导数复习
1．已知函数y ＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
2．函数y ＝f （x ）在定义域（－
3
2
，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f （x ），则不等式f （x ）≤0的解集为（ ）
A ．[－13，1]∪[2，3）
B ．[－1，12]∪[43，8
3] C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－ 13]∪[12，43]∪[43
，3）
3．已知
其导函数
的图象如图，则函数
的极小值是
A.
B. C.
D. c 4．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5．设函数()y f x =的图像如左图，则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的（）
6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图像如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 7．函数32
55y x x x =+--的单调递增区间是___________________________. 8．函数()x x x f ln =的单调递减区间是
9.函数()f x x x ln 22
-=的单调递减区间是
10．函数f(x)=
lnx
x
的单调递减区间是 11．函数2x
y x e
-=在区间(,0)-∞上的单调性为
12．若函数f(x)＝e x
－ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________．
13．函数()443
13
+-=
x x x f 在[]3,0上的极值点是______,极值是_______. 14． 已知函数x x x f ln 2)(2-=，则)(x f 的极小值是 .
15． 已知函数32()332f x x x x =--+，则此函数的极大值点是 .
16．已知函数3227y x ax bx =+++在1x =-处有极大值，在3x =处有极小值，则a =
b =
17．函数x e x f x -=)(在]1,1[-上的最小值是 . 18．函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________．
19． 当]1,1[-∈x 时，函数x e
x x f 2
)(=的值域是 .
20．3()31f x x x =-+在[-2,2]上的最大值是 ． 21．函数
3()34f x x x =-，[0,1]x ∈的最大值是
22．函数3
12)(x x x f -=在区间]3,3[-上的最小值是
23．函数5123223+--=x x x y 在]3,0[上的最大值与最小值的差等于____________ 24．函数f(x)＝13
x 3－x 2
－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________． 25．(1,1)2
x
y x =
--+曲线在点处的切线方程为 ． 26．函数()x
f x xe =在其极值点处的切线方程为____________．
27．函数()ln f x x =的图像过（1,1）的切线方程是 ．
28．已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 ． 29．设曲线2
x
y xe x =+在原点处切线与直线10x ay ++=垂直，则a =
30．已知直线l 过点)1,0(-，且与曲线x x y ln =相切，则直线l 的方程为 ． 31．函数()ln x
f x e x =?在点()1,0处的切线方程为 .
32．曲线()4ln f x x x =-在x e =处的切线的斜率k = ．ln y x x =
33．已知函数()a ax x x x f -+-=
23
3
1 (a ∈R)． (1)当3-=a 时，求函数()x f 的极值；
（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．
34．已知函数
22
()2ln (0)f x x a x a =->． （1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若()f x 在[1]e ，
上没有零点，求实数a 的取值范围． 35．设函数2
1()ln 2
f x c x x bx =+
+(),,0R c c b ∈≠，且1x =为()f x 的极值点． (Ⅰ) 若1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间（用c 表示）； (Ⅱ)若()0f x =恰有两解，求实数c 的取值范围． 36．已知函数()m x x g x x x f +=+-=ln 6,8)(2. （1）求)(x f 在区间]1,[+t t 上的最大值)(t h ；
（2）若)(x f y =的图象与)(x g y =的图象有且仅有三个不同的交点，求实数m 的取值范围.
37．已知函数)0,()(23≠∈-+=a b a R x x bx ax x f 是常数，、, 取得极值时，函数和且当)(21x f x x == （1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若曲线)(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.
38．已知函数()a ax x x x f -+-=
23
3
1 (a ∈R)． (1)当3-=a 时，求函数()x f 的极值；
（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围． 39．已知函数
．
(1)设x=0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性; (2)当m ≤2时，证明f(x)>0．
40．已知函数()e (1)x f x x =+．
（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）若对于任意的(,0)x ∈-∞，都有()f x k >，求k 的取值范围. 41．已知函数2()2()3x f x e x a =--+，a ∈R ．
（1）若函数()y f x =的图象在0x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）若0x ≥，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 42．已知函数∈+=
a x
a
x x f (ln )(R ）. （1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=--y x 平行，求a 的值； （2）在（1）条件下，求函数)(x f 的单调区间和极值； （3）当1=a ，且1≥x 时，证明：.1)(≤x f 43．已知函数32
()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2
()f x c <恒成立，求c 的取值范围
44．已知函数3
()4f x ax bx =-+．当2x =时，函数()f x 取得极值43
-
． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若方程()f x k =有3个解，求实数k 的取值范围． 45．已知函数ln ()()x a
f x a x
+=
∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间和极值； （2）当1a =，且1x ≥时，证明：()f x ≤1． 46．已知函数2
()ln f x x x ax =--，a R ∈. （1）当1a =时，求()f x 的最小值； （2）若()f x x >，求a 的取值范围. 47．已知函数2
1()ln 2
f x ax x x =
-+（,0a R a ∈≠） （1）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若在区间[)1,+∞上函数()f x 的图象恒在直线y ax =下方，求a 的取值范围． 48．已知函数3
21()43
f x x ax =
-+，且2x =是函数()f x 的一个极小值点. （1）求实数a 的值；
（2）求()f x 在区间[1,3]-上的最大值和最小值.
49．设函数)0(ln )(2>-=x bx x a x f ，若函数)(x f 在1=x 处与直线2
1
-=y 相切， (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数],1[)(e e
x f 在上的最大值.
参考答案
1．B
【解析】函数f(x)在[－1,1]上为增函数，当x ∈(－1,0)时f′(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x ∈(0,1)时f′(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B 项． 2．A 【解析】
3．D
【解析】由导函数的图象知当
时，
，当
时，
，所
以函数
的极小值为
，选D.
4．A
【解析】由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a ，b)内，先增、再减、再增、最后再减，故函数f(x)在区间(a ，b)内只有一个极小值点，故选A. 5．D 【解析】
试题分析：由()y f x =图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于零，再小于零，最后大于0.故选D. 考点：导数与函数的单调性. 6．A 【解析】
试题分析：设导函数)(x f '在),(b a 内的图像与x 轴的交点（自左向右）分别为1234,,,x x x x ，其中12340x x x x <<=<，则由导函数的图像可得：当1(,)x a x ∈时，()0f x '>，12(,)x x x ∈时，()0f x '<且1()0f x '=，所以1x 是函数()f x 的极大值点；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，
23(,)x x x ∈时，()0f x '>且2()0f x '=，所以2x 是函数()f x 的极小值点；当23(,)
x x x ∈或34(,)x x x ∈时，()0f x '>，故3x 不是函数()f x 的极值点；当34(,)x x x ∈时，()0f x '>，而当4(,)x x b ∈时，()0f x '<，且4()0f x '=，所以4x 是函数()f x 的极大值点；综上可知，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点只有1个，故选A. 考点：1.函数的图像；2.函数的导数与极值. 7．5
(,
)3
-∞-和(1,)+∞
【解析】
试题分析：因为2
325(35)(1)y x x x x '=+-=+-，由0y '>可得1x >或5
3
x <-，所以函数3
2
55y x x x =+--的单调递增区间是5
(,)3
-∞-和(1,)+∞. 考点：函数的单调性与导数.
8．
)1,0(e 【解析】解：因为1y x ln x y'1ln x(x 0)y'00x e =∴=+>∴<∴<<，故递减区间为1
(0,)e
9．)2
1
,
0( 【解析】解：因为
214x 1(2x 1)(2x 1)
f '(x)4x (x 0)
x x x 1
f '(x)02x 100x 2
-+-=-==>∴<∴-<∴<<
10．(0,1),(1，e)
【解析】函数的定义域为（0,1）?（1，+∞），令'2ln 1
(
)ln (ln )
x x x x -=<0得ln 1x <，所以0x e <<，故函数f(x)=
lnx
x
的单调递减区间是(0,1),(1，e)。 11．单调递减 【解析】略 12．e
【解析】由题意，f ′(1)＝0，因为f ′(x)＝e x
－a ，所以a ＝e. 13．2=x , 3
4- 【解析】
()()[]()3
?2314440,0,33
14
2,2242433f x x x f x x x f =
-+∴=-==?-?+=-
令导数为在得：极值
14．1
【解析】解：因为
222(x 1)(x 1)f (x)x 2ln x f '(x)2x (x 0)
x x
x (0,1)f '(x)0;x (1,)f '(x)0;+-=-∴=-
=>∴∈<∈+∞>时，则时，则
)(x f 的极小值是f(1)=1
15．21-
【解析】∵f （x ）=x 3
-3x 2
-3x+2
∴f′（x ）=3x 2
-6x-3
当f′（x ）=0时，3x 2
-6x-3=0 ∴x 2
-2x-1=0
∴（x-1）2
=2 ∴x=1±
令f′（x ）＞0，得x ＜1-或x ＞1+
令f′（x ）＜0，得1-
＜x ＜1+
∴函数的单调增区间为(-∞，1-)，（1+
，+∞），函数的单调减区间为(1-，
1+
)
∴函数的极大值点是x=1-
故答案为：x=1-
16．3- ；9- 【解析】略 17．1 【解析】
试题分析：因为()1x
f x e '=-，()00,()00f x x f x x ''>?>
[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，从而函数x e x f x -=)(在]1,1[-上的最小值是
0(0)01f e =-=.
考点：函数的最值与导数. 18．[0，2π]
【解析】由y ′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 19．[0,e]
【解析】22
222()x x x x
xe x e x x f x e e
--'== ,()f x ∴在区间(1,0)-上是减函数，f(x)在区间(1,2)上是增函数，所以当x=0,f(x)取得最小值0.因为f(-1)=e,f(1)=1
e
,显然最大值为e,
所以f(x)的值域为[0,e]. 20．3
【解析】2
()330,1,1
f x x x x '=-=∴=-=, (1)3,(1)1,(2)1,(2)3f f f f -==--=-= .所以最大值为3.
21．1 【解析】
2
1211
()3120,,22
f x x x x '=-=∴=-=,
由于max 1
31
(0)0,()()1,()1222
f f x f f x ===
-=∴=极大. 22．9
【解析】略 23．20 【解析】略 24．3
【解析】f′(x)＝x 2
－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝2
3
>0知函数f(x)的图象与x 轴的交点个数为3. 25．012=+-y x 【解析】
试题分析：由()2
+=
=x x x f y 得()21'
=-f ，所以所求切线的斜率为2，由点斜式可得)1(21+=+x y ，整理得012=+-y x ．
考点：利用导数求切线方程． 26．1y e
=- 【解析】
试题分析：()()'1x
x
x
f x e xe e x =+=+，令()'0f x =得1x =-．()111f e e
--=-=- ， ∴切点为11,e ?
?-- ??
?．因为切线斜率为0，所以所求得切线方程为1y e =-．
考点：导数的几何意义． 27．1y x =-
考点：利用导数求曲线的切线. 28．340x y +-=
【解析】
试题分析：函数()4ln f x x x =-，所以函数'
4
()1f x x
=-
，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）
所以切线方程为：340x y +-=，故答案为：340x y +-=. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 29．1 【解析】
试题分析：由题意得2x x y e xe x '=++，在原点处的切线的斜率00100 1.k e e =+?+=又该切线与直线x+ay+1=0垂直，直线x+ay+1=0的斜率21
k a
=-， 由121k k =-，解得1a =.
考点：本题考查利用导数研究曲线的切线，两直线垂直的充要条件
【原创理由】本题考查导数的几何意义，两条直线垂直的条件，意在考查学生的运算求解能力.
30．1-=x y 【解析】
试题分析：将()ln f x x x =求导得()ln 1f x x '=+，设切点为00(,)x y ，l 的方程为
000(ln 1)()y y x x x -=+-，因为直线l 过点)1,0(-，所以0001(ln 1)(0)y x x --=+-．又
000ln y x x =，所以0000001l n (l n 1),1,0x x x x x y --=-+∴==．所以切线方程为1-=x y ．
考点：导数的应用． 31．0ex y e --= 【解析】
试题分析：对函数求导得x e x e x f x x
+='ln )(，所以e e e f k =+
='=1
1ln )1(11
，由点斜式，切线方程为)1(0-=-x e y ，整理得0ex y e --=. 考点：导数的几何意义.
32．2 【解析】
试题分析：因为x x y ln =，所以'
4
x y x
-=
，所以它在e x =处的切线的斜率21ln =+=e k .
考点：导数的应用.
33． （1）当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=
-1f 314
33131=++--;
当3=x 时, ()x f 取得极小值为()39927313+--?=f 6-=. （2）a 的取值范围是()+∞,0．
【解析】
试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”. （2） 根据 ()x f '= a x x +-22，得到△= a 44-= ()a -14 . 据此讨论：① 若a ≥1，则△≤0，
此时()x f '≥0在R 上恒成立，f （x ）在R 上单调递增 . 计算f （0）0<-=a ，()023>=a f ,得到结论.
② 若a ＜1，则△＞0，()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为1212x x x x <，，（）． 有1212 2 x x x x a +==，．
给出当x 变化时，()()x f ,x f '的取值情况表. 根据f （x 1）·f（x 2）＞0, 解得a ＞0．作出结论. 试题解析： （1）当3-=a 时，()333
123
+--=
x x x x f ， ∴()x f '()()13322
+-=--=x x x x .
令()x f '=0, 得 121,3x x =-=. 2分
当1- >x f , 则()x f 在()1,-∞-上单调递增; 当31<<-x 时,()0' , 则()x f 在()3,1-上单调递减; 当3>x 时,()0' >x f , ()x f 在()+∞,3上单调递增. 4分 ∴ 当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=-1f 3 1433131=++--; 当3=x 时, ()x f 取得极小值为()399273 1 3+--?= f 6-=. 6分 （2） ∵ ()x f '= a x x +-22 ， ∴△= a 44-= ()a -14 . ①若a ≥1，则△≤0， 7分 ∴()x f '≥0在R 上恒成立， ∴ f （x ）在R 上单调递增 . ∵f （0）0<-=a ，()023>=a f , ∴当a ≥1时，函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点． 9分 ② 若a ＜1，则△＞0， ∴()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为1212x x x x <，，（）． ∴1212 2 x x x x a +==，． 当x 变化时，()()x f ,x f '的取值情况如下表： 11分 ∵02121=+-a x x , ∴1212x x a +-=. ∴()a ax x x x f -+-=1213 113 1 = 1211213 1231x x ax x x -++- ()131231 x a x -+= ()[] 233 1 211-+=a x x . 同理()2x f ()[] 233 12 22-+=a x x . ∴()()()[]()[] 23239 12 2212121-+?-+=?a x a x x x x f x f ()()()() ()[ ] 2222122121292391-++-+=a x x a x x x x ()()[](){} 22122122922391-+-+-+=a x x x x a a a ()339 4 2+-=a a a . 令f （x 1）·f（x 2）＞0, 解得a ＞0． 而当10<=<-=a f a f , 13分 故当10< 综上所述，a 的取值范围是()+∞,0． 14分 考点：应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想. 34．（1）1；（2）单调递增区间为()a +∞，，单调递减区间为(0)a ，；（3）0a << 【解析】 试题分析：（1）求函数极值分四步，一是求函数定义域(0)+∞， ，二是求函数导数2()() ()x a x a f x x +-'= ，三是根据导数为零将定义区间分割，讨论导数值正负()0x a ∈，， ()0f x '<；()x a ∈+∞，，()0f x '>，，四是根据导数符号变化确定极值点1a =；（2）利 用导数求函数单调性，也是四个步骤.一是求出定义域：，二是求导数，三是分析导数符号变 化情况，四是根据导数符号写出对应单调区间：减区间为(0)a ，,增区间()a +∞，； （3）() f x 在[1]e ， 上没有零点，即()0f x ≠在[1]e ，上恒成立,也就是min ()0f x >或max ()0f x <，又(1)10f =>，只须在区间[1]e ，上min ()0f x >.以下有两个思路，一是求最小值，需分类讨论，当a e ≥时，m i n ()()f x f e =.当1a e <<时，m i n ()().f x f a =当01a <≤时， m i n ()(1).f x f =二是变量分离，22 2,((1,])ln x a x e x ≤∈，只需求函数2 (),((1,])ln x h x x e x =∈的最 小值. 试题解析：解：（1） 22 ()2ln (0)f x x a x a =->的定义域为(0)+∞，. 1分 22()2a f x x x '=-2222x a x -= 2()() x a x a x +-=. 2分 ()f x 在1x =处取得极值， (1)0f '∴=，解得1a =或1a =－（舍）. 3分 当1a =时，()01x ∈，，()0f x '<；()1x ∈+∞，，()0 f x '>， 所以a 的值为1. 4分 （2）令()0f x '=，解得x a =或x a =-（舍）. 5分 当x 在(0)+∞， 内变化时，() ()f x f x '，的变化情况如下： 由上表知()f x 的单调递增区间为()a +∞， ，单调递减区间为(0)a ，. 8分 （3）要使()f x 在[1 ]e ，上没有零点，只需在[1]e ，上min ()0f x >或max ()0f x <， 又(1) 10f =>，只须在区间[1]e ， 上min ()0f x >. （ⅰ）当a e ≥时，()f x 在区间[1]e ，上单调递减， 22min ()()20f x f e e a ==->， 解得 0a << 与a e ≥矛盾. 10分 （ⅱ） 当1a e <<时，()f x 在区间[1)a ， 上单调递减，在区间(]a e ，上单调递增， 2min ()()(12ln )0f x f a a a ==-> ， 解得0a << 1a <<分 （ⅲ）当01a <≤时，()f x 在区间[1]e ， 上单调递增，min ()(1)0f x f =>，满足题意. 综上，a 的取值范围为0a << 分 考点：利用导数求函数极值、单调区间、取值范围 35．解：2'()c x bx c f x x b x x ++=++=，又'(1)0f = 所以(1)() '()x x c f x x --= 且1c ≠，10b c ++= 。。。。。。。2分 （I ）因为1x =为()f x 的极大值点，所以1c > 当01x <<时，'()0f x >；当1x c <<时，'()0f x <；当x c >时，'()0f x > 所以()f x 的递增区间为(0,1)，(,)c +∞；递减区间为(1,)c ．。。。。。。。4分 （II ）①若0c <，则()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增 ()0f x =恰有两解，则(1)0f <，即102b +<，所以1 02 c -<<； ②若01c <<，则21()()ln 2f x f c c c c bc ==+ +极大，1 ()(1)2 f x f b ==+极小 因为1b c =--，则22 ()ln (1)ln 022 c c f x c c c c c c c =++--=--<极大 1 ()2 f x c =--极小，从而()0f x =只有一解； ③若1c >，则22 ()ln (1)ln 022 c c f x c c c c c c c =+ +--=--<极小,1()2f x c =--极大, 则()0f x =只有一解. 综上，使()0f x =恰有两解的c 的范围为1 02 c - <<． 。。。。。10分 【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 （1）因为1x =为()f x 的极大值点，则可以得到参数b,c 的关系式，并利用导数求解()f x 的单调区间， （2）因为()f x 的递增区间为(0,1)，(,)c +∞；递减区间为(1,)c ，那么对于参数c 进行讨论，进而分析函数图像与x 轴的位置关系。 36．（1）?? ? ??>+-≤≤<++-=4,843,163,76)(22t t t t t t t t h ； （2）)3ln 615,7(-∈m . 【解析】(1)本小题是二次函数在特定区间上的最值问题，属于轴定区间动的类型.只需讨论对称轴的三种位置即可. （2）本小题可转化为()()()F x f x g x =-有三个不同的零点即可.然后再利用导数研究F(x)的图像特征，数形结合，求出m 的取值范围. （1）()164)(2 +--=x x f ， 当41<+t 即3 76)1()(2++-=+=t t t f t h ； 当14+≤≤t t 即43≤≤t 时，16)4()(==f t h ； 当4>t 时，)(x f 在[]1,+t t 上单调递减，t t t f t h 8)()(2 +-==， 综上，?? ? ??>+-≤≤<++-=4,843,163,76)(22t t t t t t t t h （2）函数)(x f y =与)(x g y =的图象有且仅有三个不同的交点，即函数 )()()(x f x g x -=?的图象与x 的正半轴有且仅有三个不同的交点， ) 0() 3)(1(2682)(', ln 68)(2>--=+-=+--=x x x x x x x m x x x x ?? 当()1,0∈x 时，)(,0)('x x ??>是增函数； 当()3,1∈x 时，)(,0)('x x ?是增函数； 当3,1==x x 时，0)('=x ? 153ln 6)3()(,7)1()(2-+=?=?-=?=?∴m x m x 极小值极大值， 当x 充分接近0时，0)( 必须且只需,3ln 61570 153ln 6)(0 7)(-< ?<-+=?>-=?m m x m x 极小值极大值 则)3ln 615,7(-∈m . 37．(Ⅰ)3213()64f x x x x =- +-. (Ⅱ)0≤m<13 12 . 【解析】(1)由题意知x=1,x=2就是方程2 ()3210f x ax bx '=+-=的两个根，然后利用根与系数的关系可建立关于a,b 的方程，解出a,b 的值，进而确定f(x)的解析式。 （2）本小题转化为323ax bx x x m +-=--即32 20ax bx x m +++=在[-2,0]上有两个不 同的实数根，然后构造函数32 ()2g x ax bx x m =+++利用导数研究其极值，最值画出草图，数形结合不难解决。 解：(Ⅰ)()f x '=3ax 2 +2bx -1，……………………………………………………………(1分) 依题意，(1)f '=(2)f '=0，即3210, 12410. a b a b +-=??+-=? 解得a =16- ，b =34，经检验a =1 6-，b =34符合题意. ∴32 13()64 f x x x x =-+-.…………………………………………(5分) (Ⅱ)曲线y =f (x )与()g x =3x m --(20)x -≤≤有两个不同的交点， 即 32 132064 x x x m ---=在[-2，0]有两个不同的实数解. 设)x (? = 3213264x x x m ---，则213 ()222 x x x ?'=--， 由()0x ?'=，得x = 4或x = -1， ∵x ∈[-2，0]，∴当x (-2,-1)时，()0x ?'>，于是φ(x )在[-2,-1]上递增； 当x (-1,0)时，()0x ?'<，于是φ(x )在[-1,0]上递减.………(9分) 依题意有3232 13(2)(2)(2)2(2)0,6413(1)(1)(1)2(1)0,64(0)0,m m m ????-=------≤?? ?=------>?? =-≤??? ………………(11分) 解得0≤m< 13 12 ……… (12分) 38．（1）当1-=x 时, ()x f 取得极大值为 ()=-1f 3 143313 1=++--; 当3=x 时, ()x f 取得极小值为()399273 13+--?=f 6-=. （2）a 的取值范围是()+∞,0． 【解析】 试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”. （2）根据 ()x f '= a x x +-22 ，得到△= a 44-= ()a -14 . 据此讨论：① 若a ≥1，则△≤0， 此时()x f '≥0在R 上恒成立，f （x ）在R 上单调递增 . 计算f （0）0<-=a ，()023>=a f ,得到结论. ② 若a ＜1，则△＞0，()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为1212x x x x <，，（）． 有1212 2 x x x x a +==，． 给出当x 变化时，()()x f ,x f '的取值情况表. 根据f （x 1）·f（x 2）＞0, 解得a ＞0．作出结论. 试题解析： （1）当3-=a 时，()333 123 +--= x x x x f ， ∴()x f '()()13322+-=--=x x x x . 令()x f '=0, 得 121,3x x =-=. 2分 当1- , 则()x f 在()3,1-上单调递减; 当3>x 时,()0'>x f , ()x f 在()+∞,3上单调递增. 4分 ∴ 当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=-1f 3 1433131=++--; 当3=x 时, ()x f 取得极小值为()399273 1 3+--?= f 6-=. 6分 （2） ∵ ()x f '= a x x +-22 ， ∴△= a 44-= ()a -14 . ① 若a ≥1，则△≤0， 7分 ∴()x f '≥0在R 上恒成立， ∴ f （x ）在R 上单调递增 . ∵f （0）0<-=a ，()023>=a f , ∴当a ≥1时，函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点． 9分 ② 若a ＜1，则△＞0， ∴()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为1212x x x x <，，（）． ∴1212 2 x x x x a +==，． 当x 变化时，()()x f ,x f ' 的取值情况如下表： 11分 ∵02121=+-a x x , ∴1212x x a +-=. ∴()a ax x x x f -+-=1213 113 1 = 1211213 1231x x ax x x -++- ()131231 x a x -+= ()[] 233 1 211-+=a x x . 同理()2x f ()[] 233 12 22-+=a x x . ∴()()()[]()[] 23239 12 2212121-+?-+=?a x a x x x x f x f ()()()() ()[ ] 2222122121292391-++-+=a x x a x x x x ()()[](){} 22122122922391-+-+-+=a x x x x a a a ()339 4 2+-=a a a . 令f （x 1）·f（x 2）＞0, 解得a ＞0． 而当10<=<-=a f a f , 13分 故当10< 考点：应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想. 39．（1）m=1(讨论见解析)； （2）见解析． 【解析】(1) ． 由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0，所以m=1． 于是f(x)=e x －ln(x+1)，定义域为(－1，+∞)，． 函数 在(－1，+∞)上单调递增，且f '(0)=0，因此当x ∈(－1，0)时， f '(x)<0;当x ∈(0，+∞)时， f '(x)>0． 所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增． (2)当m ≤2，x ∈(－m ，+∞)时，ln(x+m )≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0． 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 导数复习 1．已知函数y ＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( ) 2．函数y ＝f （x ）在定义域（－ 3 2 ，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f （x ），则不等式f （x ）≤0的解集为（ ） A ．[－13，1]∪[2，3） B ．[－1，12]∪[43，8 3] C ．[－32，12]∪[1，2）D ．（－32，－ 13]∪[12，43]∪[43 ，3） 3．已知 其导函数 的图象如图，则函数 的极小值是 A. B. C. D. c 4．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．设函数()y f x =的图像如左图，则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的（） 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图像如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．函数32 55y x x x =+--的单调递增区间是___________________________. 8．函数()x x x f ln =的单调递减区间是 9.函数()f x x x ln 22 -=的单调递减区间是 10．函数f(x)= lnx x 的单调递减区间是 11．函数2x y x e -=在区间(,0)-∞上的单调性为 12．若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 高中导数知识点归纳 1 一、基本概念 2 1. 导数的定义： 3 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也4 引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 5 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数6 )(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 7 ()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=) ()(lim )(00000 8 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程） 9 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的10 斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为11 ).)((0'0x x x f y y -=- 12 3．基本常见函数的导数: 13 ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= 14 ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; 15 ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; 16 ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 17 二、导数的运算 18 1.导数的四则运算： 19 高三专题复习——导数在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线yf(x)在x x处的切线的斜率等于f(x0)，切线方程为 0 y f(x)(xx)f(x) 000 (2)若可导函数yf(x)在xx0处取得极值，则f x。反之，不成立。 ()0 (3)对于可导函数f(x)，不等式f(x)0（0）的解集决定函数f(x)的递增（减）区间。 (4)函数f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：xIf(x)0(0)恒成立 (5)函数f(x)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程 fx在区间I上有实根且为非二重根。（若f(x)为二次函数且I=R，则有0）。 ()0 (6)f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f(x)0或 fx0在I上恒成立 () (7)若xI，f(x)0恒成立，则f x0;若xI，f(x)0恒成立，则 () min f(x)0 max (8)若x0I，使得f(x)0，则f(x)max0；若x0I，使得 0 f x0，则f(x)min0. () (9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D若xDf(x)g(x)恒成立则有f(x)g(x)0 min (10)若对x1I1、x I， 22 f(x)g(x)恒成立，则 12 f xgx. ()() minmax 若对x1I1，x2I2，使得f xgx,则 ()() 12 f xgx. ()() minmin 若对xI，x 2I2，使得 11 f xgx，则f(x)max g(x)max. ()() 12 （11）已知f(x)在区间I上的值域为A,，g(x)在区间 1 I上值域为B，2 若对x I, 11 x I，使得f(x1)= 22 g(x)成立，则AB。 2 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f(x)0有两个不等实根x1、x2，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: x ①lnxx1(x0)②ln（x+1）x(x1)③e1x x ④e1x⑤ln1(1) xx x x12 ⑥l nx11 22 x22x (x0) 考点一：导数几何意义：角度一求切线方程 1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′3 过曲线y＝x 上一点P(a，b)的切线方程为() π ，f′(x)是f(x)的导函数，则4 2014高考文科数学：导数知识点总结 (4) x x sin )(cos -='. (5) x x )(ln = '；e a x x a log )(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.（7）' ' ' ()u v u v ±=±. （8）' ' ' ()uv u v uv =+. （9）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -= ≠. （10）2' 11x x -=?? ? ?? （11） ()x x 21' = 5.导数的应用 ①单调性：如果0)(' >x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(' 高考复习资料 指数函数、对数函数与幂函数 知识回顾 Ⅰ、指数函数的概念及运算性质 1n 叫根指数，a 叫被开方数（平方根，立方根，n 次方根的概念）。0的任何次方根 都等于00 2、两个等式：A 、n>2时，且n N +∈时，n a = B 、n a ；n 00 a a a a a ≥?=? -∈> 正数的负分数指数幂的意义：10,,,1)m n m n a a m n N n a -+= = >∈> 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。 4、指数概念由整数扩充到有理数后，指数的运算性质由5条合并成3条 ①(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =?>>∈ Ⅱ、对数的概念及运算性质 1、概念：log ,(0,1)x a y a x y a a =?=>≠，以10为底的对数叫做常用对数：10log lg a a =；以e=2.71828为底的对数叫自然对数：log ln e a a = 2、对数的性质：对数log ,(0,1)a N a a >≠的性质：①0N >；②log 10a =；③log 1a a = 3、对数的运算法则： ①log a M N ?=____________________；②log a M N =____________________；③log n a M =____________________； ④log a =______________；⑤换底公式：log a b =______________； 换底公式推论：log n m a b =_______________； ⑥倒数公式：log log 1a b b a ?=；⑦对数恒等式：log log 10log 1a b a a a a b ===①②③④log log log a b a b c c ?= Ⅲ、指数、对数函数的概念 （1）指数函数的概念：函数x y a =叫做指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量，函数的定义域为R ； （2）对数函数的概念：函数log a y x =叫做对数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常量，函数的值域是R 。 Ⅳ、幂函数的概念 形如y x α=的函数称为幂函数（α为常数），重点掌握11 1,2,3,,,123 α=-时的幂函数及其图像。 Ⅴ、幂函数的性质和图像 幂函数的图像分为二大类，三种情况。A 类：当0a >时，a y x =在第一象限内为增函数，A 类分两种情况； B 类：当0a <时，a y x =在第一象限内为减函数，B 类只有一种情况。 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. Ps ：二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f （x ）的导数y ＇=f ＇（x ）仍然是x 的函数，则y ＇=f ＇（x ）的导数叫做函数y=f （x ）的二阶导数。 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. ⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 3. 导数的几何意义： 就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+ =，x x x g 2 cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导. 5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法； 如果函数)(x f y =在区间I 恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数. 注：①0)( x f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)( x f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)( x f 是f （x ）递减的充分非必要条件. ②一般地，如果f （x ）在某区间有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时， ①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导 定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）； §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 导数及其应用 一．导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是 000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000 ()() lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于 P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00 ()() n n n f x f x k x x -= -，当点n P 趋近于 P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000 ()() lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作y ',即0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 例一： 若2012)1(/=f ，则x f x f x ?-?+→? )1()1(l i m 0 = ，x f x f x ?--?+→?) 1()1(lim 0= ，x x f f x ??+-→?4)1()1(lim 0= ， x f x f x ?-?+→?)1()21(lim 0= 。 二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 2 若()f x x α =,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 第十一节变化率与导数、导数的计算 [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数： 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0) Δx＝lim Δx→0 Δy Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0， 即 f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)导数的几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数： 称函数f ′(x )＝lim Δx → f (x ＋Δx )－f (x ) Δx 为f (x )的导函数． [探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？ 提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0(x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 3．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 导数知识点总结 考试内容： 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值． 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． 知识要点： 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量 ) ()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到 x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0 |'x x y =，即)(0'x f = x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y = 的定义域为B ，则A 与B 关系为 B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??=??||， 当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故 x y x ??→?0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 高二数学复习讲义—导数及其应用 知识归纳 1．导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ，那么函数 y 相应地有增量 ?y =f （x 0 + ?x ） －f （x 0 ），比值 ?y 叫做函数 y=f （x ）在 x 0 ?x 到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即 ?y = f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。如果当 ?x → 0 时， x ?x ? y 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处 ?x 可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处 的导数，记作 f’（x 0 ）或 y’| x =x 0 。 即 f （x ）= lim ?y = lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。 0 ?x →0 ?x ?x →0 ?x 说明：（1）函数 f （x ）在点 x 0 处可导，是指 ?x → 0 时， ??y x 有极限。如果 ??y x 不存在极 限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。（2）?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量，?x ≠ 0 4．两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( u ± v )' = u ' ± v ' . 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函 数 乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 ， 即 ： (uv )' = u ' v + uv ' . 若 C 为常数, (Cu )' = C 'u + Cu ' = 0 + Cu ' = Cu ' . 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu )' = Cu ' . 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的 ? u ? u ' v - uv ' 积再除以分母的平方： ? ‘ = v 2 ? v ? （v ≠ 0）。 形如 y=f [?(x ) ]的函数称为复合函数。复合 函数求导步骤：分解——求导——回代。法 时，而 ?y 是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的步骤：（1）求函数的增量 ?y =f （x 0 + ?x ）－f （x 0 ）； （2）求平均变化率 ?y = f (x + ?x ) - f (x 0 ) ； ?x ?x （3）取极限，得导数 f’(x 0 )= lim ?y 。 ?x →0 ?x 2．导数的几何意义 函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率是 f’（x 0 ）。 / 相应地，切线方程为 y －y 0 =f （x 0 ）（x －x 0 ）。 3．几种常见函数的导数: ① C ' = 0; ② (x n )' = nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;④ (cos x )' = -sin x ; ⑤ (e x )' = e x ; ⑥ ( a x )' = a x ln a ; ⑦ (ln x )' = 1 ; ⑧ (l o g a x )' = 1 log a e . x x导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
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