线性代数-答案-第5章

第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。

定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。

性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。

由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。

第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

线性代数（中国石油大学（华东））知到章节测试答案智慧树2023年最新第一章测试1.二阶行列的乘积项中的元素可以取自同一行.参考答案:错2.参考答案:123.参考答案:4.参考答案:5.齐次线性方程组的系数行列式等于零，则解是唯一的。

参考答案:错6.线性方程组的系数行列式不等于零，则解可能不唯一。

参考答案:错7.齐次线性方程组的存在非零解，则系数行列式一定等于零。

参考答案:对8.一次对换改变排列的一次奇偶性。

参考答案:对9.两个同阶行列式相加，等于对应位置的元素相加后的行列式。

参考答案:错10.克莱默法则对于齐次线性方程组而言，方程的个数可以不等于未知数的个数。

参考答案:错第二章测试1.因为零矩阵的每个元素都为零，所以零矩阵相等。

参考答案:错2.参考答案:错3.参考答案:4.参考答案:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方5.参考答案:错6.对角矩阵就是对角线上的元不全为零的方阵。

参考答案:错7.矩阵的加法与行列式加法相同。

参考答案:错8.参考答案:对9.上三角矩阵的伴随矩阵仍是上三角矩阵。

参考答案:对10.可逆上三角矩阵的逆矩阵仍为上三角矩阵。

对第三章测试1.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算。

参考答案:对2.三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面。

参考答案:对3.n个n维向量线性无关可以推出它们构成的方阵的行列式等于零。

参考答案:错4.一个向量空间的基就是一个最大线性无关组。

对5.向量组线性无关的充分必要条件是其个数等于向量组的秩。

参考答案:对6.参考答案:错7.参考答案:错8.参考答案:错9.参考答案:错10.参考答案:A的秩小于等于3第四章测试1.任意两个齐次线性方程组解的和仍为这个线性方程组的解。

（）参考答案:对2.参考答案:（A b）是增广矩阵3.参考答案:14.只要系数矩阵一样，则非齐次和齐次方程组具有相同的基础解系.参考答案:错5.参考答案:对6.任意齐次线性方程组解的常数倍，仍为这个线性方程组的解。

第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。

第一章 矩阵作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一、选择题 (每小题5分，共20分)1． 设A 为任意n 阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。

（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T2．设n 阶矩阵A ,B 是可交换的，即BA AB =，则不正确的结论是（ D ）。

（A ）当A ,B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）2222)(B AB A B A ++=+ （C ）22))((B A B A B A -=-+（D ）当A ,B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵3．设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =，则（ A）。

（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ，a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)1．已知úûùêëé--=1121A ，试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明：E A A A n nn -+=³-223时，(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以，设解：4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r ）（）（解：úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r ）（）（）（）（úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一．计算下列行列式：(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =， 求4D 的值． 解：得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二．计算题：(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =，且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式，求中元素是33D a D M ij ij ．得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和．3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A ．4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆，则求a 的值．三．（10分）问m l 、取何值时，齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解？零解。

第4，5章 综合练习题 一、填空题1.已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，100B 01000a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的一个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的一个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦有二重特征值1，则A 的另一个特征值是______.5．二元二次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的一个特征值为0，则A =7. 二次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α ，则与21,αα 等价的正交向量组为___________.12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. 用配方法把二次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .二、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性无关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同一个对角矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(B)120210002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(C)120240001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (D)200012023⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同一个对角矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7． 二次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8． 设001A 010100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ； （C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 都不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征值 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭成立的P 是（ ）（A ）（123,,ααα） （B）（132,,ααα） （C）（321,,ααα） （D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（ ）（A）存在非奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对角矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（ ），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式 （D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同 14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（ ）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零 （D）各阶顺序主子式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成立的为（ ）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ）A. A 的任n 个特征向量线性无关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性无关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶方阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不一定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（ ） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（ ）（A）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（B）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ）1001⎛⎫ ⎪⎝⎭；（D）11222⎛⎫⎪-⎝⎭ 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 同时可逆或不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征向量 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶方阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（ ）。

习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭；2）123213336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3）001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4）310410482⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭。

并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。

解：1）11(2)(3)24λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。

当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当3λ=时 ，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。

2）123213(1)(9)336λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。

当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。

当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

3）201010(1)(1)10λλλλλ--=+--，特征值1,1λ=- 。

当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。

故属于1λ=的特征向量为1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。

当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

4）2310410(1)(2)482λλλλλ--+=-+-+ ，特征值1,2λ=- 。

当1λ=时， 1(3,6,20)η'=- ，故属于1λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当2λ=-时， 2(0,0,1)η'= ，故属于2λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。

线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名1．按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）τ(3421)= 5 ; （2）τ(135642)= 6 ;（3）τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+（2 n-2）= n （n-1）.2．由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列，则i= 8 、j= 3 .3．在四阶行列式中，项12233441a a a a 的符号为 负 .4．00342215= －24 .5．计算下列行列式：（1）122212221-----= －1＋（－8）＋（－8）－（－4）－（－4）―（－4）= －5或（2）111111λλλ---= －3λ＋1＋1－（－λ）－（－λ）―（－λ） = －3λ＋3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1．已知3阶行列式det()ij a =1，则行列式det()ij a -= －1 . 3(1)11-⋅=-2． 1112344916= 2 .3．已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1，1，1，1替换第4行4． 计算下列行列式： (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5．计算下列n 阶行列式：(1)n xa a a x a D aax=（每行都加到第一行，并提公因式。

）(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名 1．设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解，则λ满足的条件是什么？1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解，求λ的值。

第一章 行列式一 填空题1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为 （n-1）！2.行列式12n λλλ=(1)212(1)n n n λλλ--3. 行列式1112131422232433344400a a a a a a a a a a 的值11223344a a a a4.在n 阶行列式A =|ij a |中,若j i <时, ij a =0(j i ,=1,2,…,n),则A =1122nna a a解: A 其实为下三角形行列式. 5. 排列134782695的逆序数为 10 . 解：0+0+0+0+0+4+2+0+4=106. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) . 解：127435689的逆序数为5，127485639的逆序数为107. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为 -a 12a 21a 33a 44 . 解：四阶行列式中包含a 12和a 21的项只有-a 12a 21a 33a 44和a 12a 21a 43a 348.在函数xx xx x x f 21112)(---=中,3x 的系数为 -2 解: 行列式展开式中只有对角线展开项为3x 项.9. 行 列 式xx x x x 2213212113215 含 4x 的项410x解：含4x 的 项 应 为4443322111025x x x x x a a a a =⋅⋅⋅=.10. 若n 阶行列式ij a 每行元素之和均为零，则ij a = 0解：利用行列式性质：把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变11. =5678901201140010302001000 120 .解：将最后一行一次与其前一行互换的到三角行列式12.行列式ccb ba a ------1111111的值是 1 。

解ccb ba a------1111111=1011111a b b cc----=101111a b cc--=1010101abc =113. 行 列 式210000121000002100001200000121012-------- 的 值是 27 。

习 题 5-11．把下列二次型化为矩阵形式：（1）322121321255),,(x x x x x x x x f +-=；（2）),,(321x x x f 323121233284434x x x x x x x x +-+-=； （3）4332312143212),,,(x x x x x x x x x x x x f ++-=；（4）433231232121432142232),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++-++=．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=321321*********50255),,(),,(x x x x x x x x x f （2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=321321321342442220),,(),,(x x x x x x x x x f （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321432143210210021012101021021210),,,(),,,(x x x x x x x x x x x x f （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4321432143210200231101010111),,,(),,,(x x x x x x x x x x x x f 2．写出下列二次型的矩阵，并求二次型矩阵的秩： （1）2221212124),(x x x x x x f ++=；（2）3222312121321664),,(x x x x x x x x x x x f --++=．解：（1）二次型),(21x x f 的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2221A ∵02≠-=A ，∴∵02≠-=A ，2)(=A R（2）二次型),,(321x x x f 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=033312321A∵036≠-=A ，∴3)(=A R3．写出下列矩阵所代表的二次型：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=510142021A ； （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111101111011110A ．4．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x ax x x x x x f -+-++= 的秩为2，求参数a 及此二次型对应的矩阵．解：二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=a A 33351315对应的行列式722445459925-=---++=a a a A有由于矩阵2)(=A R ，所以0=A ，即3=a∴二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=333351315A习 题 5-21．用配方法化下列二次型为标准形，并写出所作的可逆线性变换： （1）31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++=；（2）32312123222132162252),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=； （3）213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f -+-+-=．解：（1）31212221321222),,(x x x x x x x x x f -++=312221222122x x x x x x x -+++=222332233212212])(2)[(x x x x x x x x x x +-+++-+= 23233222232122)(x x x x x x x x -+++-+=2323223212)()(x x x x x x -++-+=令 333223211x y x x y x x x y =+=++= 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=33322211yx y y x y y x二次型化标准型 232221y y y f ++= 可逆线性变换为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=33322211yx y y x y y x（2）32312123222132162252),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=2332222332312221214422)2(x x x x x x x x x x x x x ++++++++= 232332321233222233212210)2()(44])(2)[(xx x x x x x x x x x x x x x x ⋅+++++=+++++++=令 3332232112x y x x y x x x y =+=++= 二次型化标准型 2221y y f +=可逆线性变换为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=3332232112yx y y x y y y x（3）213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f -+-+-=233132222121222222x x x x x x x x x +--+-=()2332222332122212123313222222121223412121241222223)41(2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--++-=()23223321221232121212212x x x x x x x x -+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=()23223212321212x x x x x -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=令 3332232112121x y x x y x x x y =-=--= 则二次型化标准型 2221232y y f += 可逆线性变换为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=33322321121yx y y x y y y x2．求一个正交变换化下列二次型为标准形： （1）322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=；（2）3231212322213214844),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=； （3）32312123222132184444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=； （4）4321432122),,,(x x x x x x x x f -=；（5）4342324131214321222222),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x f ++-+=－．解：（1）二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A它的特征多项式为)1)(5)(2(32230002λλλλλλλ---=---=-E A于是A 的特征值为152321===λλλ当2=λ时⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001000101202100002E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011q ，已单位化11q p =当5=λ时⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001100012202200035E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102q ，将其单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110212p当1=λ时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001220220001E A得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103q ，将其单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110213p于是所求得正交变换为Py x =，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2121021210001P且标准型为23222152y y y f ++=。

线性代数习题解答I目录第一章行列式 (1)第二章矩阵 (22)第三章向量组的线性相关性 (50)第四章线性方程组 (69)第五章矩阵的相似对角化 (91)第六章二次型 (114)附录：习题参考答案 (129)I教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010第一章行列式1．填空题：比较系数可得：x1 x2 x3 0 ，x1x2 x3q2（1）3421 的逆序数为 5 ；解：该排列的逆序数为 t 0 0 2 3 5.2） 517924 的逆序数为 7 0 1 0 0 3 3 7.25 1 3 0 1 1 2 0 46 5 4 3 2= (a ) 1 0 0 7 81 1 1 3 2解：该排列的逆序数为 t3）设有行列式D含因子a 12a 31a45 的项为 -1440， 0 解： ( 1)t(23154)a 12a 23a 31a 45a 54 ( 1)35 2 t(24153) 4( 1) a 12a 24a 31a 45a 53 ( 1) 5 0 6 8（4）若 n阶行列式 D(aij )a,则D 解： Q 行列式 D中每一 行可提出一 个公因子 D ( a ij ) n 1 (a ij) n1 a. 1 1 11 1 22x（5）设 f2，则 f 1 4 4 x 21 8 8 x 3解： f （x ） 是一个 Vandermonde 行列式， f(x) (x 2)(x 2)( 2 1)( 2所以 D 含因子 a 12a 31a45 的项为 -1440 和 0. 6）设 x 1,x 2,x 3是方程x 36 8 3 144010 ( a ij )1 a ；1，0 的根为1，2，-22)(2 1) 0的根为 1，2， -2.px q 0 的三个根，则行列式x 1 x 3 x2x 2 x 1 x3x 3 x 2 x1解：根据条件有 x 3px q (x x 1)(x x 2)(x x 3)x 2 x 3)x 2ax x 1 x 2x 3比较系数可得：x1 x2 x3 0 ，x1x2 x3q1,2.1234 6543002x 0033x 2.3 x 1 px 1q3x 2 px 2 q3x 3px 3q再根据条件得：3 x33x 1x 2x33含有 x 3的项只可能是 xA 41xA 41 x( 1)4 1xa33x x a12a 34a13a 24 a 22a 33a13a 22a 34a12a 24a 331 2 3 49)如果 6 5 4 3=0 ，则 x = 20 0 2 x0 0 3 3Q xA 41 不含 x 3项，原行列式 =x 12 3x 32p(x 1 x 2 x 3) 3q 3 ( q) 0.7) 设有行列式=0， x =1，2解：x 23x 2 (x 1)(x 2) 08) a11 a12 a13a 21 a22xa31xa33xa42a43f (x) a11 A11，则多项式 f(x) 中x 3的系数为 f(x) 中 x 3的系数为 0.122x6533解：设f(x)a21 A 21 a 31 A 31 xA 41 ，解：按第一列展a34a24 a44(5 12)(6 3x) 081 2212 38 0 A 160 0 0 a10) b 0 0 0 = -abcd0 c 0 00 0 d 0解：将行列式按第一行展开： 000a b000 0c00 00d0b00 a ( 1)140 c0 00d abcd.11）如果 解： b3 c33r 3b3 c3r22r 3a11 a12 a132a112a12 2a12 2a1312）如 a21 a 22 a23 =2，则 2a 212a 22 2a22 2a23a31 a 32a332a 312a 322a 322a332a 11 a21 3a11 a21 a31 2a 12 a 22 3a 12 a 22 a32 2a 13 a233a13a23a33a11 a12解： Aa21 a22a 31a322a 11 2a122a122a21 2a 22 2a222a312322a32a23 a 332a332a23 a132a13 1.-160 00 2-4 ，a11 a21 a31 1a12 a 22 a32 2a 13a 23a333a11A Ta12 a 1322a22 a 2323a32 a33-42a11 a 21 3a11 a21 a312a12 a22 3a12 a22 a322a13 a23 3a13 a23 a33代数余子式之和为 = ab按第二行展开b A21 A22 L A2n a 0 b 0,且A21 A22 L A2n 0A21 A22L A2 a n b实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和a11 a12 a13 a14如果0a22 a23 a24（14=1，则0 a32 a33 a340 a42 a43 a44 a11 a22 a32 a421a23 a33 a43a11 ；a24 a34 a44A i1 A i 2L aA in ,i a22 a23 a24a32 a33 a34 -1 ，a42 a43 a44a12 a23 a24a22 a23 a24a32 a33 a34 ，则31 2 AT0 0 0 2 a11 a21 a311 a12 a22 a322 a13 a23 a333（13）设n 阶行列式按第一行展开2（-1）1 4A T4.D =a 0 ，且D 中的每列的元素之和为则行列式D 中的第二行的a11 a12L解：a21 a22 LM Ma n1 a n2 La12 LbL Ma n2 La1nbMa nn1=bMa n1a121Ma n2a1n1Ma nn解：令Ba11 b M a n1解：方法一： A 14 2A 24 3A 34 4A 44 可看成 D 中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为 0.1 2 31方法二： A142 3 42 推论12A 24 3A 34 4A443 4 13 0.4 11234a bcd（17 ）设 D c b d a =(a ij ) ，d bcaA ij 表示元素 a ij 的代数余子a b d cA14 A 24 A 34A44；a11a12 a13 a140 a 22 a23 a24 0 a 32 a 33 a34 0 a 42 a 43 a44 0 a 22 a 23 a24 0 a 32 a 33 a34 0a 42 a 43 a44 a11a 12a 23a24a 11 ( 1)1 1B 1a 11 0,且 Ba 11 ( 1)4 1B a 11 B 11a11a 22 a32 a42 a 23a 33 a43 a 24a 34a441a1115）设有行列式则元素 1的余子式 M 21=232x 31 ，元素2 的代数余子011 2 3 416 )设 D 2 3 4 13 4 1 24 1 2 3（a ij ） ， A ij 表示元素 a ij 的代数余子式，则B T式A 12 =A14 2A 24 3A 34 4A44解： A14 A 24 abc1c bd 1 推论 40.dbc1 54 3 2 x 04 3 2 x 0 018)设 f (x) 32 x 0 0 05 20 0 0 0 ，则 x 5的系x x 0 0 0 0 0 00 0 0 0 6abd1解：方法 5 4 3 2 x 05 4 3 2 x 4 3 2 x 0 0 4 3 2 x 0 3 2 x 0 0 06 3 2 x 0 0 2 x 0 0 0 0 2 x 0 0 0 x 0 0 0 0 0 x 0 00 0 0 0 0 6f(x )6 Q f(x) 只有一项非541)2( 1)6x55 44 3 f(x) 3 22 xx 0 0 0方法二： 3 2 x 02 x 0 0x 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 0 6 t 543216a15a 24a 33a 42a 51a 6610 2 5 5 ( 1)10 ( 1)2 x 5 6 6x 5综上所述： x 5的系数为 6.19) 设 Da 11a12K a1ma21 a 22 K a2mM M LMa11a12Ka m1 am2K a mm ，且 a 21 a22K b1n c 11c 12 Kc1mM M L b2n c 21c 22 Kc2ma m1 am2 K M M M LMb nnc n1 c n2 K cnmb 11 b 12 K b 21 b 22 KM M L b n1 b n2 K a1mMamm1 b12Knb21 Mb22 Mb2nMb ，mn1 ab ；a11 a12 L a1mb11 b12 L b1n 解：方法一：令 A a 21a 22La2ma ， Bb 21b22Lb2nMMM M MMam1 am2L ammbn1bn2Lbnnbnnbn1bn2则D1 证明： ab , D 2mnA B1mnab根据行列式性质 2和 5，将行列式 A变成下三角行列式，得到：a 11 a 12 La 21 a 22 L M Ma m1 a m2 LAa 1m a2m Mamm a 1 a 21 a 2 M MOa m1 a m2 L a m a 1a 2 L a行列式 D 1 、 D2的变换和行列式 A的变换完全相同，得到： a 1 a21 a2 D1MOam1 am2 L amc11 c 12 L c1m b11c 21c 22Lc 2mb21MMMM cn1cn2Lcnmbn1b12bn2b1n b2nMbnn1a1a21Ma2MOD2 a m1 a m2L a m b11 b12L b1n c11 c12 L c1m b21 b22L b2n c21 c22 L c2mMMb n1 b n2 b nnc n2 c nm分别将D1、D2第一次按第一行展开（a2 变成第一行）第二次按第二行展开（a3变成第行），总共进行m 次第一行展开，得到：D1 a1a2L a m ab；D2 a1 1a2n1L a mn1 mnAB mn ab证毕.方法二：设其中：d ijaijm m， B b pq nnDACOd ijBijm n m na ij ,i 1: m, j 1 :mb pq,i m 1: m n, j m1:m n,p i m,q j mc pj ,i m 1: m n, j 1: m,p imA那么：t p1L p m p m 1Lpmp1 ,L ,p m1,L,m nd1p1L d mpmd m 1,pm 1Ld m n,p m nt p1L p m l1Lmla1p1 a mp m b1l 1L b nl np1,L ,pml1,L ,lm1,L ,m1,L ,np1Lpna1 p1 a mp ml1Ll b1l1L b nl n,mp1,L ,p m 1,Ll 1 ,L ,lm1,L ,np1L pnp 1,L ,pm1,L ,ma1p1L a mpm1t l1Ll nAB ab l1,L ,lm1,L,nb1l1 L b nl n2．选择题总共进行了 mn 次对换。

第五章 相似矩阵及二次型一、 是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组kαα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. (√)2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. (√)3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. (√)4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. (√)5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. (√)6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. (×) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. (×) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . (√) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式).(√)11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. (×) 12. T A 与A 的特征值相同. (√)13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. (×) 14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B有相同的特征值. (√)15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. (√)16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. (√) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√)18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (√)19. 实对称阵A 与对角阵 Λ相似：Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。

第五章n 维向量空间习题一1． 解：a-b = a+(-b)= (1,1,0)T +(0,-1,-1)T = (1,0,-1)T3a+2b-c = 3a+2b+(-c)= (3,3,0)T +(0,2,2)T +(-3,-4,0)T = (0,1,2)T2． 解： 3(a 1-a)+2(a 2+a) = 5(a 3+a) 3a 1+2a 2+(-3+2)a = 5a 3+5a 3a 1+2a 2+(-a) = 5a 3+5a3a 1+2a 2+(-a)+a+(-5)a 3 = 5a 3+5a+a+(-5)a 3 3a 1+2a 2+(-5)a 3 = 6a61[3a 1+2a 2+(-5)a 3] = 61⨯6a 21a 1+31a 2+(-65)a 3 = a将a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,-1,1)T 代入a =21a 1+31a 2+(-65)a 3 中可得： a=(1,2,3,4)T .3． (1) V 1是向量空间.由(0,0,…,0)∈V 1知V 1非空.设a=(x 1,x 2,…,x n )∈V 1,b=(y 1,y 2,…,y n )∈V 1,则有x 1+x 2+…+x n =0，y 1+y 2+…+y n =0.因为(x 1+y 1)+(x 2+y 2)+…+(x n +y n )= (x 1+x 2+…+x n )+( y 1+y 2+…+y n )=0所以a+b=( x 1+y 1,x 2+y 2,…,x n +y n )∈V 1.对于k ∈R ，有 kx 1+kx 2+…+kx n =k(x 1+x 2+…+x n )=0所以ka=( kx 1,kx 2,…,kx n ) ∈V 1.因此V 1是向量空间.(2) V 2不是向量空间.因为取a=(1, x 2,…,x n )∈V 2 ,b=(1, y 2,…,y n )∈V 2,但a+b=(2, x 2+y 2,…,x n +y n )∉V 2.因此V 2不是向量空间.习 题 二1． 求向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式：(1) 解：设向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3+k 4a 4其中, k 1,k 2,k 3,k 4为待定常数.则将b=(0,2,0,-1)T ,a 1=(1,1,1,1)T ,a 2=(1,1,1,0)T ,a 3=(1,1,0,0)T ,a 4=(1,0,0,0)T 向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式中可得： (0,2,0,-1)T =k 1(1,1,1,1)T +k 2(1,1,1,0)T +k 3(1,1,0,0)T +k 4(1,0,0,0)T根据对分量相等可得下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====++++++1201213214321k k k k k k k k k k解此方程组可得：k 1=－1,k 2=1,k 3=2,k 4=－2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－a 1+a 2+2a 3－2a 4 .(2) 与(1)类似可有下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=+++++++++121332223212143214321k k k k k k k k k k k k k由方程组中的第一和第二个方程易解得：k 2=4,于是依次可解得：k 1=-2,k 3=-9, k 4=2.因此向量b 关于向量组a 1,a 2,a 3,a 4的线性组合表达式为： b=－2a 1+4a 2－9a 3+2a 4 .2．(1) 解：因为向量组中向量的个数大于每个向量的维数，由推论2知a 1,a 2 ,a 3,a 4线性相关.(2) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400510111220510111331621111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.(3) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00021011142012601117131442111321a a a因为()32321<=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性相关. (4) 解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=500410111320410111211301111321a a a因为()3321=a a a R所以a 1,a 2,a 3线性无关.3. 证明：假设有常数k 1,k 2,k 3,使 k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3=0又由于b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,b 3=a 1+a 2+a 3,于是可得 k 1a 1+k 2(a 1+a 2)+k 3(a 1+a 2+a 3)=0 即(k 1+k 2+k 3)a 1+ (k 2+k 3)a 2+k 3a 3=0 因为a 1,a 2,a 3线性无关，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧===000321k k k因此向量组b 1,b 2,b 3线性无关.4. 设存在常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0因为b 1=a 1+a 2,b 2= a 2+a 3,b 3=a 3+a 4,b 4= a 4+a 1 于是可得：k 1 (a 1+a 2)+k 2(a 2+a 3)+k 3(a 3+a 4)+k 4(a 4+a 1)=0 整理得：(k 1+k 4)a 1+ (k 2+k 1)a 2+(k 2+k 3)a 3+(k 3+k 4)a 4=0， （下用两种方法解）法 一：因为a 1,a 2,a 3,a 4为同维向量，则 (1) 当向量组a 1,a 2,a 3,a 4线性无关时，k 1+k 4=0， k 2+k 1=0，k 2+k 3=0，k 3+k 4=0可解得：k 2=- k 1，k 4=- k 1，k 3=k 1取k 1≠0可得不为0的常数k 1,k 2,k 3,k 4使k 1b 1+k 2b 2+k 3b 3+k 4b 4=0 因此b 1,b 2,b 3,b 4线性相关。