义一个辅助函数g(x)=f(x)−(f(b)−f(a))/(b−a)×x，其中f是原始函数，a和b是区间的端点。

根据导数的定义，函数g(x)在区间的两个端点上的导数为零。

然后考虑一个新定义的函数h(x)=e^(-x)×g(x)，其中e是自然对数的底数。

根据零点存在性的推论，函数h(x)在区间上至少存在一个零点x0。

根据导数的链式法则，函数h(x)在区间内的任意点处的导数可以表示为h'(x)=e^(-x)×[g'(x)−g(x)]。

由于g(x)在区间的两个端点处的导数都为零，所以h'(x)在区间内至少存在一个零点x1、同时，h(x)在区间上连续，根据中值定理，存在一个点c，使得h'(c)=h(x1)。

介值定理和中值定理（原创版）目录1.介值定理和中值定理的定义2.介值定理和中值定理的例子3.介值定理和中值定理的应用4.介值定理和中值定理的联系与区别正文一、介值定理和中值定理的定义介值定理，又称为 Cauchy 中间值定理，是微积分学中的一个重要定理。

它指出，如果一个连续函数在某区间两端的函数值异号（即一个是正数，一个是负数），那么它在此区间内至少有一点函数值为零。

而中线值定理，是微积分学中另一个重要定理。

它指出，如果一个连续函数在某区间内变化，那么在这个区间内一定存在一点，它的函数值等于这个函数在该区间内任意一点的平均函数值。

二、介值定理和中值定理的例子我们先来看一个介值定理的例子。

假设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 在区间 [1,2] 上连续，且 f(1) = -1，f(2) = 2。

由于 f(1) 和 f(2) 异号，根据介值定理，我们可以知道在区间 [1,2] 内，f(x) = 0 至少有一点。

接下来我们看一个中线值定理的例子。

假设函数 f(x) = x^2 在区间[0,1] 上连续，我们需要证明在区间 [0,1] 内，存在一点 c，使得 f(c) = (f(0) + f(1))/2 = 0.5。

由于 f(x) 在 [0,1] 内单调递增，且 f(0) = 0，f(1) = 1，因此，根据中线值定理，我们可以得出结论。

三、介值定理和中值定理的应用介值定理和中值定理在微积分学中有广泛的应用，它们是解决许多实际问题的重要工具。

比如，在证明一些函数的性质时，我们常常会用到这两个定理。

四、介值定理和中值定理的联系与区别介值定理和中值定理都是微积分学中的重要定理，它们之间有联系，但也有区别。

它们的联系在于，它们都是连续函数的性质，而且都是用来证明函数的某些性质的。

中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。

（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

多元函数的中值定理
1 中值定理
中值定理又称中位数定理，是一个在几何学中相当重要的定理。

定理是指：如果一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)的参数x1，
x2，..., xn的取值范围在一定的离散点集合当中，则一定存在一个离散点，这个离散点的函数值介于其他任意两个离散点之间。

一般来说，解中值定理并不会真正解多元函数，但它可以用来找出最大值和最小值。

例如当给定一个多元函数f(x1，x2，...，xn)和它的每一个参数的可行取值范围，通过应用中值定理，可以找出f的最大值和最小值的点，从而解得f的极值。

2 中值定理的应用
中值定理在几何学和数学中有很多应用, 例如：
（1）最长距离定理：假定定点A和B的距离是最长的，则A和B 之间中间所有点的距离与AB之间的点的距离最短。

（2）其他数学几何概念：三角形和其他多边形内角和周长、切线方向之类的相关性质，均可以由中值定理推出。

（3）中值定理也被广泛应用于统计学、计算机科学等方面，可以用来找出一个输入序列中的中位数，即最接近中间的那个数值，并可以将大量的数据分为相等的两部分。

3 总结
中值定理是几何学中相当重要的定理，它不仅仅提供一个最简洁
的思路以解多元函数的极值问题，还可以定理解统计学和计算机科学
等多方面的问题。

它充分体现了数学在解决实际问题中所发挥的作用，是进步科学和技术的基础理论。

中值定理及其应用中值定理是微积分中的重要定理之一，它是高阶微积分的基础，被广泛应用于物理、经济、工程等领域。

在本文中，我们将介绍中值定理的概念、证明以及其在实际问题中的应用。

一、中值定理的概念中值定理是微积分中的一个基本定理，用来分析函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率的关系。

它由罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成。

1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它主要用于研究函数在闭区间上连续且在开区间上可导的情况。

罗尔定理的表述为：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f'(c) = 0。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种形式，它由罗尔定理推导而来。

拉格朗日中值定理的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

3. 柯西中值定理柯西中值定理是中值定理的另一种形式，它由拉格朗日中值定理推导而来。

柯西中值定理的表述为：如果两个函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在c∈(a, b)，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。

二、中值定理的证明中值定理的证明相对复杂，需要运用到微积分中的一些基本概念和定理。

在这里，我们将省略中值定理的详细证明过程。

三、中值定理的应用中值定理在实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用实例：1. 平均速度与瞬时速度根据拉格朗日中值定理，对于一段时间内的平均速度与某一时刻的瞬时速度，它们之间存在一个相等的关系。

这在物理学中有着重要的意义，可以通过计算平均速度来得到瞬时速度的近似值。

2. 函数求导与图像切线中值定理可以用于求解函数的导数以及函数图像的切线。