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倒格子空间

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1-4倒格子ppt课件

1-4倒格子ppt课件

证明提示：设晶面ABC是晶面族 （h1h2h3）中最靠近原点的晶面，
截距分别为
a1 , a2 , a3 h1 h2 h3
a3
G
C
a3/h3
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
思路：能证明 G 同时垂直于CA 和CB ，即能证明 G 垂直
于面ABC。 9
简单证明如下：

G
为正格子原胞体积
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
2
2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间
基矢
正格子空间 倒格子空间
a1, a2 , a3
b1

2
a2
a3

v
b2

2
a3 a1 v
b3

2
a1 a2

v
位置矢量 R l1a1 l2a2 l3a3
a
K h h1b1 h2 b2
倒格是边长为
2π
的正方形格子。
a
24
例2：证明体心立方的倒格是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a 3 a i j k 2
b1 2π a2 a3 Ω
j
b1
2π a
jk
b2
2π a
ik
2π
b3 a i j
体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
26
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为

固体物理第二章第四节 倒格子

固体物理第二章第四节 倒格子

1 ig r ig Rn 1 ig r ig Rn A( g ) F (r )e e dr F (r )e dr e


A( g ) 0 or
g
A( g )
定义对布拉维格子中所有格矢满足或或m为整数的全部端点的集合构成该布拉维格子称为正格子的倒格子reciprocallattice与倒格子的定义对应由格矢的端点所描述的布拉维格子称为正格子directlattice由端点的集合所描述的布拉维格子称为倒格子reciprocallattice称为倒格矢利用倒格矢满足的傅里叶展开为
ig Rn ig Rn A( g ) A( g )e A( g )[1 e ] 0 ig Rn
ig r F (r ) A( g )e 0

e
1
不合要求，应舍去
所以
e
ig Rn
1
ig Rn 也就是说,一定存在某些 g 使得当 e 1 成立时
同理可得 b2 , b3
所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a3 a1 Ω 2π b3 a1 a2 Ω
其中 a1 , a2 , a3 是正格基矢 Ω a1 a2 a3
则下式自然成立： n1Gh a1 n2Gh a2 n3Gh a3 2 m 或： Gh a1 2 h1; Gh a2 2 h2 ; Gh a3 2 h3 由于 a1 , a2 , a3为基矢，互不共面，则由 bi a j 2 ij 可知 b1 , b2 , b3 亦应该不共面，从 而可以用 Gh h1b1 h2b2 h3b3 描述倒格子。

1-2倒格子空间

1-2倒格子空间

2
( 为整数)
三、倒格子和正格子之间的关系
1.正格子原胞体积和倒格子原胞体积之间的关系
3 2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 b1 b2 b3 3 利用：A B C A C B A B C a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1
动1800等晶体都保持外形重合。
转动轴
2.转动对称操作的种类 由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所 转动的角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。
B A

B1 A B

A1
AB是晶列上最近邻两格点的距离。
BA nAB AB AB cos BA cos AB(1 2 cos ) n 1 cos n是整数。 2
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系 倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3
K h CA ，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh

倒格子与布里渊区

倒格子与布里渊区

4、面心立方格子的布里渊区
（1）面心立方格子的格子常数（立方边长）为a，倒格子为体心 立方，倒格子常数（立方边长）为4/a。 （2）第一布里渊区为截角八面体（十四面体） (3) 几个点的坐标 ： 2/a(0，0，0) X： 2/a(1，0，0) L： 2/a(-½，½ ，½ ) K： 2/a(0，¾，¾ )
2、倒格子
布拉维格子的基矢a1、 a2 、a3为正格子基矢，称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决 定的空间为正格子，=a1· (a2×a3)为正格子原胞体积。 × 2 × × 定义 1 2 3 3 1
b
1
= 2π a a Ω
为倒格子基矢，由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间为倒格子， =b1· (b2×b3)为倒格子原胞体积。 正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为m-1。
3、两种格子原胞间的关系
Ω
*
2π =
Ω
3
倒格子原胞体积与正格子原胞体积存在倒数关系。
4、正格子与倒格子互为对方的倒格子 根据倒格子基矢的定义，倒格子的倒格子基矢
b
* 1
×b b = 2π
2
3
Ω*
a1
同理，可以证明 b2*=a2, b3*=a3 倒格子的倒格子就是正格子。
5、正格子（h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh正交 Kh•CA=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a1/h1-a3/h3)=0 Kh•CB=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a2/h2-a3/h3)=0
矢量的乘积
标量积或点积 A· B=|A||B|cos(A,B) 矢量积或叉积 任何两个矢量Ａ和Ｂ的矢量积是一个矢量，它的大小等于这两个矢 量作成的平行四边形的面积，方向与这个平行四边形所在的平面的 垂线方向平行。 |AB|=|ABsin(A,B)|

固体物理03-倒格子空间

固体物理03-倒格子空间

4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。

倒易空间和波矢空间

倒易空间和波矢空间

倒易空间和波矢空间倒易空间和波矢空间在固体物理学研究中扮演着重要的角色。

本文将分别介绍这两种空间的概念、性质及其在固体物理学中的应用。

一、倒易空间倒易空间是晶体学中的重要概念，也叫倒格子空间，是由晶体空间分别沿着三个互相垂直的方向所取得的倒格子面组成的三维空间。

倒易空间与实空间是对偶的，其定义如下：假设有一个空间中的周期晶体，晶格矢量为a1、a2和a3，我们将一个点P通过向该点连接三个不同的坐标轴上的原点，形成一个平行六面体。

在每个棱角上，我们垂直地连接倒晶格点，连接的线称为倒格子矢量，用向量b1、b2和b3表示。

这样就形成了一个由倒格子面组成的空间，这个空间就是倒易空间（或倒格子空间）。

倒易空间与其它物理学中的向量空间不同，因为其中的向量没有固定的起点或终点。

在倒易空间中，每个点表示一个倒格子面，而一个倒格子面的位置就由其倒格子矢量来决定。

倒易空间中的晶体结构即为倒格子结构。

倒易空间具有以下性质：1. 倒易空间的晶格矢量为倒格子的倒数。

2. 在倒易空间中，原点为所有倒格子的交点，称之为倒空间原点。

3. 倒易空间是无限大的，且存在与实空间一样的点群和空间群对称性。

4. 不同晶体的倒易空间不同，同样的晶体在不同条件下有不同的倒易空间表现形式。

倒易空间在固体物理学中有广泛应用。

例如，通过研究倒易空间中的电子能带结构，可以了解晶体材料的导体性、半导体性等性质；倒易空间中的布拉格平面可以对X射线衍射、中子衍射等进行定量描述，在这些领域具有重要的应用价值。

二、波矢空间波矢空间是描述在动量空间内的物理现象的空间。

波矢空间和倒易空间十分相似，只是在它们的定义和性质上存在微小差异。

假设有一个动量空间，其中的波矢k可以用三个互相垂直的分量(kx, ky, kz)表示。

图中所示为二维情况下的波矢空间。

波矢空间的物理意义为动量的取值范围。

在波矢空间中，物理量的取值可能会形成一些稀疏的分布，这些分布就被称为分支，对应实空间中的布里渊区。

固体物理03-倒格子空间


实空间点阵
简立方
a1 a i, a2 a j, a3 a k
倒空间点阵
简立方
2
2
2
b1 a i, b2 a j, b3 a k
2 a 2
a
2 a
四方晶格
简单点阵的倒易点阵也是简单点阵。 正格子的基矢越长，倒格子的基矢越短，反之亦然。
六角点阵
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结构。 不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了30度。
k 2 2k G G 2 k 2
2k G G 2 (G 和 –G 都是倒格矢)
G
衍射方程(也是布里渊区的边界方程)
k
k ·(G/2)=(G/2)2
Ewald 图解法
1. 选择原点以入射 k 矢长度 为半径作圆，保证另一端 点在倒格矢上。
2. 连接从原点到与圆相交的 所有倒格矢的波矢k’都能 发生衍射。
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
4. 原子力显微镜（实空间，表面）
中国散裂中子源
扫描隧道显微镜（STM）
Si (100) 表面
原子力显微镜（AFM）
Si (111) 表面
作业 2
1. 证明正格子与倒格子互易 2. 证明面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是
面心立方！
3. 证明只有 k G' 时，衍射幅度F才不为0。

1-2倒格子空间

1
4.正格子和倒格子互为正倒格子










证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a ( i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 4 (i j k ) (i j k ) 2 (i j ) c* V a a3 2
a
C
3
a3
h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积： 倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积： 倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。 但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。

倒格子空间


C O
Gh
a2 a3 CB OB OC h2 h3
B
a2
a1 a 3 0 G h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h1 h3 a2 a3 0 G h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 3
2π a 2 2π jk jk 3 a 2 a 2
倒格矢：
2π b1 jk a 2π b2 ik a







2π b2 ik a


2π b3 i j a
2π b3 i j a


体心立方的倒格是边长为4/a的面心立方 。
例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为 a d h1h2h3 2 h2 h2 h1 2 3 证明：
1、倒矢量
b1， b 2， b3
量纲：[长度]－1
倒格基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω


其中 a 1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3


是固体物理学原胞体积
3

a 3 a1 a 2 a1 a 3 a1 a1 a 2 Ω a 1


3


Ω*
2π a 2 a 3 Ω a1 Ω


3 2 π
Ω
4）倒格矢 G h h h 与晶面之间的关系： 1 2 3 （i）G h h h 垂直于晶面系(h1h2h3) ，即

06 固体物理 1.4.1 倒格子

1 3
CB OB OC



a2
h2

a3
h3
0
a1/h1
B a2 a2/h2 A
a1
a a Gh1h2 h3 CA (h1b1 h2b 2 h3b 3 ) ( 1 3 ) 2 2 0 h1 h3 同理： Gh1h2h3 CB 0，
i j i j
2 c a1 (a 2 a3 )
由此，可以直接定义倒格子基矢为：
相应的倒格子基矢为：
a2 a3 2 (a2 a3 ) b1 2 a1 (a2 a3 )
a3 a1 2 (a3 a1 ) b2 2 a1 (a2 a3 )
所以有
( r ) 在傅氏 F (K h ) 是物理量 Rl 是正格矢， 空间的表示形式 K h应是 Rl 的倒格矢
e
iK h Rl
1
即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示满足傅氏变换关系； 正空间周期性物理量的傅氏空间就是其倒空间； 正格子和倒格子互为傅氏变换。
ai b j 2ij 确定，则以上条件成立。
K h Rl (h1b1 h2b2 h3b3 ) (l1a1 l2a2 l3a3 ) 2 (h1l1 h2l2 h3l3 ) 2
li , hi 都是整数， 也应是整数， eiKh Rl ei 2 1
2可以证明，Fra bibliotek* (2 )3 /， 即，* (2 )3
* (2 )3 /， 即，* (2 )3
2、倒格子的倒格子是原布拉菲格子
c2， c3 ，可以证明 ci ai , i 1,2,3 按倒格子基矢定义构造基矢 c1， 2 (b 2 b3 ) 2 即令：c1 * b 2 b3 b1 b 2 b3 (2 ) 2 b 2 b3 (a3 a1 ) (a1 a 2 ) 利用 A B C B( A C) C( A B) 2 ( A B) C ( B C) A (C A) B (2 ) 2 (2 ) 2 a1 a1 2 Rl，Kh所代表点的集合 2 2 (2 ) 2 (b 2 b3 ) 都是布拉菲格子，且 a1 c1 * b1 b 2 b3 互为正倒格子。事实 上在
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K h CA，K h CB K h 晶面ABC。
3.倒格矢 K h 和面间距的关系 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
d h1h2h3 a1 K h h1 K h h1 K h 2 Kh
O
a1 h1 b1 h2 b2 h2 b3

a
期，方向为晶面族法向方向，把P平移，得出一 个新点阵。则这个新的格子称为原来晶格的倒格 子。而把原来的晶格称为正格子。
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 正格子基矢：a1、a2、a3； 倒格子基矢：b1、b2、b3 ;
晶面族：a1a2、a2 a3、a3 a1的面间距分别为d 3、d1、d 2 ;
后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示 C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示 1、 2 、 3、 4 、 6。
4.对称轴度 数符号表示
度数 n
2
3
4
2 a 2 a3 a1 2 a2 a3 1 a2 b3 ，b2 ，b1 。 (5)倒格子的物理意义 ①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。 ②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位 为米-1，表示状态空间。
h1、h2、h3 整数。
2.倒格子基矢和正格子基矢的关系 倒格子基矢和正格子基矢具有正交性。即 i j 2 ai b j 2 ij i j 0 2 a3 a1 2 a1 b2 a1 a1 a3 a1 0 2 2 a2 a3 2 a1 b1 a1 a1 a2 a3 2 3.倒格矢和正格矢的关系 K h Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 h1b1 h2 b2 h3 b3
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。 但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1) 定义 —— 晶体绕某一固定轴 u 旋转角度 2π/n 以 n只能取1，2，3，4，6。
晶体不能有5度或6度以上的转轴。
1.付里叶变换
h h1
iK h r r K h e h
h2 h
二、倒格矢 K h
iK iK h Rl h r r Rl r r Rl K h e e h iK h Rl e 1 K h Rl 2 ( 为整数) Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 正格矢( 格矢量) 晶格上所有的格点，可以由其平移完全确定。 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 倒格矢 倒格子空间中的倒格点可以由其平移完全确定。
6
符
号
二、中心反演(中心反映)
inversion through a point
i
A
1.中心反演 A 如图所示，有对称心i，晶体中任一点A过中 心 i 连线Ai并延长到A’，使Ai= A’i, A与A’是等同 点， i点称为对称心。 2.表示方式 x , y, z (1)熊夫利符号表示——Ci; x, y, z (2)国际符号表示——i。 例：立方体的中心就是对称中心。如果将对称 心放在坐标原点上，则有(x,y,z)点与(-x,-y,-z)点等 同。
因为b3和a1 a2 的方向一致，所以可以写成矢量形式：
(4)倒格子基矢表达式 a1 a2 1 由 d 3 a1 a2 sin d 3 a1 a2 可得： d 3 2 a1 a2 2 由b3 d 3 2可得：b3 d 3
b1、b2、b3 称为倒格子基矢。 (2)正格子原胞体积Ω——由 a1、a2、a3 所围成的平 行六面体。 d 3 a1 a2 sin d 3 a1 a2 ， : a1、a2间的夹角。 (3)倒格子原胞体积 ——由 b1、b2、b3 所围成的 平行六面体。
n 1 cos ，且1 cos 1， n只能取值： 3， 2， 1， 0， 1。 2 n : 3 2 1 0 - 1; cos : 1 0.5 0 - 0.5 2 3 2 3 -1

:0 2 1

3 2 6

2 2 4

2 2 即
2 n 1， 2， 3， 4， 6。分别称为 1， 2， 3， 4， 6次( 度 )转轴。 n
b3
a3
b2
O
a2
b1
a1
(1)倒格子基矢和面间距的关系 在每个晶面族所对应的的法向方向上分别取 P1、P2、P3点，并且满足下面的关系：
OP3 a1a2，且OP3 b3 2 d 3 ，即b3 d 3 2，b3 a1 a2面； OP1 a2 a3，且OP1 b1 2 d1 ，即b1 d1 2，b1 a2 a3面； OP2 a3 a1，且OP2 b2 2 d 2 ，即b2 d 2 2，b2 a3 a1面。
x, y, z
和O-xy对称面 的操作相当。
O ( 对称心)
y
x, y, z
x
A
(3) 3 象转轴——实际上就是3度转轴＋对称心(i) 。
C
3
a3
h3
Kh
a2 h2 a1 h1
B
a2
A
a1
正格子基矢：a1、a2、a3；原胞体积： 倒格子基矢：b1、b2、b3 ; 原胞体积： 倒格子的倒格子的基矢：b1 、b2 、b3 ;
2 2 2 2 b ＝ b2 b3 a3 a1 a1 a2 3 8 1 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1 1 b1＝ a1 a1
(1) 1 象转轴——实际上就是对称心i。
z ( u轴)
A点绕旋转轴(z轴)
A
x , y, z
旋转3600，在经过中
心反演到A’点，晶体
完全重合。实际上即
为中心反演。
O ( 对称心)
y
x
A
x, y, z
(2) 2 象转轴——实际上就是对镜象m。
z ( u轴)
A
A
x , y, z
1.象转轴 (1)定义——先绕u轴转动2π/n，再经过中心反演， 晶体自动重合，则称u轴为n度旋转—反演轴，又 称为n度象转轴。只有1，2，3，4，6。 (2)符号表示——
1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 6。
2.n度象转轴简析 n度象转轴实际上并不都是独立的，通过下面 的分析，可以得到象旋转轴只有4 是独立的。
2 ＝

3


2 2 a2 a3 a1 3
3
3


2

3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.倒格矢 K h 垂直于晶面族(h1h2h3) 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。
a1 a3 CA OA OC h1 h3
a3 h3
三、镜象(镜面反映、对称面)
reflection across a plane
1.镜象——如图所示，A和A’等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示——σ;
(2)国际符号表示——m。
z
O
A
A
x , y, z
A
y
A
x
x, y, z
O-xy 相当于镜面。
四、n度旋转—反演轴(象转轴)
• 即证明体心立方的倒格子为面心立方。同 理可证明面心立方的倒格子为体心立方
§1.6 晶体的特殊对称性 对称操作 一、转动
本节主要介绍四种基本的操作——转动、反演、 镜象、象转轴。 1.转动对称操作 设晶体外形为一立方体，沿图中 所示转轴转动 900 ，外形与原来 重合。这样的转动称为转动对称
操作。该轴称为转动轴。如果转
C
a3
Kh
O
a2 h2 a1 h1
B
a2
a2 a3 CB OB OC h2 h3
A
a1
a1 a3 K h CA ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h h 3 1 h1 b1 a1 h3 b3 a3 0 h1 h3 a2 a3 K h CB ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h h 3 2 h2 b2 a2 h3 b3 a3 0 h2 h3
2
( 为整数)
三、倒格子和正格子之间的关系
1.正格子原胞体积和倒格子原胞体积之间的关系
3 2 a2 a3 a3 a1 a1 a2 b1 b2 b3 3 利用：A B C A C B A B C a3 a1 a1 a2 a3 a1 a2 a1 a3 a1 a1 a2 a1
第一章晶体结构
倒格子空间
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引入倒格子的目的 引入倒格子的方法 倒格子的性质 倒格子与正格子之间的关系
§1.5 倒格子 一、倒格子和晶格之间的关系