九年级(下)第六章 二次函数：第8课时 二次函数的应用(一)

新北师大版九年级数学二次函数的应用二次函数是数学中重要的概念之一，在九年级数学课程中也有广泛的应用。

本文将探讨新北师大版九年级数学中二次函数的应用。

1. 抛物线的性质在研究二次函数之前，我们先来了解一下抛物线的性质。

抛物线是由二次函数所表示的图形，它具有以下几个重要的性质：- 抛物线的顶点：抛物线的顶点是抛物线上最高点或最低点的坐标。

- 抛物线的对称轴：抛物线是关于对称轴对称的，对称轴是通过抛物线顶点的垂直线。

- 抛物线的开口方向：抛物线的开口方向由二次函数的系数决定。

当二次函数的二次项系数大于零时，抛物线开口向上；当二次函数的二次项系数小于零时，抛物线开口向下。

2. 二次函数的图像和应用二次函数的图像为抛物线，根据二次函数的系数，我们可以画出不同形状的抛物线。

在新北师大版九年级数学中，二次函数的应用主要有以下几个方面：2.1. 描述实际问题二次函数可以用来描述很多实际问题，例如：- 飞行物体的轨迹：如果已知一个飞行物体的高度和时间之间的关系，可以通过建立二次函数来描述它的轨迹。

- 喷泉的水柱高度：可以根据喷泉水柱的高度和时间之间的关系，建立二次函数来描述水柱的变化。

2.2. 解决最值问题二次函数可以帮助解决最值问题，例如：- 最值问题：给定一些条件，通过建立二次函数模型，可以求出函数的最值（最大值或最小值），从而解决一些实际问题。

2.3. 确定函数的定义域和值域二次函数的图像是一条抛物线，通过观察抛物线的开口方向和顶点，可以确定函数的定义域和值域。

3. 总结二次函数在新北师大版九年级数学中有广泛的应用，它可以用来描述实际问题、解决最值问题，同时也可以通过观察抛物线的性质来确定函数的定义域和值域。

通过研究二次函数的应用，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解决实际问题的能力。

以上是关于新北师大版九年级数学二次函数的应用的文档。

希望对您有所帮助！。

第9课时二次函数的应用（一）（附答案）1．如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为 ( )2．(2012．安徽)如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O 过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是 ( )3．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8－x）个，则当x＝_______元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．4．将一条长为16 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_______cm2．5．某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋150t＋10表示，经过_______s，火箭达到它的最高点．6．用长度为20 m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．7．(2012．淮安)国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元，种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入，考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图所示：(1)今年老王种粮可获得补贴多少元？(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式；(3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总收入W(元)与种粮面积x（亩）之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总收入最高？并求出最高总收入．8．(2012．南京)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别相切于A、B，∠CO2D＝60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，EF＝24 cm，设⊙O1的半径为x cm．(1)用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；(2)若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元／cm2和0.06元／cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具成本最小？9．（2012．日照）如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P、Q分别从A、B 同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1 cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．10．(2012．嘉兴)某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元，设公司每日租出x辆时，日收益为y元（日收益＝日租金收入－平均每日各项支出）．(1)公司每日租出x辆时，每辆车的日租金为_______元（用含x的代数式表示）；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元?(3)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益不盈也不亏？11． (2012．菏泽)2012年牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元／件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系式，并求出函数关系式；(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少（利润＝销售总价－成本总价）?(3)菏泽市物价部门规定，该工艺品的销售单价最高不超过35元／件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？12．如图，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(4，0)，B(2，2)．连接OB、AB．(1)求该抛物线的解析式；(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA'B'，写出△OA'B'的边A'B'中点P 的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．参考答案1．D 2．D3．4 4．8 5．156．(300－27．18000元；(2)y＝4x＋180； (3)当种粮面积为260亩时，总收入最高，最高总收入为270400元8．(1)(24－3x)cm； (2)4 cm9．(1)y＝－x2＋9x(0<x≤4)；(2)20 cm210．(1)1400－50x (2)当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5 000元． (3)当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．11．(1)y＝－10x＋700；(2)当销售单价定为40元时，有最大利润，最大利润为9 000元； (3)35元／件12．(1)y＝－12x2＋2x；(2)略(3)点P不在此抛物线上．。

九年级二次函数知识点讲解二次函数是初中数学中的重要内容之一，也是数学学习的基础。

本文将对九年级二次函数的知识点进行详细讲解，希望对同学们的学习有所助益。

一、二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。

其中a决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开口向下），b决定了二次函数的对称轴位置，c则是二次函数的纵坐标偏移量。

二次函数的图像为一条平滑的曲线，被称为抛物线。

抛物线的顶点对应了二次函数的最值点，也是二次函数的最高点或最低点。

二、二次函数的图像二次函数的图像是由抛物线组成的。

对于二次函数f(x) = ax^2+ bx + c，我们可以通过以下步骤绘制出其图像：1.计算出抛物线的对称轴位置，即取-b/2a得到x = -b/2a；2.计算出抛物线的顶点，即在对称轴上取x = -b/2a进行代入得到y坐标值；3.根据对称性，将顶点的横坐标左右对称，得到抛物线的两侧；4.根据函数的性质，计算出抛物线与x轴的交点，即当f(x) =ax^2 + bx + c = 0时求解x的值；5.将顶点、交点等关键点连接起来，即完成了二次函数的图像。

通过这一过程，我们可以描绘出二次函数的几何形状，进一步理解二次函数的性质和特点。

三、二次函数的最值对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，它的最值点即为其顶点。

顶点的横坐标为-x轴系数除以2倍的a值，即x = -b/2a；纵坐标则可通过将横坐标代入函数中得到。

根据最值点的位置，我们可以判断二次函数的开口方向和最值点的位置。

当a>0时，二次函数开口向上，最值点为最低点，也是函数的最小值；当a<0时，二次函数开口向下，最值点为最高点，也是函数的最大值。

四、二次函数的平移和伸缩二次函数的平移指的是抛物线在坐标系中的位置变化，可以通过改变函数的常数项c来实现。

当c>0时，抛物线上移；当c<0时，抛物线下移。

第8课时二次函数与一元二次方程（附答案）1．(2012．滨州)抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是 ( )A．3 B．2 C．1 D．02．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是 ( )A．ab<0B．ac<0C．当x<2时，函数值随x的增大而增大；当x>2时，函数值随x的增大而减小D．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是 ( )4．(2012．资阳)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 ( )A．－1<x<5 B．x>5 C．x<－1且x>5 D．x<－1或x>55．(2012．泰安)二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为 ( )A．－3 B．3 C．－6 D．9 6．（2012．鞍山）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是 ( )A．①④B．①③C．②④D．①②7．二次函数y ＝x 2－mx ＋3的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是_______．8．二次函数y ＝ax 2＋(2a ＋3)x ＋(a ＋1)图象与x 轴只有一个交点，则a ＝_______．9．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法：①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，其中正确的是_______（填写序号）．10．如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b ＋c ＝0；②b>2a ；③ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1；④a －2b ＋c>0．其中正确的命题是_______（只要求填写正确命题的序号）．11．如图，已知函数y ＝－3x与y ＝ax 2＋bx(a>0，b>0)的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋＝0的解为_______．12．(2012．荆门)已知y 关于x 的函数y ＝（k －1）x 2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．13．(2012．泰州)如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－23x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．14．已知点A(1，1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上．(1)用含a的代数式表示b；(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．参考答案1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．A7．4 8．－989．①③④10．①③11．－312．k≤213．(1)y＝－23x2＋43x＋2；(2)－1<x<314．(1)b＝2a； (2)(0，0)或(2，0)。

九年级下二次函数知识点九年级下学期的数学学习中，二次函数是一个非常重要且有趣的知识点。

二次函数的研究对象是二次方程，可以用来描述很多实际问题。

下面，我们将介绍一些关于二次函数的基本概念和应用。

二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

其中，a控制着二次曲线的开口方向和大小，而b则影响了曲线的位置和对称轴的位置。

c则是在坐标系中的纵向平移。

首先，我们来讨论二次函数的图像特点。

当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。

当b=0时，图像在y 轴上对称；当b≠0时，图像在一条竖直线上对称，这条线称为对称轴。

对称轴的方程可以通过求出二次函数的零点来得到。

而零点则是指二次函数与x轴相交的点，也就是函数取零值的x坐标。

在应用方面，二次函数有很多实际的应用。

例如，我们可以使用二次函数来描述物体的自由落体运动。

在自由落体运动中，物体的高度与时间的关系可以通过二次函数来表示。

通过观察二次函数的图像，我们可以得知物体的最高点、最低点以及运动的时间等有用信息。

此外，二次函数还可以用于解决最优化问题。

例如，我们要建立一个矩形花坛，希望围墙的周长最小。

我们可以将矩形的一边设为x，另一边设为y，通过限制条件将问题转化为求解二次函数的极值。

通过计算二次函数的导数，我们可以找到最小值对应的x 和y，从而得到花坛的最优尺寸。

此外，通过对二次函数进行变形和组合，我们还可以得到其他类型的函数。

比如，通过平移和拉伸，我们可以获得平方函数和反比例函数。

平方函数的一般形式是y=ax^2，而反比例函数的一般形式是y=a/x。

这些函数在实际生活中也有着广泛的应用。

在学习二次函数的过程中，我们还需要掌握一些基本的求解方法。

一般来说，求解二次方程可以通过配方法、公式法和因式分解法等多种方法。

每种方法都有其适用的情况，我们需要根据实际问题的特点来选择合适的方法。

最后，在进行二次函数的运算过程中，我们要注意避免一些常见的错误。

初三二次函数的应用二次函数是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

在初三学习二次函数的过程中，我们不仅要学会掌握二次函数的基本性质和图像特点，更要学会应用二次函数解决实际问题。

本文将从数学和实际问题两个方面介绍初三二次函数的应用。

数学应用1. 求解二次方程二次函数的性质之一是关于 x 的二次方程。

利用二次函数图像和性质，我们可以通过求解二次方程来解决一些问题。

例如，已知二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，我们可以通过求解方程 ax^2 + bx + c = 0 来确定函数与 x 轴的交点坐标。

2. 确定二次函数的开口方向和顶点坐标对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，通过观察二次函数的系数 a 的正负可以判断其开口方向，即向上或向下开口；同时可以利用一些关系式来确定二次函数的顶点坐标。

这些知识点的掌握对于正确绘制二次函数图像至关重要。

实际问题的应用初三阶段，我们学习数学的过程中，二次函数的实际应用也是重要的内容之一。

下面将介绍一些常见的二次函数实际问题应用。

1. 抛物线运动在物理学中，抛物线运动是一个常见的问题。

例如，当我们抛出一个物体时，它的轨迹可以用二次函数来描述。

二次函数的顶点就是物体的最高点，通过解析解或图像分析可以得到物体的最大高度、最大飞行距离等信息。

2. 路程问题在解决路程问题时，二次函数也有所应用。

例如，已知某辆汽车的加速度为 a，初始速度为 v0，我们可以通过二次函数模型来描述汽车在 t 秒内的行驶距离 S。

通过求解二次方程可以计算出汽车行驶到某个特定位置的时间 t。

3. 面积问题二次函数的图像与x 轴所围成的图形面积是一个常见的问题。

例如，已知一块矩形底部宽度为 l，上方通过二次函数 y = ax^2 + bx + c 描述，我们可以通过求解二次方程来计算矩形与二次函数曲线所围成的面积。

这种类型的问题在应用数学中经常出现。