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导数知识点总结及例题讲解

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高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ∆x ，那么函数 y 相应地有增量 ∆y =f （x 0 + ∆x ）－f （x 0 ），比值 ∆y叫做函数 y=f （x ）在 x 0∆x到 x 0 + ∆x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即 ∆y = f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。

如果当 ∆x → 0 时， x ∆x ∆y 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处 ∆x可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处的导数，记作 f’（x 0 ）或 y’| x =x 0 。

即 f （x）= lim ∆y = lim f (x 0 + ∆x ) - f (x 0 ) 。

0∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x 说明：（1）函数 f （x ）在点 x 0 处可导，是指 ∆x → 0 时，∆∆y x 有极限。

如果 ∆∆yx 不存在极限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。

（2）∆x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量，∆x ≠ 04．两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( u ± v )' = u ' ± v '. 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函 数 乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 ， 即 ：(uv )' = u ' v + uv ' . 若 C 为常数, (Cu )' = C 'u + Cu ' = 0 + Cu ' = Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu )' = Cu '. 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的⎛ u ⎫ u ' v - uv ' 积再除以分母的平方：⎪ ‘ =v 2 ⎝ v ⎭（v ≠ 0）。

形如 y=f [ϕ(x ) ]的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤：分解——求导——回代。

法时，而 ∆y 是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的步骤：（1）求函数的增量 ∆y =f （x 0 + ∆x ）－f （x 0 ）； （2）求平均变化率∆y=f (x+ ∆x ) - f (x 0) ；∆x∆x（3）取极限，得导数 f’(x 0 )= lim∆y。

∆x →0∆x2．导数的几何意义函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率。

也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p（x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率是 f’（x 0 ）。

/相应地，切线方程为 y －y 0 =f （x 0 ）（x －x 0 ）。

3．几种常见函数的导数:① C ' = 0;② (x n)'= nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;④ (cos x )' = -sin x ; ⑤ (e x )' = e x ; ⑥ ( a x )' = a x ln a ;⑦ (ln x )'= 1 ; ⑧ (l o g a x )' = 1 log a e .x x则：y＇| X = y＇| U·u＇| X5.单调区间：一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；如果f'(x)<0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f'(x)=0，则f(x)为常数；6.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；7．最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数 f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数ƒ (x)在(a，b)内的极值；②求函数ƒ (x)在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ (x)的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

高考题型解 ： y / = ( x - a ) ( 3 x - 2a - ，b ) 由 y / = 0 得1.导数定义的应用例 1 (北京高考）如图，函数 f ( x ) 的图象是 x = a , x =2a + b，∴当 x = a 时， y 取极大值3折线段 ABC ，其中 A ，B ，C 的坐标分别为 0 ，当 x = 2a + b时 y 取极小值且极小值为(0，4)，(2，0)，(6，4) ，3lim f (1 + ∆x )- f (1)负．故选 C ．或当 x < b 时 y < 0 ，当 x > b 时， = _________．y > 0 选 C ．∆x →0∆xy4AC点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也3是考试的热点题型.23.利用导数解决函数的单调性问题1Bx例 5 （ 全 国 高 考 ） 已 知 函 数O 1 2 3 4 5 6解：由图可知 f (x ) = ⎧- 2x + 4 0 ≤ x ≤ 2f ( x ) = x 3 + ax 2 + x +1， a ∈R ．⎨ ，根⎩x - 22 < x ≤ 3（Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 的单调区间；据导数的定义知 lim f (1 + ∆x )- f (1) = f '(1) = -2 ．（Ⅱ）设函数 f ( x ) 在区间 ⎛ - 2 ，- 1 ⎪⎫内是减函∆x →0∆x⎝ 3 3 ⎭例 ２ ( 重 庆 高 考 ) 已 知 函 数 f (x ) = (x 2 + bx + c )e x ,其中 b , c ∈ R ，（Ⅰ）略， （Ⅱ）若 b 2 ≤ 4(c -1), 且 lim f (x )- c = 4 ，试 xx →0证： - 6 ≤ b ≤ 2 ．解 ： '2+ (b + 2)x + b + c )e x ， 易 知 f (0) = c ．故f (x )- f (0)f (x )- c '， x x - 0 x →0x →0 ⎧b + c = 4, 解得 - 6 ≤ b ≤ 2 ． 所以 ⎨b 2 ≤ 4(c -1),⎩ 2. 利用导数研究函数的图像 例 3 （ 安 徽 高 考 ） 设 a ＜ b, 函 数y = ( 2( x - 的b )图像可能是 x - a )数，求 a 的取值范围．解 ：（ 1 ） f ( x ) = x 3 + ax 2 + x +1 求 导 得f '( x )= 2 +x 13 x + 2a当 2 ≤ 3 时， ∆ ≤ 0 ， ' ≥ 0 ， f ( x ) 在 R 上 a f ( x ) 递增； 当 2 > 3 ， ' 求 得 两 根 为 a f ( x ) = 0x =- a ± a 2- 3 ，3⎛⎫即 f ( x )- a - a 2- 3在 -∞，⎪ 递 增 ，3⎪⎝⎭⎛ ⎫ - a - a 2 - 3 - a + a 2 - 3递 减，3 ， 3 ⎪⎪⎝ ⎭⎛ ⎫ - a + a 2 - 33 ，+ ∞⎪ 递增。

⎪⎝ ⎭（2）因为函数 f ( x ) 在区间 ⎛- 2 ，- 1 ⎪⎫ 内是减⎝ 3 3 ⎭⎛ 21 ⎫函数，所以当 x ∈ -，-⎪ 时 f '(x ) ≤ 0 恒成3 3 ⎝ ⎭⎧ ⎛ 2 ⎫⎪ f ' - ⎪ ≤ 0 3 ⎪ ⎝⎭ 解 立，结合二次函数的图像可知 ⎨ ⎛ 1⎫ ⎪⎪⎝ 3 ⎭⎩得 a ≥ 2 ．点评：函数在某区间上单调转化为导函数 f'(x ) ≥ 0 或 f '(x ) ≤ 0 在区间上恒成立问题，是解决这类问题的通法．本题也可以由函数⎛ ⎫- a - a 2 - 3 - a + a 2 - 3 在 3 ， 3⎪ 上递减，所以⎪ ⎝ ⎭ ⎧ - a - a 2 - 3 ≤ - 2⎪3 3 ⎪求解． ⎨⎪ - a + a 2 - 3 ≥ - 1⎪3 3⎩ 【 变 式 1 】（ 全 国 高 考 ） 若 函 数f (x ) =13 x 3 - 12 ax 2 + (a -1)x +1 在区间 (1,4)上是减函数，在区间 (6,+∞)上是增函数，求实数 a 的取值范围．解： f (x ) = x 2 - ax + (a -1) ，令 f '(x ) = 0 得 x = 1或 x = a -1，结合图像知 4 ≤ a -1 ≤ 6 ，故 a ∈[5,7]．点评：本题也可转化为 f '(x )≤ 0，x ∈(1,4)恒成立且 f '(x )≥ 0，x ∈(6,+∞)恒成立来解．【 变 式 2 】（ 浙 江 高 考 ） 已 知 函 数f ( x ) = x 3 + (1 - a ) x 2 - a ( a + 2)x + b( a , b ∈ R ) ．若函数 f ( x ) 在区间 ( -1,1) 上不．单调，求 a 的取值范围． ．．解：函数 f (x ) 在区间 (-1,1) 不单调，等价于f (x ) = 0在区间 (-1,1)上有实数解，且无重 ' 根．+ 2(1 - a )x - a (a + 2)又' 2， 由f '(x ) = 0 ，得 x 1 = a , x 2 = - a +3 2。

从而⎧-1 < a < 1,⎧-1 < - a + 2 < 1,⎪a + 2 或⎪3解 得⎨⎨a + 2⎪a ≠ -,⎪33 .⎩⎧-1 < a < 1, ⎧- 5 < a < 1, ⎪ 1 ⎪ 1⎨ 或 ⎨⎪a ≠ - ,⎪a ≠ - ,2 2 ⎩ ⎩⎛ - 5,- 1 ⎫ ⎛ - 1 ⎫所以 a 的取值范围是 ⎪ ,1⎪.⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。

（4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问 题例 6 （江西高考）若存在过点 (1, 0) 的直线与曲线 y = x 3 和 y = ax 2 + 15x - 9 都相切，则 a 等4于A ． -1 或 - 25B ． -1 或 21 4 64C ． - 7 或 - 25D ． - 7 或 74 4解：设过 ( 1, 0 )的直线与 y = x 3 相切于点( x 0 , x 03 )， 所 以 切 线 方 程为y - x 0 3 = 3 x 0 2 ( x - x 0 )即 y = 3 x 0 2 x - 2x 03 ，又 (1, 0)在切线上，则x 0 = 0 或 x 0 = -32 ，当 x 0 = 0 时，由 y = 0 与 y = ax 2 +154 x - 9 相切可得 a = - 6425，32 7 2 7 当 x0 = - 时 ， 由 y =x -与 2 4 4y = ax 2+154 x -9相切可得a= -1，所以选A .点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．【变式】（ 辽宁高考）设 P 为曲线 C ：y = x 2 + 2 x + 3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ⎡ π ⎤⎢0，⎥ ，则点 P 横坐⎣ 4 ⎦标的取值范围为（ ）A ． ⎡-1，- 1 ⎤B ． [-1，0⎥⎣ 2 ⎦[ ]⎡ 1 ⎤⎣ 2⎦ 解：由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范⎡ π ⎤围为 ⎢ 0，⎥ ，可得曲线 C 在点 P 处切线的斜⎣ 4 ⎦率范围为 [0 1] y = 2x + 2 ，设点 P的横坐，，又 ' 标 为 x 0 ， 则 0 ≤ 2x 0 + 2 ≤ 1 ， 解 得 -1 ≤ x 0 ≤ -12 ，故选 A ．5. 利用导数求函数的极值与最值例 7 （ 天 津 高 考 ） 已 知 函 数f ( x ) = x 4 + ax 3 + 2x 2 + b （ x ∈ R ）， 其 中a ,b ∈ R ．若函数 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值，求 a 的取值范围．解： f '( x ) = x (4 x 2 + 3ax + 4) ，显然 x = 0 不是方程 4 x 2 + 3ax + 4 = 0 的根．为 使 f ( x ) 仅 在 x = 0 处 有 极 值 ， 必 须4 x 2 + 3ax + 4 ≥ 0 成立，即有 ∆ = 9a 2 - 64 ≤ 0 ．解不等式，得 -83 ≤ a ≤ 83 ．这时， f (0) = b 是唯一极值．因此满足条件的 a 的取值范围是[ -83 , 83] ．6.利用导数解决实际问题例 8 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为 x （m ），则长为 2x (m)，高为 h = 18 -12x = 4.5 - 3x (m)⎛ 3 ⎫0＜x ＜⎪ .4 ⎝2 ⎭故 长 方 体 的 体积 为223 3⎛ 3 ⎫V (x ) = 2x(4.5 - 3x )= 9x -6x (m )< x<⎪⎝2 ⎭从而 V '(x ) =18x -18x 2 (4.5 - 3x ) =18x (1 - x ).令V '(x ) = 0 ，解得 x = 0（舍去）或 x = 1，因此 x = 1.当 0 < x < 1 时， V '(x ) > 0 ；当 1 < x <32 时，V '(x )< 0 ，故在 x = 1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积V = V '(x ) = 9 ⨯12 - 6 ⨯13 (m 3 )，此时长方体的长为 2 m ，高为 1.5 m导数及其应用[基础训练 A 组]一、选择题1．若函数y=f(x)在区间 ( a , b) 内可导，且x0∈( a, b) 则 lim f ( x0+ h )- f ( x0- h)hh→0的值为（ B ）A．f ' ( x ) B．2f ' ( x ) C．-2f'(x) D．00 0 0lim f (x0+ h )- f (x0 - h ) = lim 2[ f (x0 + h )- f (x0 - h) ]h 2hh →0 h→0= 2lim f (x0 + h )- f (x0 - h) = 2 f' (x )h→0 2h 02．一个物体的运动方程为s=1-t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（C）A． 7 米/秒B． 6 米/秒C．5米/秒D．8米/秒s '(t )=2t -1, s'(3)=2⨯3-1=53．函数y=x3+x的递增区间是（C ）A．(0,+∞) B．(-∞,1)C．(-∞,+∞) D．(1,+∞)y '=3x2+1>0对于任何实数都恒成立4．f (x ) =ax3+ 3x2+ 2 ,若f' (-1) = 4 ,则a的值等于（D ）A．19 B．163 3C．13 D．103 3f '(x )=3ax 2+6x, f '(-1)=3a -6=4, a = 10 35．函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的（ D ）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件对于f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,不能推出f(x)在x=0取极值，反之成立。

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导数的知识点和典型例题

导数的知识点和典型例题

导数的知识点和典型例题一、导数的定义和概念导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。

导数的定义如下：设函数y=f(x)，若极限lim（x→x0）[f(x)-f(x0)]/[x-x0]存在，则称此极限为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)，即f'(x0)=lim（x→x0）[f(x)-f(x0)]/[x-x0]其中，x0为自变量的一个取值。

二、导数的求法1. 利用定义式直接求解。

2. 利用基本求导公式，例如：（1）常数函数y=C（C为常数），则y'=0；（2）幂函数y=x^n，则y'=nx^(n-1)；（3）指数函数y=a^x，则y'=a^xlna；（4）对数函数y=loga x，则y'=1/xlna；（5）三角函数和反三角函数等。

三、导数的性质1. 导数存在的充分必要条件是原函数在该点处可导。

2. 导数具有可加性、可减性、可乘性和常系数倍性。

3. 导数具有介值定理和零点定理。

四、典型例题1. 求解以下函数在给定点处的导数：(1) y=x^3+2x^2-3x+5，x=1；(2) y=sin x+cos x，x=π/4。

2. 求解以下函数在给定区间的导数：(1) y=x^3+2x^2-3x+5，[0,1]；(2) y=sin x+cos x，[0,π/4]。

3. 求解以下函数的导数：(1) y=e^(ax)，其中a为常数；(2) y=loga x，其中a为常数且a≠1。

五、总结导数是微积分中最基本的概念之一，它描述了函数在某一点处的变化率。

求解导数可以利用定义式或基本求导公式。

导数具有可加性、可减性、可乘性和常系数倍性等性质。

在典型例题中，需要注意区间和常数等问题。

掌握导数的知识点和求解方法对于学习微积分和其他相关学科都具有重要意义。

导数知识点总结及例题

导数知识点总结及例题

导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。

这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。

对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。

1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。

例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。

这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。

1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。

也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。

二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。

例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。

2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。

我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。

导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。

2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。

这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。

三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。

导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)

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导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

导数知识点总结及答案

导数知识点总结及答案

导数知识点总结及答案一、导数的定义在数学中，函数f(x)在某一点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，f'(a)表示函数f(x)在x=a处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增量。

导数的定义可以理解为当自变量x在x=a处发生一个很小的变化h时，函数f(x)在此点的增量f(a+h) - f(a)与自变量的增量h的比值。

当h趋向于0时，这个比值就是函数f(x)在x=a处的导数。

二、导数的性质1. 可加性：如果函数f(x)和g(x)在某一点x=a处有导数，那么它们的和、差、积、商函数在此点处也有导数，并且导数的值可以进行相应的运算。

2. 连续性：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么函数f(x)在该点处是连续的。

3. 导数与函数的关系：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么函数f(x)在该点处是可微的，反之亦然。

4. 导数与函数的图像关系：函数f'(x)在某一点x=a处的导数值，可以描述函数f(x)在该点处的切线的斜率。

5. 高阶导数：如果函数f(x)在某一点x=a处有导数，那么它的导数f'(x)也可以求导，进而得到f''(x)，称为函数f(x)的二阶导数，依此类推，可以求得函数f(x)的任意阶导数。

三、常见函数的导数1. 幂函数：f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

2. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，其导数为f'(x) = a^x*ln(a)。

3. 对数函数：f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

4. 三角函数：f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。

5. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)；f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。