2020届浙江省杭州二中高三上学期返校考试数学试题

绝密★启用前 2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题 试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若复数z 满足()1234i z i -=+，则z 的虚部为( ) A ．2i - B ．2i C ．2 D ．2- 2．若1a r =，b =r ，且()a a b ⊥-r r r ，则向量,a b r r 的夹角为 （ ） A ．45° B ．60° C ．120° D ．135° 3．若2tan πtan 5α=，则3πsin 10πcos 5αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．13- C ．13 D ．3- 4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2467220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且66b a =，则210b b 等于( ) A ．49 B ．32 C ．94 D ．23 5．若变量,x y 满足2{2390x y x y x +≤-≤≥，则222x x y ++的最大值是（ ） A ．4 B ．9 C ．16 D ．18 6．函数()()33lg x x f x x -=+⋅的图象大致为（ ）……订………………线…………○……线※※内※※答※※题……订………………线…………○……A．B．C．D．7．如图Rt ABC∆中，2ABCπ∠=，2AC AB=，BAC∠平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB a=u u u v v，AC b=u u u v v，则向量AD=u u u v（）A．a b+v vB．12a b+vvC．12a b+vvD．23a b+vv8．正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，动点P满足2OP=u u u v，若AP mAB nAD=+u u u v u u u v u u u v，其中,m n∈R，则2122mn++的最大值是( )A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数()f x的定义域为R，1122f⎛⎫=-⎪⎝⎭，对任意的x∈R满足()4f x x'<，当[]0,2πα∈时，不等式()cos cos2fαα>的解集为( )A．7π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭B．π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭C．π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭D．π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭10．已知函数()f x的图象在点()00,x y处的切线为():l y g x=，若函数()f x满足x I∀∈（其中I为函数()f x的定义域，当x x≠时，()()()00f xg x x x-->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称x为函数()f x的“转折点”，已知函数()2122xf x e ax x=--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a的取值范围是A．[]0,e B．[]1,e C．[]1,+∞D．(],e-∞第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 11．已知集合}2280P x x x =-->，{}Q x x a =≥，若P Q R =U ，则实数a 的取值范围是______，若P Q Q ⋂=，则实数a 的取值范围是______. 12．若()()1sin sin 3a βαβ+-=-，则22cos cos a β-=_____ 13．设函数()341f x x x =--+，则不等式()5f x >的解集为______，若存在实数x 满足()ax a f x +≥成立，则实数a 的取值范围是______. 14．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()ln x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________. 15．函数()()cos 0f x x ωω=>的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，…，n A ，…在点列{}n A 中存在三个不同的点k A ，t A ，p A ，使得k t p A A A △是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=______. 16．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，BD =，sin 23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______. 17．已知向量1a b a b ==+=r r r r ，向量c r 满足()24220c a b c -+⋅+=r r r r ，若对任意的t ∈R ，记c ta +r r 的最小值为M ，则M 的最大值为______. 三、解答题 18．设函数())1sin sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；○…………外………………○…………※※答※※题※※ ○…………内………………○…………（Ⅱ）在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若()1f B =，2b =，且()()2cos cos 1b A a B -=+，求ABC V 的面积. 19．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，BA AD ⊥，6DA DC =====，过点A 作平面α垂直于直线CD ，分别交CD ，CP 于点E ，F .(1)求BF 的长度；(2)求平面BCP 与平面ADP 所成的锐二面角的余弦值.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log na nb n =-+，求数列1{}nb 的前n 项和n T .21．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2，且点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，左右顶点为1A ，2A ，左右焦点为1F ，2F .过点1A 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C 的另一个交点为G ，直线1GF 与直线1A D 交于点H .(2)若12GF DF ⊥，求k 的值； (3)若1A H HP λ=u u u u v u u u v ，求实数λ的取值范围. 22．已知()1ln 2x f x x e -=-+，()212g x ax x a =-+，其中实数0a >. (1)求()f x 的最大值； (2)若()a g f x x≥对于任意实数()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】 先计算出345i +=，再整理得512z i=-即可得解. 【详解】Q 345i +==即()125i z -=， ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的概念、复数的四则运算以及复数模的概念，属于基础题.2．A【解析】试题分析：根据题意，由于向量()()21,?=0-?b 0?b 1a b a a b a a b a a a ==⊥-∴-⇔=∴=u u r u u r r r r r r r r r r r r 且，故可知·b cos ,b cos ,b 2|?b |a a a a =⇔=r r r r r r r r ，故可知向量,ab r r 的夹角为45°，故选A. 考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的运用，属于基础题．3．C【解析】【分析】 先转化条件得πtan tan 25α=，再化简原式tan tan 151tan tan 5παπα-=+即可得解. 【详解】 Q 2tan πtan 5α=，∴πtan tan 25α=， ∴原式sin cos sin sin cos cos 52555ππcos cos sin sin cos cos 5555πππππααααππαααα⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan121151231tan tan5παπα--===++. 故选：C.【点睛】 本题考查了三角函数的化简求值，考查了学生的计算能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据等差数列的性质转化条件得266320a a -=，再根据等比数列的性质可知22106b b b =即可得解.【详解】Q 2467220a a a -+=，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，∴()()26662220a d a a d --++=即266320a a -=， 又 {}n a 各项不为0， ∴632a =， ∴222106694b b b a ===. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，要求学生具有转化问题的能力，属于基础题. 5．C【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(0,3),(3,1)A B C --， 而222222(1)11x x y x y PM ++=++-=-，其中(1,0),M P - 为可行域内一点，因为PM CM ≤，所以222x x y ++的最大值是2116,CM -=选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6．D【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。

2022-2021学年浙江省杭州二中高三（上）其次次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}2．等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知圆C：x2+y2﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（）A．确定相离B．确定相切C．相交且确定不过圆心D．相交且可能过圆心4．已知等比数列{a n}的公比为q（q为实数），前n项和为S n，且S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．1 B．﹣C．﹣1或D．1或﹣5．已知x，y 满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．46．已知等差数列{a n}的前n项和为S n ，且=5，=25，则=（）A．125 B．85 C．45 D．357．若正数a，b 满足，的最小值为（）A．1 B．6 C．9 D．168．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．2﹣C．D．9．若等差数列{a n}满足a12+a102=10，则S=a10+a11+…+a19的最大值为（）A．60 B．50 C．45 D．40 10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，2]上是增函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），给出下列结论：①若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8或8；④函数f（x）在[﹣8，8]内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．函数f（x）=的全部零点所构成的集合为．12．如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为km．13．在△ABC中，∠A=，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨|2=，则∠B=．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成的角的大小为．15．已知sinα，cosα是关于x的方程x2﹣ax+a=0的两个根，则sin3α+cos3α=．16．已知O是△ABC外心，若，则cos∠BAC=．17．已知函数f（x）=﹣x，对，有f（1﹣x）≥恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC﹣a﹣c=0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=，求2a+c的取值范围．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：AD⊥平面PBC；（2）若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，求的值．20．已知数列{a n}的首项为a（a≠0），前n项和为，且有S n+1=tS n+a（t≠0），b n=S n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）当t=1时，若对任意n∈N*，都有|b n|≥|b5|，求a的取值范围；（Ⅲ）当t≠1时，若c n=2+b1+b2+…+b n，求能够使数列{c n}为等比数列的全部数对（a，t）．21．如图，已知圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，过点（m，0）（m＜0）倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值．2022-2021学年浙江省杭州二中高三（上）其次次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M={y|y=2﹣x}，P={y|y=}，则M∩P=（）A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}考点：交集及其运算；函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：先化简这两个集合，利用两个集合的交集的定义求出M∩P．解答：解：∵M={y|y=2﹣x}={y|y＞0}，P={y|y=}={y|y≥0}，∴M∩P={y|y＞0}，故选C．点评：本题考查函数的值域的求法，两个集合的交集的定义，化简这两个集合是解题的关键．2．等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：规律型．分析：结合等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行推断即可．解答：解：在等比数列中设公比为q，则由a1＜a4，得a1＜a1q3，∵a1＞0，∴q3＞1，即q＞1．由“a3＜a5”得，即q2＞1，∴q＞1或q＜﹣1．∴“a1＜a4”是“a3＜a5”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，利用等比数列的运算性质是解决本题的关键，比较基础．3．已知圆C：x2+y2﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（）A．确定相离B．确定相切C．相交且确定不过圆心D．相交且可能过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．解答：解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心C（1，0），半径r=，∵≥＞1，∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，∴直线l与圆相交且确定不过圆心．故选C点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的学问有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，娴熟把握直线与圆位置关系的推断方法是解本题的关键．4．已知等比数列{a n}的公比为q（q为实数），前n项和为S n，且S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．1 B．﹣C．﹣1或D．1或﹣考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：依据等比数列的求和分别表示出S3、S9、S6代入2S9=S6+S3，即可得到答案．解答：解：依题意可知2S9=S6+S3，即2=+整理得2q6﹣q3﹣1=0，解q3=1或﹣，当q=1时，2S9=S6+S3，不成立故排解．故选B．点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．5．已知x，y 满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．4考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．。

绝密★启用前2023学年第二学期浙江省杭州二中2月开学考高三数学试题卷考生须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2A =,{}2,3B =，则集合{},,C z z x y x A y B ==+∈∈的真子集个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．82．等比数列{}n a 满足11a =，()35441a a a ⋅=-，则7a 等于（）A ．2B ．4C ．92D ．63．函数cos ln y x x =-的图象大致是（）4．设,a b ∈R ，则1b a <<是11a b ->-的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知0.75a =，52log 2b =，πsin 5c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a<<B ．b c a<<C ．a c b <<D ．c6．在621x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 的系数为（）A ．60B ．60-C ．120D ．120-7．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，且12π3F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为（）A ．2B ．3C ．12D ．138．若π5π3sin cos 4124αα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12-B ．12+C ．122-D ．122+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设α，β，γ为互不重合的平面，m ，n 为互不重合的直线，则下列命题为真命题的是（）A ．若αγ∥，βγ∥，则αβ∥B ．若m αβ= ，m γ⊥，则αγ⊥，βγ⊥C ．若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥10．有一组互不相等的样本数据126,,,x x x ，平均数为x ．若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为125,,,y y y ，平均数为y ，则（）A ．新数据的极差可能等于原数据的极差B ．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数C ．若x y =，则新数据的方差一定大于原数据方差D ．若x y =，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数11．记函数()()()2cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，且()f x 在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差为3，则（）A ．()01f =B ．ππ39f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 在区间π2π,93⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．直线332y x =是曲线()y f x =的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设函数(),1ln ,1x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()1f =______；若()1f a =，则实数a =______．13．设1z ，2z 是复数，已知11z =，23z =，125z z -=12z z +=______．14．如图，已知3BC =，D ，E 为ABC △边BC 上的两点，且满足BAD CAE ∠=∠，14BD BE CD CE ⋅=⋅，则当ACB ∠取最大值时，ABC △的面积等于______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020届浙江省杭州二中高考数学统测试卷(5月份)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若函数f(x)=cosωx在区间(0,π]上单调递减，则正实数ω的取值范围是()A. [1,2]B. (0,1)C. (12,1] D. (0,1]2.设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α//β，α//γ，则β//γ；②若α⊥β，m//α，则m⊥β；③若m⊥α，m//β，则α⊥β；④若m//n，n⊂α，则m//α．其中真命题的序号是()A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③3.复数3+i1−3i=()A. iB. −iC. 2iD. −2i4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某四面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是()A. 2√5B. 4√2C. 6D. 4√35.已知等差数列{a n}中，a1=−1，d=4，则它的通项公式是()A. a n=−4n+3B. a n=−4n−3C. a n=4n−5D. a n=4n+36.函数f(x)=√3sinx−acosx的图象的一条对称轴是x=5π3，则g(x)=asinx+cosx= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个初相是()A. −3π4B. −π4C. π4D. 3π47. 已知实数x ，y 满足{x ≥0y ≥0x +2y ≤2，若目标函数z =x −y 的最大值为a ，最小值为b ，则(a −bt)6展开式中t 4的系数为( )A. 200B. 240C. −60D. 608. 已知平面内一点满足，若实数满足：，则的值为( )A. 6B. 3C. 2D.9. 如图，E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D 、DD 2的中点，沿SE 、SF 、EF 将它折成一个几何体，使D 1、D 、D 2重合，记作D ，给出下列位置关系：①SD ⊥面EFD ； ②SE ⊥面EFD ；③DF ⊥SE ；④EF ⊥面SED.其中成立的有( )A. ①与②B. ①与③C. ②与③D. ③与④10. 已知双曲线x 2m 2−y 2=1(m >0)与抛物线y 2=4x 的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积等于1，则m =( )A. √2B. 1C. √22D. 12二、单空题（本大题共4小题，共18.0分）11. 设全集U ={1,2，3，4}，A ={1,3}，B ={1,4}，∁U (A ∪B)=______．12. 函数f(x)={x 2+2x −1,x ≥a−x 2+2x −1,x <a对于任意的实数b ，函数y =f(x)−b 至多有一个零点，则实数a 的取值范围是______ ．13. 棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则1x +1y 的最小值为______ ．14. 已知函数，若实数满足，则实数的范围是 ．三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）15. 若(1−x −x 2)3=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 6x 6，则a 6= (1) ，a 1+a 3+a 5= (2) ． 16. 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为49，乙、丙应聘成功的概率均为t3(0<t <3)，且三人是否应聘成功是相互独立的．若甲、乙、丙都应聘成功的概率是1681，则t 的值是 (1) ；设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，则ξ的数学期望是 (2) ．17. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F(2,0)，则p = (1) ，过点A(3,2)向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E ，则|EF|= (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里? (Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?19.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥面ABCD，AB=2AD=2CD=PC=4，E是PB的中点．(1)求证；平面EAC⊥平面PBC；(2)求三棱锥P−ACE的体积．20.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，.等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n21.已知F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右两个焦点，且椭圆C上的点A(1,32)到两个焦点F1、F2的距离之和为4．(1)求椭圆C的方程，并写出其焦点F1、F2的坐标；(2)过椭圆C的右焦点F2任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且直线MA 与直线MB关于x轴对称，求点M的坐标；(3)根据(2)中的结论特征，猜想出关于所有椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个一般结论(不需证明)．22.已知函数f(x)=a2x3−3ax2+2，g(x)=−3ax+3，x∈R，其中a>0．(Ⅰ)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)在区间(−1,1)上的极值；(Ⅲ)若∃x0∈(0,12]，使不等式f(x0)>g(x0)成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查三角函数的单调性，属基础题．解：∵x∈(0,π],ω>0,∴ωx∈(0,ωπ],因为函数f(x)=cosωx在区间(0,π]上单调递减，所以(0,ωπ]⊆(0,π],∴ω∈(0,1]．故选D．2.答案：D解析：解：对于①，因为α//β，α//γ，利用平面与平面平行的性质定理可得β//γ，正确；对于②，若α⊥β，m//α，则m与β关系不确定；对于③，∵m//β，∴β内存在直线与m平行，而m⊥α，所以β内存在直线与α垂直，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确；对于④，m有可能在平面α内，故不正确；所以正确的是①③，故选：D．对每一选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的证明一下即可．本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：3+i1−3i=(3+i)(1+3i) (1−3i)(1+3i)=3+i+9i+3i210=i．选A．把3+i1−3i 的分子分母同时乘以分母的共轭复数，得到(3+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)，再由复数的代数形式的乘除运算能够求出结果．本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.答案：C解析：本题考查了不规则放置的几何体的三视图，属于中档题．作出几何体的直观图，根据三视图数据计算出最长棱即可．解：三视图对应的直观图为三棱锥A−BCD，其中正方体的棱长为4．最长棱长为CD=√22+(4√2)2=6．故选：C．5.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式即可得出．解：a n=−1+4(n−1)=4n−5．故选：C．6.答案：C解析：解：f(x)=√3sinx−acosx的图象的一条对称轴是x=5π3，，∴−a=−32+a2，解得a=1，∴g(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，∴g(x)的初相为π4．故选：C．根据题意，求出a，代入g(x)化简可得答案．本题考查三角函数的对称性，辅助角公式，考查运算能力，属于中档题．7.答案：D解析：解：由约束条件{x≥0y≥0x+2y≤2作出可行域如图，A(2,0)，B(0,1)，化目标函数z=x−y为y=x−z，由图可知，当直线y=x−z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2；当直线y=x−z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为−1．∴a=2，b=−1．则(a−bt)6即为(2+t)6．由T r+1=C6r26−r t r，取r=4，可得展开式中t4的系数为22C64=60．故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得a、b的值，代入(a−bt)6，写出展开式的通项，由x的指数等于4求得r值，则答案可求．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了二项式系数的应用，是中档题．8.答案：B解析：试题分析：根据题意可知，平面内一点满足，同时，运用向量的减法表示得到，故选B。

2020年浙江省杭州二中高考数学模拟试卷(6月份)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x||x|<1},B={x|x(x−2)<0}，则A∩B=()A. {x|0<x<1}B. {x|1<x<2}C. {x|−1<x<0}D. {x|0≤x<1}2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3，则它的渐近线为()A. y=±xB. y=±√2xC. y=±2xD. y=±√3x3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为()A. 4B. 2√3C. 2√2D. 2√54.设x,y满足约束条件{x−y+1≥0,x+y−1≥0,x≤3.则z=2x−3y的最小值是()A. −7B. −6C. −5D. −35.在△ABC中，“sinA>cosB”是“△ABC是锐角三角形”的()A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分又不必要条件6.函数y=−cosxx的图像可能是()A. B.C. D.7. 有6名男医生，3名女护士，组成三个医疗小组分配到A 、B 、C 三地进行医疗互助，每个小组包括两名男医生和1名女护士，不同的分配方案有( )A. 540种B. 300种C. 150种D. 60种8. 如图，矩形ABCD 中,AB =1,BC =√2,E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 翻折，记为ΔAB ′E,在翻折过程中，①点A ′在平面BCDE 的射影必在直线AC 上; ②记A ′E 和A ′B 与平面BCDE 所成的角分别为α，β，则tanβ−tanα的最大值为0;③设二面角A ′−BE −C 的平面角为θ，则θ+∠A ′BA ≥π.其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0,+∞)，都有f[f(x)−lnx]=e +1，则方程f(x)−f ′(x)=e 的解所在的区间是( )A. (0,12)B. (12,1)C. (1,2)D. (2,3)10. 在数列{a n }中，若a 1=2，a n+1=an 2a n +1(n ∈N ∗)，则a 5=( )A. 417B. 317C. 217D. 517二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 若(2x 2−1√x )n 的展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式中的常数项为 ． 12. 已知复数z =x +yi(x,y ∈R)，且|z −2|=√3，则yx 的最小值为______． 13. 若随机变量ξ～B(16,12)，若变量η=5ξ−1，则D (η)=______ ． 14. 在△ABC 中，D 为AC 中点，若AB =4√63，BC =2，BD =√5，则cos∠ABC =_____，sinC =_______． 15. 已知a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3，则a ⃗ ⋅b ⃗ =____________． 16. 已知实数x ，y ，z 满足{xy +2z =1,x 2+y 2+z 2=5,则xyz 的最小值为____.17. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点M(x 0,2√2)(x 0>p2)是抛物线C 上一点，以M为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线x =p2截得的弦长为√3|MA|，若|MA||AF|=2，则|AF|=________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=(2cos2x−1)sin2x+12cos 4x．(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈(π2,π)，且f(α)=√22，求α的值．19.如图，在三棱锥O−ABC中，∠OAB=∠OAC=60°，AB=AC=AO=a，BC=√2a，D为BC的中点．(1)求证：OD⊥平面ABC；(2)求OA与平面ABC所成的角．20.设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n+n(n∈N∗)．(1)证明：数列{a n−1}为等比数列；(2)若b n =1−a na n a n+1，求T n =b 1+b 2+⋯+b n ．21. 在平面直角坐标系xOy 中，F 1,F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C 上的一点，满足OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +√22OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且的周长为2(√2+1)(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P,Q 两点，若是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围．22. 已知函数f(x)=12x 2−(a +1)x +alnx(a ∈R)．(1)当a >0时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)恰好有两个零点，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查集合的运算．根据集合的运算法则计算即可．解：全集U=R，集合A={x||x|<1}={x|−1<x<1},B={x|x(x−2)<0}={x|0<x<2}，A∩B={x|0<x<1}．故选A．2.答案：B解析：解：由双曲线的离心率为√3，=√3，即c=√3a，则e=cab=√c2−a2=√3a2−a2=√2a，x，由双曲线的渐近线方程为y=±ba即有y=±√2x.故选：B．运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的棱长的求法及应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：最长的棱长为AB =√22+22=2√2． 故选：C ．4.答案：B解析：本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 解：由约束条件{x −y +1≥0x +y −1≥0x ≤3作出可行域如图，联立{x =3x −y +1=0，解得A(3,4)，化目标函数z =2x −3y 为y =23x −13z ， 由图可知，当直线y =2x −3z 过点A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值， 此时z =2×3−3×4=−6． 故选B ．5.答案：C解析：解：当A =π2，B =π3时，满足sinA >cosB ，但此时△ABC 是直角角三角形， ∴△ABC 是锐角三角形不成立．当△ABC为锐角三角形时，A+B>π2，A>π2−B，∴sinA>sin(π2−B)=cosB，故sinA>cosB成立．∴“sinA>cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：C．根据三角函数的诱导公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键．6.答案：A解析：本题考查已知函数的解析式选图象，可以用排除法，属于中档题．解：因为y=−cosxx，所以函数奇函数，排除B；当x=π6,y=−√32π6=−3√3π<0，排除C；当x→0+,y→−∞，排除D．故选A．7.答案：A解析：本题考查排列、组合的运用，注意要分好3个组，再进行排列，与三个地区进行对应．根据题意，分3步进行讨论：①将6名男医生分成3组，②将分好的三组与3名女护士进行全排列，组成三个医疗小组，③将分好的三个医疗小组进行全排列，对应A、B、C三地，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3步进行讨论：①将6名男医生分成3组，有C62C42C22A33=15种方法，②将分好的三组与3名女护士进行全排列，组成三个医疗小组，有A33=6种分组方法，③将分好的三个医疗小组进行全排列，对应A、B、C三地，有A33=6种方法，则不同的分配方案有15×6×6=540种；故选A．8.答案：C解析：【试题解析】解：在矩形ABCD中，AB=1，BC=√2，E是AD的中点，连接AC，交BE于点M，可知△ABC∽△EAB，则∠ABE=∠ACB，且∠MBC+∠ABE=π2，所以∠MBC+∠ACB=π2，所以AC⊥BE，MC⊥BE，所以BE⊥面A′MC，BE⊂面BCDE，所以面A′MC⊥面BCDE，过点A′作A′N⊥平面BCDE于点N，则点N必在直线MC上，故命题①正确，A′E和A′B与平面BCDE所成的角分别为α，β，即∠A′EN=α，∠A′BN=β，因为A′B>A′E，所以BN>EN，tanβ=A′NBN ，tanα=A′NEN，所以tanβ≤tanα，当A′，A重合时取等号，即tanβ−tanα≤0，所以命题②正确，因为二面角A′−BE−C的平面角为θ，即∠A′MC=θ，因为∠θ+∠A′MA=π，∠A′MA>∠A′BA，所以θ+∠A′BA<π，故③错误，故选：C．由题意画出图形，推理可得面A′MC⊥面BCDE，由射影定理的定义，线面成角的定义，二面角的定义，找到对应的角，根据已知条件即可判断角之间的关系．本题考查空间直线与平面的位置关系，命题真假的判断，考查线面角，面面角问题，属于中档题．9.答案：C。

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浙江省杭州市第二中学
2020届高三毕业班下学期高考仿真模拟考试
数学试题
(解析版)
2020年6月
第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
∵集合
∴
∵集合
∴，
故选A
2.“”的一个充分但不必要的条件是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先解不等式，再由充分不必要条件的概念可知，只需找不等式解集的真
子集即可. 【详解】由解得， 要找“
”的一个充分但不必要的条件， 即是找的一个子集即可，
易得，B 选项满足题意.
故选B
【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件，熟记充分条件与必要条件的定义即可，属于常考题型. 3.，满足约束条则的最小值为（ ） A. 1
B. －1
C. 3
D. －3 【答案】A
【解析】
【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解． 【详解】作出可行域，如图阴暗部分（射线与射线所夹部分，含边界），由解得，即， 作直线，平移直线，当直线过点时，取得最小值．
故选：A ．。

2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．若复数z 满足()1234i z i -=+，则z 的虚部为( ) A ．2i - B ．2iC ．2D ．2-【答案】C【解析】先计算出345i +=，再整理得512z i=-即可得解. 【详解】Q 345i +==即()125i z -=，∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的概念、复数的四则运算以及复数模的概念，属于基础题.2．若1a r =，b =r ，且()a a b ⊥-r r r ，则向量,a b rr 的夹角为 （ ）A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于向量()()21,?=0-?b 0?b 1a b a a b a a b a a a ==⊥-∴-⇔=∴=u u r u u r r r r r r r r r r r r 且，故可知·b cos ,b cos ,b |?b |a a a a =⇔=r r r r r r r r，故可知向量,a b r r 的夹角为45°，故选A. 【考点】向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的运用，属于基础题．3．若2tan πtan 5α=，则3πsin 10πcos 5αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．13-C ．13D ．3-【答案】C【解析】先转化条件得πtan tan 25α=，再化简原式tan tan151tan tan 5παπα-=+即可得解.【详解】Q2tan πtan 5α=， ∴πtan tan25α=， ∴原式sin cos sin sin cos cos 52555ππcos cos sin sin cos cos 5555πππππααααππαααα⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan 121151231tan tan5παπα--===++. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，考查了学生的计算能力，属于基础题.4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2467220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且66b a =，则210b b 等于( )A ．49B ．32C ．94D ．23【答案】C【解析】根据等差数列的性质转化条件得266320a a -=，再根据等比数列的性质可知22106b b b =即可得解.【详解】Q 2467220a a a -+=，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，∴()()26662220a d a a d --++=即266320a a -=， 又 {}n a 各项不为0，∴632a =， ∴222106694b b b a ===. 故选：C.本题考查了等差数列和等比数列的性质，要求学生具有转化问题的能力，属于基础题.5．若变量,x y 满足2{2390x y x y x +≤-≤≥，则222x x y ++的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．16D ．18【答案】C【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(0,3),(3,1)A B C --， 而222222(1)11x x y x y PM ++=++-=-，其中(1,0),M P - 为可行域内一点，因为PM CM ≤，所以222x x y ++的最大值是2116,CM -=选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 6．函数()()33lg xxf x x -=+⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。

绝密★启用前2020届浙江省杭州市第二中学高三12月月考数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知集合{}(,)10A x y x y =-+=，{}(,)20B x y x y =-=，则A B （）A ．{}(1,2)B ．(1,2)C ．{}1,2D ．{}1,2x y ==2．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（）A ．0B ．2πC ．πD ．2π4．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（）A ．a b ab+=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>5．函数1lnsin 1xy x x+=⋅-的图象大致为（）A ．B ．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C ．D ．6．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件7．若α,[,]22ππβ∈-,且sin sin ααββ>,则下列结论中必成立的是()A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．||||αβ>8．在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，点E 是CD 中点，点F 是线段CE 上的动点（不含端点），将ADF ∆沿AF 折起，使得点D 在平面ABC 内的射影始终落在四边形ABCF 内部，记二面角D FC A --，D BC A --，D AB C --分别为α，β，γ，则（）A ．γαβ>>B ．γβα>>C ．αβγ>>D ．αγβ>>9．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立10．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3BC =，12AA =，空间中存在一动点P 满足11B P = ，记1I AB AP =⋅ ，2I AD AP =⋅ ，31I AC AP =⋅，则（）.A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有12I I >D ．对任意的点P ，有23I I >第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．已知单位向量12,e e 夹角为60°，122e e += ______________，()12e e R λλ+∈的最小值为_________.12．已知πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=______，cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.13．一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体表面积为______，该几何体的外接球半径为______.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，728S =，则n a =______，14nn a a S ++的最大值是______.15．四边形ABCD 中，56A π∠=，512B C π∠=∠=，3D π∠=，2BC =，则AC 的最小值是______.16．已知正方形ABCD 边长为3，空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，则三棱锥A PCD -体积的最大值是______.17．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______.评卷人得分三、解答题18．已知函数()2sin 2f x x x =-，将()f x 的图象向左移()0αα>个单位，得到函数()y g x =的图象.（1）若4πα=，求()y g x =的单调区间；○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()y g x =的一条对称轴是12x π=，求()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.19．已知棱台111ABC A B C -，平面11AA C C ⊥平面111A B C ，11160B AC ∠=˚，11190A B C ∠=˚，1112AC AA AC CC ===１，D ，E 分别是BC 和11A C 的中点．（Ⅰ）证明：11DE B C ⊥；（Ⅱ）求DE 与平面11BCC B 所成角的余弦值．20．已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N.（1）证明：数列{}1na +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .21．（江苏省徐州市2018届高三第一次质量检测数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：24y x=于点P ，点F 为C 的焦点.圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B .当线段AB 的长度最小时，求s 的值.22．已知()121x f x ae a-=-+.（1）1a =时，求()f x 的单调区间和最值；（2）①若对于任意的()0,x ∈+∞，不等式()()212x f x -≥恒成立，求a 的取值范围；②求证：13ln 02x ex ---+≥参考答案1．A 【解析】【分析】解方程组得到交点坐标，从而得到结果.【详解】解：1020x y x y -+=⎧⎨-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，∴A B = {}(1,2)故选：A 【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查集合的表示方法，属于基础题.2．A 【解析】【分析】利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限.【详解】依题意()()()()41212211i i z i i i i i -==-=++-，对应点为()2,2，在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.3．B 【解析】【分析】由函数的奇偶性的定义可得ϕ需满足的条件为2k πϕπ=+，k Z ∈，结合选项可得答案．【详解】函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，()()f x f x ∴-=，即sin()sin()x x ϕϕ-+=+，2x x k ϕϕπ∴-+=++或2x x k ϕϕππ-+++=+，k Z ∈，当2x x k ϕϕπ-+=++时，可得x k π=-，不满足偶函数定义中的任意性；当2x x k ϕϕππ-+++=+时，2k πϕπ=+，k Z ∈，当0k =时，2ϕπ=.故选B.【点睛】本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，求解过程中也可以采用代入法求解，即直接把四个选项代入一一进行验证求得ϕ的值．4．C 【解析】【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确故C ．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥等式222a b ab +≥的应用，属于中档题5．A 【解析】【分析】利用排除法，由,44f f ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的符号，结合选项即可得结果.【详解】因为0,4f π⎛⎫>⎪⎝⎭所以排除选项B 、D ;因为0,4f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭所以排除选项C ，故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6．D 【解析】【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >”是“A B >”的充分必要条件.故选：D.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题．7．D 【解析】【分析】构造函数()sin f x x x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，根据导函数符号可判断出()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，根据奇偶性定义可知()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，则根据图象对称关系可得到αβ>.【详解】令()sin f x x x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()sin cos f x x x x '=+当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0x ≥，cos 0x x ≥，即()0f x '≥()f x ∴在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增()()()sin sin f x x x x x f x -=--== ()f x ∴为偶函数()f x ∴图象关于y 轴对称，在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减()()f f αβ∴>时，即sin sin ααββ>时，αβ>本题正确选项：D 【点睛】本题考查根据函数的单调性判断大小关系的问题，关键是能够利用导数和函数的奇偶性得到函数的对称性和在每一段区间上的单调性，从而得到自变量之间的大小关系.8．A 【解析】【分析】在翻折后的几何体中，作出三个二面角D FC A --，D BC A --，D AB C --的平面角，比较相应线段长度的大小，可得出这三个二面角的大小关系.【详解】如图，在长方形ABCD 中，作DH AF ⊥，交AF 于G ，交AB 于H ，将ADF ∆沿AF 折起，使得点D 在平面ABC 内的射影始终落在四边形ABCF 内部，则点D 在平面ABC 内的射影I 在线段GH 上，不含端点，作IM CF ⊥，交CF 延长线于点M ，连接D M ，则DMI α∠=，作IN BC ⊥，交BC 于N ，连接DN ，则DNI β∠=，作IK AB ⊥，交AB 于K ，连接DK ，则DKI γ∠=，DI ⊥ 平面ABCF ，KI MI NI ∴<<，γαβ∴>>．故选：A ．【点睛】本题考查三个二面角的大小的判断，考查二面角的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．D 【解析】【分析】取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只需11422a+<，由此可得到答案.【详解】取1a b ==，211n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项；由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且11142x a =，21142x a+=，因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <；当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤；所以要使n a M <，只需要120a x <<，故11422a+<，化简得24b a <-且0b >.故选：D ．【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．10．C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，由题意可得各顶点的坐标，由11B P =，设P 的坐标为(),,x y z ，可得x 、y 、z 的取值范围都为[]1,1-，求出数量积，由P 的坐标的范围可得答案．【详解】以11B A 为x 轴，11B C 为y 轴，1B B 为z 轴，1B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2B，()4,0,2A 、()4,3,2D ，()10,3,0C ，设点(),,P x y z ，所以()4,0,0AB =- ，()4,,2AP x y z =-- ，()0,3,0AD = ，()14,3,2AC =--，()1,,B P x y z =，因为11B P =，所以，2221x y z ++=，[]1,1x ∴∈-，[]1,1y ∈-，[]1,1z ∈-，()144I AB AP x =⋅=-- ，23I AD AP y =⋅=，()()3144322I AC AP x y z =⋅=--+--，()1244316430I I x y x y -=---=-->恒成立，故C 正确，A 不正确；()13322432I I y z y z -=-+-=--+，令13I I =，则243z y -=，13B P ==1≥=>，矛盾，所以B 不正确；()()23442220420I I x z x z -=-+-=-++<恒成立，所以D 不正确.故选：C ．【点睛】本题考查了空间向量数量积的大小比较，考查了推理能力与计算能力，属于难题．112【解析】【分析】利用定义求向量数量积，再根据模的平方求模【详解】122e e +=== ，12e e λ+=== 所以()12e e R λλ+∈的最小值为32.【点睛】本题考查平面向量的数量积．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①22a a a a =⋅= 或a =.②a b ±==.③若(,),a x y =则a =12．12【解析】【分析】利用两角和的正切公式结合πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得出tan θ的方程，即可求出tan θ的值，然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出cos 2θ和sin 2θ的值，进而利用两角差的余弦公式求出cos 24πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】πtan 11tan 33tan 41tan 2θθθθ+⎛⎫+=⇒=⇒= ⎪-⎝⎭，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===++，2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ====++，()2cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭故答案为：12；10.【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用，难度不大．132122++32【解析】【分析】根据已知中三视图，画出几何体的直观图，分析几何体的形状为三棱锥，可计算出几何体的表面积，将几何体补成正方体，即可计算出几何体外接球的半径.【详解】由已知中三视图，画出几何体的直观图如下图所示：它的顶点均为棱长为1的正方体的顶点，故其底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为1，故几何体的表面积为：2211112122422⨯+⨯⨯+⨯=+.几何体的外接球半径为正方体体对角线的一半，因此，外接球的半径为32.122++；2.【点睛】本题考查由三视图求几何体的表面积以及外接球的半径，关键是由三视图还原成几何体，是中档题．14．n17【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列{}n a的通项公式，可求出14nna aS++的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出14nna aS++的最大值.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，则317133672128S a dS a d=+=⎧⎨=+=⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，所以，数列{}n a的通项公式为()11na a n d n=+-=；（2）()()1122nnn a a n nS++==，()()()142154nnna aS n n+++∴=++，令1t n=+，则2t≥且t∈N，()()142212437nna a tS t t tt++==++++，由双勾函数的单调性可知，函数127y tt=++在(0,t∈时单调递减，在()t∈+∞时单调递增，当3t=或4时，14nna aS=+取得最大值为17.故答案为：n；17.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15．2+【解析】【分析】在ABC ∆中利用正弦定理得出52sin12sin AC CABπ=∠，进而可知，当2CAB π∠=时，AC 取最小值，进而计算出结果.【详解】5sinsin sin cos cos sin 124646464πππππππ+⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，如图，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin BAC B B A CC =∠∠，即52sin12sin AC CABπ=∠，故当2CAB π∠=时，AC 取到最小值为622.故答案为：622.【点睛】本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．16．4【解析】【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,P a b c ，根据题中条件得出35a b =-，进而可求出c 的最大值，由此能求出三棱锥A PCD -体积的最大值.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()3,3,0C ，()0,3,0D ，设点(),,P a b c ，空间中的动点P 满足2PA =，2PC PD =，所以2==，整理得35a b=-，c ∴===当32b =，12a =-时，c 取最大值2，所以，三棱锥A PCD -的体积为2111636333224A PCD P ACD ACD V V S c --∆==⋅≤⨯⨯⨯=.因此，三棱锥A PCD -体积的最大值为364.故答案为：4.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．2e 【解析】【分析】易知(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解．【详解】(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，由单调性可知，当[]1,x e ∈时，(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--，(){}max 1,1F x a b a e b =+++++，则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++22222e a e a e ≥+++-+≥，即(),2e M a b ≥，当且仅当0b =，1a =-或0a =，1b =-时取等号.故答案为：2e .【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．18．（1）增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭，减区间为(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）⎡-⎣.【解析】【分析】（1）由题意利用三角函数图象变换规律求得()y g x =的解析式，然后利用余弦函数的单调性，得出结论；（2）由题意利用余弦函数的图象的对称性求得α，再根据余弦函数的定义域和值域，得出结论．【详解】由题意得()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）()y f x =向左平移4π个单位得到()22cos 22cos 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，增区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，解得()563k x k k Z ππππ-≤≤-∈，减区间：解不等式()22223k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈.综上可得，()y g x =的单调增区间为()5,63k k k Z ππππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭，减区间为(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）由题易知，()2cos 226g x x πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()y g x =的一条对称轴是12x π=，所以266k ππαπ++=，k ∈Z ，解得26k ππα=-，k ∈Z .又因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πα=，即()52cos 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以55112,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则53cos 21,62x π⎡⎛⎫+∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡-⎣.【点睛】本题主要考查三角函数图象变换规律，余弦函数图象的对称性，余弦函数的单调性和值域，属于中档题．19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）1113【解析】【分析】(I)取AC 中点F ，可得EF ⊥平面111A B C ，则11EF B C ⊥，利用中位线的关系可得11DF B C ⊥，从而可得11B C ⊥平面EFD ，即可证明结论；(II)解法一，取11B C 中点G ，可得平面EGDF ⊥平面11BCC B ，平面EGDF ⊥平面11BCC B DG =,所以点E 在平面11BCC B 的射影在DG 上，故EDG ∠为DE 与平面11BCC B 所成角，然后解三角形即可求解；解法二，构造空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求解.【详解】解：（Ⅰ）如图，取AC 中点F ，连接EF DF ，.因为11AA CC =，所以11EF AC ⊥.由平面11AA C C ⊥平面111A B C ，平面11AA C C 平面111A B C 11A C =,得EF ⊥平面111A B C ，所以11EF B C ⊥，又11DF AB A B ∥∥，且11190A B C ∠=º，所以11DF B C ⊥.因为EF DF F =I ，所以11B C ⊥平面EFD ，所以11DE B C ⊥.（Ⅱ）解法一：如图，取11B C 中点G ，连接DG EG ，，则可知FD EG ∥，所以平面EFD 即是平面EGDF .因为11B C ⊥平面EFD ，所以平面EGDF ⊥平面11BCC B ，则EDG ∠为DE 与平面11BCC B 所成角.令111142AC AA AC CC ====，又由11160B AC ∠=︒，11190A B C ∠=︒，可得1142A B AB ==，，则12FD EG DE DG ====，，，所以22211cos 213DE DG EG EDG DE DG +-∠==⋅.解法二：如图，以E 为坐标原点，过点E 且垂直于平面11AA C C 的直线，和1EC ，EF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.令14AA =，则()()()(111040*********A B C BF ---，，，，，，，，，，，所以(111100422FD A B EF ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ，，0，，，122ED EF FD ⎛=+= ⎝ ，，.设平面11BCC B 的法向量(),,m x y z=，ED 与平面11BCC B 所成角为θ.而(1B B =，()1160B C =- ，，所以11100m B B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，即060y y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，，令x =13y z ==，，所以3m ⎫=⎪⎪⎭，，故sin cos ED mθ=，=13=，又DE 与平面11BCC B 所成的角为锐角，所以11cos 13=θ.【点睛】本题考查空间想象能力、直线与平面的位置关系、线面垂直的判定定理及性质、直线与平面所成角.空间几何传统法解答过程中，需关注空间几何问题的平面化，也可以用向量解决线面角，注意建系的选择和运算.20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将题干中的等式因式分解后得出()()111222n n n n n n a a a a a a ++++=+-，由此得出121n n a a +=+，再利用定义证明出数列{}1n a +为等比数列；（2）求出21nn a =-，利用放缩法得出()2111232n n n a -≤⋅≥，结合等比数列的求和公式可证明出结论成立.【详解】（1）221142n n n n a a a a +++=- ，()()2211112422n n n n n n n n a a a a a a a a ++++∴+=-=+-.0n a > ，120n n a a +∴+>，121n n a a +∴-=，即121n n a a +=+，则有1122211n n n n a a a a +++==++且112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）得12n n a +=，即21nn a =-，得()22111112212232n n n n n n a --=≤=⋅≥--，2123411111111111121232111322232312n n n n a a a a -+⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴++++≤++++==-< ⎪⎝⎭⎝⎭- .【点睛】本题考查了数列的递推式、等比数列的判定、利用放缩法证明数列不等式，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．21．(1)2=1y x -()0y ≠．(2)见解析.【解析】试题分析：（1）设(),M m nn =，化简得到轨迹方程；（2）设()21,Q t t +，()10,A y ，()20,B y ，33151232(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>，构造函数研究函数的单调性，得到函数的最值.解析：（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为()1,0，设(),M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为n ，点P()2,2n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即()()22110n x y n ---=，n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -()0y ≠．（2）设()21,Q t t +，()10,A y ，()20,B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0t >，由y '=121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+所以1122t y t=-，3223y t t =+，所以33151232(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．令()351222f t t t t =++，0t >，则()422225112516222t t f t t t t'+-=+-=，由()0f t '>得t >()0f t '<得0t <<，所以()f t 在区间⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪+∞⎪⎭单调递增，所以当t =()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值，此时219124s t =+=．点睛：求轨迹方程，一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如0NA NB ⋅=，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.22．（1）减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，最小值为0，无最大值；（2）①[)1,+∞；②证明见解析.【解析】【分析】（1）将1a =代入函数()y f x =的解析式，求导，可知导函数在()0,+∞上为增函数，观察可知导函数的唯一零点为1x =，进而得到函数()y f x =的单调区间及最值；（2）①先推导出0a >，由()10f ≥得出1a ≥，然后证明出()21112x x e ---≥在()0,x ∈+∞恒成立即可，即可得出()()21112x x f x e --≥-≥；②利用①的结论及常见不等式ln 1x x ≤-容易得证．【详解】（1）当1a =时，()11x f x e-=-，则()1x f x e-='-，易知()y f x ='单调递增，又()10f '=，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，函数()y f x =的最小值为()10f =，无最大值；（2）①必要性：若0a <，则当x →+∞时，()f x →-∞，不合乎题意，所以，必有0a >.又()2221010a a f a a a+-≥⇒-+=≥，则[)1,a ∈+∞；充分性：易知()11x f x e-≥-.故只要证明()21112x x e ---≥在()0,x ∈+∞恒成立即可，即()211102x x e e --⎛⎫- ⎪+-≥ ⎪⎝⎭，令()()21112x x g x e e --⎛⎫- ⎪=+-- ⎪⎝⎭，则())322132xg x x x x -⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭')))21112x -⎡=--+++⎢⎣则()y g x =在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，则()()10g x g ≥=.故[)1,a ∈+∞，因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞；②由①可知，要证13ln 02x ex ---+≥，只需证()211ln 022x x --+≥，先证明不等式1ln x x -≥，构造函数()1ln h x x x =--，0x >，()111x h x x x'-=-=，令()0h x '=，可得1x =.当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>.所以，函数()y h x =的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，()()10h x h ∴≥=，所以，对任意的0x >，1ln x x -≥.()()()()22221121144ln 10222222x x x x x x x ----+∴-+≥--+==≥，故13ln 02x e x --+≥成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、分类讨论思想、转化思想及构造函数思想的应用，属于难题．。