心理统计学——5 概率与概率分布

心理学（研究方法）内容精讲第三部分心理统计学第三章概率分布与总体参数的估计第一节概率与概率分布一、概率的一些基本概念（一）什么是概率概率因寻求的方法不同有两种定义，即后验概率和先验概率。

1．后验概率的定义以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率制作为随机事件A概率的估计值，这样寻得的概率称为后验概率。

2．先验概率的定义先验概率是通过古典概率模型加以定义的，故又称为古典概率。

古典概率模型要求满足两个条件：①试验的所有可能结果是有限的；②每一种可能结果出现的可能性（概率）相等。

（二）概率的性质1．任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的正数；2．不可能事件的概率等于0；3．必然事件的概率等于1。

（三）概率的加法和乘法1．概率的加法在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。

两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。

2．概率的乘法A 事件出现的概率不影响B 事件出现的概率，这两个事件为独立事件。

两个独立事件的概率，等于这两个事件概率的乘积。

二、正态分布（一）正态分布特点1．呈倒挂的钟形，两头小，中间大，能力的特点呈正态分布；2．有其分布函数；3．横坐标以标准差为单位，用z 分数表示；4．正态分布下数据与标准差有一定数量关系1%X 1.96SD 95%X 2.58SD %X SD -⎧±⎪⎪±⎨⎪±⎪⎩－－ 包含所有数据的68.2 包含所有数据的 包含所有数据的99（二）正态分布的应用1．正态表的应用（1）已知概率可查Z 分数；（2）已知Z 分数可查概率；（3）已知概率或标准分数可查密度值、函数值。

2．正态分布在研究的应用（1）按能力分组，确定人数；（2）化等级评定为测量数据；（3）测验分数的正态化。

3．标准分数与应用公式：Z x x S-＝式中：x 代表原始数据；x 为一组数据的平均数；S 为标准差如果研究数据呈正态分布，可按正态分布的规律来解释。

例如：一个班成绩90x -=，SD＝3。

心理统计学常用公式总结心理统计学是心理学中的一个重要分支，它通过应用统计方法和概率理论来研究心理现象，分析和解释心理数据。

在心理统计学中，有许多常用的公式和方程式，用于计算和分析心理测量数据。

下面是一些常用的心理统计学公式总结。

1. 平均数（Mean）平均数是一组数值的总和除以数量的结果。

它是一组数据的集中趋势的一种度量。

平均数计算公式如下：平均数=总和/数量2. 中位数（Median）中位数是一组有序数据的中间值，将数据分为两个等长的部分。

对于一个有奇数个数据的数据集，中位数就是中间的值；对于有偶数个数据的数据集，中位数是中间两个值的平均数。

3. 众数（Mode）众数是一组数据中出现频率最高的值。

一个数据集可以有一个以上的众数，也可以没有众数。

4. 方差（Variance）方差是一组数据离其平均数的距离的平方的平均值。

方差用于衡量数据的离散程度。

方差计算公式如下：方差=Σ(数据-平均数)²/数量5. 标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根，它是一组数据离其平均数的距离的平均值。

标准差也用于衡量数据的离散程度。

标准差计算公式如下：标准差=√方差6. 相关系数（Correlation Coefficient）相关系数衡量两个变量之间的关系强度和方向。

它是一个介于-1和1之间的值，越接近-1或1表示关系越强，越接近0表示关系越弱。

相关系数计算公式如下：相关系数=协方差/(标准差1*标准差2)7. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是在统计学中经常出现的一种分布模式。

它呈钟形曲线，对称分布在平均数周围。

正态分布可以由均值和标准差来完全描述。

8. 标准分数（Standard Scores）标准分数是将原始分数转化为以标准差为单位的分数。

它表示一个分数距离平均数的几个标准差。

标准分数=(原始分数-平均数)/标准差9. 置信区间（Confidence Interval）置信区间是对总体参数的估计范围，常用来估计平均值或比例的范围。

心理统计学一一名词解释[1]1随机现象：在肯定条件下，可能消失也可能不消失，或者可能这样消失也可能那样消失的一类现象。

2统计学：讨论随机现象的数量规律性的应用数学分支。

3大数定理：虽然每次观看结果可能都不同（偶然性），但是大量重复观看的结果可以形成稳定的数量特征（必定性）。

4统计学科学：以统计学方法为主要定量分析手段的科学。

心理学就是一门统计性科学。

5数理统计学：以概率论为基础，阐明统计学的数学原理，推导和证明有关的数学公式的数学分支。

6应用统计学：数理统计学理论在各个学科领域中的应用产生的统计学分支。

7心理统计学：心理学领域的应用统计学分支。

8描述统计学：阐述搜集、提炼和描述资料的方法，是推断统计学的基础。

9推断统计学：运用概率论讨论如何依据样变的信息推断出样原来自的总体的相应信息，包括参数估量和假设检验两种形式。

10随机变量:表示随机现象的各种可能结果的变量。

11个体：所讨论的随机现象的载体，具有某种共同特性，是组成总体的基本单位。

12总体：具有某（些）共同特性的个体的总和。

13样本:从总体中抽取的作为观测对象的一部分个体。

14样本容量：样本包含的个体数no n>=30 的样本称为大样本，n<30的样本称为小样本。

15参数:依据总体中全部个体的观看值计算出来的数量指标，即总体上的数字特征。

16统计量:依据样本中全部个体的观看值计算出来的数量指标，即样本上的数字特征。

[2]1间断变量：其可能取值在数轴上不连续的变量。

2连续变量：其可能取值在数轴上连续地布满某一区间的变量。

3称名量表：各个数字表示的是观看值的不同质别，起到的是名称的作用，数据之间不行以进行任何数学运算。

4挨次量表：各个数字表示的是个体某方面特征所对应的名次或等级；数据之间可以进行比较运算。

5等距量表：表示测量上具有相等单位的观看值，而且有一个相对零点；数据之间可以进行加减运算。

6比率量表：表示测量上具有相等单位的观看值，而且有一个肯定零点；等距量表的数据之间可以进行乘除法运算。

概率分布是统计学中一个重要的概念，它描述了随机变量取各个值的概率。

统计学则是研究如何收集、分析和解释数据的科学。

概率分布与统计学密切相关，它们共同帮助我们理解和解释各种现象和现实问题。

概率分布有很多种类，常见的有离散概率分布和连续概率分布。

离散概率分布适用于随机变量只能取有限个或可数个值的情况，如二项分布、泊松分布等。

连续概率分布则适用于随机变量可以取无限个值的情况，如正态分布、指数分布等。

概率分布可以通过概率密度函数或累积分布函数来描述。

统计学则是运用数学和概率论等工具对数据进行收集、整理和分析的过程。

它提供了一种科学的方法来理解和解释各种现象和现实问题，如经济学、医学、社会学等领域。

统计学可以帮助我们从大量数据中获取有用的信息，并对未知情况进行预测和推断。

概率分布与统计学的关系非常紧密。

在统计学中，我们经常需要根据已有的数据来估计和推断概率分布的参数。

例如，我们可以通过样本数据来估计总体的均值、方差等参数。

同时，概率分布也可以用来描述和解释观测数据的分布情况。

例如，正态分布可以用来描述身高、体重等连续变量的分布情况。

通过统计学方法，我们可以根据样本数据来推断总体的分布情况，并作为决策和预测的基础。

概率分布与统计学在实际问题中有广泛的应用。

在金融领域中，我们可以利用概率分布和统计学的方法来分析股票价格的波动情况，进行风险评估和投资决策。

在医学领域中，我们可以利用概率分布和统计学的方法来分析临床试验数据，评估药物的疗效和副作用。

在市场研究中，我们可以利用概率分布和统计学的方法来分析消费者行为、市场趋势等数据，为企业决策提供支持。

概率分布和统计学的研究不仅有助于我们对现实世界的理解，也为决策和预测提供了科学的依据。

通过对数据进行收集、整理和分析，我们可以发现隐藏在数据背后的规律和信息。

这些规律和信息可以帮助我们预测未来的趋势，制定合理的决策，并应对各种不确定性和风险。

总而言之，概率分布与统计学是统计学中重要的概念和方法。

概念（1）随机变量:在统计学上把取值之前，不能准确预料取到什么值的变量，称为随机变量。

（2)总体：总体（population）又称为母全体或全域，是具有某种特征的一类事物的总体，是研究对象的全体。

(3）样本:样本是从总体中抽取的一部分个体。

（4)个体:构成总体的每个基本单元.（5）次数:是指某一事件在某一类别中出现的数目，又称作频数,用f表示。

（6)频率:又称相对次数，即某一事件发生的次数除以总的事件数目，通常用比例或百分数来表示。

（7)概率:概率论术语,指随机事件发生的可能性大小度量指标。

其描述性定义。

随机事件A在所有试验中发生的可能性大小的量值,称为事件A的概率，记为P(A）。

(8）统计量:样本的特征值叫做统计量，又称作特征值。

（9）参数：又称总体参数，是描述一个总体情况的统计指标.（10)观测值:随机变量的取值,一个随机变量可以有多个观测值。

2何谓心理与教育统计学？学习它有何意义?答:(1)心理与教育统计学是专门研究如何运用统计学原理和方法，搜集、整理、分析心理与教育科学研究中获得的随机性数据资料，并根据这些数据资料传递的信息，进行科学推论找出心理与教育统计活动规律的一门学科。

具体讲，就是在心理与教育研究中，通过调查、实验、测量等手段有意地获取一些数据，并将得到的数据按统计学原理和步骤加以整理、计算、绘制图表、分析、判断、推理,最后得出结论的一种研究方法.（2)学习心理与教育统计学有重要的意义。

①统计学为科学研究提供了一种科学方法。

科学是一种知识体系.它的研究对象存在于现实世界各个领域的客观事实之中。

它的主要任务是对客观事实进行预测和分类,从而揭示蕴藏于其中的种种因果关系。

要提高对客观事实观测及分析研究的能力，就必须运用科学的方法。

统计学正是提供了这样一种科学方法。

统计方法是从事科学研究的一种必不可少的工具。

②心理与教育统计学是心理与教育科研定量分析的重要工具。

凡是客观存在事物，都有数量的表现。

概率分布与统计分析概述概率分布和统计分析是统计学中两个重要的概念。

概率分布是用来描述随机变量的可能取值及其对应的概率的函数或表格。

而统计分析则是对已经观察到的数据进行整理、分析和解释的过程。

概率分布和统计分析在各个领域都有着广泛的应用，能够帮助我们对数据进行有意义的解读、预测和决策。

一、概率分布概率分布是指随机变量所有可能取值及其对应的概率分布情况。

常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布两种。

1. 离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量的取值是有限或可数的。

常见的离散型概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布等。

- 伯努利分布：伯努利分布是一种最简单的离散型概率分布，它描述的是只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。

该分布只有两个参数，成功的概率p和失败的概率1-p。

- 二项分布：二项分布描述的是重复进行多次独立的伯努利试验，比如扔硬币n次。

该分布有两个参数，试验的次数n和成功的概率p。

- 泊松分布：泊松分布用于描述单位时间或单位空间内平均发生次数为λ的事件在给定时间或空间内发生的概率。

泊松分布只有一个参数λ，表示单位时间或空间内平均发生次数。

2. 连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量的取值是无限多个的。

常见的连续型概率分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等。

- 均匀分布：均匀分布是指在一定区间内，随机变量的取值是等可能的。

均匀分布有两个参数，区间的起点和终点。

- 正态分布：正态分布，也称为高斯分布，是统计学中最重要和最常用的连续型概率分布之一。

正态分布是一个钟形曲线，其概率密度函数由均值μ和方差σ^2来决定。

- 指数分布：指数分布用于描述随机事件的时间间隔，比如等待下一次事件发生的时间。

指数分布有一个参数λ，表示单位时间内事件发生的平均次数。

二、统计分析统计分析是对数据进行整理、分析和解释的过程。

统计分析可以帮助我们了解数据的特征、规律和趋势，从而做出合理的决策和推断。

1. 描述性统计分析描述性统计分析是对数据进行总结和描述的过程，通常包括数据的中心趋势、离散程度、分布形状等方面的度量。

第一章导论1.什么是统计学统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。

2.解释描述统计和推断统计描述统计研究的是数据收集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。

推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。

3.统计数据可以分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？分类数据：是只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表述的。

顺序数据：是只能归于某一有序类别的非数字型数据。

虽然也有列别，但这些类别是有序的。

数值型数据：是按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。

4.解释分类数据、顺序数据和数值型数据的含义分类数据和顺序数据说明的是事物的品质特征，通常是用文字来表述的，其结果均表现为类别，因此也可统称为定性数据或品质数据；数值型数据说明的是现象的数量特征，通常是用数值来表现的，因此也可称为定量数据或数量数据。

5.举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念总体是包含所研究的全部个体（数据）的集合；样本是从总体中抽取的一部分元素的集合；参数是用来描述总体特征的概括性数字度量；统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量；变量是说明现象某种特征的概念。

比如我们欲了解某市的中学教育情况，那么该市的所有中学则构成一个总体，其中的每一所中学都是一个个体，我们若从全市中学中按某种抽样规则抽出了10所中学，则这10所中学就构成了一个样本。

在这项调查中我们可能会对升学率感兴趣，那么升学率就是一个变量。

我们通常关心的是全市的平均升学率，这里这个平均值就是一个参数，而此时我们只有样本的有关升学率的数据，用此样本计算的平均值就是统计量。

6.变量可以分为哪几类分类变量：一个变量由分类数据来记录就称为分类变量。

顺序变量：一个变量由顺序数据来记录就称为顺序变量。

数值型变量：一个变量由数值型数据来记录就称为数值型变量。

离散变量：可以取有限个值，而且其取值都以整位数断开，可以一一例举。

概率分布与期望值计算详解一、概率分布概述概率分布是描述随机变量所有可能取值及其对应概率的数学工具。

根据随机变量的性质，概率分布可分为离散概率分布和连续概率分布。

离散概率分布描述的是离散型随机变量，即只能取有限个或可数个值的随机变量的概率分布情况；而连续概率分布则描述的是连续型随机变量，即可以在某个区间内取任意实数值的随机变量的概率分布情况。

二、常见的离散概率分布1. 0-1分布：一个随机试验只有两个可能结果，且这两个结果发生的概率之和为1。

例如，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率分别为$p$和$1-p$。

2. 二项分布：在$n$次独立的伯努利试验中，成功次数$X$的概率分布。

例如，在10次抛掷硬币试验中，正好出现5次正面的概率。

3. 泊松分布：描述单位时间（或单位面积）内随机事件发生的次数的概率分布。

常用于描述稀有事件的概率分布情况。

三、常见的连续概率分布1. 正态分布：又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。

正态分布具有钟形曲线特征，其均值、中位数和众数均为同一个值。

在自然界和社会科学中，许多随机现象都服从正态分布。

2. 指数分布：描述随机事件发生间隔时间的概率分布。

例如，电子产品的寿命、电话故障间隔时间等。

3. 均匀分布：在连续区间$[a, b]$内取值的随机变量的概率分布。

在这个区间内，随机变量取任何值的概率都相等。

四、期望值的计算期望值（Expected Value）是随机变量所有可能取值与其对应概率的乘积之和，用数学符号表示即为$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)$。

期望值反映了随机变量的长期平均结果或平均水平。

计算期望值的一般步骤如下：1. 确定随机变量的所有可能取值$x_1, x_2, ..., x_n$。

2. 确定每个取值对应的概率$p(x_1), p(x_2), ..., p(x_n)$。

3. 将每个取值与其对应的概率相乘，得到$x_1 p(x_1), x_2 p(x_2), ..., x_n p(x_n)$。