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第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。
（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。
线性代数（中国石油大学（华东））知到章节测试答案智慧树2023年最新第一章测试1.二阶行列的乘积项中的元素可以取自同一行.参考答案:错2.参考答案:123.参考答案:4.参考答案:5.齐次线性方程组的系数行列式等于零，则解是唯一的。
参考答案:错6.线性方程组的系数行列式不等于零，则解可能不唯一。
参考答案:错7.齐次线性方程组的存在非零解，则系数行列式一定等于零。
参考答案:对8.一次对换改变排列的一次奇偶性。
参考答案:对9.两个同阶行列式相加，等于对应位置的元素相加后的行列式。
参考答案:错10.克莱默法则对于齐次线性方程组而言，方程的个数可以不等于未知数的个数。
参考答案:错第二章测试1.因为零矩阵的每个元素都为零，所以零矩阵相等。
参考答案:错2.参考答案:错3.参考答案:4.参考答案:A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方5.参考答案:错6.对角矩阵就是对角线上的元不全为零的方阵。
参考答案:错7.矩阵的加法与行列式加法相同。
参考答案:错8.参考答案:对9.上三角矩阵的伴随矩阵仍是上三角矩阵。
参考答案:对10.可逆上三角矩阵的逆矩阵仍为上三角矩阵。
对第三章测试1.行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算。
参考答案:对2.三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面。
参考答案:对3.n个n维向量线性无关可以推出它们构成的方阵的行列式等于零。
参考答案:错4.一个向量空间的基就是一个最大线性无关组。
对5.向量组线性无关的充分必要条件是其个数等于向量组的秩。
参考答案:对6.参考答案:错7.参考答案:错8.参考答案:错9.参考答案:错10.参考答案:A的秩小于等于3第四章测试1.任意两个齐次线性方程组解的和仍为这个线性方程组的解。
（）参考答案:对2.参考答案:（A b）是增广矩阵3.参考答案:14.只要系数矩阵一样，则非齐次和齐次方程组具有相同的基础解系.参考答案:错5.参考答案:对6.任意齐次线性方程组解的常数倍，仍为这个线性方程组的解。
第五章 相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章 参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解 系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。
第一章 矩阵作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一、选择题 (每小题5分，共20分)1． 设A 为任意n 阶矩阵，下列4项中（ B ）是反对称矩阵。
（A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T2．设n 阶矩阵A ,B 是可交换的，即BA AB =，则不正确的结论是（ D ）。
（A ）当A ,B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）2222)(B AB A B A ++=+ （C ）22))((B A B A B A -=-+（D ）当A ,B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵3．设n 阶矩阵A ,B 和C 满足E ABAC =，则（ A）。
（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =24. 设÷øöçèæ=21,0,0,21a ，a a T E A -=,a a T E B 2+=,则AB =( B )(A) a a TE + (B) E (C) E - (D) 0二、计算与证明题 (每小题20分，共80分)1．已知úûùêëé--=1121A ，试求与A 可交换的所有二阶矩阵X得分得分2. 已知úúúûùêêêëé=010101001A , (1)证明：E A A A n nn -+=³-223时，(2)求100A.3. 已知矩阵,,试作初等变换把A 化成B ,并用初等矩阵表示从A 到B 的变换.BQ AQ Q Q B a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A c c c c =úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé+++¾¾®¾úúúûùêêêëé=«+21213133323321232223111312133333323123232221131312113332312322211312110010101001100100013123所以，设解：4．已知矩阵,试作初等行变换,把分块矩阵化成,其中E 是单位矩阵,B 是当左块A 化成E 时,右块E 所变成的矩阵;并计算矩阵的乘积AB 与BA .úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé+-+-101110012430001321100431010212001321312112r r r r ）（）（解：úúúûùêêêëé----¾¾¾®¾úúúûùêêêëé---¾¾®¾úúúûùêêêëé----¾¾®¾+-+-+--+«3151004160101120013151001011100013210124301011100013211213233321223113r r r r rr r r r r r ）（）（）（）（úúúûùêêêëé==úúúûùêêêëé----=100010001315416112BA AB B 则第二章 行列式与矩阵求逆作业答案班级： 姓名： 学号 ： 得分：一．计算下列行列式：(每题10分,共30分)1. 已知4阶行列式44332211400000a b a b b a b a D =， 求4D 的值． 解：得分2. 计算n 阶行列式111111111111nn n n D n ----=3. 计算5阶行列式242322214321500032100111011110x x x x x x x x D =二．计算题：(每题15分,共60分)1. 已知3阶行列式2101123z y x D =，且,1,0322213331311-=++=+-M M M M M M2132131=+-M M M其中的值的余之式，求中元素是33D a D M ij ij ．得分2. 求4阶行列式22350070222204034--=D 中第4行各元素余之式之和．3. 设úúúúûùêêêêëé=5400320000430021A , 则求1-A ．4. 若úúúúûùêêêêëé=121106223211043a A 可逆，则求a 的值．三．（10分）问m l 、取何值时，齐次方程组ïîïíì=+m +=+m +=++l 0200321321321x x x x x x x x x有非零解？零解。
第4，5章 综合练习题 一、填空题1.已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，100B 01000a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦且A 与B 相似，则_______________a =.2.设可逆阵A 的一个特征值是2，且-4detA =,则A 的伴随阵*A 的一个特征值为__________.3．设A 与B 相似，B 与112⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦相似，则A 的特征值是_______.4．已知211A 121112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦有二重特征值1，则A 的另一个特征值是______.5．二元二次型()112122x 13f (x ,x )x x 52x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的矩阵是_______. 6．若矩阵A 的一个特征值为0，则A =7. 二次型()2221231231223,,3524f x x x x x x x x x x =++++的矩阵A =8．设A 为3阶矩阵，其特征值分别为1,2,-1，则A = , 2A 的特征值是__________，1A -的特征值分别为 , *A 的特征值分别为 ,.9．已知矩阵20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭相似，则x = ， y =10. 已知三阶矩阵11020421A x -⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭的特征值为1、2、3，则x =11. 设向量组：(),0,1,11T=α ()T 1,0,12=α ，则与21,αα 等价的正交向量组为___________.12. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020001A 的特征值为：_______, 2A 的特征值为：_______.13. 用配方法把二次型32312123222162252x x x x x x x x x +++++化成标准形为 .二、单项选择题1. 设12,αα都是n 阶矩阵A 的属于不同特征值的特征向量，则( ) (A) 02T 1=αα; (B) 12T 1=αα ; (C) 线性相关与21αα ;(D) 线性无关与21αα2. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(A) (A)(B)r r =； (B)A 与B 和同一个对角矩阵相似； (C) B E A E -=-λλ； (D) A 与B 的特征向量相同. 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，与A 有相同特征值的是( ) (A) -1A ; (B) TA ; (C) *A ; (D) 2A . 4.以下四个矩阵，正定的是( )(A) 1-10-120003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(B)120210002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ;(C)120240001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (D)200012023⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.5.A 与B 都是n 阶矩阵，且都可逆，则( )(A) 必存在可逆n 阶矩阵P ，使B AP P =-1; (B) 必存在可逆n 阶矩阵C ，使TC AC B =; (C) 必存在可逆n 阶矩阵P 与Q ，使B PAQ =; (D) A 与B 都与同一个对角矩阵相似.6. 设4-52A 5-736-94⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则A 的属于特征值00λ=的特征向量是( )(A) T )2,1,1(1=α ; (B) T )3,2,1(2=α ;(C) T)1,0,1(3=α ; (D) T )1,1,1(4=α .7． 二次型2123222132162-6-2)x ,x ,x (f x x x x x +-=是( ) (A)正定的; (B)负定的; (C) 半正定的; (D) 半负定的.8． 设001A 010100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦,则以下四个向量中是A 的特征向量者是( )(A) T )1,0,1(； (B) T )1,1,1(-； (C) T )2,0,0( ； (D) T)2,1,0(.9. 设A 为n 阶实对称阵，B 为n 阶可逆阵，Q 为n 阶正交阵，则矩阵 ( )与A 有相同的特征值（A ）1T-B Q AQB ； (B) ()11TT --BQ AQB ； （C ）T T B Q AQB ； (D) T T BQ AQB10. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 都不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征值 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵A E λ-与B E λ-相等 11. 设A 是三阶矩阵,10λ=,21λ=,31λ=-是A 的三个特征值，对应的特征向量分别为123,,ααα，则使得1100000001P AP --⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭成立的P 是（ ）（A ）（123,,ααα） （B）（132,,ααα） （C）（321,,ααα） （D）（312,,ααα） 12. A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则（ ）（A）存在非奇异矩阵P ，使1P AP B -= （B）存在对角矩阵D ，使A 与B 都相似与D （C）0AB = （D）E A E B λλ-=-13．如果（ ），则矩阵A 与B 相似（A）A B = (B)()()r A r B = （C）A 与B 有相同的特征多项式 （D）n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值，且n 个特征值各不相同 14．A 是n 阶正定矩阵的充分必要条件是（ ）（A）0A > (B)存在n 阶矩阵C ，使TA C C = （C）负惯性指数为零 （D）各阶顺序主子式均为正数 15. 若矩阵A 与B 相似，则下列结论不成立的为（ ）A. A B =B. ()()r A r B =C. A 与B 有相同的特征值D. A B = 16. 若A 为设n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ）A. A 的任n 个特征向量线性无关B. A 的属于不同特征值的特征向量线性无关C. A 的属于不同特征值的特征向量正交D. A 的任n 个特征向量线性相关17. 若n 阶方阵A 与B 的特征值完全相同，且A 与B 都有n 个线性无关的特征向量，则（ ）A. A B =B. A B ≠ 但0A B -=C. A 相似于BD. A 与B 不一定相似，但A B =18．设矩阵a b A b a -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中0a b >>，221a b +=，则A 为（ ） A. 正定矩阵 B. 初等矩阵 C. 正交矩阵 D. 以上都不对 19. 下列各矩阵中，不是正交矩阵的为（ ）（A）⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（B）cos sin sin cos θθθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ）1001⎛⎫ ⎪⎝⎭；（D）11222⎛⎫⎪-⎝⎭ 20. 设矩阵A 与B 相似，则必有（ ）（A）A 、B 同时可逆或不可逆 ； （B）A 、B 有相同的特征向量 ； （C ）A 、B 均与同一个对角矩阵相似 ； （D）矩阵E A λ-与E B λ-相等21. 设三阶方阵A 的特征值分别为 -1，0，2.则下列结论正确的是（ ）。
习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭；2）123213336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3）001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4）310410482⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭。
并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。
解：1）11(2)(3)24λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。
当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当3λ=时 ，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。
2）123213(1)(9)336λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。
当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。
当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
3）201010(1)(1)10λλλλλ--=+--，特征值1,1λ=- 。
当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。
故属于1λ=的特征向量为1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。
当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
4）2310410(1)(2)482λλλλλ--+=-+-+ ，特征值1,2λ=- 。
当1λ=时， 1(3,6,20)η'=- ，故属于1λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。
当2λ=-时， 2(0,0,1)η'= ，故属于2λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。
