运动方程的建立

h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩
ρ→∞：
k
24EIc h3
ρ→0
：
k
6EIc h3
2.1 基本动力体系
3. 阻尼力（Damping Force）
阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）： (1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼。例如，空气、流体等。
非保守力做功的变分等于0。
t2 (T V )dt t2 Wncdt 0
t1
t1
Wnc Pncju j
j
其中：
T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分。
p(t) fI fD fs 0 fI mu fD cu fs ku
mu cu ku p(t)
图2.8 单质点体系的受力分析
2.2 运动方程的建立
3. 虚位移原理
虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之 上，而虚功是一个标量，可以按代数方式运算，因 而比Newton第二定律，或D’Alembert原理中需要采 用的矢量运算更简便。
对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些
2.2 运动方程的建立
4. Hamilton原理
应用变分法来建立结构体系的运动方程。 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值。

4.4.2动力学方程介绍
4.4.3机器人动力学正问题

机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节 力矩作用下的动态响应.其主要内容是如何建 立机器人手臂的动力学方程.建立机器人手臂 的动力学方程的方法有牛顿-欧拉法和拉格朗 日法等.


1.牛顿-欧拉方程 在考虑速度与加速度影响的情况下，作用在机器人 手臂杆i上的力和力矩如图所示。

机器人在存在重解的情况下,应选其中最满意 的一组解: 1.行程最短,大关节少动,小关节多动



2.功率最省
3.受力最好 4.回避障碍

反解数目与连杆长度非零的数目之间关系
4.3机器人的雅可比矩阵(Jacobian)
研究操作空间速度与关节空间速度之间
的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅 可比）,也用来表示两空间之间力的传 递关系。
4 机器人运动学和动力学

1．对一给定的操作机，已知杆件几何参数和关节 角矢量
其中n是自由度数，求操作机末端执行器相对于参
考坐标系的位置和姿态。

2．已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端 执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位 姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的
位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可满
的函数.
最后,求出六个连杆之积:

为了校核所得结果的正确性，计算当

手臂变换矩阵
的值，计算结果为：
4.2.2运动学方程反解

PUMA560运动方程

（4.5）
(4.5)两边

(4.6)

今矩阵方程（4.6）两端的元素（2，4）对 应相等,得: (4.7)

运动学部分：一、点的运动学重点难点分析1．重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等）；选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。

求点的运动轨迹。

2．难点：运动方程的建立。

解题指导：1．第一类问题（求导）：建立运动方程然后求导。

若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一般用自然法，否则用直角坐标法。

根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐标原点和正向。

不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。

根据运动条件和几何关系把点的坐标表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。

2．第二类问题（积分）：由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。

二、刚体的简单运动重点难点分析：1．重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。

2．难点：曲线平移。

解题指导：首先正确判断刚体运动的性质。

其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。

建立刚体运动方程时，应将刚体置于一般位置。

三、点的合成运动（重要）重点难点分析：1．重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。

速度合成与加速度合成定理的运用。

2．难点：动点和动系的选择。

解题指导：1．动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺序完全分开。

2．常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：（1）两个（或多个）不坟大小的物体独立运动，（如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。

由于不考虑物体的大小，因此动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。

（2）一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物体上。

（3）两个物体通过接触而产生运动关系。

其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物体的接触只发生在一条线上。

选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。

1 2 2 2
1 m L m2 (2 L) 2 2 x cos m2 gL sin 0 3
m1 m2 m 2
k m2 L 0 x x 0 2 4 0 m2 gL 3 m2 L
质量矩阵m中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力使系统只在第j个坐标上产生单位加速度而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力正是质量矩阵m的第j列使系统只在第j个坐标上产生单位加速度而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力正是质量矩阵m的第j列m1m2m3k2k1k31x2x3xm1m2m3mk1k2k3??????????????????????????????????????????????????????0000202000000321321xxxkkkkkkkxxxmmm??????直接写
k
x
A
L d L 0 dt q j q j
拉式二类方程对单 自由度同样适用， m1 g m2 g B 只需要把下标去掉 2 1 1 1 2 1 (m m ) x 2 2 2 2 2 m x L cos m L T m1v A m2 vC J C 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 V m2 gL(1 cos ) kx2 2 cos m L 2 sin kx 0 m L (m m ) x
O
y θ1 m l
l l θ3 m
θ2 m
答案：
x
3 2 1 M ml 2 2 2 1 1 1 1
3 0 0 K mgl 0 2 0 0 0 1
如果是匀质杆呢