湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中三校2020学年高二数学下学期期中试题 文(含解析)

郧阳中学、二中2021级高二下学期期中联考数学〔文科〕试卷〔参考答案〕一、选择题ACBBD ACACB BC二、填空题13. [1,2] 14. 32 15. 2,1〔全对给分〕 16. 3三、解答题：由22cos ()2sin x R y θθθ=+⎧∈⎨=⎩，得2cos 22sin x yθθ=-⎧⎨=⎩，由22sin cos 1θθ+= 得22(2)4x y -+=，故曲线C 是以(2,0)为圆心，2为半径的圆. ………3分 由直线:l ()6R πθρ=∈，得直线l的普通方程为3y x =. ……………………5分 那么圆心C (2,0)到直线l 的间隔为1d ==. …………7分设直线l 被曲线C 截得的线段长为AB，那么AB ==∴直线l 被曲线C截得的线段长为分18. 解：mx x y p 23:2+='因为函数在)0,1(-上是单调递减函数，所以)0,1(,0-≤'在y 上恒成立，得23≥m .……3分 :q 方程01)2(44=+-+x m x 无实根，016)2(162<--=∆m ，得31<<m .……6分假设“p 或者q 〞为真，“p 且q 〞为假，那么p 和q 一真一假.〔1〕当p 真q 假时，33123≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥m m m m 或； ……8分 〔2〕当p 假q 真时，2313123<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<m m m ……10分 综上：m 的取值范围是：3231≥<<m m 或. ……12分 19. 解曲线()y f x =上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直， ()()'10x f x a x e -∴=+-=有两个不同的解，即得()1x a x e -=-有两个不同的解，.……3分设()1x y x e -=-，那么x e x y --=')2(0,2;0,2>'>>'<y x y x 时时()1x y x e -=-在(),2-∞上递减，在()2,+∞上递增 .……6分2x ∴=时，函数获得极小值2,e -- .……8分又因为当2x >时总有()10x y x e-=-<，且无限趋向于0；0<x 时0>y . .……10分所以可得数a 的取值范围是21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. .……12分 20. 解 (1)①取AB 中点Q ,由条件知PQ 垂直平分AB ,假设∠BAO =θ(rad )，那么OA =AQ/cos θ=10/cos θ,故OB =10/cos θ，又OP =10−10tan θ，21. 解：〔1〕由题意：1=c ，2=a ， 3222=-=c a b ，所求椭圆方程为13422=+y x . .……3分 〔2〕由题意，直线l 的方程为：1-=x y .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,134,122y x x y 得08872=--x x ，设),(),,(2211y x N y x M ，由韦达定理,78,782121-==+x x x x 所以7241212=-+=x x k MN . .……6分 〔3〕当x MN ⊥轴时，显然00=y .当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为)0()1(≠-=k x k y .由⎩⎨⎧=+-=,1243),1(22y x x k y 消去y 整理得0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k . 设),(11y x M ，),(22y x N ，线段MN 的中点为),(33y x Q ， 那么2221438k k x x +=+. 所以222134342k k x x x +=+=，()2334331k k x k y +-=-= .……9分 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++ 在上述方程中令x ＝0，得02313344k y k k k==++. 当0<k 时，3443-≤+k k ；当0>k 时，3443≥+k k.所以01230<≤-y ，或者12300≤<y . 综上，0y 的取值范围是]123,123[-. .……12分22.〔1〕当1-=a 时，xx x x f ln )(-=，222/1ln ln 11)(x x x x x x f -+=--= .……2分令1ln )(2-+=x x x g ， x x x g 12)(/+=， 当0>x 时，0)(/>x g ，即)(x g y =在),0(+∞上是单调递增函数．且0)1(=g所以当)1,0(∈x 时，0)()(2/<=xx g x f ，)(x f 在)1,0( 上是减函数； 当),1(+∞∈x 时，0)()(2/>=x x g x f ，)(x f 在),1(+∞上是增函数； 所以1=x 是)(x f 的唯一极小值点．极小值是111ln 1)1(=-=f .……6分 〔2〕222/ln ln 1)(xa x a x x x a a x f +-=-+=，令a x a x x h +-=ln )(2 由题设，对任意],0(m a ∈，有()0h x ≥，),0(+∞∈x ， 又xa x a x x a x x h )2)(2(22)(2/+-=-= 当)2,0(a x ∈时，0)(/<x h ，)(x h 是减函数；当)x ∈+∞时，0)(/>x h ，)(x h 是增函数； .……10分 所以当2a x =时，)(x h 有极小值，也是最小值a a a h )2ln 23()2(-=， 又由()0h x ≥得3(02a -≥，得32a e ≤，即m 的最大值为32e . .……12分励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2019-2020学年随州市二中高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={x ∈N|0≤x ≤4}，集合A ={−1,2，3}，B ={2,3}，则∁U (A ∩B)=( )A. {0,4}B. {0,1，4}C. {1,4}D. {0,1}2. 若i 为虚数单位，则复数1+i1−i =( )A. iB. −iC. √2iD. −√2i3. 若a ，b ∈k ，且ab >0，则下列不等式恒成立的是A. a 2+b 2>2abB. a +b ≥C.D.4. 设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在上( )A. 是增函数且B. 是增函数且C. 是减函数且D. 是减函数且5. 若实数x ，y 满足{2x +y −4≤0x −y +2≥03x −y −3≤0x ≥0y ≥0，则z =x +y 的最大值为( )A. 2B. 135C. 103D. 76. 若x ，y ∈R ，则“x =0”是“x +yi 为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件7. 下列函数中，在(0,+∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A. y =x 2B. y =−x 3C. y =−lg|x|D. y =2x8. 已知θ∈(−π2,0)，且cos2θ+cos(3π2+θ)=0，则sin(θ+π4)=( )A. √6−√24B. 2−√34C. √6+√24D. 2+√349. 若a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,0)则a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值为( )A. √55B. 12C. 13D. 110. 若定义在R 上的函数y =f(x)满足f(x +1)=−f(x)，且当x ∈[−1,1]时，f(x)=x 2，函数g(x)={log 3(x −1) (x >1)2x (x ≤1)则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−5,5]内的零点的个数为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π2)，若f(x)的图象的一条对称轴是x =π3，且在区间(−π6,π4)上单调递增，则ω的取值范围是______．12. 已知a ，b 为正整数且a ≤b ，实数x 、y 满足x +y =28(√x +a +√y +b).若x +y 的最大值为2016，则满足条件的数对(a,b)的数目为______．13. 定义在R 上的函数f(x)满足：f(1)=1，且对于任意的x ∈R ，都有f′(x)<12，则不等式f(lgx)>lgx+12的解集为______ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 一个边长为10 cm 的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．则这个容器侧面积S 表示成x 的函数为 .当x =6时，这个容器的容积为 cm 3．15. 设函数f(x)={x 2+x,x <0−x 2,x ≥0，则f[f(1)]= (1) ；若f[f(m)]≤6，则实数m 的取值范围是 (2) ．16. 在△ABC 中，a =3，c =2，cosB =13，则b = (1) ；sinC = (2) ． 17. 已知向量序列：a 1,a 2,a 3,⋯,a n ,⋯满足如下条件：|a 1|=4|d|=2，2a 1⋅d =−1且a n −a n−1=d(n =2,3,4,⋯).若a 1⋅a k =0，则k = (1) ；|a 1|,|a 2|,|a 3|,⋯,|a n |,⋯中第 (2) 项最小． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(α+π3)=√105，且α∈(0,π)，求tanα的值．19.数列{a n}中，a1=2，a n=a n−1+2n(n≥2)(1)求这个数列的通项公式a n(2)若{1a n }的前n项和为S n，求出S n并证明12≤S n<1．20.已知函数f(x)=lg(a x−kb x)(k>0,a>1>b>0)的定义域恰为(0,+∞)，是否存在这样的a，b，使得f(x)恰在(1,+∞)上取正值，且f(3)=lg4？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．21.已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n−1+2n(n≥2且n∈N∗).求数列{a n}的通项公式．22.已知函数f(x)=x3−3ax2+2bx在x=1处有极小值−1，(1)求函数f(x)的解析式，(2)求出函数f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：B解析：解：U={0,1，2，3，4}，A∩B={2,3}；∴∁U(A∩B)={0,1，4}．故选：B．可求出集合U，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算．2.答案：A解析：解：复数1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i，故选A．两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，运算求得结果．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查不等式与不等关系和均值不等式，利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a 2+ b 2≥2ab的使用条件是a，b∈R.本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等解：A项，当时，有，故A项不符合题意；B项，当>０，且>０时有，当且仅当=时取“=”；当<０，且<０时，有，即，当且仅当=时取“=”，故B项不符合题意；C 项，因为，当>０，且>０时，有，当且仅当=时取“=”；当，且<０时，有，当且仅当=时取“=”，故C 项错误；D 项，因为>０，所以>０，>０，所以有，当且仅当=时取“=”．故选D ．4.答案：D解析：试题分析：设x ∈(−1,0)，则−x ∈(0,1)，故f(−x)=．又f(x)是定义在R 上以2为周期的偶函数，故f(x)=．再令1<x <2，则−1<x −2<0，∴f(x −2)=，∴f(x)=，由1<x <2可得0<x −1<1，故函数f(x)在(1,2)上是减函数，且f(x)>0， 故选D ．考点：本题主要考查函数的单调性，奇偶性和周期性，对数函数的性质。

数学（文科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上． 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合}31|{},06|{2≤≤=<-+=x x N x x x M ，则=N M I ( ) A.]2,1[B.)2,1[C.(2,3]D.]3,2[2.已知△ABC 中，“4π=∠A ”是“22sin =A ”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在复平面内,复数i 32i15-+对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ,则目标函数y x z 32+=的最大值为( )A.10B. 9C.8D. 4 5.已知是等差数列的前项和,若,,则=6S ( ) A.40B.80C.57D.366.己知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||32||OF AB =(O 为原点),则双曲线的离心率为( ) A.3 B. 2C. 2D.5ˆ,0.82 1.27,,x y y x x y =+7.己知的线性回归直线方程为且之间的一组相关数据如下表，则下列说法错误的是()A ．变量,x y 之间呈现正相关关系B. 2.09m =C. 可以预测当5x =时，ˆ 5.37y =D.由表可知，该回归直线必过点()1.5,2.5()()()()()()21121,212,0.32,1,.32x f x x f x f x x x x x f f a b f c -<--==--=-8.已知函数是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数都有记则()A ．a c b <<B.a b c <<C.c b a <<D.b c a <<9.已知平面四边形ABCD 中，135BAD ∠=o ，120ADC ∠=o ， 45BCD ∠=o ，60ABC ∠=oBC =AC 长度的取值范围是( )A．B.32⎡⎢⎣C.D.32⎛ ⎝10.{}4361-=a a a n 中，若在等比数列，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=( ) A.1B.34-C.3-D.4311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．13⎡⎢⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.定义在()∞+，0上的函数()x f 的导函数()x f '满足()21'<x f x ，则下列不等式中，一定成立的是（ ）A ．()()()1491-16+<<f f f B.()()()1-16914f f f <<+ C.()()()1-1425f f f <<+D.()()()25411+<<-f f f第II 卷（非选择题，共90分） 注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若函数212log ,0,()log (),0,x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数a 的取值范围是____________.14.已知1x >-，则函数()()()125+++=x x x x f 的最小值为________.15.设直线t x =与函数()2x x f =，()x x g ln 2=的图象分别交于点N M ，，则当MN 达到最小值时，t 的值为．16．已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，03≥-a x .命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是________________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知，在AB C ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且A bB a cos 3sin =．（1）求角A 的大小；（2）设AB C ∆的面积为33，求a 的取值范围．18.（本小题满分12分）已知{}n a 是等比数列，31=a ，244=a ，数列{}n b 满足11=b ，84-=b ，且{}n n b a +是等差数列.（1）求数列{}n a 和{}n n b a +的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.19.（本小题满分12分）在某超市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的22⨯列联表，已知从其中使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为54. （1）根据已知条件完成22⨯列联表，并根据此资料判断是否有99.9%的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”.（2)现按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”进行分层抽样，从这100名顾客中抽取容量为5的样本，求“从样本中任选3人，则3人中至少2人使用手机支付”的概率. 附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=22K （ 其中 d c b a n +++=）20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：13222=+y a x 的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足AFeOA OF 311=+，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()10，的直线l 与椭圆交于N M ，两点，求OMN ∆面积的最大值.21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x a x =--，R a ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）当2a =-时，若直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的取值范围.选做题：（本小题满分10分）两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 442(其中为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C 的极坐标方程为015sin 82=+-θρρ.(1)求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程; (2)过圆2C 的圆心2C ,倾斜角为4π的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,则||||22B C A C +的值.23.已知|12||1|)(--+=x x x f . (1)求不等式0)(>x f 的解集；(2)若R x ∈,不等式32)(-+≤a x x f 恒成立,求实数a 的取值范围数学（文科）试卷参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BADBCCBABCDA13 ()()∞+⋃，，101-． 14 9 ． 151． 1612=-≤a a 或． 三解答题17（1）解：A b B a cos 3sin =．∴由正弦定理可得：A B B A cos sin 3sin sin =……………………………2分又sin 0B ≠Q ，得()tan 3,0,A A π∈又3A π∴=……………………………5分（2）因为3A π=，ABC ∆的面积为1sin 2bc A ==，解得12bc =………………………8分由余弦定理可得：a ==当且仅当b c ==综上，边a 的取值范围为)+∞．………………………12分 18解：（1）{},n a q 设等比数列的公比为由题意得3418,2a q q a ===解得 11132n n n a a q --==⨯所以……………………………2分{}n n a b +设等差数列的公差为d,由题意得()()4411441a b a b d +-+==-.()()1114.n n a b a b n d n +=++-=所以……………………………6分（2）由（1）知1432n n b n -=-⨯由(1)知，{}()421;n n n n +数列的前项和为{}()132321n n n -⨯⨯-数列的前项和为……………………………10分{}22232 3.n n b n n n +-⨯+所以，数列的前项和为……………………………12分19解：（1）Θ从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为54∴使用手机支付的人群中的青年的人数为486054=⨯人，……………………………2分则使用手机支付的人群中的中老年的人数为1248-60=人，所以22⨯列联表为：()()()()()()22210048281212K 2510.82860406040n ad bc a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.…………………………6分 （2）这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中：使用手机支付的人有3100605=⨯人， 123;2记编号为，，不使用手机支付的人有人，记编号为a,b ……………………………8分则从这个样本中任选3人有()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,1,,,2,3,,2,3,,2,,,3,,a b a b a b a b a b a b 共10种其中至少有2人是使用手机支付的()()()()()()()1,2,,1,2,,1,3,,1,3,,2,3,,2,3,,1,2,3a b a b a b 共7种，故所求概率为107.……………………………12分 20.解：（1）,,.c OF c OA a AF a c ===-设椭圆的焦半距为,则222113,,3e c e b a c c a a c a+====--所以其中又,2, 1.a c ==联立解得221.43x y C +=所以椭圆的方程是……………………………4分（2）.x 由题意直线不能与轴垂直，否则将无法构成三角形,1l x k l y kx =+当直线与轴不垂直时，设其斜率为那么的方程为.……………………………6分()22,43880.l C y k x kx ++-=联立与椭圆的方程，消去得()()22832430,.k k ∆=++>于是直线与椭圆由两个交点的充要条件是这显然成立()()1122,,,.M x y N x y 设点12122288,.4343k x x x x k k +=-=-++由根与系数的关系得12243MN x O l k =-=+所以又到的距离12OMNS d MN ∆∴===……………………………10分2433,3.3t k t =+≥=≤=令那么当且仅当时取等号OMN ∆所以……………………………12分 21解：（1）()2ln f x x a x =--定义域为()0,+∞，()1a x af x x x'-=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为()0,+∞上的增函数，所以函数()f x 无极值…………2分②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()2ln f a a a a =--，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值.……………6分（2）当2a =-时，()22ln f x x x =-+，直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+在()0,+∞上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,+∞上没有实数解， 即2ln 1xk x-=在()0,+∞上没有实数解.……………………………8分 令()2ln xg x x=，则有()()221ln x g x x -'=.令()0g x '=，解得e x =， 当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：且当0x →时，()g x →-∞；e x =时，()g x 的最大值为2e；当x →+∞时，()0g x →， 从而()g x 的取值范围为2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.……………………………10分所以当()21,e k ⎛⎫-∈+∞⎪⎝⎭时，方程()12ln k x x -=无实数解， 解得k 的取值范围是21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.…………………………………………12分 22.解：(1)曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x = (2)分曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-=......5分(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4),直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+==⋅=t t y t t x 2244sin 4224cos ππ(其中为参数),.....7分代入24y x =可知22320t t ++=,.....8分因为1232t t =,可知2212||||||2C A C B t t +=+=4......10分23. (1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=--+=21,2211,31,2|12||1|)(x x x x x x x x x f ......2分当1-<x 时,由02>-x 得2>x ,即解集为Φ,当211≤≤-x 时,由03>x 得0>x ,解集为]210(，, 当21>x 时,由02>-x 得2<x ,解集为)2,21(, 综上所述,0)(>x f 的解集为)2,0(......5分(2)不等式32)(-+≤a x x f 恒成立等价于32)(-≤-a x x f 恒成立,则max ])([32x x f a -≥-,.....6分令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=-=21,22211,21,2)()(x x x x x x x f x g ,.....7分则1)(max =x g ,即2132≥⇒≥-a a .....9分 所以实数a 的取值范围是),2[+∞......10分。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A. B. C. 2 D. 42.已知集合A={a，1}，B={a2，0}，那么“a=-1”是“A∩B≠∅”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知在平面直角坐标系中，曲线f（x）=a ln x+x在x=a处的切线过原点，则a=（）A. 1B. eC.D. 04.下列四个结论：①若x＞0，则x＞sin x恒成立；②命题“若x-sin x=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sin x≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x-ln x＞0”的否定是“∃x0∈R，x0-ln x0＜0”．其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.若a＞0，b＞0，c∈R，函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋c在x＝1处有极值，则ab的最大值为（）A. 2B. 3C. 6D. 96.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为-=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A. x±y=0B. x±y=0C. x±2y=0D. 2x±y=07.函数f（x）=的图象可能是（）A. （1）（3）B. （1）（2）（4）C. （2）（3）（4）D. （1）（2）（3）（4）8.已知命题p：∀x∈R，e x≥1+x；命题q：∃x0∈R，ln x0≥x0-1．下列命题为真命题的是（）A. p∧qB. p∧（￢q）C. （￢p）∧qD. （￢p）∧（￢q）9.已知P为椭圆上一个动点，过点P作圆（x+1）2+y2=1的两条切线，切点分别是A，B，则的取值范围为（）A. B.C. D.10.已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知点F1是抛物线x2=4y的焦点，点F2是抛物线的准线与y轴的交点，过点F2作抛物线的切线，切点是A，若点A在以F1、F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.12.已知y=f（x）为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′（x）+＞0，则关于x的函数g（x）=f（x）+的零点的个数为（）A. 1B. 0C. 2D. 0或2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若命题p：“”是假命题，则实数a的取值范围是______．14.（极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系下曲线ρ=4sinθ表示圆，则点到圆心的距离为______．15.已知函数f（x）=（bx-1）e x+a（a，b∈R）．若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，则a，b的值分别为______．16.设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足=（+），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.曲线C：，极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的单位长度，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴）中，直线l：，求直线l被曲线C截得的线段长．18.已知p：函数y=x3+mx2+1在（-1，0）上是单调递减函数，q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．19.已知函数，曲线y=f（x）上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，求实数a的取值范围．20.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（Ⅰ）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；（Ⅱ）设OP=x（km），将y表示成x的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．21.已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，过F点的直线l与椭圆C交于不同两点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l斜率为1，求线段MN的长；（Ⅲ）设线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，y0），求y0的取值范围．22.设函数，其中a为常数．（1）当a=-1时，求函数极值；（2）若对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选：A．根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值．2.【答案】C【解析】解：当a=-1时，A={-1，1}，B={1，0}，则A∩B={1}≠∅成立，即充分性成立，若A∩B≠∅，则a2=1或a2=a，即a=1或a=-1或a=0，当a=1时，A={1，1}不成立，当a=-1时，A={-1，1}，B={1，0}，则A∩B={1}≠∅成立，当a=0时，B={0，0}不成立，综上a=-1，即“a=-1”是“A∩B≠∅”的充要条件，故选：C．根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合交集的定义进行运算是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵f（x）=a ln x+x，∴，∴，∵f（a）=a lna+a，∴曲线f（x）在x=a处的切线方程为y-a lna-a=2（x-a），∵曲线f（x）=a ln x+x在x=a处的切线过原点，∴-a lna-a=-2a，解得a=e．故选：B．求出，，f（a）=a lna+a，由此导数的几何意义求出曲线f（x）在x=a处的切线方程为y-a lna-a=2（x-a），再由曲线f（x）=a ln x+x在x=a处的切线过原点，能求出a．本题考查实数值的求法，具体涉及到导数、切线方程、导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．4.【答案】C【解析】解：①由y=x-sin x的导数为y′=1-cos x≥0，函数y为递增函数，若x＞0，则x ＞sin x恒成立，故①正确；②命题“若x-sin x=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x-sin x≠0”，由逆否命题的形式，故②正确；③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，则“命题p∧q 为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；④命题“∀x∈R，x-ln x＞0”的否定是“∃x0∈R，x0-ln x0≤0”，故④不正确．综上可得，正确的个数为3．故选：C．由函数y=x-sin x的单调性，即可判断①；由若p则q的逆否命题为若非q则非p，即可判断②；由复合命题“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，结合充分必要条件的定义即可判断③；由全称命题的否定为特称命题，即可判断④．本题考查命题的真假判断，注意运用导数判断单调性，以及四种命题的性质和充分必要条件的判断，以及命题的否定形式，考查判断和推理能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：f′（x）=12x2-2ax-2b，因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0，即12-2a-2b=0，所以a+b=6，又a＞0，b＞0，所以ab=9，当且仅当a=b=3时取等号，所以ab的最大值为9，故选：D．【分析】由f（x）在x=1处取得极值，得f′（1）=0，可得a+b=6，然后利用基本不等式可求得ab的最大值．本题考查利用导数研究函数的极值、基本不等式求函数的最值，注意利用基本不等式求函数的最值条件：一正、二定、三相等．6.【答案】A【解析】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为-=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．7.【答案】C【解析】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（-∞，-），（-，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（-，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（-∞，-），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C．分别令a=0，a＞0，a＜0，根据导数和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，以及导数和函数的单调性的关系，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：设f（x）=e x-1-x，则f′（x）=e x-1，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，即当x=0时，函数取得极小值f（0）═1-1=0，即∀x∈R，f（x）≥f（0）=0，即e x≥1+x成立，即命题p是真命题当x0=1时，ln x0=x0-1成立，即命题q：∃x0∈R，ln x0≥x0-1为真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题，故选：A．根据函数性质分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．9.【答案】C【解析】解：椭圆的a=2，b=，c=1，圆（x+1）2+y2=1的圆心为（-1，0），半径为1，由题意设PA与PB的夹角为2θ，则|PA|=PB|=，∴•=||•||cos2θ=•cos2θ=•cos2θ．设cos2θ=t，则y=•==（1-t）+-3≥2-3，∵P在椭圆的右顶点时，sinθ=，∴cos2θ=1-2×=，此时•的最大值为×=，∴•的取值范围是：[2-3，]．故选：C．由题意设PA与PB的夹角为2θ，通过解直角三角形求出PA，PB的长，利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简，换元后再利用基本不等式求出最值得答案．本题考查圆的切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：f′（x）=-2x+a-=．令g（x）=-2x2+（a-）x+3，由函数在区间（1，3）上有最大值，则必需，解得．∴实数a的取值范围是．故选：B．f′（x）=-2x+a-=．令g（x）=-2x2+（a-）x+3，由函数在区间（1，3）上有最大值，则必需，解出即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．11.【答案】B【解析】解：抛物线x2=4y的焦点F1（0，1），抛物线的准线与y轴的交点F2（0，-1）．设A（x0，），对抛物线x2=4y求导可得：y′=x，∴切线AF2的斜率为x0．∴=x0，解得x0=±2，A（±2，1）．设双曲线标准方程为：-=1（a，b＞0），∴-=1．又a2+b2=1．联立解得：b2=2-2，a2=3-2．∴e===+1．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，可得两个焦点坐标，设A（x0，），运用导数的几何意义和准线的斜率公式，解得A的坐标，代入双曲线方程，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的离心率．本题考查抛物线与双曲线的标准方程及其性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：由于函数g（x）=f（x）+，可得x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，f（x）+＞0，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（f′（x）+）＜0，故函数x•g（x）在（-∞，0）上是递减函数，函数x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数x•g（x）在（-∞，0）上无零点．综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0，故选：B．由题意可得，x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg （x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（-∞，0）上也无零点，从而得出结论．本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，属中档题．13.【答案】[1，2]【解析】解：若命题p：“”是假命题，则命题“∀x∈R，2x-2＞a2-3a”是真命题，即a2-3a+2≤0恒成立，∴1≤a≤2，故实数a的取值范围是[1，2]，故答案为[1，2]．由条件可通过命题的否定为真命题，从而转化为二次不等式恒成立问题，即可求出实数a的取值范围．本题考查特称命题与全称命题的关系，通过转化使问题简化，是解题的关键，应掌握．14.【答案】【解析】解：由曲线ρ=4sinθ化为ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，化为x2+（y-2）2=4，可得圆心C（0，2）．由点，可得=2，y A==2，∴A．∴|AC|==．故答案为：．利用极坐标与直角坐标的互化公式可得圆心的直角坐标，再把点A的坐标化为直角坐标，利用两点间的距离公式即可得出．本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、两点间的距离公式，属于基础题．15.【答案】1，2【解析】解：f（x）=（bx-1）e x+a得f′（x）=e x（bx+b-1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x．f′（0）=1，f（0）=0，即b-1=1，-1+a=0，解得a=1，b=2，故答案为：1，2．求导函数，利用曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x，建立方程，可求a、b的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】3【解析】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点为F，准线为x=-1，M是AB的中点，设A（x1，y2），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x-1），将直线方程代入抛物线方程消去y得：k2x2-（2k2+4）+k2=0，由根与系数的关系：x1+x2=2+，x1•x2=1，又设P（x0，y0），y0=（y1+y2）=[k（x1-1）+k（x2-1）]=，∴x0=，∴P（，），|PF|=x0+1=+1=2，∴k2=1，∴M点的横坐标为3，故答案为：3．根据已知条件M是AB中点，设出A和B的坐标及直线方程，并将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出x1+x2和x1•x2，并求出P 点坐标，根据|PF|=2，求得k的值，即可求得M点的横坐标．本题考查抛物线的性质和应用及根与系数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法，属于中档题．17.【答案】解：由得（x-2）2+y2=4，其极坐标方程为ρ=4cosθ，将θ=代入得ρ=4×=2，直线l被曲线C截得的线段长2．【解析】先求出曲线C的直角坐标方程，再化成极坐标方程，再将直线l：，代入可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18.【答案】解：对于p：y′=3x2+2mx，由于函数y=x3+mx2+1在（-1，0）上是单调递减函数，所以y′≤在（-1，0）上成立故，解得m≥对于命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根，可得△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m ＜3因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p，q一真一假当p真q假时，可得m≥3当p假q真时，可得1＜m＜综上：m的取值范围是：．…（12分）【解析】由题意，可先解出两个条件所满足的参数范围，再由复合命题的真假判断出p，q两个命题一真一假，然后分类解出参数的范围，即可得到所求本题考查复合命题的真假判断以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想及计算能力，知识运用能力，综合性较强19.【答案】解：∵曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，∴f′（x）=a+（x-1）e-x=0有两个不同的解，即得a=（1-x）e-x有两个不同的解，设y=（1-x）e-x，则y′=（x-2）e-x，∴x＜2，y′＜0，x＞2，y′＞0，∴x=2时，函数取得极小值-e-2，∴a的取值范围是-e-2＜a＜0．【解析】由曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，故f′（x）=a+（x-1）e-x=0有两个不同的解，即得a=（1-x）e-x有两个不同的解，即可解出a的取值范围．本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．20.【答案】解：（Ⅰ）①取AB中点Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），则，故，又OP=10-10tanθ，所以，所求函数关系式为②若OP=x（km），则OQ=10-x，所以OA=OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，y′=令y′=0得sin，因为，所以θ=，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处．【解析】（1）（i）取AB中点Q，根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．本小题主要考查函数最值的应用．①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意：c=1，a=2，b2=a2-c2=3，所求椭圆方程为．（3分）（Ⅱ）由题意，直线l的方程为：y=x-1．由得7x2-8x-8=0，，所以．（7分）（Ⅲ）当MN⊥x轴时，显然y0=0．当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），则．所以，线段MN的垂直平分线方程为在上述方程中令x=0，得．当k＜0时，；当k＞0时，．所以，或．综上，y0的取值范围是．（10分）【解析】（Ⅰ）利用椭圆右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，求出几何量，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l的方程为：y=x-1，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，可求线段MN的长；（Ⅲ）分类讨论，设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x=0，得，利用基本不等式，即可求y的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键．22.【答案】解：（1）a=-1时，f（x）=x-．x∈（0，+∞）．f′（x）=1-=．g（x）=x2+ln x-1在x∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0．∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．即在x=1处取得极小值，而无极大值．f（1）=1．（2）f（x）=x+a．x∈（0，+∞）．a∈（0，m]．f′（x）=1+=．对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，∴f′（x）=≥0．即h（x）=x2+a（1-ln x）≥0，x∈（0，+∞）．h′（x）=2x-==．可得函数h（x）在x=处取得极小值，则h（）=a+a（1-ln a）≥0，化为：ln a≤4．∴a≤e4．∴m的最大值为：e4．【解析】（1）a=-1时，f（x）=x-．x∈（0，+∞）．f′（x）=1-=．g（x）=x2+ln x-1在x∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0．j即可得出f（x）的极值点．（2）f（x）=x+a．x∈（0，+∞）．a∈（0，m]．f′（x）=1+=．对任意a∈（0，m]时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，可得f′（x）=≥0．即h（x）=x2+a（1-ln x）≥0，x∈（0，+∞）．利用导数研究其单调性，令其h（x）min≥0即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

第二学期高二年级期中质量调查数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.要描述一个学校的组成情况，应选用A.工序流程图B. 组织结构图C. 知识结构图D.程序框图2.在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数2R 依次为0.36,0.95,0.74,0.81，其中回归效果最好的模型的相关指数2R 为A. 0.95B. 0.81C. 0.74D.0.36 3.若i 为虚数单位，则33i+等于 A.334i - B. 332i - C. 334i + D. 332i + 4.下面是一个22⨯列联表则表中,a b 处的值分别为A. 14,16B. 4,26C. 4,24D. 26,4 5.若0,10a b <-<<，则下列不等关系成立的是A.2ab ab a <<B. 2a ab ab <<C. 2ab a ab <<D. 2a ab ab << 6.设67,58,5a bc ===，则,,c a b 的大小关系为A. c b a <<B. b c a <<C. c a b <<D. a b c <<7.已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该数据算得的线性回归方程只可能是下列选项中的A. ˆ29.5y x =-+B. ˆ2 2.4y x =-C. ˆ0.4 2.3yx =+ D. ˆ0.3 4.4y x =-+ 8.阅读右边的程序框图，当该程序运行后，输出的S 的值是 A. 35 B. 63 C. 84 D. 1659.已知()1f x x x =--，设()()5,,16u f v f u s f v ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则s 的值为A.38 B. 12 C. 14D. 0 10.设()111,1,23n N f n n *∈=++++L 计算得()()()()352,42,8,163,22f f f f =>>>L ，观察上述结果，可推测一般结论为A. ()()2log 22n f n n N *+≥∈ B. ()()222n f n n N *+≥∈ C. ()()222nn f n N *+>∈ D. ()()222n n f n N *+≥∈第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.11.已知i 为虚数单位，(),2a R ai i ∈-的实部与虚部互为相反数，则a 的值为 .12.用反证法证明命题“如果a b >>”时，假设的内容是 .13.在0H 成立的条件下，若(2 2.0720.15P K ≥=，则表示把结论“0H 成立”错判成“0H 不成立”的概率不会超过 .14.若12342358,,,,,35813a a a a ====L 则8a = . 15.已知函数()()21f x x k x k =+--的恰有一个零点在()2,3内，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分6分)已知0a b >>，求证：2222 1.a b b a b a b-+<++17.(本小题满分8分) 计算下列各题：（1）1122i ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭g（2）()()21212i i i+-+18.(本小题满分8分)求证：()()sin 22cos sin sin .αβαβαβ+=++19.(本小题满分8分)（1（2）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+并在（1）的坐标系中画出回归直线.20.(本小题满分10分) D为如图，在三棱锥S ABC -中，SD ⊥平面ABC ，AB 的中点，E 为BC 的中点，.AC BC = （1）求证：//AC 平面;SDE （2）求证：.AB SC ⊥。

高二数学(文)期中考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分.第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数21()x f x +=的定义域为 A.12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭ B. 132x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且 C. 132x x x ⎧⎫≥-≠⎨⎬⎩⎭且 D. {}3x x ≠ 2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5},,{5,7}U M a M U C M =-⊆=，则实数a 的值为 A.2或8- B.2-或8- C. 2-或8 D.2或83．已知函数305()(5)5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(14)f = A.64 B.27 C. 9 D.14．已知0,10a b <-<<，那么下列不等式成立的是A.2a ab ab >>B. 2ab ab a >>C. 2ab a ab >>D. 2ab ab a >>5．若0,0x y >>x y x y ≤+a 的最小值是 A.222 C.2 D.16. 圆221:(3)1C x y -+=，圆222:(3)4C x y ++=，若圆M 与两圆均外切，则圆心M 的轨迹是A. 双曲线的一支B.一条直线C.椭圆D.双曲线7． 若,a b R ∈，则不等式22ax x b +≥+的解集为R 的充要条件是A.2a =±B. 2a b ==±C.4ab =且2a ≤D. 4ab =且2a ≥8．点P 到点1(,0),(,2)2A B a 及到直线12x =-的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A.12 B.32 C. 12或32 D. 12-或12第Ⅱ卷（非选择题 共72分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9．已知双曲线2221(0)5x y b b-=>的一个焦点在直线210y x =-上，则双曲线的方程为 ▲ ． 10．给出下列3个命题：①若,a b R ∈，则2a b ab +≥②若x R ∈，则21x x +>；③若x R ∈且0x ≠，则12x x+≥，其中真命题的序号为 ▲ ． 11．已知点(,)a b 满足方程22(2)14b a -+=，则点(,)a b 到原点O 的最大距离是 ▲ ． 12．已知{}{}22230,0,A x x x B x ax bxc =-->=++≤若{}34,A B x x A B R =<≤=I U ，则22b a ac +的最小值是 ▲ 13．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线交直线2a x c =于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过焦点(,0)F c ，则双曲线的离心率为 ▲ ．14．给出下列四个命题：○1已知命题p ：000,2lg x R x x ∃∈->，命题q ：2,0,x R x ∀∈>则命题()p q ∧⌝为真命题 ○2命题“若,221a b a b >>-则”的否命题为“若,221a b a b >≤-则 ○3命题“任意2,10x R x ∈+≥”的否定是“存在200,10x R x ∈+<” ○4“2x x >”是“1x >”的必要不充分条件 其中正确的命题序号是 ▲ ．15．过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线0x my m -+=与抛物线交于A B 、两点，且OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为，则64m m += ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共48分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知,x y 满足：1111x y+=+. （I ）若0,0x y >>，求2x y +的最小值;（II ）解关于x 的不等式：2y x ≥.17．已知全集R U =，非空集合222{|0},{|0}31x x a A x B x x a x a---=<=<---． （I ）当12a =时，求()U B A I ð； （II ）条件:p x A ∈,条件:q x B ∈,若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点坐标为1(,0)2F -，且已知点(2,2)M -．（I ）求抛物线C 的方程；（II ）直线l 交抛物线C 于,P Q 两点，且90PMQ ∠=︒，问直线l 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．19．已知22()|1|f x x x kx =-++．（I ）若2k =-，解不等式()0f x >；（II ）若关于x 的方程()0f x =在(0,2)上有两个解12,x x ，求实数k 的取值范围.20．给定椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>），称圆2222x y a b +=+为椭圆E 的“伴随圆”． 已知椭圆E 中1b =（I ）求椭圆E 的方程；（II ）若直线l 与椭圆E 交于,A B 两点，与其“伴随圆”交于,C D两点，当CD = 时， 求弦长AB 的最大值．（参考答案）一． 选择题1)C 2) D 3)A 4)D 5) B 6) A 7) D 8)D二．填空题9)221520x y -= 10)○211) 3 12) 3214)○1○3○4 15)2三．解答题16. 1111,2+y=2x+211x x y x x x x x++==++≥） 2) ]211211,220,0(,(0,12x x x x y y x x x x x x ++--⎤=-=-≥≤⇒∈-∞-⎥⎦U 17. 1)51919952,,,,(,,,(),2242442U U A B B B A ⎛⎫⎛⎫⎤⎡⎫⎡⎫===-∞+∞= ⎪ ⎪⎪⎪⎥⎢⎢⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎭⎣⎭U I 痧2) 22221331222312a a A B a a a a a ⎧≤≤+-⎪⊆⇒≤+≤+⇒-≤≤⎨⎪+≠⎩Q 且13a ≠ 18.1) 22y x =-2）22121212:,(,),(,),(2)(2)422y y l ay x b P y Q y PM QM y y =+--⊥⇒++=- 2121222202,22ay x b y ay b y y a y y b y x=+⎧⇒+-=⇒+=-=-⎨=-⎩，42b a ⇒=-⇒过定点（-4，-2） 19.222222()|1|20|1|212f x x x x x x x x x x =-+->⇒->-⇒->-或2212x x x x -<-+⇒>或12x < 20.1）2213x y +=2) 22:,213y kx b l y kx b CD x y =+⎧⎪=+==⇒⎨+=⎪⎩222(13)6330k x bkx b +++-=12AB x =-=,令213k t AB +=⇒=当k =±时2AB =≤。

湖北省随州市高二下学期期中数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·武汉模拟) 已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R ，则实数a＝（）A .B .C . 2D . ﹣22. （2分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A . 方程x2+ax+b=0没有实根B . 方程x2+ax+b=0至多有一个实根C . 方程x2+ax+b=0至多有两个实根D . 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3. （2分）若二次函数发（x)=x2-bx+a的部分图像如右图所示，则函数g(x）=lnx+f'(x)的零点所在的区间是（）A .B . (1,2)C .4. （2分）给出下列推理:①由A,B为两个不同的定点,动点P满足||PA|-|PB||=2a<|AB|,得点P的轨迹为双曲线;②由a1=1,an=3n-1(n≥2)求出S1,S2,S3,猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式;③科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.其中是归纳推理的是（）A . ①B . ②C . ③D . ①②③5. （2分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ， yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A . y与x具有正的线性相关关系B . 回归直线过样本点的中心（，）C . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg6. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 已知x∈[﹣1，0]，θ∈[0，2π），二元函数取最小值时，x=x0 ，θ=θ0则（）A . 4x0+θ0=0B . 4x0+θ0＜0C . 4x0+θ0＞0D . 以上均有可能．7. （2分）若函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）等于（）A . ﹣1D . ﹣4e8. （2分）曲线y＝在点（2,4）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A . 1B . 2C .D .9. （2分） (2017高二下·兰州期中) 甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A . 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B . 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C . 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D . 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人10. （2分）(2017·成都模拟) 已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）在区间（a，b）内的极小值点的个数为（）A . 1B . 211. （2分）根据给出的数塔猜测等于（）...A . 1111110B . 1111111C . 1111112D . 111111312. （2分）(2020·广州模拟) 已知函数的导函数为，记，，…，N . 若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2018高二下·辽源月考) 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a ＝________.14. （1分） (2015高二下·屯溪期中) 命题“三角形的任意两边之和大于第三边”．类比上述结论，你能得到：________．15. （2分） (2020高一下·宁波期中) 已知复数满足，的虚部是2,则复数z的共轭复数的模是________， ________.16. （1分） (2018高三上·大连期末) 已知的导函数为，若，且当时，则不等式的解集是________．三、解答题 (共8题；共64分)17. （10分）(2013·湖南理) 已知a＞0，函数．（1）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（2）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．18. （14分）(2017·桂林模拟) 几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：年龄[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）受访人数56159105支持发展4512973共享单车人数（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持________________________不支持________________________合计________________________（2）若对年龄在[15，20）[20，25）的被调查人中随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．参考数据：P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d．19. （10分）已知复数z=（m2﹣3m）+（m2﹣m﹣6）i，（1）当复数z所对应的点在虚轴上时；求m的值（2）当复数z所对应的点在第三象限时．试求m的取值范围．20. （10分）(2018·安徽模拟) 已知（其中）.（1）求函数在上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围.21. （5分）(2018·宁县模拟) 已知曲线：为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．Ⅰ 将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；Ⅱ 设P为曲线上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线上的点的距离的最小值．22. （5分）(2017·襄阳模拟) 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+x＞0；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围．23. （5分） (2018高三上·长沙月考) 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1和C2的极坐标方程分别为和．（Ⅰ）求曲线C1、C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C1、C2的公共点为A、B ，过点O作两条相互垂直的直线分别与直线AB交于点P、Q ，求 OPQ 的面积的最小值．24. （5分） (2017高二下·南昌期末) 设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．（Ⅰ）证明：| a+ b|＜；（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共64分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：。

绝密★启用前湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中三校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题一、单选题1．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：将其方程变为标准方程为，根据题意可得，，且，解得，故A正确。

考点：椭圆的方程及基本性质2．已知集合，，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不允分也不必要条件【答案】C【解析】由题得：，则成立，而且，所以前后互推都成立，故选C3．已知在平面直角坐标系中，曲线在处的切线过原点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵f(x)=alnx+x,∴，∴，∵f(a)=alna+a，∴曲线f(x)在x=a处的切线方程为y−alna−a=2(x−a)，∵曲线f(x)=alnx+x在x=a处的切线过原点，∴−alna−a=−2a，解得a=e.本题选择B选项.4．下列四个结论：①若，则恒成立：②命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；③“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；④命题“，”的否定是“，”.其中正确结论的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】B【解析】【分析】对选项逐一分析，即可得答案。

【详解】①设，则，所以在上单调递增，且，即，故①正确。

②由逆否命题的定义可知②正确。

③命题为真，则p、q至少有一个为真，不能推出为真，故③错误。

④命题“，”的否定是“，，故④错误，故选B 【点睛】本题考查了命题的逆否命题，必要不充分条件的判断，含有量词的命题的否定等知识，综合性较强，考查了分析推理的能力，属基础题。

5．若，，，函数在处有极值，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】先对求导，在x=1处有极值，等价于，解出再利用均值定理即可求解ab的最大值。

【详解】解：对求导，，在x=1处有极值，所以，又，当且仅当时取等，经检验满足题意。

故选D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，均值定理求乘积的最大值，比较基础。