中考总复习专题训练(十二)圆上课讲义

初中数学专题讲义-圆【考纲说明】【知识梳理】一、圆的定义1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

（1）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫做半圆。

（1）劣弧：小于半圆的弧。

（2）优弧：大于半圆的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质 1、圆的对称性（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：➢ 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

➢ 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，OP=d 。

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。

）8、直线与圆的位置关系。

d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；9、圆的切线判定。

（1）d=r 时，直线是圆的切线。

第3讲圆知识点1 圆周角定理1. 圆的有关概念（1）圆的定义：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．（3）直径：经过圆心的弦叫做直径．（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）．2. 圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”．3. 圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．典例剖析例（1）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．跟踪训练1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．3．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝．过关精练1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝70°，则∠AOC的度数等于（）A．140°B．130°C．120°D．110°（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°5．AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（）A．25°B．35°C．15°D．20°（第5题图）（第6题图）（第7题图）（第8题图）6．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC＝140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°8．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CBA＝70°，则∠D的度数是．9．如图，点A，B，C在⊙O上，点C在优弧上，若∠OBA＝50°，则∠C的度数为．（第9题图）（第10题图）10．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝度．知识点2 垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．典例剖析例（1）如图⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．2（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为．跟踪训练1．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1（第1题图）（第2题图）2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．3．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6D．83．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 4．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为cm．6．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE＝4，则直径CD＝．7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．知识点3 切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线性质的运用见切点，连半径，见垂直．例（1）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°（例（1）图）（例（2）图）（2）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2B．C．D．跟踪训练1．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD．若∠BAC＝55°，则∠COD的大小为（）A．70°B．60°C．55°D．35°（第1题图）（第2题图）2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B 作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则P A的长为（）A．4B．2C．3D．2.5过关精练1．如图AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°，则∠B的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°（第1题图）（第2题图）2．如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连接BC并延长交AE于点D．若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．20°3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB 的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°（第3题图）（第4题图）（第5题图）4．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O 交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（）A．54°B．36°C．32°D．27°6．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，PO＝26cm，P A＝24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm（第6题图）（第7题图）7．如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（）A．B．C．5D．8．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（）A．1B．2C．D．（第8题图）（第9题图）9．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．410．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E，连接DE．若⊙O与BC相切，∠ADE＝55°，则∠C的度数为．（第10题图）（第11题图）（第12题图）11．如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A＝30°，则∠AOB＝．12．如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A＝50°，则∠COD的度数为．13．如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC ＝．（第13题图）（第14题图）（第15题图）14．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C＝度．15．如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O交于点C，∠B＝26°，则∠OCA＝度．16．如图，C为⊙O外一点，CA与⊙O相切，切点为A，AB为⊙O的直径，连接CB．若⊙O的半径为2，∠ABC＝60°，则BC＝．（第16题图）（第17题图）17．已知：如图，CD是⊙O的直径，点A在CD的延长线上，AB切⊙O于点B，若∠A＝30°，OA＝10，则AB＝．知识点4 扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．例（1）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．跟踪训练1．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A．B．（2﹣）πC．πD．π3．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为（结果保留π）．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π（第1题图）（第2题图）（第3题图）2．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．+3．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2（第4题图）（第5题图）（第6题图）（第7题图）5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣6．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣4B．C．π﹣2D．8．如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A．2π﹣4B．4π﹣8C．2π﹣8D．4π﹣4（第8题图）（第8 题图）（第10题图）9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．（第11题图）（第12题图）（第13题图）12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB 于点E，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是（结果保留π）．14．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．以A为圆心，AC长为第 11 页 共 12 页半径作弧，交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）15．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）（第14题图） （第15题图）16．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA ＝2，那么图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．（第16题图） （第17题图） （第18题图）17．如图在正方形ABCD 中，点E 是以AB 为直径的半圆与对角线AC 的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为 ．18．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°．D ，E 分别是半径OA ，OB 上的点，以OD ，OE 为邻边的▱ODCE 的顶点C 在上．若OD ＝8，OE ＝6，则阴影部分图形的面积是 （结果保留π）．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积为 ．（第19题图） （第20题图）20．如图，在矩形ABCD 中，CD ＝2，以点C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AB 边于点E ，且E 为AB 中点，则图中阴影部分的面积为 ．21．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，∠A ＝30°，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．22．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，BC＝，以点A为圆心，AB．为半径画弧，交AC于点D，则阴影部分的面积是第12 页共12 页。

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题圆全章复习与巩固（提高）学习目标1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.教学内容【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 2．判定几个点12nA A A L 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系 设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.类型一、圆的基础知识例1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过点P 且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则的取值范围是（）.A．－1≤≤1 B．≤≤C．0≤≤ D．＞【答案】B；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，Pxx2x2x2x2∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果为-2≤OP≤0．故答案为：-2≤OP≤2．试一试：如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P 且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C ．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理例2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ．∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ． ∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ，∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ ，， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ ，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ ，．∴ ，． ∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ． 又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ，»»CFCB =»»CBGB =»»CFBC =»»CF GB =»»CBBG =»»CBCF =»»»CF BC BG ==12BN BF =12CD CG =»»CFBC =»»BGBC =»»»CF BG BC ==»»BF CG =ON OD =∴△CNE≌△BDE，∴ CE＝BE．试一试：如图所示，在⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系例3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm.（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O1E⊥O2O312()3333332844AB cm +∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【点评】四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E 长即可.类型四、圆中有关的计算例4．如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ， ∵OA=CD=2，OA=OD ， ∴OD=CD=2，∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S 阴影=S △OCD ﹣S 扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD ， ∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ADB=∠ADM=90°， 又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．试一试：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O 于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用例5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【点评】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.例6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【点评】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．试一试：某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.一、选择题1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为( )．6393183A．54m B．m C．m D．m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB ⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．（2015•巴彦淖尔）如图，AB 为⊙O 的直径，AB=AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC ；③AE=2EC ；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC ，其中正确的序号是 ．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________. 14.已知正方形ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n 边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l 为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；1r 2r 2680x x -+=d 2a(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20. 问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝60°， 则BM ＝CN ；②如图(2)，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝90°，则BM ＝CN ．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON ＝108°，则BM ＝CN ．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明； (2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n ≥3)边形ABCDEF …中，M 、N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，试问当∠BON 等于多少度时，结论BM ＝CN 成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，∠BON ＝108°时，试问结论BM ＝CN 是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B ；【解析】由AB 为⊙O 的切线，则AB ⊥OD ．又BD ＝OB ，则AB 垂直平分OD ，AO ＝AD ，∠DAB ＝∠BAO ．由AB 、AC 为⊙O 的切线，则∠CAO ＝∠BAO ＝∠DAB ．所以，∠DAB ＝∠DAC ＝26°． ∠ADO ＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C ；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO ⊥AB 于O ，∴ ∠SOA ＝∠SOB ＝90°．又SA ＝SB ，∠ASB ＝120°，∴ ∠SAB ＝∠SBA ＝，设SO ＝x m ，则AS ＝2x m ．∵ AO ＝27，由勾股定理，得(2x)2-x 2＝272，解得(m)．3．【答案】A.；180120302=°-?°93x =【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系. ∵ 矩形ABCD 中，AB=2BC ，AB=8cm ， ∴ AD=BC=4cm ，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm ， ∴ ，∴.4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，∴MN 为△POQ 的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，5136010092⨯⨯=°°413608092⨯⨯=°°12在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程 的两实根、分别是4、2，则-<<+,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE ，AE=BE ，∴AE≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】； ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝，∴ ，， 即正八边形的边长为．．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为．2680x x -+=1r 2r 1r 2r d 1r 2r (21)a -2(222)a -22x 222x x a ⨯+=(21)x a =-(21)a -222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形(2)1801(2)3602n n -=-121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，， 则， ∴ n 条弧长的和为．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴ ，∴ ，．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴ ∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ，1α2αn α12(2)180n n ααα+++=-…°1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-2215l h r =+=223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱2036720S ππ=⨯=总»»BFFC =A BCDEFO 12345HA BCDEFO 12H∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ．21 / 21 如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°．∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3．又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°，∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ．(2)①答：当∠BON ＝时结论BM ＝CN 成立． ②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立．证明：如图(4)，连接BD 、CE在△BCD 和△CDE 中，∵ BC ＝CD ，∠BCD ＝∠CDE ＝108°，CD ＝DE ， ∴ △BCD ≌△CDE ．∴ BD ＝CE ，∠BDC ＝∠CED ，∠DBC ＝∠ECD ． ∵ ∠CDE ＝∠DEN ＝108°，∴ ∠BDM ＝∠CEM ．∵ ∠OBC+∠OCB ＝108°，∠OCB+∠OCD ＝108°． ∴ ∠MBC ＝∠NCD ．又∵ ∠DBC ＝∠ECD ＝36°，∴ ∠DBM ＝∠ECM ．∴ △BDM ≌△CEN ，∴ BM ＝CN ．(2)180n n°。

圆的基本概念与性质内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作»AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

一 与圆有关概念【例1】 判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径( )中考说明自检自查必考点中考必做题（3）半圆是弧( )（4）弧是半圆( )（5）长度相等的两条弧是等弧( )（6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( )（8）半径相等的两个圆是等圆( )（9）两个半圆是等弧( )（10）圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√【例2】如图，点A D G M、、、在半圆O上，四边形ABOC DEOF HMNO、、均为矩形，设BC a=，EF b=，NH c=则下列格式中正确的是( )A．a b c>>B．a b c==C．c a b>>D．b c a>>ONMHGFEDCB A【答案】B【例3】如图，直线12l l∥，点A在直线1l上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l、于B、C两点，连接AC BC、．若54ABC∠=︒，则∠1的大小为________【答案】72°【例4】如图，ABC∆内接于Oe，84AB AC D==，，是AB边上一点，P是优弧¼BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，PAD∆是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．【答案】解：当4BD=时，PAD∆是以AD为底边的等腰三角形．证明：∵P是优弧¼ABC的中点∴»»PBPC = ∴PB PC =在PBD ∆与PCA ∆中， ∵4PB PC PBD PCB BD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴PBD PCA SAS ∆∆≌（）．∴PD PA =，即4BD =时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形．【例5】 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发，沿图中所示方向按A B C D A ⇒⇒⇒⇒滑动到A 止，同时点R 从点B 出发，沿图中所示方向按B C D A B ⇒⇒⇒⇒滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为_________【答案】4π- 【解析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为1，故点M 所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M 所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．二 垂径定理及其应用【例6】 如图，AB 是O e 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若82BC ED ==，，求O e 的半径．【答案】（1）不同类型的正确结论有：22290•ABC BE CE BD DC BED BOD A AC OD AC BC OE BE OB S BC OE BOD BOE BAC ==∠=︒∠=∠⊥+==⋯V P V V V ①；②弧弧；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨是等腰三角形；⑩∽（2）∵OD BC ⊥，∴12BE CE ==4BC =设O e 的半径为R ，则2OE OD DE R =-=-，在Rt OEB V中，由勾股定理得： 22222224OE BE OB R R +=-+=，即（），解得：5R = ，∴O e 的半径为5．【例7】 如图，在O e 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______BAO【答案】23【例8】 如图，D 内接于O e ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O e 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤»¼12AB ACB =，正确结论的个数是( )DCBAA ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】A【例9】 如图，AB 为O e 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）ODCAA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【答案】B【例10】 如图，AB 是O e 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O e 的直径为（ ）EO BDCAA ．10B ．12C ．14D ．16【答案】A【例11】 如图，O e 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O e 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ） A ．1 B 3 C ．2 D ．23OCBA【答案】D【例12】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）A ．2B 5C ．22D ．3【答案】B【解析】考查垂径定理与勾股定理的应用．此题关键找到圆心，由不在同一条直线上的三点确定唯一一个圆．如图，作线段,AB BC 的垂直平分线交于点O ，点O 即为圆镜的圆心，连结OA ,由图可知 1,2AD OD ==，由勾股定理得半径2222125OA AD OD +=+ODCBA【例13】 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【答案】（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24， ∴ED =12CD =12．在Rt △DOE 中，∵sin ∠DOE =ED OD =1213， ∴OD =13（m ）． （2）OE 22OD ED -2213125-=． ∴将水排干需：50.510÷=小时．【例14】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）OEC DABCDA ．5米B ． 8米C ．7米D ．53米 【答案】B【例15】 如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8OC CD ==,则AE =_______BEO DCA【答案】2【例16】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）OCBAA ．16B ．10C ．8D ．6 【答案】A【例17】 已知，如图，1O e 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O e 的半径。

初三数学圆的经典讲义圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是圆中最大的弦。

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。

考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。

例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

M AB C DOEBAC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

初中数学圆总复习课件教学文稿.一、教学内容本节课将围绕初中数学教材中“圆”的相关章节进行复习。

详细内容包括：圆的定义及相关性质、圆的方程、圆的垂径定理、圆的弦、弧和弦心距的关系、圆的面积和周长计算、圆与圆的位置关系等。

二、教学目标1. 巩固圆的基本概念，理解圆的相关性质，并能运用这些性质解决实际问题。

2. 熟练掌握圆的方程表示方法，能解决与圆相关的代数问题。

3. 掌握圆的垂径定理及弦、弧和弦心距的关系，并能应用于解决几何问题。

三、教学难点与重点难点：圆的方程、圆与圆的位置关系、圆的面积和周长计算。

重点：圆的定义、性质、垂径定理及其应用、弦、弧和弦心距的关系。

四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔、圆规、直尺。

学具：圆规、直尺、练习本、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入展示与学生生活相关的圆形物体，如硬币、圆桌等，引导学生思考这些物体的共同特点，引出圆的定义。

2. 例题讲解（1）求半径为5的圆的面积和周长。

（2）已知圆心坐标为（3，4），半径为5，求该圆的方程。

（3）判断两个圆的位置关系：一个圆的方程为（x2）^2 +（y3）^2 = 25，另一个圆的方程为（x+2）^2 +（y+3）^2 = 25。

3. 随堂练习（1）求圆心为（0，0），半径为10的圆的面积和周长。

（2）已知圆的方程为（x4）^2 +（y+5）^2 = 64，求圆的半径和圆心坐标。

（3）判断圆（x3）^2 +（y+2）^2 = 25与圆（x+3）^2 +（y2）^2 = 25的位置关系。

4. 知识点讲解与巩固（1）圆的定义及相关性质。

（2）圆的方程表示方法。

（3）圆的垂径定理及其应用。

（4）弦、弧和弦心距的关系。

（5）圆与圆的位置关系。

六、板书设计1. 圆的定义及相关性质2. 圆的方程3. 圆的垂径定理及其应用4. 弦、弧和弦心距的关系5. 圆与圆的位置关系七、作业设计1. 求半径为8的圆的面积和周长。

答案：面积=201.06 cm^2，周长=50.24 cm。

圆知识点复习讲义第1 节圆的认识一、知识梳理1.圆的基本概念弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦.直径：经过圆心的弦叫作直径.圆弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧 .弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧.半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.等圆：能够重合的两个圆叫作等圆.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.2.圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.3.点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d<r.【例】如图1-1所示,AB是⊙O 的直径,四边形ABCD 内接于⊙O. 若BC=CD=DA=4cm,则⊙O的周长为( ).A. 5πcmB. 6πcmC. 9πcmD. 8πcm解:如图1-2所示,连接OD,OC.∵AB是⊙O的直径,四边形ABCD 内接于⊙O, BC=CD=DA=4cm,̂=CD̂=BĈ.∴AD∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°.又∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.∴OA=AD=4cm.∴⊙O 的周长=2π×4=8π(cm).故选 D.二、分层练习☆万丈高楼平地起1.下列命题正确的个数是( )个.①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④面积相等的两个圆是等圆；⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧；A. 2B. 3C. 4D. 52.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1-3 所示 .为了在商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明要选择携带的应该是( ).A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块3. 如图1-4所示,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB,垂足为点D.已知CD=4,OD=3,则AB的长为 .4. 如图1-5所示,AB是⊙O的直径,点C,D在AB的异侧,连接AD,OD,OC. 若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD的度数为 .欲穷千里目，更上一层楼5. 如图1-6所示,AB,CD是⊙O的直径, AÊ=BD̂.若∠AOE=32°,则∠COE的度数是( ).A. 32°B. 60°C. 68°D. 64°6. 如图1-7所示,AB是⊙O的直径, BĈ=CD̂=DÊ,∠COD=35∘,则∠AOE 的度数是( ).A. 65°B. 70°C. 75°D. 85°̂=DĈ=CB̂,则四边7. 如图1-8所示,已知⊙O的半径为2cm,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O 上的两点，且AD形ABCD的周长为( ).A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm̂=2AĈ,那么( ).8. 如图1-9所示,在⊙O 中,如果ABA.AB=ACB.AB=2ACC.AB<2ACD.AB>2AC9. 如图1-10 所示,在矩形ABCD中, AB=8,BC=3√5,点 P 在边 AB 上,且BP=3AP.如果圆P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( ).A. 点B,C均在圆P外B. 点 B在圆 P 外,点 C在圆 P 内C. 点B在圆P内,点C在圆P外D. 点 B,C均在圆P内10. 如图1-11所示，城市A的正北方向50km的B处，有一无线电信号发射塔，该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100km，AC 是一条直达C 城的公路，从A城开往C城的班车速度为60km/h.(1)当班车从A城出发开往C城时，有人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5h时接收信号最强，则此时班车到发射塔的距离是多少?(离发射塔越近，信号越强)(2)班车从 A城到C城共行驶2h，请你判断，班车到C城后还能接收到信号吗?请说明理由.会当凌绝顶，一览众山小̂的中点，点P 是直径MN上一动点，⊙O 的半径11.如图1-12所示，已知点A是半圆上的三等分点，点B是AN为1.请问：点 P 在MN上什么位置时，AP+BP的值最小?并给出AP+BP的最小值.第2 节垂径定理一、知识梳理(一)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图2-1所示，垂径定理的条件与结论理解如下：∵AB是直径,AB⊥CD于点 E,∴CE=DE,CB̂=DB̂,AĈ=AD̂.(二)垂径定理推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.【例】如图2-2所示,AB是⊙O 的弦,点 C,D是直线AB上的两点,且AC=BD,求证:OC=OD.证明:如图2-3所示,过点O作OE⊥AB于点E.∵OE⊥AB,∴AE=BE.又∵AC=BD,∴CE=DE.∴OE是CD的中垂线.∴OC=OD.二、分层练习☆万丈高楼平地起1.下列判断中正确的是( ).A.长度相等的弧是等弧B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦2.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图2-4所示，已知AB=16m,,半径OA为10m,则中间柱CD的高度为( )m.A. 6B. 4C. 8D. 53. 如图2-5所示,点A,B是⊙O上的两点,AB=10,点P是⊙O上的动点(点 P与点A,B不重合). 连接AP,PB,过点O 分别作OE⊥AP于点E,( OF⊥PB于点F,连接EF,则EF长为( ).A. 4B. 5C. 5.5D. 64. 点P为⊙O内一点，且OP=4. 若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为( ).A. 12B.2√30C. 8D. 10.5欲穷千里目，更上一层楼5.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图2-6所示，设⊙O的半径为2，若用⊙O的内接正六边形的面积来估计⊙O的面积，则⊙O的面积约为 (结果保留根号).6. 如图2-7所示，已知⊙O的半径为2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AD=2√2,AB=2√3,则∠DAB的度数为( ).A.105°B.60°C.75°D.70°7. 如图2-8所示, ∠PAC=30°,，在射线AC 上顺次截取AD=3cm,DB=10cm,以DB为直径作⊙O 交射线AP于点 E,F.(1)求圆心 O到AP的距离;(2)求弦 EF的长.8. 如图2-9所示,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点 P, AP=2,BP=6,∠APC=30°,,则 CD的长为( ).A.√15B.2√5C.2√15D. 89. 如图2-10所示,在半径为√5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为点 P,且AB=CD=4,则OP的长为( ).A. 1B.√2C. 2D.2√210. 如图2-11所示,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是(2,a)(a>2),半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为y=x2√3,,则a的值是( ).A.2√2B.2+√2C.2√3D.2+√311. 如图2-12所示，△ABC外接圆的半径为5，其圆心O恰好在中线CD上.若AB=CD,则△ABC的面积为( ).A. 36B. 32C. 24D.1812.圆柱形油槽内装有一些油，截面如图2-13所示，油面宽AB 为6dm，再注入一些油后，油面 AB 上升1dm，油面宽变为 8dm，则圆柱形油槽直径 MN 为( ).A. 6dmB. 8dmC. 10dmD. 12dm会当凌绝顶，一览众山小13.如图2-14所示，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y=kx-3k+44与⊙O 相交于点B，C，则弦BC的长的最小值为 .第3 节圆周角定理(1)一、知识梳理圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：圆内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.【例】如图3-1所示,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),点B 是y轴右侧⊙A优弧上的一点，则∠OBC的余弦值为( ).A.12B.34C.√32D.54解:如图3-2 所示,连接CA 并延长交⊙A 于点D.∵CD为直径,∴∠COD=∠yOx=90°.∵直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),∴CD=10,CO=5.∴DO=√CD2−CO2=5√3.∵∠OBC=∠CDO,∴cos∠OBC=cos∠CDO=ODCD =5√310=√32.故选 C.二、分层练习☆万丈高楼平地起1. 如图3-3所示,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O 上的两点. 若∠CAB=25°,则∠ADC 的度数为 .2.如图3-4所示，在边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上,则tan∠CBD 的值等于( ).A.2√55B.3√55C. 2D.123. 如图3-5 所示,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AC是⊙O的直径, ∠C=50°,∠ABC的角平分线BD交⊙O 于点D,则∠BAD的度数为( ).A. 45°B. 85°C. 90°D. 95°4. 如图3-6所示,△ABC内接于⊙O, AB=AC,,连接BO 并延长交AC 于点 D. 若∠A=50°,,则∠BDC 的度数为( ).A. 75°B.76°C.65°D.70°5. 如图3-7所示,点A,B,C,D在⊙O上,直径AB交CD于点E. 已知∠C=57°,∠D=45°,则∠CEB=.6. 如图3-8所示，AB是半圆的直径，点D是AĈ的中点，∠ABC=50°,则∠DAB等于( ).A.55°B.60°C.65°D.70°欲穷千里目，更上一层楼7. 如图3-9所示,若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°,,连接OB,OC,则边 BC的长为( ).A.√2RRB.√32RC.√22D.√3R8. 如图3-10所示,在⊙O中, AC‖OB,∠BOC=50°,则∠OAB的度数为( ).A.25°B. 50°C. 60°D. 30°9. 如图3-11 所示,AD 是半圆的直径,点 C 是弧 BD 的中点, ∠ADC=55°,则∠BAD 等于( ).A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°̂=2BĈ,∠C=20∘, 10. 如图3-12所示,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,连接AC,CD,CD交AB于点 E.若BD则∠AED的度数为( ).A. 50°B. 53°C. 55°D. 58°11. 如图3-13所示,AB是⊙O的弦,( OH⊥AB于点H，点P是优弧上的一点.若AB=2√3,OH=1,则∠APB的度数为 .12. 如图3-14所示,⊙O的半径为2,. △ABC是⊙O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC 与∠BOC 互补,则弦BC的长为( ).A.4√3B.3√3C.2√3D.√3☆会当凌绝顶，一览众山小13. 如图3-15所示,在Rt△ABC中,. ∠ACB=90°,∠A=56°.. 以 BC 为直径的⊙O交AB 于点 D. 点 E 是⊙O 上的一点,且CÊ=CD̂,连接 OE. 过点 E 作. EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( ).A. 92°B. 108°C. 112°D. 124°14. 如图3-16所示,点B,C在⊙A上,AB的垂直平分线交⊙A于点E,F,交线段AC 于点 D. 若∠BFC=20°,则∠DBC=(A. 30°B.29°C.28°D. 20°。

圆一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线也叫中垂线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线;二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系外离图1⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切图2⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交图3⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切图4⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含图5⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧;推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧； 2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论;推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等; 即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等; 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,AD即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半; 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径;即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形; 即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注意：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理; 八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角; 即：在⊙O 中, ∵四边ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒九、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点; 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心; 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个; 十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角;即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =；PO 平分BPA ∠ 十一、圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等;B B AODB即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P ,∴PA PB PC PD ⋅=⋅推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项;即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如右图;即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅ 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦;如图：12O O 垂直平分AB ;即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：1公切线长：12Rt O O C ∆中,221AB CO ==2外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 十四、圆内正多边形的计算 1正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =； 2正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::OE AE OA = 3正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::2AB OB OA =.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式AlO1、扇形：1弧长公式：180n Rl π=； 2扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：1圆柱侧面展开图2S S S =+侧表底=222rh r ππ+2圆柱的体积：2V r h π= 3、圆锥侧面展开图 1S S S =+侧表底=2Rr r ππ+2圆锥的体积：213V r h π=十六、内切圆及有关计算;1三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等;2△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=2c b a -+ ;3S △ABC =)(21c b a r ++,其中a,b,c 是边长,r 是内切圆的半径;4弦切角：角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦; 如图,BC 切⊙O 于点B,AB 为弦,∠ABC 叫弦切角,∠ABC=∠D; C考点一：与圆相关概念的应用 利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容,在复习中准确理解与圆有关的概念,注意分清它们之间的区别和联系.1.运用圆与角圆心角,圆周角,弦,弦心距,弧之间的关系进行解题例1 已知：如图所示,在△ABO 中,∠AOB=90°,∠B=25°,以O 为圆心,OA 长为半径的圆交AB 于D,求弧AD 的度数.例2 如图,A 、B 、C 是⊙O 上的三点,∠AOC=100°,则∠ABC 的度数为 . Ａ. 30°Ｂ. 45° Ｃ. 50°Ｄ. 60°2.利用圆的定义判断点与圆,直线与圆、圆与圆的位置关系 例3 已知⊙O 的半径为3cm,A 为线段OM 的中点,当OA 满足： 1当OA=1cm 时,点M 与⊙O 的位置关系是 . 2当OA=时,点M 与⊙O 的位置关系是 . 3当OA=3cm 时,点M 与⊙O 的位置关系是 .例4 ⊙O 的半径为4,圆心O 到直线l 的距离为3,则直线l 与⊙O 的位置关系是 . Ａ. 相交Ｂ. 相切Ｃ. 相离Ｄ. 无法确定例5 两圆的半径分别为3cm 和4cm,圆心距为2cm,那么两圆的位置关系是______________.母线长底面圆周长C 1D 1D CBAB1Rr CB A OBOA D3.正多边形和圆的有关计算例6 已知正六边形的周长为72cm,求正六边形的半径,边心距和面积.4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算例7 如图,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB为直径的半圆O与DC相切于点E,则阴影部分的面积为结果保留.5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算例8 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 .考点二：圆中计算与证明的常见类型1.利用垂径定理解题垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心,它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等,从而可以应用相关定理完成其论证或计算.例1 在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P,夹角为30°,且分直径为1∶5两部分,AB=6,则弦CD的长为 .Ａ. 2Ｂ. 4Ｃ. 4Ｄ. 22.利用“直径所对的圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理,在解与圆有关的问题时,常常添加辅助线构成直径所对的圆周角,以便利用上面的定理.例2 如图,在⊙O的内接△ABC中,CD是AB边上的高,求证：∠ACD=∠OCB.3.利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补,这是圆内接四边形的重要性质,也揭示了确定四点共圆的方法.例3 如图,四边形ABCD为圆内接四边形,E为DA延长线上一点,若∠C＝45°,AB＝2,则点B到AE的距离为________.4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：1与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；2若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线；3经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.例4 如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC=34,D是线段BC的中点.1试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由.2过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证：直线DE是⊙O的切线.例5 如图,已知O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F,求证CD与⊙O相切.例6 如图,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧上一动点,P在CB的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证：AP是半圆O的切线.题库一.选择题：1. ⊙O的半径为R,点P到圆心O的距离为d,并且d≥R,则P点A.在⊙O内或圆周上B.在⊙O外C.在圆周上D.在⊙O外或圆周上2. 由一已知点P到圆上各点的最大距离为5,最小距离为1,则圆的半径为A、2或3B、3C、4D、2 或43.如图,⊙O中,ABDC是圆内接四边形,∠BOC=110°,则∠BDC的度数是BOAPC° ° ° °4.在⊙O 中,弦AB 垂直并且平分一条半径,则劣弧AB 的度数等于 ° ° ° °5.直线ａ上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径,则直线ａ与⊙O 的位置关系是 Ａ、相离 Ｂ、相切 Ｃ、相切或相交 Ｄ、相交 6、如图,ＰＡ切⊙O 于Ａ,ＰＣ交⊙O 于点Ｂ、Ｃ ,若PA ＝5,PB ＝B Ｃ,则ＰＣ的长是 Ａ、10 Ｂ、5 Ｃ、25 Ｄ、357．如图,某城市公园的雕塑是由3个直径为1m 的圆两两相垒立在水平的地面上,则雕塑的最高点到地面的距离为 A ．232+ B.233+ C.222+ D. 223+ 8、已知两圆的圆心距是9,两圆的半径是方程2x 2－17x+35=0的两根,则两圆有 条切线;A 、 1条B 、2条C 、3条D 、4条9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm,则梯形的腰长为 Ａ、１０ｃｍ Ｂ、１２ｃｍ Ｃ、１４ｃｍ Ｄ、１６ｃｍ10、如图,⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点,且A O 1、A O 2分别是两圆的切线,A 是切点,若⊙O 1的半径r=3,⊙O 2的半径R=4,则公共弦AB 的长为 A 、2 B 、 C 、3 D 、11、水平放置的排水管圆柱体截面半径是1cm,水面宽也是1cm,则截面有水部分弓形的面积是 A 、B 、C 、D 、或二. 填空题：长的一条弦所对的圆周角为90°,则此圆的直径为 ; 13.在⊙O 中,AB 是直径,弦CD 与AB 相交于点E,若 ,则CE=DE 只需填一个适合的条件; 14.在圆内接四边形ABCD 中,∠A ∶∠B ∶∠C=5∶2∶1,则∠D= ; 15.若三角形的外心在它的一条边上,那么这个三角形是 ;16.如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC,BD 交于E 点,AB=120°,CD=70°则∠AEB= ;17．已知两个圆的半径分别为8 cm 和3 cm,两个圆的圆心距为7 cm,则这两个圆的外公切线长为 ;18.如图,⊙O 中,弦AB ⊥弦CD 于E,OF ⊥AB 于F,OG ⊥CD 于G,若AE=8cm,EB=4cm,则OG= cm;19. 已知圆锥的母线长为5厘米,底面半径为3厘米,则它的侧面积为 ; 四.解答题20.如图在△ABC 中,∠C=90°,点O 为AB 上一点,以O 为圆心的半圆切AC 于E,交AB 于D,AC=12,BC=9,求AD 的长; 21.如图在⊙O 中,C 为ACB 的中点,CD 为直径,弦AB 交CD 于点P,又PE ⊥CB 于E,若BC=10,且CE ∶EB=3∶2,求AB 的长．22.已知：如图,A 是以EF 为直径的半圆上的一点,作AG ⊥EF 交EF 于G,又B 为AG 上一点,EB 的延长线交半圆于点K,求证：EK EB AE⋅=223.已知：如图,△ABC 内接于⊙O,AE 是⊙O 的直径,CD 是△ABC 中AB 边上的高,求证：AC ·BC=AE ·CD。