【智慧测评】2015高考数学(人教A版,文科)一轮课时训练：第8篇 第3节 椭圆]

第三篇 第2节一、选择题1．(2014广东省深圳市第一次调研)化简sin 2013°的结果是( )A ．sin 33°B ．cos 33°C ．－sin 33°D ．－cos 33°解析：sin 2013°＝sin(5×360°＋213°)＝sin 213°＝sin(180°＋33°)＝－sin 33°，故选C.答案：C2．已知cos α＝－513，角α是第二象限角，则tan(2π－α)等于() A.1213 B ．－1213C.125 D ．－125解析：∵cos α＝－513，α是第二象限角，∴sin α＝1－cos 2α＝1213，∴tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝125.故选C.答案：C3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54C ．－34 D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝45.故选D.答案：D4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α等于( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0， 又－π2<α<0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32.故选B.答案：B5．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos 31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12.故选B.答案：B6．在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于() A.π3 B.π4 C.π2 D.2π3 解析：∵3sin π2－A ＝3sin(π－A )，∴3cos A ＝3sin A ，∴tan A ＝33，又0<A <π， ∴A ＝π6. 又∵cos A ＝－3cos(π－B )，即cos A ＝3cos B ，∴cos B ＝13cos π6＝12，0<B <π， ∴B ＝π3. ∴C ＝π－(A ＋B )＝π2.故选C. 答案：C二、填空题 7.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40° ＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40° ＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：18．已知tan x ＝－2，x ∈π2，π，则cos x ＝________. 解析：∵tan x ＝sin x cos x＝－2， ∴sin 2x cos 2x ＝4，∴1－cos 2x cos 2x＝4， ∴cos 2x ＝15. ∵x ∈π2，π， ∴cos x <0，∴cos x ＝－55.答案：－559．(2014中山模拟)已知cos π6－α＝23，则sin α－2π3＝________. 解析：sin α－2π3＝sin －π2－π6－α＝－sin π2＋π6－α＝－cos π6－α＝－23. 答案：－2310．(2014淮北月考)若α∈0，π2，且cos 2α＋sin π2＋2α＝12，则tan α＝________. 解析：cos 2α＋sin π2＋2α ＝cos 2α＋cos 2α＝3cos 2α－1＝12， ∴cos 2α＝12. ∵α∈0，π2， ∴cos α＝22，sin α＝22， ∴tan α＝1.答案：1三、解答题11．已知函数f (x )＝1－sin ⎝⎛⎭⎫x －3π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋tan 34πcos x. (1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)设tan α＝－43，求f (α)的值． 解：(1)由cos x ≠0，得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是xx ≠π2＋k π，k ∈Z . (2)tan α＝－43， f (α)＝1－sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋tan 34πcos α＝1－cos α－sin α－1cos α＝－cos α－sin αcos α＝－1－tan α＝13.12．已知sin (3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋ cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值． 解：∵sin (3π＋θ)＝－sin θ＝13， ∴sin θ＝－13， ∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋ cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2 θ＋cos θ ＝11＋cos θ＋11－cos θ ＝21－cos 2 θ＝2sin 2 θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18.。

（智慧测评）2015届高考数学大一轮总复习 第6篇 第2节 一元二次不等式及其解法课时训练 理 新人教A 版一、选择题1．(2014渭南模拟)函数y ＝x－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) B ．(－4,1) C ．(－4,0)∪(0,1)D ．(－1,4)解析：由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以函数的定义域为(－4,1)．故选B. 答案：B2．(2012年高考重庆卷)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：不等式x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1 2x ＋1 ≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1.故选A. 答案：A3．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a <125B ．80<a <125C ．a <80D ．a >125解析：5x 2－a ≤0，得－a5≤x ≤a5，而正整数解是1,2,3,4， 则4≤a5<5， ∴80≤a <125. 故选A. 答案：A4．(2014沈阳模拟)某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]>320， 即x 2－28x ＋192<0， 解得12<x <16，所以每件销售价应为12元到16元之间．故选C. 答案：C5．(2014莆田二模)不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( ) A ．(0,1)∪(2，＋∞) B ．(－2，1)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－2，2)解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2<0，log 2x <0，∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)．故选A. 答案：A6．(2014厦门模拟)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由题意知－4,1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4＋1＝－ba ，－4×1＝ca，∴b ＝3a ，c ＝－4a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为a (x 2＋3x －4)>0， 又其解集为(－4,1)， ∴a <0，∴不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c >0可化为：a (3x 2＋x －4)>0，∴3x 2＋x －4<0， 解得－43<x <1.故选A.答案：A 二、填空题7．(2014山东师大附中第三次模拟)不等式x x －1x ＋2<0的解集是________________．解析：原不等式等价为x (x －1)(x ＋2)<0， 解得x <－2或0<x <1，即原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0,1)． 答案：(－∞，－2)∪(0,1)8．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，则a 的值为______． 解析：∵(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}， ∴1－a <0，即a >1.于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6<0，a －1>0， 其解集为{x |－3<x <1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3.答案：39．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2；若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m恒成立，则m －n 的最小值为________．解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. 答案：110．(2013年高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________________．解析：由题意知，(8sin α)2－4×8·cos 2α≤0， ∴2sin 2α－cos 2α≤0， ∴2sin 2α－(1－2sin 2α)≤0， ∴4sin 2α－1≤0， ∴sin 2α≤14，又0≤α≤π， ∴0≤sin α≤12.∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π三、解答题11．(2014日照模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R. (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝ 2a 2－4a ≤0，∴0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋1 2＋1－a ， ∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 12．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． 解：法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2， 此二次函数图象的对称轴为x ＝a ，①当a ∈(－∞，－1)时，结合图象知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3，要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3. 又a <－1，∴－3≤a <－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1. 又a ≥－1，∴－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.法二 由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a ≤－1，g －1 ≥0，解得－3≤a ≤1.。

（智慧测评）2015届高考数学大一轮总复习 第8篇 第6节 曲线与方程课时训练 理 新人教A 版一、选择题1．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 解析：设动圆的半径为r ，圆心为O ′(x ，y )到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .故选A.答案：A2．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对 解析：由方程知x －y ＝0且xy ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，故该方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．故选C.答案：C3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，则AB 中点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则x ＝a 2，y ＝b 2，即a ＝2x ，b ＝2y . 代入a 2＋b 2＝9，得4x 2＋4y 2＝9，即x 2＋y 2＝94. 故选B.答案：B4．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0或x ＋y ＋1＝0. 显然方程表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0的右上方部分，故选C.答案：C5．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：如图所示，设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，连接MO ，由三角形的中位线可得：|F 1M |＋|MO |＝a (a ＞|F 1O |)，则M 轨迹为以F 1、O 为焦点的椭圆．故选B.答案：B6．已知A (1,0)，点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，以OA ，OP 为邻边作▱OAMP (O 为坐标原点)，则点M 的轨迹方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．(x ＋1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 解析：设P (x 1，y 1)，M (x ，y )，则x 21＋y 21＝1，OP →＝(x 1，y 1)，OA →＝(1,0)，OM →＝(x ，y )，由OM →＝OA →＋OP →得(x ，y )＝(x 1＋1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋1，y ＝y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x －1，y 1＝y ， 代入x 21＋y 21＝1得(x －1)2＋y 2＝1.故选A.答案：A二、填空题7．已知两点M (4,0)，N (1,0)，点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|，则点P 的轨迹方程为________．解析：设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6 1－x 2＋ －y 2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 8．设x ，y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a|＋|b|＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．解析：由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋ y ＋2 2＋x 2＋ y －2 2＝8①由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1. 答案：x 212＋y 216＝1 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (－2,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α，β∈[0,1]且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2α－β，y ＝α＋3β，整理得⎩⎪⎨⎪⎧α＝－3x ＋y 5，β＝x ＋2y 5， 将其代入α＋β＝1中整理得2x －y ＋5＝0， 又x ＝－2α－β＝－2α－(1－α)＝(－α－1)∈[－2，－1]， 所以点C 的轨迹方程是2x －y ＋5＝0，x ∈[－2，－1]． 答案：2x －y ＋5＝0，x ∈[－2，－1] 10．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是________________．解析：依题意有|QP |＝|QF |，∴||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1 三、解答题11．如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜|F 1F 2|. ∴M 点轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝25－94＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32. 12.如图所示，圆O ：x 2＋y 2＝16与x 轴交于A 、B 两点，l1、l 2是分别过A 、B 点的圆O 的切线，过此圆上的另一个点P (P 点是圆上任一不与A 、B 重合的点)作圆的切线，分别交l 1、l 2于C 、D 点，且AD 、BC 两直线的交点为M .当P 点运动时，求动点M 的轨迹方程．解：设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 20＋y 20＝16，所以，切线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝16，由题意，知A (－4,0)、B (4,0)，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，4 4＋x 0 y 0和D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4 4－x 0 y 0， 则直线AD 的方程是y ＝4－x 02y 0·(x ＋4)， 直线BC 的方程是y ＝－ 4＋x 0 2y 0(x －4)， 则交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，y 02， 所以x 0＝x ，y 0＝2y ，代入x 20＋y 20＝16，得x2＋4y2＝16，由于点P与A、B都不重合，所以y≠0，即所求动点M的轨迹方程是x2＋4y2＝16(y≠0)．。

第八篇 第5节一、选择题1．(2014银川模拟)抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫0，18 D ．⎝⎛⎭⎫0，14 解析：抛物线y ＝2x 2，即其标准方程为x 2＝12y ，它的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18.故选C. 答案：C2．抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45yB ．y 2＝－45xC ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝5，∴抛物线焦点坐标为(0，－5)， ∴抛物线方程为x 2＝－45y .故选A. 答案：A3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切D ．不确定解析：如图所示，设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线为l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，故圆与抛物线准线相切．故选C.答案：C4．(2014洛阳高三统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B ．83C.103D ．10解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 其中x 1>0，x 2>0，过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0， y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3(x 2＋1)，x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.故选B.答案：B5．(2014池州模拟)若从抛物线x 2＝2y 上任意一点M 向圆C ：x 2＋(y －2)2＝1作切线MT ，则切线长|MT |的最小值为( )A.12B ．1 C.2D. 3解析：如图所示，|MT |＝|MC |2－|CT |2，因此求|MT |的最小值即求|MC |的最小值．点M在抛物线x 2＝2y 上，设点M (2t,2t 2)，则|MC |＝(2t )2＋(2t 2－2)2＝2t 2－122＋34≥3，当且仅当t ＝±22时取等号，此时|MT |min ＝3－1＝ 2.故选C.答案：C6．(2014宣城调研)已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同的两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线的焦点F (1,0)，所以F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝－4(x 2－1)，y 1＝－4y 2，则y 21＝16y 22.又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，所以x 1＝16x 2，代入x 1－1＝－4(x 2－1)，解得x 1＝4，x 2＝14.若y 1＝2x 1＝4，则k AB ＝k AF ＝y 1x 1－1＝44－1＝43；若y 1＝－2x 1＝－4， 则k AB ＝k AF ＝y 1x 1－1＝－44－1＝－43，所以直线AB 的斜率为±43.故选D.答案：D 二、填空题7．动直线l 的倾斜角为60°，且与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．解析：设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )， 即x 2－23px －2pb ＝0， ∴x 1＋x 2＝23p ＝3，∴p ＝32，则抛物线的方程为x 2＝3y . 答案：x 2＝3y8．以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64. 答案：x 2＋(y －4)2＝649．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：∵抛物线y 2＝4x ， ∴焦点F 的坐标为(1,0)． 又∵直线l 倾斜角为60°， ∴直线斜率为3，∴直线方程为y ＝3(x －1)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x 1＝13，y 1＝－233，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝23，由已知得A 的坐标为(3,23)， ∴S △OAF ＝12|OF |·|y A |＝12×1×23＝ 3.答案： 310．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是________．解析：设点M 在抛物线的准线上的射影为M ′.由已知可得抛物线的准线方程为x ＝－12，焦点F 坐标为⎝⎛⎭⎫12，0. 求|P A |＋|PM |的最小值，可先求|P A |＋|PM ′|的最小值．由抛物线的定义可知，|PM ′|＝|PF |，所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PM ′|，当点A 、P 、F 在一条直线上时， |P A |＋|PF |有最小值|AF |＝5， 所以|P A |＋|PM ′|≥5， 又因为|PM ′|＝|PM |＋12，所以|P A |＋|PM |≥5－12＝92.答案：92三、解答题11．若抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线l ：y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，求实数m 的值．解：法一 如图所示，连接AB ， ∵A 、B 两点关于直线l 对称，∴AB ⊥l ，且AB 中点M (x 0，y 0)在直线l 上． 可设l AB ：y ＝－x ＋n ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋n ，y ＝2x 2，得2x 2＋x －n ＝0，∴x 1＋x 2＝－12，x 1x 2＝－n 2.由x 1x 2＝－12，得n ＝1.又x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝－x 0＋n ＝14＋1＝54，即点M 为⎝⎛⎭⎫－14，54， 由点M 在直线l 上，得54＝－14＋m ，∴m ＝32.法二 ∵A 、B 两点在抛物线y ＝2x 2上．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，∴y 1－y 2＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)． 设AB 中点M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2x 0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4x 0.又AB ⊥l ，∴k AB ＝－1，从而x 0＝－14.又点M 在l 上， ∴y 0＝x 0＋m ＝m －14，即M ⎝⎛⎭⎫－14，m －14， ∴AB 的方程是y －⎝⎛⎭⎫m －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋14， 即y ＝－x ＋m －12，代入y ＝2x 2，得2x 2＋x －⎝⎛⎭⎫m －12＝0， ∴x 1x 2＝－m －122＝－12，∴m ＝32.12．(2014宣城调研)已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为y ＝－1，直线l 过点(1,2)，且与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .(1)求抛物线的方程；(2)求证：点M 在定直线上，并求出直线的方程； (3)求抛物线上的点到(2)中的定直线的最小距离．(1)解：由题意可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，准线方程为y ＝－1， 则p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y .(2)证明：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)． 过点A 的切线方程为x 1x ＝2y ＋2y 1， 过点B 的切线方程为x 2x ＝2y ＋2y 2.两切线都过点M ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 0＝2y 0＋2y 1，x 2x 0＝2y 0＋2y 2.故过点M 的直线为x 0x ＝2y 0＋2y .又因为直线l 过点(1,2)，所以有x 0＝2y 0＋4. 所以点M 在定直线x ＝2y ＋4上．(3)解：只需要将定直线x ＝2y ＋4平移与抛物线相切，求出切点坐标． 由x 2＝4y ，得y ＝14x 2.由y ′＝12x ＝12，可得x ＝1，代入x 2＝4y ， 得y ＝14，切点为1，14.所以所求距离d ＝1－2×14－41＋(－2)2＝7510.。

第八篇 第 3 节一、选择题2 ＋ y21．设 P 是椭圆x＝ 1 上的点．若 F 1、F 2 是椭圆的两个焦点， 则|PF 1|＋ |PF 2|等于 ()25 16A ． 4B ．5C ． 8D ． 10分析： 由方程知 a ＝ 5，依据椭圆定义， |PF 1|＋ |PF 2 |＝ 2a ＝10.应选 D.答案： D2 2x y2．(2014 唐山二模 )P 为椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 上一点， F 1，F 2 为该椭圆的两个焦点， 若∠ F 1 PF 2→ → )＝ 60°，则 PF 1·PF 2等于 (A ． 3B ． 3C ． 2 3D ． 2分析： 由椭圆方程知 a ＝2， b ＝ 3， c ＝ 1，|PF 1|＋ |PF 2|＝ 4，∴ 1 2＋ |PF 2 2－ 4＝ 2|PF 1 2° |PF | |||PF |cos 60 ∴|PF 1||PF 2|＝ 4.→ → → →＝°4× 1 ＝2.∴PF 1·PF 2＝ |PF 1||PF 2|cos 60 2答案： D2 2x y3． (2012 年高考江西卷 )椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左、右极点分别是 A 、 B ，左、右焦点分别是 F 1，F 2.若 |AF 1 |， |F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()1 B ．5A. 4 51D ． 5－2C.2分析： 此题考察椭圆的性质与等比数列的综合运用． 由椭圆的性质可知 |AF 1 |＝ a － c ， |F 1F 2 |＝2c ， |F 1 B|＝ a ＋ c ，又 |AF 1|， |F 1F 2|， |F 1B|成等比数列，故 (a－ c)(a＋ c)＝ (2c)2，c5可得 e＝a＝5 .故应选 B.答案： B22x y4． (2013 年高考辽宁卷)已知椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0) 的左焦点为F， C 与过原点的直线订交于A，B 两点，连结 AF ，BF .若 |AB|＝ 10，|BF |＝ 8，cos∠ ABF ＝4，则 C 的离心率为 ()5A.3 B ．5 57 4D．6C.57分析： |AF |2＝ |AB|2＋ |BF|2－ 2|AB||BF|cos∠ABF ＝ 100＋ 64－ 2×10× 8×45＝ 36，则 |AF|＝ 6，∠AFB ＝ 90°，1半焦距 c＝ |FO |＝2|AB|＝5，设椭圆右焦点F2，连结 AF 2，由对称性知 |AF2|＝ |FB|＝8，2a＝ |AF 2|＋ |AF|＝ 6＋ 8＝ 14，即 a＝7，c5则 e＝a＝7.应选 B.答案： Bx2y25．已知椭圆 E：m＋4＝ 1，对于随意实数k，以下直线被椭圆 E 截得的弦长与l： y＝kx＋ 1 被椭圆 E 截得的弦长不行能相等的是 ()A． kx＋ y＋ k＝0 B ．kx－ y－ 1＝0C． kx＋ y－ k＝ 0D． kx＋ y－ 2＝ 0分析：取 k＝ 1 时， l ： y＝ x＋ 1.选项 A 中直线： y＝－ x－ 1 与 l 对于 x 轴对称，截得弦长相等．选项 B 中直线： y ＝ x －1 与 l 对于原点对称，所截弦长相等．选项 C 中直线： y ＝－ x ＋ 1 与 l 对于 y 轴对称，截得弦长相等．清除选项 A 、 B 、 C ，应选 D.答案： D22xy6． (2014 山东省实验中学第二次诊疗)已知椭圆 a 2＋ b 2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为a ＝c ，则该椭圆的离心率的取 F 1( －c,0)，F 2(c,0) ，若椭圆上存在点 P ，使sin ∠ PF 1F 2sin ∠ PF 2F 1值范围为 ( )2A ． (0， 2－ 1)B ． 2 ， 12C. 0， D ． ( 2－1,1)2分析： 由题意知点 P 不在 x 轴上，在△PF 1F 2 中，由正弦定理得|PF 2 ||PF 1|＝，sin ∠PF 1F 2 sin ∠PF 2F 1因此由 a ＝ csin ∠PF 1 F 2 sin ∠PF 2F 1a c可得|PF 2|＝ |PF 1|，|PF 1| c 即 |PF 2|＝ a ＝ e ，因此 |PF 1|＝ e|PF 2 |.由椭圆定义可知 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a ，因此 e|PF 2|＋ |PF 2|＝ 2a ，2a解得 |PF 2|＝.因为 a － c<|PF 2|<a ＋ c ，2a因此有 a － c<<a ＋ c ，e ＋1即 1－e< 2<1＋ e ，e＋ 11－ e 1＋ e <2，也就是2< 1＋ e 2，解得 2－1< e.又 0<e<1，∴ 2－ 1<e<1.应选 D.答案： D二、填空题22xy7．设 F 1、F 2 分别是椭圆＋ ＝1 的左、右焦点， P 为椭圆上一点， M 是 F 1P 的中点，|OM |＝ 3，则 P 点到椭圆左焦点距离为 ________．分析： ∵|OM |＝3，∴|PF 2|＝ 6， 又 |PF 1|＋ |PF 2|＝ 10，∴|PF 1|＝ 4. 答案： 4228．椭圆x2＋ y2 ＝ 1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、 F 2，过 F 2 作倾斜角为 120°的直线与a b椭圆的一个交点为 M ，若 MF 1 垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为 ________．分析： 不如设 |F 1F 2|＝ 1，∵直线 MF 2 的倾斜角为 120°，∴∠MF 2F 1＝ 60°.∴|MF 2 1|＝1 23，|＝ 2， |MF 3，2a ＝ |MF |＋ |MF |＝ 2＋2c ＝ |F 1F 2|＝ 1.∴e ＝a c＝ 2－ 3.答案： 2－ 3y 2 x 29．(2014 西安模拟 )过点 ( 3，－ 5)，且与椭圆 25＋ 9 ＝ 1 有同样焦点的椭圆的标准方程为 ________________ ．分析： 由题意可设椭圆方程为y 2 ＋ x 2 ＝ 1(m<9) ，25－m 9－ m代入点 ( 3，－ 5)，得5＋3＝1，25－m 9－ m解得 m ＝5 或 m ＝ 21(舍去 )，y 2 x 2∴椭圆的标准方程为 20＋ 4 ＝1.22yx答案：＋＝ 12210．已知 F 1 ，F是椭圆 C ：x2y 2 →2 a ＋ b ＝ 1(a>b>0) 的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点， 且 PF 1 → 的面积为 9，则 b ＝ ________. ⊥ PF 2.若△ PF 1 F 2|PF 1|＋ |PF 2|＝ 2a ， 分析： 由题意得|PF 1|2＋ |PF 2|2 ＝ 4c 2，∴(|PF 1 |＋ |PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝ 4c 2， 即 4a 2 －2|PF 1||PF 2 |＝4c 2，∴|PF 122， ||PF |＝ 2b∴S △PF 1F 2＝1|PF 1||PF 2|＝b 2 ＝9，2 ∴b ＝3.答案： 3三、解答题C 1 ： x 2 y 211．(2012 年高考广东卷 )在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0) 的左焦点为 F 1(－ 1,0)，且点 P(0， 1)在 C 1 上．(1)求椭圆 C 1 的方程；(2)设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 ：y 2 ＝4x 相切，求直线l 的方程．a 2－b 2＝ 1，解： (1)由椭圆 C 1 的左焦点为 F 1(－ 1,0)，且点 P(0,1)在 C 1 上，可得b ＝ 1，a 2 ＝2，∴ 2 b ＝ 1.2故椭圆 C 1 的方程为 x2 ＋ y 2＝ 1.(2)由题意剖析，直线 l 斜率存在且不为0，设其方程为y＝ kx＋ b，由直线 l 与抛物线 C2相切得y＝ kx＋ b，y2＝ 4x，222消 y 得 k x＋ (2bk－4)x＋ b＝ 0，222①1＝(2bk－4)－4k b ＝ 0，化简得 kb＝ 1.y＝ kx＋ b，由直线 l 与椭圆 C1相切得x222＋ y ＝ 1，消 y 得(2k2＋ 1)x2＋ 4bkx＋ 2b2－ 2＝0，2＝ (4bk)2－4(2k2＋1)(2 b2－ 2)＝ 0，化简得 2k2＝ b2－ 1.②①②联立得kb＝ 1，2k2＝ b2－1，解得 b4－ b2－ 2＝ 0，∴b2＝ 2 或 b2＝－ 1(舍去 ) ，22∴b＝ 2时， k＝2， b＝－2时， k＝－ 2.22即直线 l 的方程为y＝2 x＋2或 y＝－2 x－ 2.x2y212．(2014 海淀三模 )已知椭圆 C：a2＋b2＝ 1(a>b>0) 的四个极点恰巧是一边长为2，一内角为 60°的菱形的四个极点．(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 y ＝ kx 交椭圆 C 于 A，B 两点，在直线 l：x＋ y－3＝ 0 上存在点 P，使得△ PAB 为等边三角形，求 k 的值．x2y2解： (1)因为椭圆C：a2＋b2＝ 1(a>b>0)的四个极点恰巧是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个极点．因此 a＝3， b＝ 1，2椭圆 C 的方程为x3＋ y2＝ 1.(2)设 A(x 1，y11，－y1)，)，则B(－ x当直线 AB 的斜率为0 时， AB 的垂直均分线就是y 轴，y 轴与直线 l ： x＋ y－ 3＝ 0的交点为P(0,3) ，又因为 |AB |＝23，|PO |＝ 3，因此∠PAO＝ 60°，因此△PAB 是等边三角形，因此直线 AB 的方程为y＝ 0，当直线 AB 的斜率存在且不为0 时，则直线 AB 的方程为y＝ kx，2x＋ y2＝ 1，因此3y＝ kx，化简得 (3k2＋1)x2＝3，因此 |x1|＝3，3k2＋ 1则 |AO|＝1＋ k233k2＋3＝.3k2＋ 13k2＋11设 AB 的垂直均分线为y＝－k x，它与直线 l ： x＋ y－ 3＝ 0的交点记为 P(x0， y0)，y＝－ x＋ 3，因此1y＝－k x，3kx0＝，解得－3y0＝.k－ 1则 |PO|＝9k2＋9 k－ 12，因为△PAB 为等边三角形，因此应有 |PO|＝3|AO|，9k2＋93k2＋ 3代入得k－ 12＝ 32，3k ＋ 1解得 k＝ 0(舍去 )， k＝－ 1.综上， k＝ 0 或 k＝－ 1.。

滚动检测(一)一、选择题(每小题6分，共60分)1．(2014某某市高中毕业班质检)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4，6}，B ＝{2，3，5}，，则(∁U A )∩B 等于( )A ．{3，5}B ．{4，6}C ．{1，2，3，5}D ．{1，2，4，6}解析：(∁U A )∩B＝{1，3，5}∩{2，3，5}＝{3，5}．故选A . 答案：A2．函数y ＝ln (2－x －x 2)的定义域是( ) A ．(－1，2) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－2，1)D ．[－2，1)解析：由题意得2－x －x 2>0， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x<1. 故选C . 答案：C3．(2014某某省五校协作体高三联考)命题“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0”为假命题，是“－16≤a ≤0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0恒成立， 等价于Δ＝a 2＋16a ≤0， 即－16≤a ≤0. 故选A. 答案：A4．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(ln x )－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意得f (x )＝sgn(ln x )－ln x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1.令f (x )＝0得x ＝e ，1，1e ，所以函数有3个零点．故选C. 答案：C5．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：由题意可得A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，对集合B 有x ＜b －2或x ＞b ＋2，因为A ⊆B ，所以有b －2≥a ＋1或b ＋2≤a －1，解得a －b ≥3或a －b ≤－3，即|a －b |≥3.故选D.答案：D6．(2014某某省某某市高三质检)对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列说法正确的是( )A ．逆命题为“周期函数不是单调函数”B ．否命题“单调函数是周期函数”C ．逆否命题“周期函数是单调函数”D ．以上三者都不正确解析：原命题可改写为“若一个函数是单调函数，则它不是周期函数”根据四种命题的构成可得，选项A 、B 、C 均不正确．故选D.答案：D7．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y 与储藏温度x 的关系为指数型函数y ＝ka x，若牛奶在0℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h ，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h ，那么在10 ℃时的保鲜时间是( )A ．49 hB ．56 hC ．64 hD ．76 h解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧100＝ka 0，80＝ka 5，所以k ＝100，a 5＝45. 则当x ＝10时，y ＝100×a 10＝100×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝64.故选C. 答案：C8.(2014某某某某市高三调研)2012翼装飞行世界锦标赛在某某举行，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15秒内的速度v (x )与时间x 的关系，若定义“速度差函数”u (x )为时间段[0，x ]内的最大速度与最小速度的差，则u (x )的图象是( )解析：为四段的分段函数．当x ∈[0，6]时，在时刻x 时的速度为v (x )＝403x ＋80，此时u (x )＝v (x )－80＝403x ，只能是选项A 、C 、D 中的图象；当x ∈[6，10]时，最大速度与最小速度的差为u (x )＝160－80＝80；当x ∈[12，15]时，在[0，x ]内的最大速度为160，最小速度为60，u (x )＝100， 结合选项只能是选项D 中的图象． 答案：D9．已知g (x )为三次函数f (x )＝a3x 3＋a2x 2－2ax (a ≠0)的导函数，则它们的图象可能是( )解析：由已知得g (x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，∴g (x )的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，(1，0)，且－2和1是函数f (x )的极值点．故选D.答案：D10．(2014某某省某某市高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值X 围为( )A ．[－12，1 ]B ．[－12，1）C ．(－14，0)D ．(－14，0]解析：问题等价于f (x )＝m 有三个不同的解，等价于函数y ＝f (x )，y ＝m 的图象有三个不同的公共点．在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )、y ＝m 的图象(如图)，观察其交点个数，显然当－14<m <0时，两个函数图象有三个不同的公共点．故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)11．(2014某某某某二模)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋x －1<0，则命题綈p ：________． 解析：特称命题的否定是全称命题，且否定命题结论， 即綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋x －1≥012．(2014某某省滨州市高三模拟)设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式a x －1x6的展开式中的常数项等于________．解析：a ＝⎠⎛0πsin x d x ＝[－cos x]π0＝2，a x －1x6＝2x －1x6，其展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r6(2x)6－r·－1xr＝(－1)r ·26－r C r6·x 3－r ，令r ＝3得展开式中的常数项C 36×23×(－1)3＝－160. 答案：－16013．已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g(x)＝log 12x ，记函数h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g（x ），g （x ），f （x ）>g （x ），则不等式h(x)≥22的解集为________． 解析：记f(x)与g(x)的图象交点的横坐标为x ＝x 0， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝22<1＝log 1212，f(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12>0＝log 121，∴x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 得h(x)的图象如图所示， 而h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，∴不等式h(x)≥22的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1214．已知f(x)＝a ln x ＋12x 2(a>0)，若对任意两个不等的正实数x 1、x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2≥2恒成立，则a 的取值X 围是________．解析：由于f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝k≥2恒成立，所以f′(x)≥2恒成立． 又f′(x)＝a x ＋x ，故ax ＋x≥2，又x>0，所以a≥－x 2＋2x ，而g(x)＝－x 2＋2x 在(0，＋∞)上的最大值为1，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题(共70分) 15．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x 2＋a x (x≠0，常数a∈R )．(1)当a ＝2时，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1； (2)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2x，f (x －1)＝(x －1)2＋2x －1，由x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x －1，得2x －2x －1>0，x (x －1)<0，0<x <1， 所以原不等式的解集为{x |0<x <1}． (2)f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝x 2＝f (x )， 所以f (x )是偶函数．当a ≠0时，f (x )＋f (－x )＝2x 2≠0(x ≠0)， f (x )－f (－x )＝2ax≠0(x ≠0)，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． 16．(本小题满分12分)A ＝x 132≤2－x ≤4，B ＝{x |x 2－3mx ＋2m 2－m －1<0}．(1)当x ∈N 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，某某数m 的取值X 围． 解：化简集合A ＝{x |－2≤x ≤5}， 集合B ＝{x |(x －m ＋1)(x －2m －1)<0}． (1)当x ∈N 时，集合A ＝{0，1，2，3，4，5}， 即A 中含有6个元素，所以A 的非空真子集数为26－2＝62个． (2)(2m ＋1)－(m －1)＝m ＋2. ①m ＝－2时，B ＝∅⊆A ；②当m <－2时，2m ＋1<m －1， 此时B ＝(2m ＋1，m －1)，若B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥－2，m －1≤5，解得－32≤m ≤6，与m <－2无公共部分，所以m 的值不存在； ③当m >－2时，2m ＋1>m －1， 此时B ＝(m －1，2m ＋1)，若B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5，解得－1≤m ≤2， 此时m 满足－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值X 围是m ＝－2或－1≤m ≤2. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x2－1e x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝32时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[－1，1]上为单调函数，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝32时，f (x )＝e x2－1e x －32x ，f ′(x )＝12e x [(e x )2－3e x ＋2]＝12ex (e x －1)(e x －2)， 令f ′(x )＝0，得e x＝1或e x＝2， 即x ＝0或x ＝ln 2，令f ′(x )>0，则x <0或x >ln 2， 令f ′(x )<0，则0<x <ln 2，∴f (x )在(－∞，0]，[ln 2，＋∞)上单调递增， 在(0，ln 2)上单调递减． (2)f ′(x )＝e x2＋1e x －a ，令e x＝t ，由于x ∈[－1，1]，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e . 令h (t )＝t 2＋1t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，h ′(t )＝12－1t 2＝t 2－22t2，∴当t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，2时h ′(t )<0，函数h (t )为单调减函数； 当t ∈(2，e]时h ′(t )>0，函数h (t )为单调增函数， ∴2≤h (t )≤e ＋12e.∵函数f (x )在[－1，1]上为单调函数，∴若函数f (x )在[－1，1]上单调递增，则a ≤t 2＋1t 对t ∈[1e ，e]恒成立，所以a ≤2；若函数f (x )在[－1，1]上单调递减，则a ≥t 2＋1t 对t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 恒成立，所以a ≥e ＋12e ， 综上可得a ≤2或a ≥e ＋12e .18．(本小题满分12分)(2014某某某某市高三调研)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品，根据经验知道，次品数P (万件)与日产量x (万件)之间满足关系：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 26，1≤x <4，x ＋3x －2512，x ≥4.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T (万元)表示为日产量x (万件)的函数； (2)当工厂将这种仪器的元件的日产量x 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？解：(1)当1≤x <4时，合格的元件数为x －x 26，利润T ＝2x －x 26－x 26＝2x －x 22；当x ≥4时，合格的元件数为x －x ＋3x －2512＝－3x ＋2512， 利润T ＝2－3x ＋2512－x ＋3x －2512＝－x －9x ＋254，综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润T ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 22，1≤x <4，－x －9x ＋254，x ≥4.(2)当1≤x <4时，T ＝2x －x 22，当x ＝2时利润T 的最大值T max ＝T (2)＝2.当x ≥4时，T ′＝－1＋9x 2＝9－x 2x 2＝（3＋x ）（3－x ）x2<0， 所以T ＝－x －9x ＋254在[4，＋∞)上是减函数，此时利润T 的最大值T max ＝T (4)＝0， 综上所述，当x ＝2时，T 取最大值2，即当日产量定为2万件时，工厂可获得最大利润2万元． 19．(本小题满分12分) 设函数f (x )＝－x 2＋4ax －3a 2.(1)当a ＝1，x ∈[－3，3]时，求函数f (x )的取值X 围；(2)若0<a <1，x ∈[1－a ，1＋a ]时，恒有－a ≤f (x )≤a 成立，试确定a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝－(x －2)2＋1，x ∈[－3，3]时，f (x )max ＝f (2)＝1， f (x )min ＝f (－3)＝－24，故此时函数f (x )的取值X 围为[－24，1]． (2)∵f (x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －2a )2＋a 2， 且当0<a <13时，1－a >2a ，∴f (x )在区间[1－a ，1＋a ]内单调递减．f (x )max ＝f (1－a )＝－8a 2＋6a －1， f (x )min ＝f (1＋a )＝2a －1.∵－a ≤f (x )≤a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－8a 2＋6a －1≤a ，2a －1≥－a .此时，a ∈∅.当13≤a <1时，f (x )max ＝f (2a )＝a 2. ∵－a ≤f (x )≤a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤a ，2a －1≥－a ，－8a 2＋6a －1≥－a ，解之得，13≤a ≤7＋1716.综上可知，实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，7＋1716.20．(本小题满分12分)(2014某某省威海文登市高三质检)已知函数f (x )＝ln(e x＋a ＋1)(a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g (x )＝λf (x )＋sin x 在区间[－1，1]上是减函数．(1)某某数a 的值；(2)若g (x )≤λt －1在x ∈[－1，1]上对任意λ恒成立，某某数t 的最大值； (3)若关于x 的方程ln x f （x ）＝x 2－2e x ＋m 有且只有一个实数根，求m 的值． 解：(1)∵f (x )＝ln(e x＋a ＋1)是实数集R 上的奇函数， ∴f (0)＝0， 即ln(e 0＋a ＋1)＝0， ∴2＋a ＝1，即a ＝－1.将a ＝－1代入得f (x )＝ln e x＝x ，显然为奇函数． 故a ＝－1.(2)由(1)知g (x )＝λf (x )＋sin x ＝λx ＋sin x ， ∴g ′(x )＝λ＋cos x ，x ∈[－1，1]． ∵g (x )是区间[－1，1]上的减函数， ∴g ′(x )≤0在x ∈[－1，1]上恒成立， ∴λ≤(－cos x )min ，所以λ≤－1.要使g (x )≤λt －1在x ∈[－1，1]上恒成立，只需g (x )max ＝g (－1)＝－λ－sin 1≤λt －1在λ≤－1时恒成立即可． ∴(t ＋1)λ＋sin 1－1≥0(其中λ≤－1)恒成立即可． 令h (λ)＝(t ＋1)λ＋sin 1－1(λ≤－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≤0，h （－1）≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≤0，－t －2＋sin 1≥0，∴t ≤sin 1－2，所以实数t 的最大值为sin 1－2. (3)ln x f （x ）＝x 2－2e x ＋m ， 由(1)知方程为ln x x＝x 2－2e x ＋m ，word11 / 11 令f 1(x )＝ln x x，f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ， ∵f ′1(x )＝1－ln x x 2， 当x ∈(0，e]时，f ′1(x )≥0，∴f 1(x )在(0，e]上为增函数； 当x ∈[e ，＋∞)时，f ′1(x )≤0，∴f 1(x )在[e ，＋∞)上为减函数；当x ＝e 时，f 1(x )max ＝1e. 而f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ＝(x －e)2＋m －e 2当x ∈(0，e]时f 2(x )是减函数，当x ∈[e ，＋∞)时，f 2(x )是增函数，∴当x ＝e 时，f 2(x )min ＝m －e 2.只有当m －e 2＝1e， 即m ＝e 2＋1e 时，方程ln x x＝x 2－2e x ＋m 有且只有一个实数根．。

（智慧测评）2015届高考数学大一轮总复习 第3篇 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用课时训练 理 新人教A 版一、选择题1．(2014广东湛江十校联考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b ＝2，B ＝30°，C ＝15°，则a 等于( )A ．2 2B ．2 3 C.6－ 2 D ．4解析：A ＝180°－30°－15°＝135°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a 22＝212， 即a ＝2 2.故选A.答案：A2．(2014安阳模拟)已知△ABC 的一个内角是120°，三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积是( )A ．10 3B ．30 3C ．20 3D ．15 3解析：设A 、B 、C 所对边长分别为b －4，b ，b ＋4，则cos 120°＝ b －4 2＋b 2－ b ＋4 22× b －4 ×b， ∴b 2－10b ＝0，∴b ＝10或b ＝0(舍去)，∴b ＝10，b －4＝6，∴三角形的面积S ＝12×10×6×32＝15 3.故选D. 答案：D3．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 解析：由条件得sin A cos B ·sin C＝2， 即2cos B sin C ＝sin A .由正、余弦定理得，2·a 2＋c 2－b 22ac·c ＝a ， 整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．故选D.答案：D4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32 D ．2解析：∵A 、B 、C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin B b ＝32×13＝12， ∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32.故选C. 答案：C5．(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于( )A ．10B ．9C ．8D ．5 解析：由题意知，23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，即cos 2A ＝125， 又因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A ＝15. 在△ABC 中，由余弦定理知72＝b 2＋62－2b ×6×15， 即b 2－125b －13＝0，即b ＝5或b ＝－135(舍去)， 故选D.答案：D6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高是( )A.4003米B.40033米 C ．2003米 D ．200米解析：如图所示，AB 为山高，CD 为塔高，则由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，AB ＝200 米．则AC ＝AB cos 30°＝40033(米)． 在△ACD 中，∠CAD ＝60°－30°＝30°，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝120°.由正弦定理得CD sin 30°＝AC sin 120°， ∴CD ＝AC sin 30°sin 120°＝4003(米)．故选A.答案：A二、填空题7．(2012年高考北京卷)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 解析：由已知根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B得b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×(－14)， 即：15b －60＝0，得b ＝4.答案：48．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，则A ＝________.解析：由题意知b 2＝ac ，∵a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∴A ＝π3. 答案：π39．(2014四川外国语学校月考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，B ＝π3，且sin A ∶sin C ＝3∶1，则b c的值为________．解析：sin A ∶sin C ＝a ∶c ＝3∶1，∴a ＝3c .由余弦定理cos π3＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， ∴10c 2－b 26c 2＝12， 7c 2＝b 2， ∴b 2c 2＝7， ∴b c ＝7. 答案：710．在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝(cos C ，2a －c )，b ＝(b ，－cos B )，且a ⊥b ，则B ＝______.解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝b cos C －(2a －c )cos B ＝0，利用正弦定理，可得sin B cos C －(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C －2sin A cos B ＝0，即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin A cos B ，因为sin A ≠0，故cos B ＝12，因此B ＝π3. 答案：π3三、解答题11．(2013年高考北京卷)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值．(2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263， 故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. 所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539. 所以c ＝a sin C sin A＝5.12.如图所示，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°，30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.(1)试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离会相等？(2)求B 、D 的距离．解：(1)如图所示，在△ADC 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，∴CD ＝AC ＝0.1 km ，又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴∠CED ＝90°，∴CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，∴BD ＝BA .(2)在△ABC 中，∠ABC ＝75°－60°＝15°， 由正弦定理得AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，∴AB ＝0.1·sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，∴BD ＝32＋620(km)．故B 、D 间的距离是32＋620km.。

45分钟滚动基础训练卷(八)(考查范围：第28讲～第30讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．352．[2013·成都一诊] 在等比数列{a n }中，8a 2n －1＝a 2n ＋2，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．83．数列{a n }满足a n ＋1＝1＋2a n(n ∈N *)，若a 2＝3，则a 1＋a 4＝( ) A.83 B.143C.165D.32114．[2013·长春四调] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 8S 4＝17，则公比q ＝( ) A ．12 B ．±12C ．2D ．±25．[2013·福建莆田质检] 已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n .若S 3＝72，则S 6等于( )A ．312B ．632C ．63 D.12726．[2013·广东揭阳二模] 在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 15，则m 的值为( )A ．106B ．103C ．98D ．897．[2013·保定八校联考] 设f (n )＝2＋24＋27＋210＋213＋…＋23n ＋10(n ∈N *)，则f (n )等于( )A ．27(8n －1)B ．27(8n ＋1－1) C ．27(8n ＋3－1) D ．27(8n ＋4－1) 8．[2013·全国卷] 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则数列{a n }的前10项的和等于( )A ．－6(1－3－10)B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)9．[2013·杭州一模] 在等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 5＝－8，则a 8＝________．10．[2013·黄山质检] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝log n (n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)．定义：使乘积a 1·a 2·…·a k 为正整数的k (k ∈N *)叫做“简易数”．则在[1，2012]内所有“简易数”的和为________．11．把1，3，6，10，15这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图G8­1所示)，则第7个三角形数是________．图G8三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)12．[2013·四川卷] 在等比数列{a n}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{a n}的首项、公比及前n项和．13．[2013·广东惠州三调] 已知向量p＝(a n，2n)，q＝(2n＋1，－a n＋1)，n∈N*，向量p与q 垂直，且a1＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝log2a n＋1，求数列{a n·b n}的前n项和S n.14．已知数列{a n}满足a1＝1，2n－1a n＝a n－1(n∈N，n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)这个数列从第几项开始各项均小于1 1000？45分钟滚动基础训练卷(八)1．C 2.A 3.C 4.D 5.B 6.A 7.D 8.C9．64 10.2036 11.2812．数列{a n }的公比为3，首项为1，且数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1213．(1)a n ＝2n －1 (2)S n ＝1＋(n －1)2n 14．(1)a n ＝⎝⎛⎭⎫12n （n －1）2 (2)第5项开始各项均小于11000。

第十一篇 第3节一、选择题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 答案：B2．(2014河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＞0⇒a ＞b ”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①②正确，③错误，因为两个复数如果不是实数，不能比较大小．故选C. 答案：C3．(2014上海闸北二模)平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域，选C.答案：C4．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *DD ．C *D ，A *D解析：观察图形及对应运算分析可知， 基本元素为A →|，B →□，C →—，D →，从而可知图(a)对应B *D ，图(b)对应A *C .故选B. 答案：B5．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知， 第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对． 这样前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对．注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，可得为(5,7)．故选B. 答案：B6．对于a 、b ∈(0，＋∞)，a ＋b ≥2ab (大前提)，x ＋1x ≥2x ·1x (小前提)，所以x ＋1x≥2(结论)．以上推理过程中的错误为( )A ．小前提B ．大前提C ．结论D ．无错误解析：大前提是a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ≥2ab ，要求a 、b 都是正数；x ＋1x ≥2x ·1x是小前提，没写出x 的取值范围，因此本题中的小前提有错误．故选A.答案：A 二、填空题7．(2014山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，则a 1＋a 2≤2”的证明过程：证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1时，你能得到的结论为________．(不必证明)解析：由题意可构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2 ＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， 因对一切实数x ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0， 即a 1＋a 2＋…＋a n ≤n . 答案：a 1＋a 2＋…＋a n ≤n8．(2014山东莱芜模拟)容易计算2×5＝10,22×55＝1210,222×555＝123210,2222×5555＝12343210.根据此规律猜想所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为________．解析：由2×5,22×55,222×555的结果可知的结果共18位，个位为0，其他数位从左向右为连续的自然数且左右对称，即＝123456789876543210，所得结果由左向右的第八位至第十位的三个数字依次为898.答案：8989．(2014江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A ，B 分别与实数x 1，x 2对应，则线段AB 的中点M 与实数x 1＋x 22对应，由此结论类比到平面得，若平面上不共线的三点A ，B ，C 分别与二元实数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)对应，则△ABC 的重心G 与________对应．解析：由类比推理得，若平面上不共线的三点A ，B ，C 分别与二元实数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)对应，则△ABC 的重心G 与⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33对应．答案：⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 3310．观察下列几个三角恒等式①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1； ②tan 5°tan 100°＋tan 100°tan(－15°)＋tan(－15°)tan 5°＝1； ③tan 13°tan 35°＋tan 35°tan 42°＋tan 42°tan 13°＝1.一般地，若tan α，tan β，tan γ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为________________________________________________________________________．解析：所给三角恒等式都为tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1的结构形式， 且α、β、γ之间满足α＋β＋γ＝90°， 所以可猜想当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.答案：当α＋β＋γ＝90°时，tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1 三、解答题11．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C . 12．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，(1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12013. 解：(1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1 ＝1，同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1.(2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1.(3)f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12013 ＝f (1)＋⎣⎡⎦⎤f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋⎣⎡⎦⎤f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋⎣⎡⎦⎤f (2014)＋f ⎝⎛⎭⎫12013 ＝12＋＝12＋2012 ＝40252.。

滚动检测(四)一、选择题(每小题6分，共60分)1．(2014安庆模拟)已知集合M ＝x xx －2>0，x ∈R ，N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N等于( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |x >2}D ．{x |x >2或x <0}解析：由题知M ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，N ＝[1，＋∞)， 所以M ∩N ＝(2，＋∞)．故选C. 答案：C2．(2014广东十校联考)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0” 解析：命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2≠1，则x ≠1”，选项A 错；“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，选项B 错；命题为真命题所以其逆否命题为真命题，选项C 正确；命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，选项D 错，故选C.答案：C3．(2014山西临汾中等四校三联)若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．10πB ．50πC ．25πD ．100π解析：由三视图知该几何体为长方体的一角且长方体的三棱长为3,4,5，其对角线长为32＋42＋52＝52，故其外接球的半径为522，其外接球的表面积为4π⎝⎛⎭⎫5222＝50π.故选B.答案：B4．(2014辽宁沈阳二检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：棱锥可能是三棱锥也可能是四棱锥．结合俯视图还原空间几何体，则不可能的只能是选项C 中的图形．答案：C5．(2014福建厦门3月质检)函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )( ) A ．是偶函数且为减函数 B ．是偶函数且为增函数 C ．是奇函数且为减函数D ．是奇函数且为增函数解析：满足f (－x )＝－f (x )，函数f (x )是奇函数；f ′(x )＝1＋cos x ≥0，函数f (x )是R 上的增函数．故选D.答案：D6．(2014贵州六校联盟一检)某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A.203 B ．163C ．8－π6D ．8－π3解析：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个四棱锥．其中正方体的棱长为2，四棱锥的底面为正方体的上底面，顶点为正方体的中心，四棱锥的高为1.所以原几何体的体积为V ＝23－13×2×2×1＝8－43＝203，选A.答案：A7．(2014广州高三质检)已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．2 3C ．43D ．6 3解析：∵a －b ＝(－3，m －3)，b ＝(1，3)， ∴(a －b )·b ＝3m －6，又∵(a －b )⊥b ， ∴3m －6＝0，得m ＝23，故选B. 答案：B8．(2014兰州一中模拟)公差不为零的等差数列的第2,3,6项构成等比数列，则构成的等比数列的公比为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为等差数列的第2,3,6项构成等比数列，所以a 23＝a 2a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，整理，得d ＝－2a 1， 所以a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， 所以公比为a 3a 2＝3，故选C.答案：C9．(2014天津一中月考)函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在的一个区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫18，14 B ．⎝⎛⎭⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1,2)解析：因为f (x )在(0，＋∞)内是增函数，且f (1)＝2－1＋log 21＝1>0，f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12－1＋log 212＝－1<0，所以根据函数零点的存在性定理可知函数f (x )＝2x －1＋log 2x 的零点所在的区间为⎝⎛⎭⎫12，1.故选C.答案：C10．(2014济南市一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．6B ．3 C.32D ．1解析：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .作出可行域如图所示，作直线y ＝－2x ，平移直线y ＝－2x ，由图可知，当直线经过点D 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最大，此时z ＝2x ＋y 有最大值为2×3＝6.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共20分)12．已知空间两点A (4，－7,1)，B (6,2，z )，若|AB |＝11，则z ＝________.解析：由于|AB |＝(6－4)2＋(2＋7)2＋(z －1)2＝11，即(z －1)2＝36，解得z ＝7或z ＝－5.答案：7或－513．(2014山东济宁市一模)已知α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，且l ⊥α，则l ∥β是α⊥β的________条件．(填：充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要)解析：若l ∥β，则α⊥β.当α⊥β时，l 可能在平面β内， 所以“l ∥β”是“α⊥β”的充分不必要条件． 答案：充分不必要14．(2014山东德州一模)一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为16π＋853，则图中x 的值为________．解析：该几何体是一个圆柱与一个四棱锥的组合体，其中圆柱的体积为4π×4＝16π，故四棱锥的体积为853，四棱锥的底面面积为12×4×4＝8，故四棱锥的高为5，故x ＝22＋5＝3. 答案：315．(2014云南师大附中月考)已知一几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体可能是________．(填序号)①矩形；②有三个面为直角三角形，另一个面为等腰三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体．解析：由三视图知几何体的直观图是长方体ABCD －A1B 1C 1D 1.如图所示．当选择的四个点为B 1、B 、C 、C 1时几何体符合①；当选择B 、A 、B 1、C 时几何体符合②；当选择A 、B 、D 、D 1时几何体符合③.答案：①②③ 三、解答题(共70分) 15．(本小题满分10分)(2014广东肇庆市一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6＋sin 2x sin π6＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 因函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，3π4上是减函数，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1， 故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为2， 最小值为－1.16. (本小题满分12分)(2014山东临沂市高三期末)在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2BC ＝2CD ，E 是P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)法一 取PB 中点F ，连接EF 、FC .∵E 、F 分别是P A 、PB 的中点， ∴EF 綊12AB .又CD 綊12AB ，∴EF 綊CD .∴四边形EFCD 为平行四边形，∴DE ∥CF . ∵CF ⊂平面PBC ， ED ⊄平面PBC ， ∴DE ∥平面PBC .法二 取AB 的中点G ，连接DG 、EG ，则EG ∥PB ， ∵AB ＝2DC ，AB ∥DC ，∴DC 綊BG ，∴四边形DCBG 为平行四边形，∴DG ∥BC ，又EG ∩DG ＝G ，EG ⊂平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，PB ∩BC ＝B ，∴平面DEG ∥平面PBC ，又DE ⊂平面DEG ， ∴DE ∥平面PBC .(2)∵PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥PD .设BC ＝1，则AB ＝2，CD ＝1， ∵BC ＝CD ，BC ⊥CD ， ∴BD ＝2，∠DBC ＝45°. ∵BC ⊥AB ，∴∠ABD ＝45°.在△ABD 中，AB ＝2，BD ＝2，∠ABD ＝45°. 得AD 2＝AB 2＋BD 2－2·AB ·BD ·cos π4＝4＋2－2×2×2×22＝2， ∴AD ＝ 2.由AD 2＋BD 2＝AB 2，得∠ADB ＝90°， ∴AD ⊥BD . ∵PD ∩BD ＝D ， ∴AD ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，∴AD ⊥PB . 17．(本小题满分12分)(2014广东佛山一检)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且b 1，b 3，b 11成等比数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b na n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ，又a 1＝S 1＝21＋1－2＝2＝21，也满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .b 1＝a 1＝2，设公差为d ，则由b 1，b 3，b 11成等比数列， 得(2＋2d )2＝2×(2＋10d )， 解得d ＝0(舍去)或d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3n －1. (2)由(1)可得T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b na n＝221＋522＋823＋…＋3n －12n ， 2T n ＝2＋521＋822＋…＋3n －12n －1，两式相减得T n ＝2＋321＋322＋…＋32n －1－3n －12n ，T n ＝2＋32⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－3n －12n ＝5－3n ＋52n .18．(本小题满分12分) (2014北京大兴区一模)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．(1)求证：A1D⊥B1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC，在等边△ABC中，D是BC中点，所以AD⊥BC，因为在平面A1AD中，A1A∩AD＝A，所以BC⊥平面A1AD，又因为A1D⊂平面A1AD，所以A1D⊥BC.在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，所以B1C1∥BC，所以A1D⊥B1C1.(2)解：A1B与平面ADC1平行，理由如下：在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，在平行四边形ACC1A1中连接A1C，交AC1于O，则O为A1C中点，连接DO，在三角形A1CB中，D为BC中点，O为A1C中点，故DO∥A1B.因为DO⊂平面DAC1，A1B⊄平面DAC1，所以A1B∥平面ADC1.19．(本小题满分12分)(2014济南二模)已知梯形ABCD中，BC∥AD，BC＝12AD＝1，CD＝3，G、E、F分别是AD、BC、CD的中点，且CG＝2，沿CG将△CDG翻折到△CD′G.(1)求证：EF∥平面AD′B；(2)求证：平面CD′G⊥平面AD′G.证明：(1)∵E、F分别是BC、CD的中点，即E、F分别是BC、CD′的中点，∴EF为△D′BC的中位线．∴EF∥D′B.又∵EF⊄平面AD′B，D′B⊂平面AD′B，∴EF∥平面AD′B.(2)∵G是AD的中点，BC＝12AD＝1，即AD＝2，∴DG＝1.又∵CD＝3，CG＝2，∴在△DGC中，DG2＋GC2＝DC2，∴DG⊥GC.∴GC⊥D′G，GC⊥AG.∵AG∩D′G＝G，∴GC⊥平面AD′G.又∵GC⊂平面CD′G，∴平面CD′G⊥平面AD′G.20. (本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．(1)证明：因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.(2)解：因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以V P－ABCD＝13S正方形ABCD·PD＝83.由题意易知DA⊥平面MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离，所以V P－MAB＝13×12×1×2×2＝23.所以V P－MAB∶V P－ABCD＝1∶4.。