线性代数课件第五章相似矩阵及二次型——第3节

k p1
(k 0).
当2 3 2时,解方程A 2E x 0.由
4 A 2E 0
1 0
1 0
~
4 0
1 0
1 0,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0 p2 1 , 1
1 p3 0, 4
所以对应于 2 3 2的全部特征向量为 :
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为0).
三、特征值和特征向量的性质
1. 定理 设1,2 ,,m是方阵A的m个特征值, p1, p2 , , pm依次是与之对应的特征向量.如果1,2 ,,m
各不相等,则 p1, p2 ,, pm 线性无关.
2. A与AT有相同的特征多项式、相同的特征值。
§3 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化
征向量.
2当A可逆时, 0, 由Ax x可得 A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故1是 矩 阵A1的 特 征 值, 且x是A1对 应 于1
的特征向量.
(3)若是A的特征值,则( )是( A)的特征值
(4)若 0为A的一个特征值，则 A 为 A 的一个特征值.
(5)1为E的一个特征值
2 A E 4
1 2
0 0
~
1 0
0 1
1 2,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1 p2 2, 1
所以kp2(k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
例３
设A
2 0
1 2
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1
1
A E 0 2 0

|[, ] | [, ][ , ]
长为 1 的向量称为单位向量.
例1
01，
1
0
2
，
0
1
2
若向量
1
3
x ≠0 ,
则
1 x
x
1 都是3 维单位向量.
3
1
是 单 位 向 量.
3
例 已知
1
2
2
,
3
,
1
1
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解：
12 22 (1)2 02
1 0 2
所以A的特征值为 1 2,2 3 1
当 1 2解齐次线性方程组 (2E A)x 0 即
3x1 x2 0 4x1 x2 0 x1 0
3 1 0 1 0 0
由
2E
A
4 1
1 0
00
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系
p1
10
故对应于 1 2的全体特征向量为 k1 p1(k1 0)
y yT y xT PT Px xT x x
说明经正交变换向量长度保持不变，这是正交变换的优 良特性．
2 方阵的特征值 特征向量
内容分布 一、特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的性质
基本要求 会求特征值与特征向量
2.1 特征值与特征向量
定义8 设A是n阶方阵，如果数 和n维非零向量x使
量为
k11 k22 kss （k1, ···,ks不同时为0）
例1 求矩阵
A
2 1
解： A的特征方程为
1 2
的特征值和特征向量
2 1
| E A |

1.2正交向量组与施密特正交化方法
b1 ,b2 , ,br1 ,br 是正交向量组．由
b1
,br
b1
,ar
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1
,ar ,b2
b2
由归纳假设知b1 分别与 b2 ,b3 , ,br 1 正交，故
a1 b1,
a2
b2
b1, a2 b1, b1
b1
,
1.2正交向量组与施密特正交化方法
ar
br
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
,ar ,b2
b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1 .
于是得 a1 ,a2 , ,ar b1 ,b2 , ,br 与等价．
若再将 b1 ,b2 , ,br 单位化，并记为
a,b a1b1 a2b2 anbn aTb
1.1向量的内积
例2 设向量 1
a
0
,
2
3
3
b
2
1
,
求a,
b
1
解 a,b 13 0 2 2(1) 31 4
3
1
练习设向量
a
1 0
,
b
1 2
,
求
a,
b
2
3
解 a,b 3111 0 (2) 2 (3) 2
1 2 3
6 3
1 1 1
1 0 1
1.2正交向量组与施密特正交化方法
b3
a3
b1, a3 b1, b1
b1
b2 , b2 ,
a3 b2

1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0
0
0
1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
§1 向量的内积、长度及正交性
设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一
个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当[xl x≠,0y（] 零(l向x量)T ）y 时l，xT[xy, x]l>( x0T．y) l[x, y] 施瓦兹（Schwarz）不等式 [ x y, z] ( x y)T z[x, (yx]2T ≤[yxT, )x]z[y,(yx]T．z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
y
x
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]

P1 E A P E A
又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值.
推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 diag(1, 2,n )
相似 则 1 ,2 ,,n 是A 的n 个特征值。
三、相似变换矩阵的求法
问题：
对一个 n 阶方阵 A，是否存在相似变换
1
矩阵
P,
使
P 1 AP
2Байду номын сангаас
求特征向量 将 1 5 代入 (E - A)X 0
得
42xx1 124xx2 222xx3 300
解得特征向量
1 X11 1
2x1 2x2 4x3 0
1
再将 2 1 代入 (E - A)X 0
得
2 x1 2 x1
2x2 2x2
2x3 2x3
0 0
2 x1 2x2 2x3 0
于是有 Api i pi i 1,2,, n.
可见 i 是A的特征值,而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量.
反之, 如果 n 阶方阵 A 有n 个线性无关的特征向量 P1, P2 ,, Pn 满足 APi iPi , i 1,2,, n
那么令 P (P1, P2 ,, Pn ) 则 P 可逆，且 P 1 AP diag(1 ,2 ,n )
1
则A有3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角化.
例设
1 A 2
2 1
2 2
判断A是否可以对角化，
2
2
1
若可以对角化，求出可逆阵P，
使得 P 1 AP 为对角阵，并求 A100
解 （1）求特征值 1 2 2
E A 2 1 2 5 12
2 2 1
解得 : 1 5, 2 3 1

p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3

特征向量. [x y]称为向量x与y的内积。
则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似。
x (x1 x2
xn)T
二次型可记作 f xTAx 其中A是一个对称矩阵
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角 阵相似
5.3 相似矩阵理论
设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使
P则对 可称逆A1进矩BA是P行阵A运P的B称算相为P似把矩1AA变阵P成称B为或的对说相A矩似进阵变行A换与相矩B似阵相变。似换。 x则则则如含 则[2[则如y设二则二如x则则设如则2设[如Ay则xxxx称称称果有称称果A次称次果称称A果称A果称特特=((((为为λxyxyBBBnnBBn型 B型 nBBnBnByyy征征x1111]]]阶个 阶阶阶阶是是是是是n是是是是n是称B可可值值阶阶矩变 矩矩矩矩都AAAAAAAAAAx为x记记与与xyxy方 方11的的的的的的的的的的阵量 阵阵阵阵是2222向yy作作特特阵阵相相相相相相相相相相11AxAAAAn量1征征阶的的,的的,的ff似似似似似似似似似似若若xxx向向矩nnnnn与矩矩矩矩矩矩矩矩矩矩22存存xx个个个个个xyyTT量量阵y阵阵阵阵阵阵阵阵阵阵222在在AA特特特特特的xx数数征征征征征内若λλ或或或或或或或或或或值值值值值积和和其其xyxy有说说说说说说说说说说互互互互互。nnnn非非中中))))可矩矩矩矩矩矩矩矩矩矩TTTT不不不不不零零AA逆阵阵阵阵阵阵阵阵阵阵是是相相相相相的的矩AAAAAAAAAA一一等等等等等xxx与与与与与n与与与与n与阵nnn个个维维的yyBBBBBBBBBBPnn对对列列相相相相相相相相相相则则则则则二称称向向似似似似似似似似似似AAAAA次使矩矩与与与与与量量。。。。。。。。。。齐阵阵对对对对对xx次,,使使角角角角角函得得数阵阵阵阵阵相相相相相似似似似似

矩阵函数以及矩阵微分方程等问题时，都可以利用若尔当标准型来简化
计算。
05
二次型及其标准型
二次型定义及性质
二次型定义
对称性
线性变换下的不变性
二次型的值
二次型是n个变量的二次多项式， 其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$为常 数，且$a_{ij} = a_{ ji}$。
若尔当标准型简介
01
若尔当标准型定义
对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=J$
为若尔当标准型，其中J由若干个若尔当块组成。
02
若尔当块
一个若尔当块是一个上三角矩阵，它的对角线上的元素相等，且对角线
上方的元素或者是1，或者是0。
03
若尔当标准型的应用
若尔当标准型在矩阵分析中有着广泛的应用，例如在求解矩阵的高次幂、
矩阵性质总结
结合律 $(AB)C = A(BC)$。
数乘结合律 $(kA)(lB) = kl(AB)$。
分配律
$(A + B)C = AC + BC, C(A + B) = CA + CB$。
数乘分配律
$(k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB$。
02
矩阵变换与等价类
求解过程
先求出矩阵A的特征值，然后将其代 入(A-λE)X=0，解出对应的特征向量。
特征值和特征向量在矩阵分析中的应用
判断矩阵是否可对角化
如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。

= diagP(-1A1 ,P=2 ,B·P·,·-1,APn)= B , 相故似，则 故1 , 2 , ···, n 即是 A 的 n 个特征值.
定理 若定矩阵理A 与若矩矩阵阵 AB与相似矩,阵且B矩相阵似A, 且矩阵
可逆, 则矩可阵逆B, 也则可矩逆阵, B且也A可-1 逆与,B且-1A相-1似与. B-1 相似.
三、矩阵对角化的步骤
设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的 步骤如下：
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A
有 s 个不同的特征值 1 , 2 , ···, s ，它们的重
数分别为 n1, n2 , ···, ns , 有 n1 + n2 + ···+ ns = n.
步骤 2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0
证毕
在矩阵的运算中, 对角矩阵的运算很简便, 如
果一个矩阵能够相似于对角矩阵, 则可能简化某
些运算. 例如, 如果令
P 11
32
,
A
7 9
86
.
不难验算,
P
1
AP
1 0
02 记为
.
如果我们要计算 A10 或 An , 直接计算, 运算 量很大也不易找出规律. 利用 A 相似于对角矩阵 的性质,可得
相似矩阵具有下列性质：下设 A，B 是同阶 矩阵.
定理 3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
因而 A 与 B 有相同的特征值、相同的行列式.
证明 只需证证明A 与只需B 证有相A 同与的B特有征相多同项的式特即征多项 可. 推由论于 A可若与. nB由阶相于方似A阵,与所AB以与相, 对必似角有, 所矩可以阵逆,矩必阵有可P,使逆得矩阵 P

内积是向量的一种运算，用矩阵的记号表示，当 x与 y 都是列向量时，有
[x，y] = x' y
例 计算[x, y],其中x, y如下 : (1)x = (0,1,5,-2), y = (-2,0,-1,3); (2)x = (-2,1,0,3), y = (3,-6,8,4),
解 (1) [ x, y] = 0 • (-2) 1• 0 5• (-1) (-2) • 3 = -11
第五章
特征值与二次型
第五章主要内容
第一节 向量的内积 第二节 方阵的特征值与特征向量 第三节 相似矩阵 第四节 化二次型为标准型 第五节 正定二次型
第一节 向量的内积
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x = x2 ， y = y2
....
xn
yn
令 [x，y] = x1 y1+ x2 y2 +…+ xn yn， 则 [x，y] 称为向量x与 y 的 内积
定义2 令 x = [x, x] = x12 x22 xn2
称为 n 维向量 x 的长度（或范数）
x
若向当量xx
=10时,则, 称xxx为是单单位位向量向.量.
向量的长度具有下述性质：
(i)非负性:当x 0时，x 0；当x = 0时，x ＝0；
(ii)齐次性: x = x ；
(iii)三角不等式 : x y x y ；
上述从线性无关向量组a1 , …,ar 导出 1, 2 ,K , r 的 过程称为施密特正交化过程。它不仅满足1, 2 ,K , r 与a1 , …,ar 等价，还满足：对任何k ( 1≤ k ≤r ) ,向量组 1, 2 ,K , k 与a1 , …,ak 等价。

的矩阵又是对角矩阵，所以下面要讨论的主要问
题是： 对 n 阶矩阵 A ，寻求相似变换矩阵 P，使
P–1AP = 为对角矩阵． 如果 n 阶矩阵 A 能相似
于对角矩阵，则称矩阵 A 可对角化．
4.3.2 矩阵可对角化的条件
定理 4.3.2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵
的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.
第 4.3 节
相似矩阵
相似矩阵的概念
相似矩阵的性质
可对角化的条件
4.3.1 相似矩阵的概念
定义4.3.1 设 A , B 为 n 阶矩阵, P 为 n 阶可
逆矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
例3 设
0 1 1 A 1 0 1 , 1 1 0
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
相似矩阵具有下列的性质：下设A，B 是同
阶矩阵.
性质4.3.1 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
detA = detB .
性质4.3.2 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 且矩阵
A可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
性质4.3.3 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 则
|A - E| = |B - E| ,
(1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 矩阵 P 和对角矩阵 , 使 P-1AP = . (2) 使 P-1AP = 成立的 P 、 是否唯一， 举例说明.
例 2 设
0 0 1 A 1 1 x , 1 0 0

λ − a22 ⋯
⋯ λ − ann
= λn − c1λn − 1 + c 2 λn − 2 + ⋯ + ( −1) n − 1 c n − 1λ + ( −1) n c n
特征多项式， 特征方程。 称为 A 的特征多项式，而 f (λ ) = λE − A = 0 称为 A 的特征方程。
-18-
性质
对特征值 i , 解(λi E − A) X = 0, 得基础解系 1 ,⋯,αr λ α
λi所对应的特征向量为 k1α1 +⋯+ krαr , k1 ,⋯, kr不全为零
-20-
−1 1 0 例： 求矩阵 A = −4 3 0 的特征值和全部特征向量 的特征值和全部特征向量. 1 0 2
1 b3 1 1 = ξ3 = b3 6 − 2 0
-13-
六、正交矩阵 定义 若 n 阶方阵 A 满足 AT A = E , 则称 A 为正交矩阵 正交矩阵. 例4 验证(1)旋转矩阵是正交矩阵 验证 旋转矩阵是正交矩阵
cos ϕ A= sin ϕ − sin ϕ cos ϕ
T 0 ⇒ α1 α1
= α1
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
同理可得 λ2 = ⋯ = λr = 0. 故α1 ,α 2 ,⋯,α r 线性无关 .
-8-
例1
(P115 例3)
1 1 α1 = 1 , α 2 = − 2 1 1
(2)镜像矩阵是正交矩阵 (P40 例8) 镜像矩阵是正交矩阵
H = E − 2αα (α ∈ R , α α = 1)
T n T