记 α = k1 α1 + k2 α2 + · · · + kr αr , β = br+1 βr+1 + br+2 βr+2 + · · · + bs βs , γ = cr+1 γr+1 + cr+2 γr+2 + · · · + ct γt . 则 α ∈ U ∩ W, β ∈ U, γ ∈ W , 以及 α + β + γ = 0. 于是 γ = −α − β ∈ U , 从而 γ ∈ U ∩ W ; 从而存在适当的数 d1 , d2 , · · · , dr , 使得 γ = d1 α1 + d2 α2 + · · · + dr αr , 即 d1 α1 + d2 α2 + · · · + dr αr − cr+1 γr+1 − cr+2 γr+2 − · · · − ct γt = 0. 由于 (2) 是 W 的一组基, 故有 d1 = d2 = · · · = dr = cr+1 = cr+2 = · · · = ct = 0. 同理, 由 于 (1) 是 U 的一组基, 由 (4) 又得, k1 = k2 = · · · = kr = br+1 = br+2 = · · · = bs = 0. 因此, (3) 确是线性无关的向量组. 再设 α ∈ U + W . 则存在 β ∈ U, γ ∈ W , 使得 α = β + γ . 因为 (1) 和 (2) 分别 是 U 和 W 的基, 因此有系数 k1 , k2 , ..., kr , br+1 , br+2 , ..., bs 及 l1 , l2 , ..., lr , cr+1 , cr+2 , ..., ct 使 β = k1 α1 + k2 α2 + · · · + kr αr + br+1 βr+1 + br+2 βr+2 + · · · + bs βs , γ = l1 α1 + l2 α2 + · · · + lr αr + cr+1 γr+1 + cr+2 γr+2 + · · · + ct γt , 因此 α = (k1 + l1 )α1 + (k2 + l2 )α2 + · · · + (kr + lr )αr +br+1 βr+1 + br+2 βr+2 + · · · + bs βs +cr+1 γr+1 + cr+2 γr+2 + · · · + ct γt . 即 α 是向量组 (3) 的线性组合. 所以, (3) 是 U + W 的一组基. （2）设 dim V = n. 则显然子空间的真包含的链 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vm−1 ⊂ Vm = V 的长度 m ≤ n. 另一方面, 设 α1 , · · · , αn 是 V 的一组基，则 0 = V0 ⊂ F α1 ⊂ (F α1 ⊕ F α2 ) · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αm ) ⊂ · · · ⊂ (F α1 ⊕ · · · ⊕ F αn ) = V 显然是一个空间的真包含的链，其长度 m = n. 因此需证的等式成立。该等式说明线性空间的 维数是子空间按包含关系所形成的链的最大长度。 4. 证明多子空间直和的判定定理：设 W1 , W2 , · · · , Ws 是线性空间 V 的子空间, 则下列 命题等价: (1) W1 +W2 +· · ·+Ws 是直和即 dim (W1 +W2 +· · ·+Ws ) = dim W1 +dim W2 +· · ·+dim Ws ; ∑ (2) Wj ∩ k=j Wk = 0, 1 ≤ j ≤ s, 1 ≤ k ≤ s; (3) 任意向量 α ∈ W1 + W2 + · · · + Ws 的分解式唯一; (4) 零向量的分解式唯一. ∑ 证明：(1) ⇒ (2) 对 s 做归纳，将 k=j Wk 看做一个子空间即可。 (2) ⇒ (3) 设 α ∈ W1 + W2 + · · · + Ws 有两个分解 α = α1 + α2 + · · · + αs 以及 α = β1 + β2 + · · · + βs ，其中 αi , βi ∈ Wi , ∀i. 则 αi − βi = ∑ ∑ (βj − αj ) ∈ Wj
