山东省聊城市莘县2013届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题word版含答案

2012-2013学年度高三第二次模块测试数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设区间{1,2,3,4,5,6}U =，设集合{1,2,3,4},{3,4,5}P Q ==，则()U P C Q =( )A ．{}1,2,3,4,6B ．{}1,2,3,4,5C ．{}1,2,5D ．{}1,2 2、设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3、命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2,240x R x x ∃∈-+>C ．2,240x R x x ∀∉-+≤D ．2,240x R x x ∀∉-+>4、函数()lg f x x =与()72g x x =-图象交点的横坐标所在区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()1,55、（理）由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1B ．2D ．12（文）已知[]1,1x ∈-，则方程2cos 2xx π=所有实数根的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56、给出四个函数，分别满足①()()()f x y f x f y +=；②()()()g x y g x g y +=；③()()()h xy h x h y =；④()()()m x y m x m y =，又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是（ ）A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙7、若ABC ∆的内角，,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足22()4a b c +-=，且60C =，则ab 的值为（ ）A ．43 B ．8- C ．1 D ．238、函数()sin()(f x A wx ϕ=+其中0,)2A πϕ><的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x=的图象则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移12π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位9、已知函数()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，且当()0,1x ∈时，()21xf x =-，则2(log 10)f =（ ） A ．35 B ．85 C ．85- D ．5210、若322ππα-<<- ） A ．sin2α B ．cos 2α C ．sin 2α- D ．cos 2α- 11、函数()213cos log 22f x x x π=--的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512、设x 表示不超过x 的最大整数，例如[][][]22,3.13, 2.63==-=-，()21122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为（ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}2,0-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B ．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A ．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．113⎛⎤⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

聊城市重点高中2013届高三上学期第二次调研考试理科数学试题考试时间：120分钟；第I 卷（选择题）一、选择题1．下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“R x ∈∃，使得“∀x R ∈，都有1-≤x 或1≥x ”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知x R ∈，则“2x >”是“1x >”的必要不充分条件2．已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα若1AC BC ⋅=-，则A5C ．2D ．33．已知向量a 、b 不共线，(),c ka b k R d a b =+∈=-,如果c d ∥，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向4是()f x 的导函数，则过曲线3x y =上一点(,)P a b 的切线方程为 A ．320x y --=B ．4310x y -+=C ．3203410x y x y --=-+=或D ．3204310x y x y --=-+=或5．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且n a S n n +=2，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

则=+)()(65a f a fA ．3B ．2-C ．3-D ．26．已知2{|1}M x y x ==-，2{|1}N y y x ==-，则M N =（ ）A ．∅B ．RC ．MD ．N7．设[]x 为表示不超过x 的最大整数,则函数lg[]y x =的定义域为 ( ) A ．(0,)+∞ B ．[1,)+∞ C ． (1,)+∞ D ． (1,2) 8．Direchlet 函数定义为： 1()0Rt Q D t t Q ∈⎧=⎨∈⎩ð，关于函数()D t 的性质叙述不正确．．．的是（ ）A ．()D t 的值域为{}0,1B ．()D t 为偶函数C ．()D t 不是周期函数 D ．()D t 不是单调函数9．个单位得到()y f x =的图象（如图），则ϕ=（ ）A 10，12⋅=-ab ，则向量a 在向量b 方向上的投影是（ ） A ．4- B ．4 C 11．已知()f x 是定义在R 时，()2()ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是( )A ．3B ．5C ．7D ．912，若()1f a ＞，则实数a 的取值范围是（ ） A.21-（，） B.21-∞-+∞（，）（，） C.1+∞（，） D.10-∞-+∞（，）（，）第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，14= ； 15/秒）的速度做变速直线运动，则该物16，故称其为“囧函数”.下列命题正确的是 .①“囧函数”的值域为R ； ②“囧函数”在(0,)+∞上单调递增； ③“囧函数”的图象关于y 轴对称； ④“囧函数”有两个零点； ⑤“囧函数”的图象与直线(0)y kx b k =+≠的图象至少有一个交点. 三、解答题17．(本题满分12分)已知集合{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x x B ,{}a x a x C <<-=5|. （1）求B A , ()R A B ð;（2）若()B A C ⊆,求a 的取值范围.18．(本题满分12分)某风景区有40辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日72元。

2013高三上学期模块测试数学（理）试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．若纯虚数z 满足(2)4i z bi -=-，（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ）A. 8B. 8-C. 2D.2-2．设函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=（ ）A.52- B.1- C. 3- D. 33．以下有关命题的说法错误的是（ ）A ．“若22bm am <，则b a <”的逆命题是假命题；B ．命题“,20x x R ∀∈>”的否定是“00,20x x R ∃∈≤”；C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 都为假命题；D ．函数对称图像关于点)0,125()32tan(3)(ππ-=x x f4.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213a ,a ,2a 2成等差数列，则1113810a a a a +=+（ ）A.1-或3B.3C.27D.1或275．已知向量,a b 满足6)()2(-=-⋅+b a b a ，且1=a ，2=b ，则a 与b的夹角为（ ）A ．23πB ．2πC ．3πD ．6π6. 设x R ∈,则“21>x ”是“2210x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 命题“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为 （ ） A.2,240x x x ∀∈-+≥R B.2,240x x x ∃∈-+>R C.2,240x x x ∀∉-+≤R D. 2,240x x x ∃∉-+>R 8. 函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）A.)1,2(--B.)0,1(-C.)1,0(D.)2,1(9.dx 1x 11e 2⎰+-它的值为 （ ）A 、21B 、e1C 、1D 、210.若变量x,y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502.402y x y x y x 则z=3x+2y 的最大值是 （ ）A. 90B.80C. 70D. 4011．已知x ＞0，y ＞0，若2y x ＋8xy＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2＜m ＜4D ．－4＜m ＜2 12.函数y x cos x =⋅的图象大致是 （ ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题包括4小题，每小题4分，共16分）13.若f (x )＝⎩⎨⎧sin πx 6(x ≤0)，1－2x (x ＞0)，则f (f (3))＝________.14. 在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边，且,21sin ,1,3===B b a 则角A =15.已知对不同的a 值，函数f (x )＝2＋a x －1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是_______．16.若不等式022>++bx ax 的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a －b 值是 三、解答题（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）记函数()2()lg 2f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ． （1）求A ∩B 和A ∪B ；（2）若A C p x x C ⊆<+=},04|{，求实数p 的取值范围． 18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，AC 2=，43cos ,1==C BC . (Ⅰ)求AB 的值； (Ⅱ)求)2sin(C A +的值。

2013年某某省聊城市莘县中考数学二模试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，其中只有一个选项正确）1．（3分）（2004•某某）|﹣22|的值是（）A．﹣2 B．2C．4D．﹣4考点：有理数的乘方；绝对值．专题：计算题．分析：根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数．因为﹣22=﹣4＜0，故|﹣22|=4．解答：解：因为﹣22=﹣4＜0，故|﹣22|=4．故选C．点评：本题考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，互为相反数的绝对值相等．2．（3分）（2013•莘县二模）小明从上面观察下图所示的两个物体，看到的是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．专题：压轴题；数形结合．分析：先细心观察原立体图形中的圆柱体和正方体的位置关系，结合四个选项选出答案．解答：解：由于正方体的俯视图是个正方形，而竖着的圆柱体的俯视图是个圆形，因此只有A的图形符合这个条件．故选A．点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．（3分）（2011•某某）我国第二颗月球探测卫星“嫦娥二号”于2011年6月9日奔向距地球1500000km 的深空．用科学记数法表示1500000为（）A．1.5×106B．0.15×107C．1.5×107D．15×106考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．解答：解：1500000=1.5×106，故选：A．点评：此题考查的知识点是科学记数法，关键是用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n 的确定方法．4．（3分）（2012•荆州）已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°考点：平行线的性质．专题：探究型．分析：先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：∵∠3是△ADG的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵l1∥l2，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°﹣55°=35°，∴∠2=35°．故选B．点评：本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．5．（3分）（2011•某某）不等式组的解集是（）A．x≥3B．x≤6C．3≤x≤6D．x≥6考点：解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式．专题：计算题．分析：根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组的解集的规律找出即可．解答：解：，由①得：x≤6，由②得：x≥3，∴不等式组的解集是：3≤x≤6．故选C．点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，根据找不等式组的解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．6．（3分）（2013•莘县二模）商场对某商品优惠促销，如果以八折的优惠价格每出售一件商品，就少赚15元，那么顾客买一件这种商品就只需付（）元．A．35 B．60 C．75 D．150考点：一元一次方程的应用．分析：本题的等量关系为：原价×8折=原价﹣15，再用原价×8折可求需付的钱数．解答：解：设原价为x元，则0.8x=x﹣15，解得x=75．0.8x=0.8×75=60．故顾客买一件这种商品就只需付60元．故选B．点评：考查了一元一次方程的应用，解决应用题的关键是：找到关键描述语：八折的优惠，少收入15元．进而找到合适的等量关系．7．（3分）（1999•某某）甲、乙两班参加植树造林，已知甲班每天比乙班每天多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植x棵，根据题意列出的方程是（）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出分式方程．专题：应用题；压轴题．分析：关键描述语是：“甲班植80棵树所用的天数比与乙班植70棵树所用的天数相等”；等量关系为：甲班植80棵树所用的天数=乙班植70棵树所用的天数．解答：解：若设甲班每天植x棵，那么甲班植80棵树所用的天数应该表示为：，乙班植70棵树所用的天数应该表示为：．所列方程为：．故选D．点评：列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题应该抓住“甲班植80棵树所用的天数比与乙班植70棵树所用的天数相等”的关键语．8．（3分）（2013•莘县二模）为了呼吁同学们共同关注地球暖化问题对人类生活的影响，小明调查了2011年6月气温情况，如图所示．根据统计图分析，这组数据的众数和中位数分别是（）A．32℃，30℃B．31℃，30℃C．32℃，31℃D．31℃，31℃考点：众数；条形统计图；中位数．分析：根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数和中位数的定义，先将这组数据从小到大的顺序排列起来，再求出最中间的两个数的平均数即可．解答：解：∵32℃出现的天数最多，出现了13天，∴这组数据的众数是32℃，∵共有30天，将这组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数是第15和16，∴这组数据的中位数是（31℃+31℃）÷2=31℃；故选C．点评：此题考查了中位数和众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数．9．（3分）（2005•某某）如图所示的函数图象的关系式可能是（）A．y=x B．y=C．y=x2D．y=考点：反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：首先从图象的形状看，是什么函数，然后从自变量x及函数值y的取值X围或者根据图象所在的象限确定函数可能的关系式．解答：解：从图象的形状看，是双曲线，排除A与C；又因为无论x＞0，还是x＜0，y的值均大于0，排除B．所以符合此条件的只有y=．故选D．点评：此题的本质还是反比例函数的性质，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．10．（3分）（2006•大兴安岭）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先判定四边形C′DCE是菱形，再根据菱形的性质计算．解答：解：设CD=x，根据C′D∥BC，且有C′D=EC，可得四边形C′DCE是菱形；即Rt△ABC中，AC==10，，EB=x；故可得BC=x+x=8；解得x=．故选A．点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．11．（3分）（2013•莘县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0；②a+b＜0；③y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由二次函数的图象可得：a＜0，b＞0，c＞0，对称轴0＜x＜1，则再结合图象判断各结论．解答：解：由二次函数的图象可得a＜0，b＞0，c＞0，对称轴0＜﹣＜1，①方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0，正确，x1+x2=﹣＞0；②a+b＜0，正确，x=1时，a+b+c＜0，即a+b＜﹣c＜0；③y随x的增大而增大，错误，应指明x的X围；④a﹣b+c＜0，正确，x=﹣1时，a﹣b+c＜0．故选B．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，重点是从图象中找出重要信息．12．（3分）（2013•莘县二模）如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，下列四个结论：①BE⊥GD；②OH=BG；③∠AHD=45°；④GD=，其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：①由已知条件可证得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因为∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；②由①可以证明△BHD≌△BHG，就可以得到DH=GH，得出OH是△BGD的中位线，从而得出结论．③若以BD为直径作圆，那么此圆必经过A、B、C、H、D五点，根据圆周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的结论也是正确的．④此题要通过相似三角形来解；由②的五点共圆，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根据相似三角形的比例线段即可得到AM、DG的比例关系；解答：解：解：①正确，证明如下：∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确；②∵BE平分∠DBC，∴∠DBH=∠GBH．∵BE⊥GD，∴∠BHD=∠BHG=90°．在△BHD和△BHG中，∴△BHD≌△BHG（ASA），∴DH=GH．∵O是BD中点，∴DO=BO．∴OH是△BDG的中位线，∴OH=BG，故②正确；③由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故③正确；④由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则∠BAH=∠BDH；又∵∠ABD=∠DBG=45°，∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：，即DG=AM；故④正确；∴正确的个数有4个．故选D．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用、正方形的性质的运用，角平分线的性质的运用以及圆周角定理等知识的综合应用，能够判断出A、B、C、D、H五点共圆是解题的关键．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）13．（3分）（2012•某某）分解因式：2x2﹣8= 2（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：常规题型．分析：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2x2﹣8，=2（x2﹣4），=2（x+2）（x﹣2）．故答案为：2（x+2）（x﹣2）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．（3分）（2013•新民市一模）函数中，自变量x的取值X围是x≥﹣2且x≠1．考点：函数自变量的取值X围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解解答：解：根据题意得：，解得：x≥﹣2且x≠1．故答案是：x≥﹣2且x≠1．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．15．（3分）（2013•莘县二模）如图，△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为．考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：在直角△BFQ中，利用三角函数即可求得BQ的长，则BP的长即可求得，然后在直角△BPE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半即可求得PE的长．解答：解：∵△ABC是等边三角形．P是∠ABC的平分线BD上一点，∴∠FBQ=∠EBP=30°，∴在直角△BFQ中，BQ=BF•cos∠FBQ=2×=，又∵QF是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2．∵直角△BPE中，∠EBP=30°，∴PE=BP=．故答案是：．点评：本题考查了等边三角形的性质以及直角三角形的性质和三角函数，正确求得BQ的长是关键．16．（3分）（2013•莘县二模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BC D的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE=2AE．若四边形AECD面积为1，则梯形ABCD的面积为．考点：梯形；等腰三角形的判定与性质．分析：延长BA、CD相交于点F，求出=，再根据△FAD和△FBC相似，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出S△FAD=S△FBC，设△FBC的面积为s，根据等腰三角形三线合一的性质可得S△FCE=S△FBC，然后根据四边形AECD面积为1列出方程求出s，再求出S△FAD，即可求出梯形ABCD的面积．解答：解：如图，延长BA、CD相交于点F，∵BE=2AE，∴AE=AF=BE，∴=，∵AD∥BC，∴△FAD∽△FBC，∴S△FAD=S△FBC，设△FBC的面积为s，∵CE是∠BCD的平分线，CE⊥AB，∴△FBC是等腰三角形，S△FCE=S△FBC=s，∴四边形AECD面积=s﹣s=1，解得s=，∴梯形ABCD的面积=s﹣s=﹣×=．故答案为：．点评：本题考查了梯形，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形与等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．17．（3分）（2013•莘县二模）如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb= ﹣8 ．考点：两条直线相交或平行问题．专题：计算题．分析：根据两条直线相交或平行问题由一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行得到k=2，然后把点A（1，﹣2）代入一次函数解析式可求出b的值，最后计算出kb即可．解答：解：∵一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，∴k=2，∴y=2x+b，把点A（1，﹣2）代入y=2x+b得2+b=﹣2，解得b=﹣4，∴kb=2×（﹣4）=﹣8．故答案为﹣8．点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．三、解答题（本题共8小题，其中18题7分，第24题10分，第25题12分，其余8分，共69分）18．（7分）（2011•某某）解关于的方程：．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣1），得x（x﹣1）=（x+3）（x﹣1）+2（x+3），整理，得5x+3=0，解得x=﹣．检验：把x=﹣代入（x+3）（x﹣1）≠0．∴原方程的解为：x=﹣．点评：本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．19．（8分）（2007•某某）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于E．（1）求证：∠DEF=∠CBE；（2）请找出图中与EB相等的线段（不另添加辅助线和字母），并说明理由．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：利用同角的余角相等可知∠DEF=∠CBE，结合直角和等边可证明△FDE≌△CEB所以∠DEF=∠CBE，EB=EF．解答：（1）证明：过点E作EN⊥AB，∵EF⊥BE，∴∠DEF+∠CEB=90°．∵∠CBE+∠CEB=90°，∴∠DEF=∠CBE．（2）EB=EF．∵AE平分∠DAB，DE⊥AD，EN⊥AB，∴DE=EN，又∵EN=BC，∴DE=CB．∵∠C=∠D=90°，∴△FDE≌△CEB．∴EB=EF．点评：本题考查三角形全等的判定和正方形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、SSA、HL．20．（8分）（2011•某某）图①表示的是某综合商场今年1～5月的商品各月销售总额的情况，图②表示的是商场服装部各月销售额占商场当月销售总额的百分比情况，观察图①、图②，解答下列问题：（1）来自商场财务部的数据报告表明，商场1～5月的商品销售总额一共是410万元，请你根据这一信息将图①中的统计图补充完整；（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？（3）小刚观察图②后认为，5月份商场服装部的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？请说明理由．考点：条形统计图；折线统计图．分析：（1）根据图①可得，1235月份的销售总额，再用总的销售总额减去这四个月的即可；（2）由图可知用第5月的销售总额乘以16%即可；（3）分别计算出4月和5月的销售额，比较一下即可得出答案．解答：解：（1）410﹣（100+90+65+80）=410﹣335=75；如图：（2）商场服装部5月份的销售额是80万元×16%=12.8万元；（3）4月和5月的销售额分别是75万元和80万元，服装销售额各占当月的17%和16%，则为75×17%=12.75万元，80×16%=12.8万元，故小刚的说法是错误的．点评：本题是统计题，考查了条形统计图和折线统计图，是基础知识要熟练掌握．21．（8分）（2013•莘县二模）为支援某某灾区建设，某帐篷生产厂现有20台机器，每台机器平均每天生产40顶帐篷．现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在生产过程中，由于其他生产条件没变，因此每增加4台机器，平均每台每天将少生产1顶篷．问至少增加多少台机器，可以使每天的生产总量达到1800顶？考点：一元二次方程的应用．专题：工程问题．分析：设至少增加x台机器，可以使每天的生产总量达到1800顶，由于现有20台机器，每台机器平均每天生产40顶帐篷，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在生产过程中，由于其他生产条件没变，因此每增加4台机器，平均每台每天将少生产1顶篷，由此即可列出方程解决问题．解答：解：设增加x台机器，依题意得，解之得x1=40，x2=100，答：至少增加40台机器，可以使总量达到1800顶．点评：此题和实际生活结合比较紧密，首先把握现有20台机器，每台机器平均每天生产40顶帐篷，然后把握增加4台机器，平均每台每天将少生产1顶篷就可以列出方程就问题．22．（8分）（2009•某某）如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为60°，在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C 两点在同一水平线上，求塔CD的高．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题；压轴题．分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及两个直角三角形，即Rt△BED和Rt△DAC，利用已知角的正切分别计算，可得到一个关于AC的方程，从而求出DC．解答：解：作BE⊥CD于E．可得Rt△BED和矩形ACEB．则有CE=AB=16，AC=BE．在Rt△BED中，∠DBE=45°，DE=BE=AC．在Rt△DAC中，∠DAC=60°，DC=ACtan60°=AC．∵16+DE=DC，∴16+AC=AC，解得：AC=8+8=DE．所以塔CD的高度为（8+24）米．点评：本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．23．（8分）（2012•某某）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=k1x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与反比例函数y2=的图象分别交于点M、N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐标为2．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1＞y2时x的取值X围．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题．分析：（1）先由一次函数的解析式为y1=k1x+1，求出点A与点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，可得到k1的值，从而求出一次函数的解析式；进而得到点M的坐标，然后运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（2）y1＞y2即一次函数值大于反比例函数值，只需观察一次函数的图象落在反比例函数的图象的上方时自变量的取值X围即可，为此，先求出它们的交点坐标，再根据函数图象，可知在点M的左边以及原点和点N之间的区间，y1＞y2．解答：解：（1）∵一次函数y1=k1x+1的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，∴A（0，1），B（﹣，0）．∵△AOB的面积为1，∴×OB×OA=1，×（﹣）×1=1，∴k1=﹣，∴一次函数的解析式为y1=﹣x+1；当y=2时，﹣x+1=2，解得x=﹣2，∴M的坐标为（﹣2，2）．∵点M在反比例函数的图象上，∴k2=﹣2×2=﹣4，∴反比例函数的解析式为y2=﹣；（2）解方程组，得或，故当y1＞y2时，x＜﹣2或0＜x＜4．点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．24．（10分）（2013•莘县二模）如图，AB为⊙O的直径，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，直线CD、ED分别交直线AB于点F和M．（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）已知OM=1，MF=3，请求出⊙O的半径并计算tan∠DMF的值．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．分析：（1）由于CG⊥OA，根据垂径定理可得出，弧CA=弧AE，那么根据圆周角定理可得出∠CDE=∠COA，在Rt△COG中，可根据OG是半径的一半得出∠AOC是60°，那么就能得出∠FDM=180°﹣∠CDE=120°；（2）由直径AB⊥CE，根据垂径定理得出AB垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质得到MC=ME，则∠CMA=∠EMA，∠FMD=∠CMA，根据三角形内角和定理得出∠F=∠OCM，又∠FOC=∠，得出△FOC∽△，根据相似三角形对应边成比例得出，求出OC=2；解Rt△CGO，求出CG=，在Rt△CMG中，根据正切函数的定义，求出tan∠CMA=，则tan∠DMF=．解答：解：（1）∵OA、OC都是⊙O的半径，且G为OA的中点，∴在Rt△OCG中，cos∠COG=，∴∠COG=60°即∠COA=60°；∵==，∴∠EDC=∠COA=60°，∴∠EDF=120°，即∠FDM=120°；（2）∵直径AB⊥CE，∴AB平分CE，即AB垂直平分CE，∴MC=ME，∴∠CMA=∠EMA，又∵∠FMD=∠EMA，∴∠FMD=∠CMA，∵∠FDM=∠=120°，∴∠F=∠OCM，又∵∠FOC=∠，∴△FOC∽△，∴，即OC2=OM•OF=1×（1+3）=4，∴OC=2，∴OG=OC=1，∵OM=1，∴GM=OG+OM=1+1=2．在Rt△CGO中，CG=OC•sin∠COG=2×=，又∵∠DMF=∠CMA，∴tan∠DMF=tan∠CMA=．故⊙O的半径我2，tan∠DMF=．点评：本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质等知识点，根据垂径定理得出角相等是解题的关键．25．（12分）（2013•莘县二模）某经销商销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售过程中发现，如果按进价销售，每月销售量为300台，售价每增加1元，销量减少10台，若商场将这种台灯销售单价定为x（元），每月销量为y（件）．（1）试判断商场每月销量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）如果经销商想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？word（3）根据物价部门规定，这种台灯的销售单价不得高于32元，如果经销商想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月用于购进这种台灯的成本最少需要多少元？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．分析：（1）每月销售量y=300﹣10×（销售价﹣进价）；（2）设每月利润为W，根据每月利润=单件利润×销售量，从而列出W与x的关系式，令W=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．解答：解：（1）y=300﹣10（x﹣20）=﹣10x+500；（2）设每月利润为W，由题意得：W=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，令W=2000，代入解析式得：﹣10x2+700x﹣10000=2000，化简得 x2﹣70x+1200=0，解得：x1=30，x2=40，答：经销商想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．（3）W=10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，可知当销售单价为35元时可获得最大利润2250元，由（2）知当销售单价为30元时可获得利润2000元，得出x的取值X围：30≤x≤32，∵y=﹣10x+500，∴y随x的增大而减少，故当x取最大值32时销量最小，则此时购进这种台灯的成本为20×（﹣10×32+500）=20×180=3600（元）．答：每月用于购进这种台灯的成本最少需要3600元．点评：此题考查了二次函数的应用以及抛物线的基本性质，难度较大，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．21 / 21。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合{}2|(1)4),M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N = （ ）（A ）{}0,1,2 （B ）{}1,0,1,2- （C ）{}1,0,2,3- （D ）{}0,1,2,3 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以{}0,1,2M N = ，故选A ． （2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数z 满足(1i)2i z -=则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i - 【答案】A【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===-+--+，故选A ． （3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而211099a a +=，不满足题意，因此1q ≠．∵1q ≠时，33111(1)·101a q qa a S q -=-=+，∴31101q q q -=+-，整理得29q =． ∵451·9a a q ==，即1819a =，∴119a =，故选C ．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥ （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以//l α．同理可得//l β．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线，故选D ．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =（ ）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】D【解析】因为5(1)x +的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含2x 的项为221552C C 105()x ax x a x +⋅=+，所以1055a +=，1a =-，故选D ． （6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111+2310+++ （B ）1111+2!3!10!+++ （C ）1111+2311+++ （D ）1111+2!3!11!+++【答案】D【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，1=1+2S ；当3k =时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4k =时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…； 当10k =时，123410T =⨯⨯⨯⨯ ，1111+2!3!10!S =+++ ，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确，故选D ．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为A 图形，故选A ．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b C >> 【答案】D【解析】根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7lg5lg3>>， 所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a <<，故选D ． （9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值是1，则a =（ ）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】B【解析】由题意作出13x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线21x y +=，因为直线21x y +=与直线1x =的交点坐标为(1)1-，，结合题意知直线()3y a x =-过点(1)1-，，代入得12a =，故选B ． （10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线22(0)y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF为直径的圆过点0,2（），则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为00()x y ，，由抛物线的定义，得052P MF x =+=，则052x p =-．又点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()()0020p y y x x x y ⎛⎫- ⎭-⎪⎝-+=．将0x =，2y =代入得00840px y +-=，即0202480y y -+=，所以04y =．由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =． 所以C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知1,0A -（），1,0B （），0,1C （），直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）（A ）0,1（） （B ）112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）113⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=______． 【答案】2【解析】解法一：在正方形中，12AE AD DC =+ ,BD BA AD AD DC =+=-,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯= ．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()2,0，点D 的坐标为()0,2，点E 的坐标为()1,2，则()1,2AE =，()2,2BD =-，所以2AE BD ⋅= ． （14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114，则n =__ ____．【答案】8【解析】从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n种取法，两数之和为5的有()1,4，()2,3 2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______．【答案】【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得1t a n 3θ=-，即1s i n c o s 3θθ=-．将其代入22sin cos 1θθ+=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以cos θ=，sin θ=sin cos θθ+=． （16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______． 【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1101109S =10210450a a d d ⨯=+=＋，①115115141521510525d S a d a =+⨯==+．② 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n S n n --+⨯=-=．令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>,200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n +∈N ，则()648f =-，()749f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值49-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】ABC ∆的内角的对边分别为,,,a b c 已知cos cos a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值． 解：（1）由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+．① 又()A B C π=-+，故()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+．② 由①，②和0()C π∈，得sin cos B B =， 又0()B π∈，，所以π4B =． （2）ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==．由已知及余弦定理得22π2cos 44ac a c =+-． 又222a c ac +≥，故ac ≤a c =时，等号成立．因此ABC ∆．（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．1AA AC CB AB ===． （1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）求二面角1D ACE --的正弦值． 解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ． 因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD ．（2）由AC CB AB ==得，AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图 所示的空间直角坐标系C xyz -．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =， ()0,2,1CE = ，()12,0,2CA =．设111()x y z =n ，，是平面1A CD 的法向量，则100CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取11(1)=--n ，，．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取2,1()2=-m ，．从而||||o c s ==n?m n n m m 〈，〉，故sin ,=n m 即二面角1D ACE --（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 （1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作1为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率)，求T 的数学期望．解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=． 所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． （3）依题意可得T所以450000.1ET =⨯+（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(0a b >>)右焦点的直线0x y +交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，00()P x y ，，则221122=1x y a b+，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-．因为1202x x x +=，1202y y y +=，0012y x =，所以222a b =． 又由题意知，M 的右焦点为)，故223ab -=．因此26a =，23b =．所以M 的方程为22=163x y +．（2）由220163x y xy⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩AB =CD 的方程为： y x n n ⎛=+<<⎝，设33()C x y ，，44()D x y ，．由22163y x nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234260x nx n ++-=． 于是3,4x =CD 的斜率为1，所以43|x xCD -由已知，四边形ACBD 的面积1||||2S CD AB =⋅=． 当0n =时，S ．所以四边形ACBD ．（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()ln()x f x e x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性； （2）当2m ≤时，证明()0f x >．解：（1）()1e x mf x x =-'+．由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1-+∞，，()1e 1x f x x =-+'．函数()1e 1x f x x =-+'在()1-+∞，单调递增，且()00f '=． 因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当0()x ∈+∞，时，()0f x '>．所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0)+∞， 单调递增．（2）当2m ≤，()x m ∈-+∞，时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()1e 2x f x x =-+'在()2-+∞，单调递增．又()10f '-<，()00f '>， 故()0f x '=在()2-+∞，有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-．当02()x x ∈-，时，()0f x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得001e 2x x =+， ()00ln 2x x +=-，故()()20000011022f x x x x f x x (+)+=≥>++=．综上，当2m ≤时，()0f x >． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号． （22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且 ··BC AE DC AF =，B ，E ，F ，C 四点共圆． （1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽， 所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒． 所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由D B B E =，有C E D C =， 又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ， C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点． （1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，． M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M点到坐标原点的距离)02d απ<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a ++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c a b b c c a +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13a b b c c a ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b ca abc c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b cb c a++≥．。

2013年高考模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{1,2,3,5},{|21,}M N x x k k M ===-∈，则M N = （ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,3,5 C ．{}2,3,5 D ．{}1,3,5,72、i =（ ）A ．14 B ．12+ C ．12- D ．14- 3、点(1,0),(0,1)A B ，点C 在第二象限内，已知5,26AOC OC π∠==且OC OA λ= uOB + ，则,u λ的值分别是（ ）A ．-． C ．1, D 1-4、ABC ∆中，“sin sin A B =”是“ABC ∆为等腰三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5、已知,a b 表示两条直线M 表示平面，给出下列四个命题： ①若//,//a M b M ，则//a b ②若,//b M a b ⊂，则//a M ；③若,a b b M ⊥⊂，则a M ⊥ ④若,a M a b ⊥⊥，则//b M其中正确的命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6、某程序框图如图所示，则该程序运算后输出的S 的值为（ ） A ．20122 B ．20132 C ．20142D ．2013127、若变量,x y 满足条件02143y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞C ．[]0,3D ．[]1,38、已知函数()210(1)0x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则方程()12log (1)f x x =+的根的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39、文艺节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到,,A B C 三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆出场至少派一人，若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种10、已知函数2sin()(0)y wx ϕϕπ=+<<为偶函数，其图象与直线2y =某两个公共点的横坐标为12,x x ，若12x x -的最小值为π，则该函数的一个递增区间可以是（ ） A ．(,0)2π-B ．(,)44ππ-C ．(0,)2πD ．3(,)44ππ11、已知奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且[)1,2x ∈时，()3f x x =，则（ ） A ．()()()3.503f f f >>- B ．()()()0 3.53f f f >>- C ．()()()3.503f f f <<- D ．()()()0 3.53f f f <<-12、椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．12(,)33 B ．1(,1)2 C ．2(,1)3 D ．111(,)(,1)322第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。