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线性代数 居余马 第6章 二次型

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线性代数 第六章二次型

线性代数 第六章二次型

第六章 二次型1、二次型基本概念1º二次型：n 个变量n x x ,,1 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x f 11211221111),,(+++=n n x x a x x a 222112++++…+211n nn n n x a x x a ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x x 21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ∴A A Axx x f T T ==且)( 例如：3221232221453x x x x x x x f -+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=52102132022A 结论：二次型与对称矩阵一一对应，称对称矩阵的秩为对应二次型的秩. 2º标准二次型：22111),(n n n y d y d y y f ++=3º规范二次型：2212211)(q P P p q p z z z z z z f +++-+=++4º秩与惯性指数惯性指数：在标准型或规范型中，正平方项的个数称为正惯性；负平方项的个数称为负惯性指数，且正负惯性指数之和为二次型的秩，正负惯性指数之差称为符号差。

化标准形式规范型：①配方；②合同变换二次型的矩阵的秩，正负惯性指数等相关题目思路：1）Ax x x x x f T n =),,(21 将，则秩f =秩A2）将),,(21n x x x f 用合同变换式配方法化为标准型221121),,(n n n y d y d x x x f ++= 负项的个数＝负惯性指数，秩f ＝平方项个数或化为规范型2221v p z z z f --++= 将 秩v f =正惯性指数为P ，负惯性指数为P v -例1. 1）二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 ，二次型的秩为 3 .2）实二次型2322213213),,(x x x x x x f +-=的秩为 ，正、负惯性指数分别为 例2.设)1()()()()(),,(212222121>++-+++=n x x nx nx nx x x x f n n n则f 的正负惯性指数之和为解：n n n x x x x x n x n f 1212221222)1()1(-----++-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=11111111111111122222222n n n n n n n n n n n A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→22220000111111111111n n n n2、将二次型化为标准形式已知标准形来求参数标准化方法1º配方法原理：配完全平方情形1：有平方项21⨯n a步骤：对所有含1x 的项配方，使得配方后余下的项不含1x ，如此继续，直至每一项均包含在平方项中。

线性代数第六章二次型试题及答案

线性代数第六章二次型试题及答案

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

居于马线性代数第六章答案

居于马线性代数第六章答案

第六章 二次型将下列1-3题的二次型表示成矩阵形式。

1.22(,)467f x y x xy y =-- 解：()2243(,)46737x f x y x xy y xy y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2.222(,,)346f x y z x xy y yz z =+--+解：()222320(,,)346213031x f x y z x xy y yz z xyz y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3.22212341341214232434(,,,)242264f x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++--+解：()12123412343412012013(,,,)01121322x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭4.设n 元二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵1111111111A -⎛⎫⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭， 试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式。

解：22221211222311(,,,)222n n n n n f x x x x x x x x x x x x x --=-+-++-+。

5.若二次型12(,,,)T n f x x x x Ax =对一切12(,,,)T n x x x x =恒有12(,,,)0n f x x x =，证明A 为n 阶零矩阵。

证明：取(0,,1,,0)T i x =(其中第i 个分量为1，其余分量全为零)，则有11()0,1,2,,nnTi i i ij i j ii i j f x x Ax a x x a i n =======∑∑。

再取(0,,1,,1,,0)T ij x =(其中第i 和第j 个分量为1，其余分量全为零)，则有()20,,1,2,,T ij ij ij ij f x x Ax a i j n ====。

6考研基础复习(线性代数)二次型

6考研基础复习(线性代数)二次型


一、二次型的基本内容
3、用正交变换法化二次型为标准形
二 次 型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax 经 过 正 交 变换 x Py （ P 为正交阵）化为：
r
f xT Ax yT (P T AP ) y
di
y
2 i
，
i 1
称为化二次型为标准形的正交变换法.
3、用正交变换法化二次型为标准形
对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
f ( x1 ,, xn ) xT Ax 0 ( 0) ，
则称该二次型为正（负）定二次型，正（负） 定二次型的矩阵 A 称为正（负）定矩阵.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
如果实二次型 f ( x1 ,, xn ) xT Ax ， 对于任意一组不全为零的实数 x ( x1 ,, xn )T ，都有
i 的单位正交特征向量；
3、用正交变换法化二次型为标准形
（4）以 1 , 2 , , t 的单位正交特 征向量为列向量，可构造出正交矩阵 P ，
， P ( p11 , p12 , , pt1 , , ptnt )
P 就是所求的正交变换矩阵，使：
P 1 AP PT AP
为对角阵，其中： diag{1 , , 2 , , , t }.
相似于对角阵 ，即：
PT AP P 1 AP diag{1 , 2 , , n } ， 其中： i 0(i 1,2,n) .
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
③ A 负定； 特征值全负；
一切奇数阶主子式全 0 ， 且一切偶数阶主子式全 0；
一切奇数阶顺序主子式全 0 ， 且一切偶数阶顺序主子式全 0；
z
柱面方程 2 4 2 4 ，求 a, b 的值和正 交矩阵 P .
线性代数第 六章二次型试题及答案

线性代数第 六章二次型试题及答案

相似的矩阵一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩阵不 一定等价。
特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实对称矩阵 都能相 似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根 据相似的传递性，A和B一定相似。
特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。 若A和B都能相似对角化，一定相似。 若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。 若都不能对角化，可能相似，也可能相似。 例题：已知矩阵A和B，判断能否相似，
Abj=0, j=1,2,…,s b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n) 若bj≠0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值λj=0的特征向量 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
AB=CA(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)
Abj=Cj,j=1,2,…,r bj为Ax=Cj的解. C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.
因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以，
，
二、化二次型为标准型
1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数， 然后写出其规范形。
（1）Leabharlann 解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑 成完全平方
=
设，， 标准型：，正惯性指数：，负惯性指数： 规范性：
(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3. 解：f(x1,x2,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3= 设 ，，标准型： 正惯性指数：，负惯性指数：，规范性： (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3. 解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换： ，，， 设： ， 标准型：，规范性： 2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0)，其中A的特征 值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解：二次型的矩阵：，因为， （2）
线性代数课件--第6章.二次型

线性代数课件--第6章.二次型


2 1/ 2 1 0
A 1 / 2
0
0
2
1 0 1 0
0
2
0
5
一个二次型xTAx也可看成n维向量α的一个函数,即
f (α) xTAx
其中x=(x1, x2, … , xn)T是α在Rn的一组基下的坐标向量。
6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵
二次型的矩阵表示
所以二次型xTAx是向量α的n个坐标的二次齐次函数。 因此二次型作为n维向量α的函数，它的矩阵是与一组
6.2 化二次型为标准形
正交变换法 我们在5.3节讲过，对于任一个n阶实对称阵A，一定存 在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=Λ。由于Q-1=QT，所以有
QTAQ=diag(λ1, λ2, …, λn) 因此，对于任一个二次型f(x1, x2, … , xn)=xTAx，有下面 的重要定理。
6.2 化二次型为标准形
正定二次型和正定矩阵 定理：若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价： 1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵） 2）A的正惯性指数为n，即A合同与I 3）存在可逆矩阵P，使得A=PTP 4）A的n个特征值λ1, λ2, …, λn全大于零
6.4 正定二次型和正定矩阵
正定二次型和正定矩阵 定理：若二次型xTAx正定，则 1）A的主对角元aij>0 (i=1,2,…,n) 2）A的行列式|A|>0
f(x1, x2, … , xn)=xTAx=xTBx 则必有A=B。因此，二次型和它的矩阵是相互唯一确定 的。 所以，研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质。
6.1 二次型的定义和矩阵表示、合同矩阵
二次型的矩阵表示
例1：设f(x1, x2, x3, x4)=2x12+x1x2+2x1x3+4x2x4+x32+5x42， 则它的矩阵为
线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f

线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f

第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

线性代数第6章二次型

线性代数第6章二次型


3 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 4 1 25
> > A:=matrix([[1,-1,1],[-1,-3,-3],[1,3,4]]);C:=matrix([[1,1/2,-3/2],[0,1/2,1/2],[0,0,1]]);CTAC:=multiply(transpose(C),A, C);
1 1 2 3 2 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 0 1 3 3 0 2 2 1 3 4 1 0 0 0 2
1 2 1 2 0
3 2 1 2 1
1 0 0 0 0 1 0 0 B. 3
20
§2 化二次型为标准形
一 、用配方法化任意二次型为标准形 二、用正交替换化实系数二次型为标准形
21
一 、用配方法化任意二次型为标准形 2 2 p p 配方法 2 x px q x q . 2 4
2 1 2 2 2 3
则得 f y y 4 y . 反解
x3 y3 , x2 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 , x1 y1 x2 x3 y1 (1/ 2) y2 (1/ 2) y3 y3 y1 (1/ 2) y2 (3 / 2) y3 .
2 n 2 n1
2an1n xn1 xn
5
把二次型写成矩阵形式
a1n x1 a11 a12 a a a x 21 22 2 n 2 f ( x1 , , xn ) ( x1 , , xn ) . ann xn a n1 a n 2 an x1 a11 a12 x a a a 2 21 2 2n X ,A , ann xn a n1 a 2 T f ( X ) X AX . A称为二次型的矩阵.二次型和其矩阵一一对应 6 矩阵A的秩称为二次型的秩.
线性代数教学课件第六章二次型第一节二次型及其矩阵

线性代数教学课件第六章二次型第一节二次型及其矩阵

an2
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则上述二次型可以用矩阵形式表示为
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
8
f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax ,
A称为二次型 f ( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵.
x2
,(Cy,)xT nA)(
xT Ax
Cy ) yT
，得 ( C T AC
)y
yT By
,
其中 B C T AC . 由于 A 是实对称阵，则 B CT AC 也是实对称阵，
于是 yT By 是一个以 y1 , y2 ,, yn 为变量的实二次型.
由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个
(1)求二次型的矩阵A以及A秩;
(2)设二次型 g( x1, x2 ) f ( x1, x2 ,0,0), 求二次型 g的矩阵B.
解 (1)
1 2 1 0
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 3 .
2
0
0 0
10
1 2 1 0 1 2 1 0
2
2
A
2 1
2 0
0 0 3
0 2 0
B
1 2
2 0
.
问：矩阵B 与矩阵A 有什么关系？
12
二、 关系式
（线性替
换）定 义
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x2c21y1 c22 y2 c2n yn
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn xn
(完整版)线性代数第六章实二次型(自考经管类原创)

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正定 半正定 负定 半负定 不定
二、正定矩阵
n元实二次型f xT Ax,及对称矩阵A一一对 应，能够判定A为正定矩阵，则f 必为正定二 次型.正定矩阵有哪些性质，怎样判定？
正定矩阵的性质 定理 对角矩阵为正定矩阵当且仅当中所 有对角元全大于零. 例 E为正定矩阵.
定理(必要条件) 对称矩阵A为正定矩阵，则A 中所有对角元必全部大于零. 反之，若存着对角元aii 0, 则A必然不正定. 例2 f 4x12 6x22 +15x32 x1x2 2x2 x3是否正定？ 定理 正定矩阵的合同矩阵必为正定矩阵. 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
y3 x3
即作可逆变换
x1 x2
y1+2 y2 y2 +y3
+2y3
x3 = y3
x1 1 2 2 y1
即经可逆变换
x2
=
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
将二次型化为标准形y12 6 y22 4 y32
O
定义 规范形中k称为二次型的正惯性指数，k r称 为负惯性指数，正负惯性指数的差2k r称为二次 型的符号差.
定理 对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的 秩和相同的正惯性指数.
线性代数第6章二次型及其标准形

线性代数第6章二次型及其标准形


~y
x x~
定义 含有n个变量 x1, x2 ,, xn 的二次齐次函数
f x1, x2,, xn a11x12 2a12x1x2 2a1n x1xn
a22x22 2a23x2 x3 2a2n x2 xn
ann xn2
称为n维(或n元)的二次型.
关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1,2 ,,n是 f 的矩阵A (aij )的特征值.
P 的列向量是A的相应于特征值的n个两两正交 的单位特征向量。
例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
即
⑵ 只含交叉项
的情形。
例3 用配方法化二次型
为标准形,并求出所作的可逆线性变换.
解令
令
即
则二次型的标准形为
所用的可逆线性变换为
以上说明：
二次型 f X T AX 经过可逆线性变换X CY， 化为标准形的过程 寻找一个与对称矩阵A 合同的对角矩阵B CT AC, 且二次型 f 的秩不变.
r( f ) r( A) 2
问： 在二次型 f xT Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型 f k1 x12 k2 x22 kn xn2
k1
x1
[ x1,, xn ]
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2

《线性代数》第六章二次型(1)


9
( 3) f ( x1 ,, xn ) x1 x2 x2 x3 xn1 xn
解：A 0 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
都为二次型；
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3
为二次型的标准形。
4
取 aij a ji
则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
1 2 3 2
0 3 2 0
2 2 (2) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 2 x2 7 x4 2 x1 x2 2 x2 x3 4 x3 x4
解：
1 1 A 0 0
1 2 1 0
0 1 0 2
0 0 2 7
则线性变换（2）可记作：
X CY
12
则称线性变换（2）是非退化线性变换 若C 是可逆矩阵，
若C 是正交矩阵， 则称线性变换（2）是正交线性变换
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项. 即二次型
f X T AX
i , j 1
a
n
ij
xi x j
经过可逆线性变换 X CY 使得
2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型
13
3. 矩阵的合同

线性代数知识点总结(第6章)

线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。

其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。

（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。

5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。

线性代数 居余马 第6章 二次型

T
第二章 矩阵 13
将(2)式x =Cy 代入，得 x T A x = yT (C T AC)y
2 22 22 22 y1 5 3 2 ( y1 , y2 ) 2 2 22 22 3 5 2 y2 2 2 0 y1 2 2 ( y1 , y2 ) 2 y1 8 y 2 4 y 0 8 2 在{1, 2}坐标系下，方程(1)化为标准方程
2013-5-18
第二章 矩阵
18
6.2.1 正交变换法
定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,,xn)= xTAx ，都存在正交变换 x =Qy (Q为正交 阵)，使得QTAQ= diag( 1, 2, , n) (定理5.12), 从而
x TA x = y T(QTAQ) y =1y12++nyn2 其中1,,n 是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列 向量是A属于1,,n 的n个标准正交的特征向量。
7
解
设 X = (x1 , x2 , x3)T ，则
f (x1 , x2 , x3) = XTAX
5 1 1 x1 ( x1 , x2 , x3 ) 1 1 3 x2 1 3 2 x 3
2 2 2 5 x1 2 x1 x2 2 x1 x3 x2 6 x2 x3 2 x3
1 2
y 2y 1
2 1 2 2
这是一个椭圆
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第二章 矩阵
14
一般二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) x Ax y C ACy
T T T
x Cy

线性代数第六章


2
0
0
x2
1 0 0 x3
因此，f 的矩阵为
1 2 1
A
2
0
0
1 0 0
由于矩阵A的秩为2，从而二次型 f 的秩为2。
定义2 设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表
示,即存在常数cij (i,j=1,2,…,n),使
x1 c11 y1 c12 y2
定理1 (惯性定理) 对于秩为r 的n元二次型
f X AX
不论用什么可逆线性变换，把f 化为标准形，其中正
平方项的个数p和负平方项的个数q都是唯一确定的， 且p+q=r .
定义1 在二次型f (x1,x2,..., xn)=X'AX的标准形中， 正平方项的个数p称为二次型 f 的正惯性指数，负平 方项的个数q=r-p称为二次型 f 的负惯性指数，它们 的差p-q称为二次型 f 的符号差。
h(0, 0,1) 0
根据定义1，可得以下两个结论：
(结论1) 标准形实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) k1 x12 k2 x22
kn xn2
正定的充要条件是 ki 0 (i 1, 2, , n)
(结论2) 实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) X AX
定义1 实二次型f (x1, x2 ,... , xn)=X'AX，如果对任意
的非零向量X = (x1, x2, ... , xn) ' , 都有 f (x1, x2, ... , xn)>0 (或 f (x1, x2, ... , xn)<0), 则称
二次型 f 为正定（或负定）二次型，其对应的矩 阵A称为正定（或负定）矩阵，记为 A>0（或

线性代数 第六章 二次型 3


三.正定二次型
称A为正定矩阵 . 注：正定矩阵都是对称 矩阵 2 2 2 例：x1 2x2 nxn 是正定二次型
2 1 2 2 2 3
例：f ( X) x x x 不是正定二次型 0 对 于X 0 1 f ( X0 ) 1 0 0
例：
k阶顺序主子式：
取A的前k行及前 k列构成的子式
n阶矩阵共有几个顺序主 子式？
| Ai | 0 充要条件 6 :A正定 A的所有顺序主子式
证：" " 设A正定， 先证Ai也正定， T Xi (x1 , x2 ,, xi ) ,
Xi 则X (x1 , x2 ,, xi， 0， ， 0) T A正定, X AX 0, Ai Xi T T 设A ( Xi , )A 0
二次型化成标准型的方 法一：正交替换法 二次型化成标准型的方 法二：配方法 二次型化成标准型的方 法三：初等变换法
定 理2： 任 一 二 次 型 都 可 经 退 非化 线 性 替 换 化 成 规型 范， 且规范型唯一
正惯性指标、负惯性指 标、符号差
c1 c 2 T X0 1.定义： 对于f ( X) X AX，若 任 意 T T c 恒有X0 AX0 0, 则称X AX为正定的 , n
是实数， A是n阶实对称阵，
2 0
A是正定的
(三重特征值 )
k阶 主 子 式 ： 取A的k行及标号相同的 k列,
1 6 A 2 0 3 2 7 3 2 4 3 8 5 1 2 4 9 7 3 3 5 0 1 1 0
位于这些行列交叉点处 的元素构成的 k阶子式
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f() = x TA x = yT(C TA C)y ,
B = C TA C
故 f() 在基B1和B2下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C
yT(CTA C)y 是 y1,y2,,yn 的一个二次型。
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第二章 矩阵
11
例2 设向量在自然基{1, 2} 下的坐标 x=(x1, x2)T 满足 2 2
T
第二章 矩阵 12
将(2)式x =Cy 代入，得
x T A x = yT (C T AC)y
2 2 2 22 y1 5 3 2 2 2 ( y1 , y2 ) y 2 2 2 2 2 2 3 5 2 2 2 2 0 y1 2 2 ( y1 , y2 ) 2 y 8 y y 1 2 4 0 8 2 在{1, 2}坐标系下，方程(1)化为标准方程
2018/10/17
第二章 矩阵
17
6.2.1 正交变换法
定理6.1（主轴定理） 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,,xn)= xTAx ，都存在正交变换 x =Qy (Q为正交 阵)，使得QTAQ= diag( 1, 2, , n) (定理5.12), 从而
x TA x = y T(QTAQ) y =1y12++nyn2 其中1,,n 是实对称矩阵A的n个特征值，Q的n个列 向量是A属于1,,n 的n个标准正交的特征向量。
化为标准方程（只含平方项和常数项）。
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第二章 矩阵
21
解 将(1)式中二次项部分
xT Ax x2 2 y2 10z 2 28xy 8 yz 20xz
(2)
用类似例1的正交变换法化为平方和。 取正交矩阵
13 2 T 3 2 3
2 1 2
配方得
1 2 1 2 4 2 ( x 3 ) 2( y 3 ) 2( z 3 ) 1
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第二章 矩阵
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再令
x ( x 1 3) 1 y ( y 3) z ( z 4 ) 3
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第二章 矩阵
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6.2 化二次型为标准形
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第二章 矩阵
16
T T 2 2 a x x d y d y x Ax y C ACy ij i j 1 1 2 2 T
n
n
x Cy C 0
i 1 j 1
2 dn yn
二次型化为不含混合项只含平方项的二次型，这 种二次型称其为标准形。 化二次型为标准形共有三种方法：正交变换法， 配方法和初等变换法。
若 A, B都 是实对称矩阵, 且对应的二次型 相同，即
xT Ax aij xi x j bij xi x j xT Bx
i 1 j 1
n
n
n
n
i 1 j 1
则 A=B。
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第二章 矩阵
8
证明：
先取x为单位向量 ei = (0, ,1, ,0)T (第i个分
5 x1 5 x2 6 x1 x2 4
(1)
若做基变换，把{1, 2}逆时针旋转45 变成{1, 2,} 即 cos 45 sin 45 (1 , 2 ) (1 , 2 )
sin 45 cos 45
则在 {1, 2,}下的坐标 y=(y1, y2)T 满足
1 2
2018/10/17 第二章 矩阵 19
用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得
1
5 5
2,
1, 0 , 2
T
1 3
5 15
2,
T
4, 5
T
2=10 时，得 3 1, 2, 2
取正交矩阵
2 5 5 5 T 1 , 2 , 3 5 0
6
解
设 X = (x1 , x2 , x3)T ，则
f (x1 , x2 , x3) = XTAX
5 1 1 x1 ( x1 , x2 , x3 ) 1 1 3 x2 1 x 3 2 3
2 2 2 5 x1 2 x1 x2 2 x1 x3 x2 6 x2 x3 2 x3
第二章 矩阵
14
定义6.2
对矩阵Aห้องสมุดไป่ตู้B, 如果存在可逆矩阵C ，使得
B= CTA C， 就称矩阵A 相合(或合同)于B ,
（记作A ≃ B)。
矩阵的相合关系是一种等价关系，具有以下性质： (1) 自反性， A Mn(F), A ≃ A； (2) 对称性， A, B Mn(F), 若A ≃ B, 则 B ≃ A； (3) 传递性， A, B, C Mn(F), 若A ≃ B, B ≃ C，则 A≃C。
1 2
y 2y 1
2 1 2 2
这是一个椭圆
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第二章 矩阵
13
一般二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) x Ax y C ACy
T T T
x Cy
d y d y d y
2 1 1 2 2 2
2 n n
即找矩阵C，使B =CTA C 为对角阵。
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3 3 3
2 3 1 3
2 3
令x = T y, 其中 x=(x, y, z)T, y=(x', y ', z ', )T
2 2 x y x 1 3 3 3 z 1 2 x Ty , 即 y 2 x y 3 3 3 z z 2 x 2 y 1 z 3 3 3
第二章 矩阵
1
6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵
定义6.1 n元变量x1,x2,,xn的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 , , xn ) a x 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
2 11 1
2a1n x1 xn
a x 2a23 x2 x3
2 22 2
量为1, 其余为 0)，代入上式得
aii=bii (i=1, 2, , n) 再取 x 为向量 eij = (0, ,1, ,1, ,0)T(第 i, j个分 量为1, 其余为0)，代入上式得 aij=bij (ij)
2018/10/17
第二章 矩阵
9
例1 设
2 f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 x12 x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x4 x3 5 x42
x1 cos 45 x x2 sin 45 sin 45 y1 Cy cos 45 y2
(2)
(1)式用矩阵表示为
2018/10/17
5 3 x1 x Ax ( x1 , x2 ) 4 3 5 x2
(3)
2018/10/17
第二章 矩阵
22
则 则
T1AT = diag (9, 18, 18) x TA x = yT(TTAT)y=9 x'2+18 y'2 18z' 2
将(3)式代入(1)式的一次项部分，曲面方程化为
38 4 16 x2 2 y2 2z2 2 x y z 3 3 3 9 0
i 1 j 1 i 1 j 1
f xi aij x j
i 1 j 1
n
n
[ x1 , x2 ,
a11 x1 a12 x2 a x a x , xn ] 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2
a11 a12 a a22 21 , xn ] an1 an 2
2 5 4 5 5
15 15
3
2 3 2 3
1 3
则T1AT = diag(1, 1, 10) x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32
2018/10/17
第二章 矩阵
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例2
将一般二次曲面方程
x2 2 y2 10z 2 28 xy 8 yz 20 xz 26 x 32 y 28z 38 0 (1)
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1 2 3 3 4 2 4 1 0 2 0 4
第二章 矩阵 5
例
已知矩阵
5 1 1 A 1 1 3 1 3 2
求 A 对应的二次型 f (x1 , x2 , x3) .
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第二章 矩阵
例１ 用正交变换化二次型 2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 4x1x2 4x1x3 5x2 8x2 x3 5x3 为标准型。 解
2 2 2 A 2 5 4 2 4 5
2 2 2 I A 2 5 4 ( 1)2 ( 10) 0 2 4 5 1 1(二重) 所以 ，1=1时，有线性无关的特征 得 2 10 T T 向量x =(2, 1, 0) , x =(2, 0, 1) 。
2a2 n x2 xn

a x
2 nn n
其中系数是数域F 中的数，叫做数域F上的n 元二次型 （简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。
2018/10/17
第二章 矩阵
2
如果令aji = aij (1i<jn) ，则上式可以表示为