2015年中考圆专题复习二

专题圆一.解答题1．（2012年，肇庆）（本小题满分10分）如图7，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：（1）D是BC的中点；（（2.（（1A、BⅡ（2°，BC=23．（2012年，苏州）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？4.（2012年，佛山）如图，直尺、三角尺都和圆O相切，AB=8cm ．求圆O的直径．C5．（2012武汉）在锐角三角形ABC中，BC=4，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．6．（2012张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．7．（2012南昌）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．8．（2012•济宁）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC．（1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论．（2）求证：PC是⊙O的切线．.9．（2012•德阳）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．（1）求证：AE•FD=AF•EC；（2）求证：FC=FB；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．10．（2012宜宾）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E．（1）求证：；（2）若PQ=2，试求∠E度数．11．（2012•资阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接EP、CP、OP．（1）BD=DC吗？说明理由；（2）求∠BOP的度数；（3）求证：CP是⊙O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证△AOG∽△CPG”；小强说：“过点C作CH⊥AB于点H，证四边形CHOP是矩形”．12．并13.14．（、O2．答案1.（本小题满分10分）证明：（1）∵AB是直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC（1分）又∵AB=AC∴D是BC的中点（3分）（2）在△BEC与△ADC中，∵∠C=∠C∠CAD=∠CBE（5分）∴△BEC ∽△ADC （6分） （3）∵△BEC ∽△ADC ∴CEBCCD AC = 又∵D 是BC 的中点 ∴2BD=2CD=BC ∴CEBD BD AC 2= 则 CE AC BD ⋅=22 ① （7分） 在△BPD 与 △ABD 中， 有 ∠BDP=∠BDA=，即∵PC=∴PA=，PA=，=4.解析：连接OA 、OB ，∠CAB=1800-600=1200∵AB 、AC 与圆O 相切， ∴OA 平分∠CAB 即∠OAB=21∠CAB=600 BO ┴AB∵AB=8cm ∠OBA= 900∴OA=16cm8cm∴根据勾股定理OB=3考查知识：切线长定理、勾股定理。

点直线与圆的位置关系1．(2015•江苏南京,第6题3分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A ．B ．C ．D ．2.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE ；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A、①②B、①②③C、①④D、①②④5. （2015•浙江湖州，第8题3分）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB =，则AB的长是( )A. 4B . 2C. 8 D . 46. （2015•浙江湖州，第9题3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且☉O的半径长为1，则下列结论不成立的是( )A. CD+DF=4 B. CD−DF=2−3 C. BC+AB =2+4 D. BC−AB=29. （2015•四川乐山,）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、P B．则△PAB面积的最大值是（）A．8 B．12 C ．D ．1. （2015•浙江宁波，）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为3.（2015湖北荆州第18题3分）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P 在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y =（k≠0）的图象经过圆心P，则k=．5. （2015•四川成都,第2）如图，在半径为5的O中，弦8AB=，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当PAB∆是等腰三角形时，线段BC的长为KHGOCCOCOBAPBAPBAP图（1）图（2）图（3）6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =4，点P 在以C 为圆心，5为半径的圆上，连结PA ，PB 。

CBA2015年人教版九年级数学中考专题复习 圆圆知识点的考查集中体现在：圆周角与圆心角关系，垂径定理，切线的证明，求面积，半径等。

选择题一般考查圆周角、圆心角及其关系，垂径定理，圆的切线，弧长与扇形面积等知识。

解答题考查切线的问题，求面积，半径，线段长。

1.关于切线的问题，首先连接圆心和切点。

2.关于求面积问题，若图形是规则图形，则首先想到直接去求；若图形是不规则图形，则可借助面积之差，割补法来求。

3.求线段的长，用到垂径定理（勾股定理），锐角三角函数知识。

1. 如图，在⊙O 中，AC ∥OB ，∠BAO=25°，则∠BOC 的度数为__________.2.如图，在⊙O 中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB 的度数是________.3. 如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30°，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过D 作DE AC ⊥，垂足为E .（1）证明：DE 为⊙O 的切线； （2）连接OE ，若BC =4，求△OEC 的面积.4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=︒90， E 为BC 上一点，以CE 为直径作⊙O,AB 与⊙O 相切于点D ，连接CD. 已知BE=OE=2.（1）求证：∠A=2∠DCB ；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）.第1题第2题巩固练习：5.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OB ，∠OBA=50°，则∠C 的度数为________.6．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC 的长为______. B =8.如图，点D 为⊙O上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD ． （1）判断直线CD 和⊙O 的位置关系，并说明理由．（2）过点B 作⊙O 的切线BE 交直线CD 于点E ，若AC=2，⊙O 的半径是3，求BE 的长．9. 已知：如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，点D 在AB 的延长线上，∠BCD=∠A ． （1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）过点C 作CE ⊥AB 于E ．若CE=2，cosD=，求AD 的长．第5题第6题第7题第10题第11题．cm cm 11、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．12、如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．。

2015年26题（圆题）专训（二）1、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE 于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．2、已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是弧ABC 的中点，弦DE⊥AB，垂足为点F，DE交AC于点G．（1）图中有哪些相等的线段；（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）（2）若过点E作⊙O的切线ME，交AC延长线于点M（请补完整图形），试问．ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；，求AG与GM的长．（第（1）（3）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB=43问中的结论可直接利用）3、如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC=BE（1）求证：△CEB∽△CBD；（2）若CE=9，CB=15，求DE的长．（3）求⊙O的直径．4、AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BC，证明∠ACD=∠ABC；（3）若AB=12cm，∠ABC=60°，求CD的长．5、如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C．（1）写出圆中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形；（3）如果PA=4，PD=2，求半径OA的长．6、点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，PA＝4√3．求：（1）∠POA的度数；（2）弦AB的长；（3）阴影部分的面积（结果保留π）．7、C为⊙O上一点，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC、CB于点D、F，AD=CD=5，⊙O 的半径为10．（1）求证：⌒AC ＝⌒CE；（2）求DF的长；（3）求tan∠ECB．8、如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）BE•DE+AC•CE= CE2；（2）∠EDF=∠CDB；（3）E，F，C，B四点共圆．9、AB是半圆的直径，O是圆心，C、D是半圆上的两点，若AB=4，弦AC=CD=1．（1）求证：OC∥BD；（2）设∠AOC=α，求sinα的值；（3）求BD的长．10、BC为半圆的直径，O为圆心，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）已知BC=52，CD= √52，求sin∠AEB的值；（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．11、AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．（1）求证：BC平分∠PBD；（2）求证：BC2=AB•BD；（3）若PA=6，PC=6√2，求BD的长．12、13、AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．（1）求证：AC平∠DAB；（2）求证：PC=PF；，AB=14，求线段PC的长．（3）若tan∠ABC=4314、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以OB为半径的⊙O的圆心在边AB上，⊙O与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=8，CD=12（1）求BC及AB的长（2）求证DE∥OC（3）求半径OB及线段AE的长（4）求OC的长．15、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．（1）求证：BC=CD；（2）求证：∠ADE=∠ABD；（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长．16、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AC=3，AE=4．①求AD的值；②求图中阴影部分的面积．。

专题九 圆⊙热点一：与圆有关的计算、操作题1．(2013年江苏盐城)如图Z9­10，将⊙O 沿弦AB 折叠，使AB 经过圆心O ，则∠OAB ＝________.图Z9­102．(2014年吉林)如图Z9­11，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠．若AB 和BC 都经过圆心O ，则阴影部分的面积是________(结果保留π)．图Z9­113．(2013年江苏盐城)(1)实践操作：如图Z9­12，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．①作∠BAC 的平分线，交BC 于点O ；②以O 为圆心，OC 为半径作圆．(2)综合运用：在你所作的图中，①AB 与⊙O 的位置关系是________(直接写出答案)； ②若AC ＝5，BC ＝12，求⊙O 的半径．图Z9­12⊙热点二：圆与函数图象的综合1．如图Z9­13，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，－23，且与y 轴交于点C (0,2)，与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)．(1)求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP＋CP的值最小？若存在，求AP ＋CP的最小值，若不存在，请说明理由；(3)直线CE与以AB为直径的⊙M相切于点E，交x轴于点D，求直线CE的解析式．图Z9­13 2．(2013年四川巴中)如图Z9­14，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4,0)，B点坐标为(－1,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P，交y轴的正半轴于点C.(1)求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．图Z9­14⊙热点三：与圆有关的动态题如图Z9­15，已知点A(6 3，0)，B(0,6)，经过A，B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t s.(1)用含t的代数式表示点P的坐标；(2)过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心，1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．图Z9­15专题九 圆【提升·专项训练】 热点一 1．30°2．3π 解析：如图107，作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，由折叠，得OD ＝12AO .∴∠OAD ＝30°.∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°.同理，∠BOC ＝120°.∴∠AOC ＝120°.∴S 阴影＝S 扇形AOC ＝120πr2360＝3π.图107 图1083．解：(1)如图108. (2)①相切②方法一，作OH ⊥AB 于H (如图108)， ∵∠ACB ＝90°，∴OC ⊥AC . 又∵AO 平分∠BAC ，∴OH ＝OC .在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝13. ∵∠OHB ＝∠ACB ＝90°，∠B ＝∠B ， ∴△BOH ∽△BAC .∴OH AC ＝BO AB .设OH ＝OC ＝r ，则r 5＝12－r13.解得r ＝103.即⊙O 的半径为103.方法二，由方法一，得∠OHB ＝∠ACB ＝90°. 则sin ∠B ＝OH OB ＝ACAB，以下同方法一．热点二1．解：(1)由题意，设抛物线解析式为y ＝a (x －4)2－23(a ≠0)．∵抛物线经过(0,2)，∴a (0－4)2－23＝2.解得a ＝16.∴y ＝16(x －4)2－23，即y ＝16x 2－43x ＋2.当y ＝0时，16x 2－43x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝6.∴A (2,0)，B (6,0)． (2)存在，理由如下：如图109，由(1)知，抛物线的对称轴l 为x ＝4.∵A ，B 两点关于l 对称，连接CB ，交l 于点P ，则AP ＝BP ， ∴AP ＋CP ＝BC 的值最小．∵B (6,0)，C (0,2)，∴OB ＝6，OC ＝2. ∴BC ＝210.∴AP ＋CP ＝BC ＝210. ∴AP ＋CP 的最小值为210.图109(3)如图109，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线，∴ME ⊥CE ，∠CEM ＝90°. 由题意，得OC ＝ME ＝2，∠ODC ＝∠MDE . 在△COD 与△MED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠COD ＝∠MED ，∠ODC ＝∠EDM ，OC ＝ME ，∴△COD ≌△MED (AAS)．∴OD ＝DE ，DC ＝DM . 设OD ＝x 则CD ＝DM ＝OM －OD ＝4－x .在Rt △COD 中，OD 2＋OC 2＝CD 2.∴x 2＋22＝(4－x )2.解得x ＝32.∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵直线CE 过C (0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0两点， 则⎩⎪⎨⎪⎧32k ＋b ＝0，b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝2.∴直线CE 的解析式为y ＝－43x ＋2.2．解：(1)∵A (4,0)，B (－1,0)，∴AB ＝5，半径PC ＝PB ＝PA ＝52.∴OP ＝52－1＝32.连接CP ，在△CPO 中，由勾股定理，得 OC ＝CP 2－OP 2＝2.∴C (0,2)．设经过A ，B ，C 的抛物线解析式是y ＝a (x －4)(x ＋1)．把C (0,2)代入，得2＝a (0－4)(0＋1)．∴a ＝－12.∴y ＝－12(x －4)(x ＋1)＝－12x 2＋32x ＋2.(2)y ＝－12x 2＋32x ＋2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋258，∴顶点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，258. 设直线MC 对应的函数解析式是y ＝kx ＋b ， 把C (0,2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，258代入，得⎩⎪⎨⎪⎧258＝32k ＋b ，b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝2.∴y ＝34x ＋2.(3)MC 与⊙P 的位置关系是相切．证明如下：当y ＝0时，0＝34x ＋2.∴x ＝－83，即ON ＝83.∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，0. 在△CON 中，由勾股定理，得CN 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝1009＝40036.又∵PC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝254＝22536，PN 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋83－12＝62536.∴CN 2＋PC 2＝PN 2，∴∠PCN ＝90°.∴PC ⊥NC . ∵PC 为半径，∴MC 与⊙P 的位置关系是相切． 热点三解：(1)过点P 作PF ⊥OB 于F (如图110)，图110∵OB ＝6，OA ＝6 3，∴∠OAB ＝30°.在Rt △PFB ′中，PB ′＝t ，∠B ′PF ＝30°，∴B ′F ＝12t ，FP ＝32t .又BB ′＝t ，∴OF ＝6－t －12t ＝6－32t .∴P ⎝⎛⎭⎪⎫32t ，6－32t .(2)当⊙P 在左侧与直线OC 相切时(如图111)，图111设此时⊙P 与OC 的切点为M ，∵OB ′＝6－t ，∠BOC ＝30°，∴B ′M ＝12(6－t )＝3－12t .又B ′P ＝t ，∴PM ＝B ′M －B ′P ＝3－32t .由3－32t ＝1，得t ＝43.此时⊙P 与直线CD 相离．当⊙P 在左侧与直线OC 相切时(如图108)，切点为M .PM ＝B ′P －B ′M ＝t －12(6－t )＝32t －3.由32t －3＝1，得t ＝83.此时⊙P 与直线CD 相交． 综上所述，当t ＝43 s 或t ＝83s 时，⊙P 与直线OC 相切，⊙P 与直线CD 相离或相交．。

（2015中考）圆一、选择题1、（2015•莱芜）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，以BC 为直径的⊙O 与AD 相切，点E 为AD 的中点，下列结论正确的个数是（ ） （1）AB+CD=AD ；（2）S △BCE =S △ABE +S △DCE ；（3）AB •CD=；（4）∠ABE=∠DCE ．A ．1B ．2C ．3D ．4 2、（2015•青岛）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若直线PA 与⊙O 相切于点A ，则∠PAB=（ ）A ．30° B ．35° C ．45° D ．60° 3、（2015•临沂）如图A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．130° 4、（2015•潍坊）如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠ABO=20°，则∠C 的度数是（ ）A ．70° B ．50° C ．45° D ．20° 5、（2015•潍坊）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水部分的面积是（ ） A ．（π﹣4）cm 2B ．（π﹣8）cm 2C ．（π﹣4）cm 2D ．（π﹣2）cm 26、（2015山东日照市）如右图，等腰直角△ＡＢＣ中，ＡＢ＝AC=8，以ＡＢ为直径的半圆O 交斜边ＢＣ于D ，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ） （A ） 244π- (B) 324π- (C) 328π- (D) 167、（2015•枣庄）如图，一个边长为4cm 的等边三角形ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O 与BC 相切于点C ，与AC 相交于点E ，则CE 的长为（ ）A ．4cm B ．3cm C ．2cm D ．1.5cm 8、（2015山东省聊城市）如图，点O 是圆形纸片的圆心，将这个圆心纸片按下列顺序折叠，使AB和AC 都经过圆心O ，则阴影部分的面积是⊙O 面积的（ ） A.12 B.13 C.23 D.359、（泰安）如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，以点B 为圆心的圆与AD ，DC 相切，与AB ，CB 的延长线分别相交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为 （ ）A2πBπ C2πD．2π10、（2015•东营）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°．AB=BC ．点D 是线段AB 上的一点，连结CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF ，给出以下四个结论：①=；②若点D 是AB 的中点，则AF=AB ；③当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF=DB ；④若=，则S △ABC =9S △BDF ，其中正确的结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②③④ 11、（2015山东省威海市）若用一张直径为20cm 的半圆做成一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（ ）A. cm 35 B. cm 55 C.cm 2155 D. cm 10 12、（2015山东省威海市）如图，已知AB =AC =AD ，∠CBD =2∠BDC , ∠BAC =44°，则∠CAD 的度数为（ ）DCB13、（2015山东省威海市）如图，正六边形111111F E D C B A 的边长为2，正六边形222222F E D C B A 的外接圆与正六边形111111F E D C B A 的各边相切，正六边形333333F E D C B A 的外接圆与正六边形222222F E D C B A 的的各边相切，·······按这样的规律进行下去，正十边形 101010101010F E D C B A 的边长为（ ）A.92243 B. 92381 C. 9281 D.8238114、（2014•莱芜）如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A ′．二、填空题1、（2015•莱芜）如图，在扇形OAB 中，∠AOB=60°，扇形半径为r ，点C 在上，CD ⊥OA，垂足为D ，当△OCD 的面积最大时，的长为 ．2、（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A=55°， ∠E=30°，则∠F= ．3、4、（2015•烟台）如图，直线l ：y=﹣x+1与坐标轴交于A ，B 两点，点M （m ，0）是x 轴上一动点，以点M 为圆心，2个单位长度为半径作⊙M ，当⊙M 与直线l 相切时，则m 的值为 ．5、（泰安）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E=6、（2015•淄博）如图，在⊙O 中，=，∠DCB=28°，则∠ABC=度．7、（2015山东省济南市）如图，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，P A ＝4，OP ＝5，则⊙O 的周长为____________. (结果保留π) 8、（2015•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m ．三、解答题9、（2015•滨州）如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）求的长．（2）求弦BD 的长．10、（2015•德州）如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC 的形状： ；（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P 位于的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．11、（2015•德州）（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD •BC=AP•BP ．（2）探究如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由． （3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5，点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出了，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A ，设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切时，求t 的值．12、（2015•莱芜）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD 于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．12、（2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E ，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．14、（2015•菏泽）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的长．15、（2015•潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．16、（2015•临沂）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．17、如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点的坐标为（0,6），A是⊙P上一点，连接ＯＡ，使ta n ∠POA=34，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点Ｂ，连接AB。

中考数学二轮复习专题圆的基本性质一、单选题1．如图，AB是⊙O的弦，圆心O到弦AB的距离，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，，则弦AB的长为（）A．6B．9C．10D．122．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则的长为（）A．πB．πC．2πD．π3．如图，菱形中，，.以A为圆心，长为半径画，点P为菱形内一点，连，，.若，且，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．4．如图，中，，，，，为，边上的两个动点，且，为中点，则的最小值为（）A．B．C．D．5．如图，上有A、B两点，点C为弧AB上一点，点P是外一点，且，，则的度数为（）A．B．C．D．6．如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=2，CD=3，则AE的长为（）A．2B．2.5C．3D．3.57．如图，点是以为直径的半圆上的动点，于点，连接，设，则下列函数图象能反映与之间关系的是（）A．B．C．D．8．以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交弧于点，如果点所对应的读数为，那么的大小为（）A．B．C．D．9．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D10．如图，点C，D是劣弧上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则所在圆的半径长为（）A．B．C．2 D．二、填空题11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB=90°，则∠ACB的大小为12．如图，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是，油面高为，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为．13．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为.14．如图5，AB是半圆O 的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为cm.15．如图，AB是的直径，点C，D，E都在上，∠1=55°，则∠2=°16．在中，若，，则的面积的最大值为. 17．已知：如同，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为．18．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点，点O为坐标原点.（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为；.（2）根据（1）中的条件填空：①圆D的半径=（结果保留根号）；②点（7，0）在圆D（填“上”、“内”或“外”）；③∠ADC的度数为.三、作图题19．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm, CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）（2）求（1）中所作圆的半径四、解答题20．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB 的长．21．小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．五、综合题22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．（1）求证：四边形DCFG是平行四边形；（2）当BE＝4，CD＝AB时，求⊙O的直径长．23．以的一条边AC为直径的⊙O与BC相交于点D，点D是BC的中点，过点D作⊙O的切线交AB于点E．（1）求证：AB=AC；（2）若BE=1，，求⊙O的半径．24．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.（1）求证：DE是⊙O的切线.（2）若DE= ，∠C=30°，求的长。

2015年全国各地中考数学模拟试卷精选汇编（解析版）圆的有关性质一.选择题1．（2015·江苏江阴青阳片·期中）如图，已知A、B两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C的圆心坐标为(0，－1)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（▲）A．3 B．113C．103D．4答案：B2. . (2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O (0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则tan OBC∠的值为【】A．12B．32C．33D．3答案; C3 (2015·安庆·一摸)已知,如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E.下面判断中：①当△ABC为等边三角形时，△ODE是等边三角形；②当△ODE是等边三角形时，△ABC为等边三角形；③当45A∠=时，△ODE是直角三角形；④当△ODE 是直角三角形时，45A∠=.正确的结论有（）第8题图图1 图2 图 3A.1个B.2个C.3个D.4个答案： C ；4. （2015·广东广州·二模）如图2，AB 是⊙O 的直径，∠AOC =130°，则∠D 的度数是A ．65°B ．25°C ．15°D ．35°答案：B5．（2015•山东滕州张汪中学•质量检测二）如图1，点A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠AOC =120°，则∠ABC 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．65°D ．70°答案：B ；6．（2015•山东潍坊•第二学期期中）如图2，△ABC 内接于⊙O ，∠ABC =71º，∠CAB =53°，点D 在AC 弧上，则∠ADB 的大小为A. 46°B. 53°C. 56°D. 71°答案：C ；7.（2015•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图3，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ， 连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，则EC 的长为 （ ）A. 210B. 213C. 215D. 8答案：B ；. 8．（2015·辽宁东港市黑沟学校一模，3分）如图，⊙O 的半径是3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP ，若OP =4，∠APO =30°，则弦AB 的长为（ ）A ．2B ．C ．2D ．（图2）答案：A9.（2015·山东省济南市商河县一模）如图，在半径为6cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且∠D =30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC =36cm ；③sin ∠AOB =23； ④四边形ABOC 是菱形．其中正确结论的序号是A. ①②③④B. ①③C.②③④D.①③④答案：A10.(2015·广东从化·一模)如图2，在⊙O 中，∠AOB =45°，则∠C 为（ * ）．A ．22.5°B ．45°C ．60°D ．90°答案：A11.（2015.河北博野中考模拟）．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB =30°，⊙O 的半径为3cm ，则弦CD 的长为 【 】A ．23cmB ．3cmC ．23cmD ．9cm答案：B12. (2015•山东青岛•一模)如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）.A．3 B．4 C．32D．24答案：C13．(2015·江苏南菁中学·期中)如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为－－－( ▲ )A. 45°B. 60°C. 75°D. 不能确定第9题图答案: B14．(2015·江苏南京溧水区·一模)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的右方，若点P的坐标是(－1，2)，则点Q的坐标是( ▲)A．(－4，2) B．(－4.5，2) C．(－5，2) D．(－5.5，2)答案: AQ POMy（第6题）（第11题图）CA BOED15．（2015·无锡市南长区·一模）如图，矩形ABCD 为⊙O 的内接四边形，AB =2，BC =3，点E 为BC 上一点，且BE =1，延长 AE 交⊙O 于点F ，则线段AF 的长为 ( )A ．75 5B ．5C ．5＋1D ．325 答案：A16．（2015·无锡市宜兴市洑东中学·一模）如图，在等边△ABC 中，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝1，那么△ABC 的面积（ ） A ．3 B ．3 C ．4 D ．33答案：B17．（2015·无锡市新区·期中）如图，AB 是半圆O 直径，半径OC ⊥AB ，连接AC ，∠CAB 的平分线AD 分别交OC 于点E ，交BC ︵于点D ，连接CD 、OD ，以下三个结论：①AC ∥OD ；②AC ＝2CD ；③线段CD 是CE 与CO 的比例中项，其中所有正确结论的序号是（ ▲ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案：B二.填空题1．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 上，斜边和第9题图 A B C D EOF· O B C D E （第8题）一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=_____________．答案：30°2．（2015·江苏江阴·3月月考）如图，已知⊙O经过点A(2，0)、C(0，2)，直线y＝kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为．答案：423．（2015·江苏江阴长泾片·期中）如图，点C是⊙O优弧AB上的一动点（异于A、B两点），OM⊥AB于点M。

2015年中考数学专题复习试卷：圆一、选择题2.（2013重庆）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的 切线，PO=26 cm ，PA=24 cm ，则⊙O 的周长为( ) A.18πcm B.16πcm C.20πcm D.24πcm3.（2013浙江舟山）如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ． 若AB=8，CD=2，则EC 的长为( )A.C.4.（2013福建厦门）如图所示，在⊙O 中，AB AC =，∠A=30°，则∠B=( )A.150°B.75°C.60°D.15°5.（2013贵州遵义）如图，将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为( )33A.cm B.(2) cm 224C.cmD.3 cm 3π +ππ6.（2013浙江义乌）已知圆锥的底面半径为6 cm ，高为8 cm ，则这个圆锥的母线长为( ) A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm7.（2013四川内江）如图，半圆O 的直径AB=10 cm ， 弦AC=6 cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为( )D.4 cm三、解答题22.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．23.(本小题满分10分)（2013广东梅州）如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．（1）求线段EC的长；（2）求图中阴影部分的面积．24.(本小题满分10分)(2012浙江温州)如图,△ABC中，∠ACB=90°,D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB.E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长.25.（本小题满分12分）（2013广东）如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线.26.（本小题满分15分）(2012浙江杭州)如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°,AE==(1)求∠COB的度数；(2)求⊙O的半径R；(3)点F在⊙O上(FME是劣弧)，且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合.在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比.参考答案1.D2.C3.D4.B5.C6.B7.A8.C9.B 10.A 11.C 12.B 13.D 14.D 15.D16.4 17.48 18.0.2 19.52 20.10-π 21.8 22.解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3， 由勾股定理得：AC=4， ∵AB=5，BD=3，∴AD=8， ∵∠ACB=90°，DE ⊥AD ， ∴∠ACB=∠ADE ，∵∠A=∠A ，∴△ACB ∽△ADE ，BC AC AB,DE AD AE345,DE 8AE ∴==∴==∴DE=6，AE=10， 即⊙O 的半径为3； 过O 作OQ ⊥EF 于Q ， 则∠EQO=∠ADE=90°， ∵∠QEO=∠AED ， ∴△EQO ∽△EDA ，EO OQ,AE AD3OQ ,108∴=∴=∴OQ=2.4，即圆心O 到弦EF 的距离是2.4； (2)连接EG ， ∵AE=10，AC=4， ∴CE=6， ∴CE=DE=6， ∵DE 为直径， ∴∠EGD=90°， ∴EG ⊥CD ，∴点G 为CD 的中点．23.解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB=2DA ，DA=2， ∴AB=AE=4，DE ∴= ∴EC=CD-DE=4- （2）∵AD 1sin DEAAE 2∠==， ∴∠DEA=30°， ∴∠EAB=30°，∴图中阴影部分的面积为：FAB DAEEAB22S SS 90413048 236023603--π⨯π⨯π=-⨯⨯-=-扇形扇形 24.(1)证明:连接OD.∵∠DOB=2∠DCB,∠A=2∠DCB, ∴∠A=∠DOB.又∵∠A+∠B=90°, ∴∠DOB+∠B=90°, ∴∠BDO=90°,∴OD ⊥AB,∴AB 是⊙O 的切线. (2)解：过点O 作OM ⊥CD 于点M, ∵OD=OE=BE=12BO, ∠BDO=90°,∴∠DBO=30°,∠DOB=60°.∵∠DCO=12∠DOB,∴∠DCO=30°, 又∵OM ⊥CD,OM=1， ∴OC=2OM=2, ∴OB=4,OD=2,∴BD=OB ·cos ∠DBO42=⨯=∴BD 的长为25.（1）证明：在⊙O 中，∵弦BD=BA ，且圆周角∠BCA 和∠BAD 分别对BA 和BD ， ∴∠BCA=∠BAD.（2）解：∵BE ⊥DC ，∴∠E=90°. 又∵∠BAC=∠EDB,∠ABC=90°, ∴△ABC ∽△DEB,AB AC.DE BD∴= 在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=12，BC=5， ∴由勾股定理得:AC=13，1213144DE .DE 1213∴=∴=， （3）证明：如图，连接OB ，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA. ∵BA=BD ，∴∠OBD=∠OBA. 又∠BDC=∠OAB=∠OBA ， ∴∠OBD=∠BDC. ∴OB ∥DE ，∴∠OBE=∠DBE+∠OBD=90°.即BE ⊥OB 于B ，所以BE 是⊙O 的切线. 26.解：(1)∵AE 切⊙O 于点E, ∴AE ⊥CE, 又OB ⊥AT,∴∠AEC=∠CBO=90°, 又∠BCO=∠ACE, ∴△AEC ∽△OBC, 又∠A=30°,∴∠COB=∠A=30°.(2)∵AE=∠A=30°,∴在Rt △AEC 中,ECtan A tan 30,AE=︒=即EC=AE ·tan 30°=3. ∵OB ⊥MN,∴B 为MN 的中点,又MN= ∴MB=1MN 2=连接OM,在△MOB 中,OB COB ,BOC 30,OB cos BOC cos 30OC 2BO OC,2OC 3OC EC OM R,3R,∴==∠=︒∠=︒==∴=∴==+==+=在中又整理得:R 2+18R-115=0, 即(R+23)(R-5)=0,解得:R=-23(舍去)或R=5, ∴⊙O 的半径R 为5.(3)在EF 同一侧,△COB 经过平移、旋转和相似变换后,这样的三角形有6个,如图,每小图2个,顶点在圆上的三角形,如图所示:延长EO 交圆O 于点D,连接DF,如图所示, ∵EF=5,直径ED=10,可得出∠FDE=30°, ∴FD=则C △EFD=51015++=+()((COBEFDCOB2C 3CC15351.=+∴=++=由可得∶∶。