《计算方法》复习资料
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二单项选择题1. 已知近似值1x ，2x ，则()12,x x ()=A. ()()2112x x x x +B. ()()12x x +C. ()()1122x x x x +D. ()()12x x 2. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f A f f ≈++⎰，则A ＝（ ） A ．16B.13C. 12D.233. 已知2112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则化为A 为对角阵的平面旋转变换角θ＝（ ） A ．6πB.4πC.3πD.2π4. 设求方程()0f x =的根的切线法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ． 线性 B. 超越性 C. 平方 D. 三次5. 改进欧拉法的局部截断误差为（ ）A ． ()5O h B. ()4O h C. ()3O h D. ()2O h填空题1. π的近似值3.1428是准确到 近似值。
2. 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
3. 用列主元法解方程组时，已知第2列主元为()142a 则()142a ＝ 。
4．乘幂法师求实方阵 的一种迭代方法。
5. 欧拉法的绝对稳定实区间为 。
计算题1. 用已知函数表求抛物插值多项式，并求1()2f 的近似值。
2. 用紧凑格式解方程组 123410114130141x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3. 已知方程组 123210113110121x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 证明高斯－塞德尔法收敛；（2） 写出高斯－塞德尔法迭代公式； （3） 取初始值()()00,0,0TX=，求出()1X。
4. 用4n =复化辛卜公式计算积分1011dx x+⎰，并估计误差。
5. 用一般迭代法求方程[]0,0.5内的根。
（1） 对方程同解变形，并检验压缩条件； （2） 写出一般迭代法迭代公式； （3） 选初始值00.5x =，求出1x 。
证明题1. 设x Bx b **=+，1B <证明由公式()()1m m xBxb +=+，0,1,m = ，得到的序列(){}m x收敛于x*。
2.证明计算)0α>的切线法迭代公式为 11()2n n nx x x α+=+， ()0,1,n =二一、单项选择题1. A2. D3. B4. C5. C 二、填空题1. 210- 2. ()()()()()3!a b c f R x x x x x x x ξ'''=---3. ()()114222m ax i i αα≥= 4.按规模最大的特征值与特征向量 5. []2,0-三、计算题 1. 作差商表：()()()()2210011N x x x x x =+-+--=+21151.25224f N ⎛⎫⎛⎫≈==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2. 解：（1）完成分解A LR =114r =，121r =-，130r =， 2114l =，310l =，22115444r =-=，231r =-，32415l =，335615r =所以矩阵的三角分解A LR = 14101151144456011515A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （2）解方程组L Y b =，11y =，2134y =，32815y =（3）解方程组RX Y =，312x =，21x =，112x =所以11(,1,)22TX =3. （1）因为A 严格对角占优矩阵，所以高斯－塞德尔迭代法收敛。
（2）高斯－塞德尔法迭代公式为： ()()()()()()()()()()112112131132112113112m m m m m m m x x x x x x x +++++⎧=-⎪⎪⎪=---⎨⎪⎪=-⎪⎩（3）取初值()()00,0,0TX=，计算得()1112x =，()1212x =-，()1334x =4. 用4n =复化辛卜公式计算得：101144411240.693251126572dx x⎡⎤⎛⎫≈+⨯+⨯++≈ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰因为()11f x x=+， ()()()45241fx x =+，()()44m ax 24M fx ==所以，()44241288021920R f ≤=⨯5. （1）在[]0,0.5上将方程同解变形为 ()()3114x x x ϕ=+=而()233m ax m ax1416x xρϕ'===<（2）一般迭代法公式为：()3111,0,1,4n nx xn +=+=··· （3）由00.5x =，计算得10.28125x ≈ 四、证明题 1.证明 由公式()()1m m xBxb +=+和x Bx b **=+两式相减得()()1m m x xBxx-**-≤-≤···()0mBxx *≤-所以有：()()0,,()m m xx x x m **-→→→∞2.证明)0α>等同于求方程20x α-=的正根，令()()2,2f x x f x x α'=-=，代入切线法迭代公式得：211()22n n n n nnx x x x x x αα+-=-=+，0,1,n =···三单项选择题1. 以下误差公式不正确的是（ ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 辛卜生公式的余项为（ ） A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a fη--D ．()()()452880b a fη--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，将方程表示为同解方程()x x ϕ=的，则()0f x = 的根是（ ）A ． y x =与()y x ϕ=的交点B ． y x =与与x 轴的交点的横坐标的交点的横坐标C ． y x =与()y x ϕ=的交点的横坐标D ． ()y x ϕ=与x 轴的交点的横坐标填空题1. 取 3.142x =作为 3.141592654x =┅的近似值，则x 有 位有效数字.2. 消元法的步骤包括 .3. 龙贝格积分法是将区间[],a b 并进行适当组合而得出的积分近似值的求法。
4．乘幂法可求出实方阵A 的 特征值及其相应的特征向量. 5. 欧拉法的绝对稳定实区间为 。
计算题6.已知函数211y x=+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值. 7. 求矩阵10101022A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径. 8. 已知方程组123210113110121x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 证明高斯－塞德尔法收敛； （2） 写出高斯－塞德尔法迭代公式； （3） 取初始值()()00,0,0TX=，求出()1X。
4. 4n =时，用复化梯形与复化辛卜生公式分别计算积分124x dx x +⎰.5. 用改进平方根法求解方程组233351035916591730x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明题证明向量X 的范数满足不等式 （1）2X X∞∞≤≤ (2)111XXXn∞≤≤三参考答案一．单选题1. D2.C3.C4.A5. C 二．填空题1. 42. 消元和回代3. 逐次分半4. 按模最大5. []2,0- 三．计算题1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x Lx x --=⨯+⨯=--- []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ 10分 ()1.50.80.3 1.50.35L=-⨯= 12分2. 解 ()()1010101322I A λλλλλλλ--=-=--- 4分 矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 8分 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== 12分3. 1）因为A 严格对角占优矩阵，所以高斯－塞德尔迭代法收敛。
（2）高斯－塞德尔法迭代公式为： ()()()()()()()()()()112112131132112113112m m m m m m m x x x x x x x +++++⎧=-⎪⎪⎪=---⎨⎪⎪=-⎪⎩（3）取初值()()00,0,0TX=，计算得()1112x =，()1212x =-，()1334x =4. 解 10.2544b a h -=== 2分用复化梯形公式计算：124x dx x +⎰()()()()()()0.25020.250.50.7512f f f f f ⎡⎤≈++++⎣⎦＝0.110 892 27 7分用复化辛卜生公式计算得：124x dx x +⎰()()()()()()0.25040.250.7520.513f f f f f ⎡⎤≈++++⎣⎦＝0.111 581 85 12分5. 解 由公式计算得1111121213133,3,5;r a r a r a ====== 312121311111351,33a a l l r r =====22222121232321135132,9154r a lr ralr =-=-⨯==-=-⨯= ()233233333113322322422,23r l r a l r l r r ====-+=4分再得 123410,6,3y y y ===8分得()1,1,2TX =- 12分证明（1）设j x 是向量X 的分量，则22221m ax ni ii i Xx x n X∞∞=⎡⎤=≤≤⎣⎦∑，所以由向量范数的概念可知，结论成立。
5分 （2）由1111max ni i i i Xx x Xn n∞=⎡⎤=≥=⎣⎦∑11m a x ni i i i Xx x X∞=⎡⎤=≤=⎣⎦∑所以结论成立。
