应用随机过程复习资料

1 [()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- 由于(0)0X =故()[()][()(0)]X m t E X t E X t X t λ==-=2()[()][()(0)]X t D X t D X t X t σλ==-=2222(,)[()()]{()[()()()]}[()(0)][()()][()][()(0)][()()][()]{[()]}()()(1)X R s t E X s X t E X s X t X s X s E X s X X t X s E X s E X s X E X t X s D X s E X s s t s s s st s s t λλλλλλλλ==-+=--+=--++=-++=+=+(,)(,)()()X X X X B s t R s t m s m t s λ=-=()()[]exp{(1)}iuX t iu X g u E e t e λ==-2 定理3.2 设{(),0}X t t ≥是具有参数λ的泊松分布，{,1}n T n ≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T 是独立同分布的均值为1λ的指数分布Proof:注意到1{}T t >发生当且仅当泊松过程在区间[0,]t 内没有事件发生，因而1{}{()0}t P T t P X t e λ->=== 即111(){}1{}1tT F t P T t P T t e λ-=≤=->=-所以1T 是服从均值为1λ的指数分布.利用泊松过程的独立、平稳增量性质，有21{|}{()()0}{()(0)0}tP T t T s P X t s X s P X t X eλ->==+-==-==即222(){}1{}1tT F t P T t P T t e λ-=≤=->=-对任意的1n ≥和121,,,...,0n t s s s -≥有21111{|,...,}{()(0)0}t n n P T t T s T s P X t X e λ--->===-==即(){}1n tT n F t P T t eλ-=≤=-所以对任一n T 其分布是均值为1λ的指数分布.所以1,0(){}0,0n t T n e t F t P T t t λ-⎧-≥=≤=⎨<⎩概率密度为,0()0,0n tT et f t t λλ-⎧≥=⎨<⎩3 设在[0,]t 内事件A 已经发生n 次,0s t <<,对于0k n <<,求{()|()}P X s k X t n ==解:利用条件概率及泊松分布得{(),()}{()|()}{()}{(),()()}{()}1kn kk n P X s k X t n P X s k X t n P X t n P X s k X t X s n k P X t n s s C t t -=======-=-==⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这是一个参数为n 和st的二项分布 4 对有s t <有11(){,()1}{|()1}{()1}{()1,()()0}{()1}{()1}{()()0}{()1}s t s s P W s X t P W s X t P X t P X s X t X s P X t P X s P X t X s P X t se e s se tλλλλλ----≤=≤====-====-=====即分布函数为1|()10,0(),01,W X t s F s s t s t s t =<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩分布密度为1|()11,0()0,W X t t s tf s =≤<⎧=⎨⎩其它5 设()1()N t kk X t Y==∑,0t ≥是复合泊松过程则（1）{(),0}X t t ≥是独立增量过程；（2）()X t 是特征函数()()exp{[()1]}X t Y g u t g u λ=-,其中()Y g u 是随机变量1Y 的特征函数; λ是事件的到达率;3)若21()E Y <∞,则1[()][]E X t tE Y λ=,21[()][]D X t tE Y λ= Proof:1)令010...m t t t ≤<<<, 则1()1()1()()k k N t k k i i N t X t X t Y --=+-=∑,1,2,...,k m = 故()X t …2)因为 ()()()01()[][|()]{()}()[exp()|()]!exp{[()1]}iuX t iuX t X t n n ntk n k Y g u E eE eN t n P N t n t E iu Y N t n en t g u λλλ∞=∞-=========-∑∑∑3)由条件期望的性质[()]{[()|()]}E X t E E X t N t =及假设知()11[()|()][|()]()N t ii E X t N t n E Y N t n nE Y =====∑所以11[()]{[()|()]}[()]()()E X t E E X t N t E N t E Y tE Y λ===类似地1[()|()]()[]D X t N t N t D Y =,2111[()]{()[]}{()()}()D X t E N t D Y D N t E Y tE Y λ=+=6 设脉冲到达计数器的规律是到达率为λ的泊松过程,记录每个脉冲的概率为p ,记录不同脉冲的概率是相互独立的.l 令()X t 表示已被记录的脉冲数. (1) 求{()},0,1,2,...P X t k k == (2) ()X t 是否为泊松过程.解：设{(),0}N t t ≥表示在[0,]t 区间脉冲到达计数器的个数,令1,0,i i i ξ⎧=⎨⎩第个脉冲被计数器记录第个脉冲没有被计数器记录则()1()N t ii X t ξ==∑根据复合泊松过程的定义知()X t 为泊松过程，且1()()EX t EN t E t p pt ξλλ=== 故()X t 强度为p λ,(){()}!kptpt P X t k e k λλ-==,0,1,...k =7 设{,}n X n T ∈为马尔科夫链,则对任意整数0,n ≥0l n ≤<和,i j I ∈,n 步转移概率()n ij p 具有下列性质：(1) ()()()n l n l ij ik kjk Ip pp -∈=∑; (2) 112111()......n n n ij ik k k k j k Ik I p pp p --∈∈=∑∑(3) ()(1)n n P PP-=(4) ()n nP P =Proof:1）利用全概率公式及马尔科夫性，有()()()()(){,}{|}{}()()n m m n ij m n m m n l l l n l kj ik ik kjk Ik IP X i X j p P X j X i P X i p m l p m p p ++--∈∈========+=∑∑2)在(1)中令11,l k k ==，得111()(1)n n ij ik k jk Ip pp -∈=∑ 这是一个递推公式，故可推得到112111()......n n n ij ik k k k j k Ik Ip p p p --∈∈=∑∑3）在(1)中令1l =,利用矩阵乘法可证 4）由(3),利用归纳法可证8 判别马氏性、齐次性1）马氏性定义: 110011{|,,...,}n n n n P X i X i X i X i ++====11{|}n n n n P X i X i ++===2)111111111111{,,...,}{|}{|}...{|}n n n n n n n n n n n n n n P X i X i X i P X i X i P X i X i P X i X i ++--++--==========9 设{,0}n X n ≥为马尔科夫链，试证(1) 1100{,...,|,...}n n n m n m n n P X i X i X i X i ++++====11{,...,|}n n n m n m n n P X i X i X i ++++====(2)002211{,...,,...,|}n n n n n m n m n n P X i X i X i X i X i ++++++=====00112211{,...|}{,...,|}n n n n n n n m n m n n P X i X i X i P X i X i X i ++++++++=======proof: (1)110000110011{,...,|,...}{,...,,...,}{,...}{,...,}{}{,...,|}n n n m n m n n n n n n n m n m n n n n n m n m n n n n n m n m n n P X i X i X i X i P X i X i X i X i P X i X i P X i X i P X i P X i X i X i ++++++++++++++===================(2)利用条件概率类似可得10 设马氏链{}n X 的状态空间为{0,1...}I =转移概率为00,10111,,,222i i i p p p i I +===∈考察状态0 可知000000(1)(2)(3)11111111,,22242228p p p ==⋅==⋅⋅=有00()12n n p =故0001111,22n n n n f n μ∞∞-=====<∞∑∑可见0为正常返，由于00(1)102f =>，所以它是非周期的，因而是遍历的，对于其它状态由定理4.9，因0i ↔故i 也是遍历的11 设{1,2,...6}I =转移矩阵为00100000000100001013130130010*******12P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试分解此链并指出各状态的常返性及周期性. 解：有题可知1111(3)()1,0,3n f f n ==≠所以11()113n n nfμ∞===∑可见1为正常返状态且周期等于3.含1的基本常返闭集为1{:1}{1,3,5}C k k =→=从而状态3及5也为正常返且周期为3.同理可知6为正常返状态. 632μ=,其周期为1,含6的基本常返闭集为2{:6}{2,6}C k k =→=可见2是遍历的. 由于(1)()44441,0,13n f f n ==≠故4非常返，周期为1，于是I 可分解为12{4}{1,3,5}{2,6}I D C C ==12 设不可分马氏链的状态空间为{1,2,...6}C =,转移矩阵为0120120130010101000000100001000000140340P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可知各状态的周期3d =.固定状态1i =令(3)01,(31)11,(32)21,{:00}{1,4,6}{:00}{3,5}{:00}{2}n j n jn jG j n p G j n p G j n p++=≥>==≥>==≥>=对某有对某有对某有 故012{1,4,6}{3,5}{2}C G G G ==13 设马尔科夫链具有状态空间{0,1,...}I =,转移概率11,,(0)ii i ii i ii i p p p r p q i +-===≥,其中,0i i p q >1i i i p r q ++=.称这种马尔科夫链为生灭链,是不可约的，记0101...1,,1...j j jp p a a j q q -==≥试证此马氏链存在平稳分布的充要条件为jj a∞=<∞∑Proof:由题可知000111111,11j j j j j j j j j j r q p r q j p r q πππππππ--++⎧=+⎪=++≥⎨⎪++=⎩于是有递推关系110011110j j j j j j j j q p q p q p ππππππ++---=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得11,0j j j j p j q ππ--=≥所以110001...j j j j jp p a q q ππππ--==== 对j 求和得001jj j j a ππ∞∞====∑∑由此可知平稳分存在的充要条件是jj a∞=<∞∑此时001,,1jj jjj a j aπππ∞===≥∑14 设马氏链的转移概率矩阵为(1) 12121323⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 112233000p q p q q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算()()1112,,1,2,3n n f f n =解：(1) (1)(2)(3)(1)(2)(3)111111121213111111,,;,,269248f f f f f f ====== (2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)2111111112312112111311,0,;,,f p f f q q q f q f p q f p q ======15 设马氏链的转移矩阵为1112010.........00......000.....................q p P q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求它的平稳分布. 解：110011101...1,1,...1j j j kjj k k p p j pq q q πππ--∞==+=≥=+∑∏16 证明泊松过程{(),0}X t t ≥为连续时间齐次马氏链 Proof:先证泊松过程具有马氏性,再证齐次性,由泊松过程的定义知{(),0}X t t ≥识独立增量过程,且(0)0X =对任意110...n t t +<<<有111111111111{()|(),...,()}{()()|()(0),...,()()}{()()}n n n n n n n n n n n n n n n n P X t i X t i X t i P X t X t i i X t X i X t X t i i P X t X t i i ++++--++====-=--=-=-=-=-又因为1111{()|(),...,()}n n n n P X t i X t i X t i ++===1111{()()|()(0)}{()()}n n n n n n n n n n P X t X t i i X t X i P X t X t i i ++++=-=--==-=-所以111111{()|(),...,()}{()|()}n n n n n n n n P X t i X t i X t i P X t i X t i ++++=====即泊松过程是一个连续时间马氏链；再证齐次性,当j i ≥时,由泊松过程定义,得{()|()}(){()()}()!j i tP X s t j X s i t P X s t X s j i ej i λλ--+===+-=-=- 当j i <时,由于过程的增量只取非负整数,故(,)0ij p s t =,所以(),(,)()()!0,j it ij ij t ej i p s t p t j i j i λλ--⎧≥⎪==-⎨⎪<⎩即转移概率只与t 有关,泊松过程具有齐次性17 求poisson 过程的Q 及π解：poisson 过程(),0()()!0,j i tij t e j i p t j i λλ--⎧-≥⎪=-⎨⎪⎩其它(1) 0,(0)lim (0)lim 1,0,tij j i p p e j i j i λ-<⎧⎪===⎨⎪>⎩(2)由性质知()p t 关于t 一致连续lim ()t p t π→∞=（存在）(3) (0)limp IQ t-=存在 ()lim()lim lim,()!1()lim ,1()lim ()!0,1,ij ijij tj i t t j i tp t I q te t e t j i j i t e j i t e t t j i j i j i λλλλλλλλλ-------=⎧⎛⎫-==⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪=⎨⎧==+⎪⎪=⎨⎪-⎪>+<⎪⎩⎩由Q Q ππθ==得0...00...00...............Q λλλλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦,0π=18 M/M/s 排队系统.假设顾客按照参数为λ的泊松过程来到一个有s 个服务员的服务站,即相继到达顾客的时间间隔是均值为1λ的独立指数随机变量,每一个顾客一来到,如果有服务员空闲,则直接进行服务,否则此顾客加入排队行列.当一个服务员结束对一位顾客的服务时,顾客就离开服务系统,排队中的下一个顾客进入服务.假定相继的服务时间是独立的指数随机变量,均值为1μ.如果我们以()X t 记时刻t 系统中的人数,则{(),0}X t t ≥是生灭过程,1,n n n ss n s μμμ=≤≤⎧⎨>⎩，,0n n λλ=≥ M/M/s 排队系统中M 表示马氏过程,s 代表有s 个服务员.特别,在M/M/s 排队系统中,,n n λλμμ===,于是若1λμ<,则1()1,01()nnn n n n λμλλπλμμμ∞=⎛⎫⎛⎫==-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+∑ 要平稳分布存在, λ必须小于μ.λμ=的情况类似随机游动,它是常零返的,从而没有极限概率19 某修理店只有一个服务员,顾客按强度为4人每小时poisson 过程到达,服务员对每位顾客服务的时间是常数10的指数分布,问(1)修理店空闲的概率0β;(2)等候服务的顾客平均数解：(1) 010.6λβμ=-=； (2) 010101... 1.5n n L n λμβββλμ∞=-==++==∑20 讨论随机过程()X t Y =的各态历经性,其中Y 是方差不为零的随即变量.解：易知()X t Y =是平稳过程,事实上[()][]()X E X t E Y m ==常数，22(,)[][]()X X R t t E Y D Y m t τ-==+与无关但此过程不具有各态历经性，因为1()12TTT X t i mYdt Y T-→∞<>=⋅⋅=⎰,Y 是非常数，不等于[()]E X t .所以()X t Y =的均值不具有各态历经性.类似可证其相关函数也不具有各态历经性.21 设随机过程()sin()cos()X t A t B t λλ=+，其中A B 、是均值为零、方差为2σ相互独立的正态随机变量.试问： (1) ()X t 的均值是否各态历经的？(2) ()X t 的均方值2[()]E X t 是否各态历经的？(3)若sin cos A B φφ=，,φ是π（0,2）上服从均匀分布的随机变量,此时2[()]E X t 是否各态历经的？ 解：(1) [()]=sin()cos()=0E X t EA t EB t λλ+01()1()21=12cos()2sin()=1TTT T T T X t i mX t dtTi mB t dt T t i m B tλλλ-→∞→∞→∞<>=⋅⋅⋅⋅⨯⋅⋅⎰⎰由于2(0,)B N σ ,故22222sin()sin ()lim 0lim 0T T t t E B EB t tλλλλ→∞→∞-== 即sin()t B tλλ均方收敛于0,故()X t 的均值是各态历经的 (2)222222[()][sin ()cos ()2sin()cos()]E X t E A t B t AB t t λλλλσ=++=2222221()1()2sin 21()24T TT T X t i m X t dtT A B T i m B A Tλλ-→∞→∞<>=⋅⋅+=+⋅⋅-⎰类似(1)可证得22sin 21()04T T i mB A Tλλ→∞⋅⋅-=，故 222()2A B X t +<>=又2(0,)A N σ ,故222(1)A χσ,22()2A D σ=,242DA σ=222222222411[()]()2211[()]()024E A B EA EB D A B DA DB σσ+=+=+=+=≠因此()X t 的均方值2[()]E X t 非各态历经.(3) 将A B 、代于(2)中得222()[()]X t E X t σ<>== 故2[()]E X t 是各态历经的22 赌徒输光问题两赌徒甲、乙进行一系列赌博.赌徒甲有a 元,赌徒乙有b 元,每赌一局输者赢着一元钱,没有和局,直到两个人中有一个输光为止.设在每一局中,甲赢的概率为p,输的概率为q=1-p ，求甲输光的概率.解：设i u 表示甲从状态i 出发转移到0的概率,由于0和c 是吸收状态,故01,0c u u ==由全概率公式11i i i u pu qu +-=+,1,2,...,1i c =-由于1p q +=即有差分方程11(),1,2,...,1i i i i u u r u u i c +--=-=- 其中qr p=,其边界条件为01,0c u u ==Case1 当11,2r p q ===时，有 11i i i i u u u u +--=-解得1,1,2,...,1i i u i c c=-=- 令i a =求得甲输光的概率为1a a b u c a b=-=+ 故在p q =时赌本小的输光的可能性大 同样乙输光的概率为b a u a b=+ 由于1a b u u +=故必有一人要输光，赌博迟早要结束 Case2p q ≠时111()(1)1k cc c k i i i kr r u u r u u u r --=--=-=--∑ 令0k =由于0c u =故111(1)1cr u r-=--即11(1)1c r u r --=-所以,1,2,...11k ck cr r u k c r-==-- 令k a =得甲输光的概率1a ca cr r u r -=- 同样乙输光的概率为1b cb cr r u r -=-由于1a b u u +=p q ≠时也必有一人要输光。

1、设在底层乘电梯的人数服从均值5λ=的泊松分布，又设此楼共有N+1层。

每一个乘客在每一层楼要求停下来离开是等可能的，而且与其余乘客是否在这层停下是相互独立的。

求在所有乘客都走出电梯之前，该电梯停止次数的期望值。

2、设齐次马氏链{(),0,1,2,}X n n = 的状态空间{1,2,3}E =，状态转移矩阵1102211124412033P=（1）画出状态转移图；（2）讨论其遍历性；（3）求平稳分布；（4）计算下列概率： i ）{(4)3|(1)1,(2)1};P X X X === ii ）{(2)1,(3)2|(1)1}P X X X ===.3、设顾客以泊松分布抵达银行，其到达率为λ，若已知在第一小时内有两个顾客抵达银行，问：（1）此两个顾客均在最初20分钟内抵达银行的概率是多少？ （2）至少有一个顾客在最初20分钟抵达银行的概率又是多少？4、设2()X t At Bt C ++，其中A , B , C 是相互独立的标准正态随机变量，讨论随机过程{(),}X t t −∞<<+∞的均方连续、均方可积和均方可导性.5、设有实随机过程{(),}X t t −∞<<+∞，加上到一短时间的时间平均器上作它的输入，如下图所示，它的输出为1(),()()d tt TY t Y t X u u T −=∫，其中t 为输出信号的观测时刻，T 为平均器采用的积分时间间隔。

若()cos X t A t =，A 是（0, 1）内均匀分布的随机变量。

（1）求输入过程的均值和相关函数，问输入过程是否平稳？ （2）证明输出过程()Y t 的表示式为sin 2()cos()22T T Y t A t T=⋅−.（3）证明输出的均值为sin 12[()]cos()222T T E Y t t T =−，输出相关函数为12(,)R t t = 2sin 1232T T12cos()cos()22T Tt t −−，问输出是否为平稳过程？6、甲、乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，和局的概率为R ，1p q r ++=，设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分。

高等数学中的随机过程相关知识点详解近年来，随机过程被越来越多的人所关注和使用。

作为高等数学的一个分支，随机过程具有广泛的应用领域，包括金融、医学、生物学等等。

在本文中，将详细解析高等数学中的随机过程相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。

一、概率论基础在进行随机过程的学习之前，我们需要了解一些概率论的基础知识。

概率论是确定不确定性的一种科学方法，它研究的是随机事件的发生规律和概率计算方法。

在概率论中，有一些基本概念和公式，包括概率、条件概率、概率分布、随机变量等等。

1.1 概率概率是指一个事件发生的可能性大小。

通常用P来表示，它的取值范围是0到1。

当P=0时，表示这个事件不可能发生；当P=1时，表示这个事件一定会发生。

例如，掷一枚硬币正面朝上的概率为1/2，或者说P=0.5。

1.2 条件概率条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。

通常用P(A|B)来表示，表示在B发生的情况下，A发生的概率。

例如，从一副牌中摸两张牌，第一张是红桃，第二张是黑桃的概率为P(第二张是黑桃|第一张是红桃)=26/51。

1.3 概率分布概率分布是指所有可能事件发生的概率分布，它是概率论的基础。

在不同的情况下，概率分布也是不同的。

例如，在离散型随机变量中，概率分布通常以概率质量函数的形式给出；而在连续性随机变量中，概率分布通常以概率密度函数的形式给出。

1.4 随机变量随机变量是一种随机事件的数学描述。

它通常用大写字母表示，如X、Y、Z等等。

根据其取值的类型，随机变量可以分为离散型和连续型。

离散型随机变量只能取到有限或可数个值，如掷硬币、扔骰子等等；而连续型随机变量可以取到任意实数值，如身高、体重等等。

二、随机过程的基本概念2.1 随机过程的定义随机过程是一种描述随机事件随时间变化的方法。

它可以看作是有限维随机变量序列的无限集合，其中每个随机变量代表系统在某个时刻的状态。

随机过程的定义包括两个方面：空间（状态集合）和时间（时刻集合）。

一、选择题1.在随机过程中，若某一过程的所有可能状态及其概率在时间上保持不变，则称该过程为：A.平稳过程B.非平稳过程C.马尔可夫过程D.遍历过程2.下列哪个不是描述随机变量分布特性的重要参数？A.期望值（均值）B.方差C.协方差D.样本容量3.马尔可夫链中，若当前状态仅依赖于前一个状态，则称该链具有：A.一阶记忆性B.无记忆性C.高阶记忆性D.完全记忆性4.在随机游走模型中，若每一步的位移是独立同分布的随机变量，且均值为0，则该模型属于：A.布朗运动B.泊松过程C.几何布朗运动D.平稳独立增量过程5.泊松分布常用于描述：A.单位时间内某事件发生次数的概率分布B.连续型随机变量的概率分布C.样本均值的分布D.两个随机变量之间的线性关系6.若一个随机过程的任意两个时间点上的随机变量之间都存在线性关系，则称该过程具有：A.平稳性B.相关性C.正态性D.独立性7.在连续时间马尔可夫链中，状态转移率矩阵描述了：A.各状态间的直接转移概率B.各状态间的间接转移概率C.单位时间内从某状态转移到其他状态的概率D.所有状态的总转移概率8.布朗运动的一个关键性质是：A.路径可预测性B.路径连续但几乎处处不可导C.路径分段平滑D.路径与时间呈线性关系9.对于随机过程X(t)，若对任意t，X(t)的概率分布函数与时间t无关，则X(t)是：A.平稳过程B.严格平稳过程C.弱平稳过程D.遍历过程10.下列哪个随机过程模型常用于金融市场中的股票价格模拟？A.几何布朗运动B.泊松过程C.平稳独立增量过程D.线性回归过程。

随机过程理论与应用随机过程是研究随机变量随时间变化规律的数学工具，广泛应用于各个领域。

随机过程理论不仅是概率论和统计学的一个重要分支，也是现代工程学、自然科学和社会科学的基础理论之一、本文将介绍随机过程的定义、基本理论以及其在不同领域中的应用。

一、随机过程的定义和基本概念随机过程可以理解为一个随机变量的集合，这些随机变量表示其中一随机现象在不同时刻的取值。

随机过程的数学定义是一个由随机变量组成的函数族，其中每个函数是时间的函数。

随机过程可以用X(t)表示，其中t代表时间。

随机过程可以分为离散和连续两类。

离散随机过程是指在一些离散时间点上变化的随机过程，而连续随机过程是指在时间范围内连续变化的随机过程。

随机过程的基本概念包括状态空间、样本路径、独立性和马尔可夫性。

状态空间是指随机过程可能取值的所有状态的集合，样本路径是指具体的一条轨迹，即随机过程在不同时刻的取值序列。

独立性是指在不同时刻上的取值之间没有关联性，马尔可夫性是指给定过去的取值，未来的取值与过去和未来时刻之间的取值无关。

二、随机过程的基本性质和理论随机过程的基本性质包括均值函数、自协方差函数和功率谱密度函数。

均值函数描述了随机过程在不同时刻的取值的平均水平，自协方差函数描述了随机过程在不同时刻的取值之间的相关性，功率谱密度函数描述了随机过程在不同频率上的能量分布。

随机过程的基本理论包括概率密度函数和累积分布函数的计算、马尔可夫性的判定和转移概率的求解。

概率密度函数和累积分布函数的计算用于描述随机过程取值的概率分布，马尔可夫性的判定用于分析随机过程的性质，转移概率的求解用于描述随机过程在不同时刻的状态转移规律。

三、随机过程在不同领域中的应用1.通信工程：随机过程在通信系统中的应用是构建信道模型和分析通信系统的性能。

通信信道往往是一个随机过程，随机过程理论可以用来建立信道模型，并通过计算信道容量、误码率等指标来评估通信系统的性能。

2.金融学：随机过程在金融学中的应用是对资产价格和利率等金融变量进行建模和预测。

全书章，都是考试内容，要全面复习.题型填空题占左右，计算题左右.主要内容.事件与概率，掌握事件地表示方法以及古典概型地计算；熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式地应用（会考大题）；熟练掌握条件概率公式地计算方法以及两个独立事件乘积概率等于概率乘积.随机变量及其分布了解随机变量；会求离散型随机变量地分布律、连续性随机变量地密度函数，分布函数；掌握六种常用地随机变量及其分布，离散地：两点分布、二项分布、泊松分布分布律，连续地：均匀分布，指数分布、正态分布地密度函数（一定要会写出）.已知地密度函数()，(),会求地密度函数.多维随机变量及其分布重点是二维随机变量边缘分布以及概率地求法；独立性判定（一般会考大题）相互独立地随机变量密度函数满足()()()，会判定两个随机变量是否独立.两个随机变量函数地分布：两个随机变量和、最大值地分布密度，注意到正态分布地和、差一定是正态分布.主要是求出它地均值与方差就可以了.文档收集自网络，仅用于个人学习.随机变量地数字特征数学期望定义与求法，方差，协方差以及相关系数，会判断两个随机变量是否是相关地.掌握种重要地随机变量地均值与方差.极限定理理解切比雪夫不等式地含义，会用切比雪夫不等式估计一个事件地概率抽样及抽样分布理解样本、抽样、样本值等概念会求离散型随机抽样地联合分布律、连续型随机抽样地联合分密度函数掌握统计量地定义，掌握样本均值、样本方差.掌握几种常用地抽样分布，分布地数学期望与方差，分布地、分布、分布地分位点地含义及其关系.分布地性质则则掌握正态总体样本均值、样本方差地分布，掌握定理—（条件，结论）参数估计会求一个总体分布中未知参数地矩估计与最大似然估计（估计量与估计值）（会考大题）理解估计量地评选标准，会判断一个统计量是否为未知参数地无偏估计量，掌握正态总体地均值与方差地区间估计（填空题）文档收集自网络，仅用于个人学习假设检验假设检验地一般步骤（个步骤）（一般会考大题）原假设，备择假设，（）检验统计量及其服从地分布；（）拒绝域（）计算统计量地值；并与拒绝域地临界点值比较；（）作出判断，接受或者拒绝原假设；（）说明意义.关于正态总体地假设检验重点掌握：（）关于均值地假设检验（已知时与未知时）地拒绝域（）关于方差地假设检验地拒绝域.注意双边检验与单边检验地拒绝域.随机过程（）掌握随机过程地数字特征：均值函数、自相关函数（会熟练求出）（）掌握泊松过程与维纳过程地定义与其数字特征：均值函数、自相关函数、自协方差函数.会求泊松过程地概率.（一般会考填空题）文档收集自网络，仅用于个人学习（）平稳过程地定义与判断（均值函数是常数，自相关函数是时间差地单变量函数.会判断一个平稳过程地均值（自相关函数）是各态历经地会求平稳过程地功率谱密度和平均功率（一般会考大题）马尔可夫过程理解马尔可夫链地含义会求马尔可夫链地一步转移概率矩阵，会求步转移概率矩阵会利用转移概率矩阵求相应地概率，利用转移概率矩阵和初始概率求转移概率及绝对分布.会判断马尔可夫链地遍历地，如果是遍历地会求极限分布.（会考大题）不做要求地内容.二维随机变量分布函数求法，两个随机变量商地分布密度；.协方差矩阵；.正态总体中，两个样本均值差，方差比地区间估计、假设检验不要求掌握.。

应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。

1、概率空间方面，主要掌握sigma 代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。

符号解释： sup 表示上确界， inf 表示下确界。

本帖隐藏的内容2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。

其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的 N 阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。

3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。

条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。

二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。

因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由 Kolmogorov 定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。

同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。

1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1) 和 X(t2) 的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t) 的协方差函数 r(t,s)只与时间差t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。

因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。

2、独立增量过程：若 X[Tn] – X[T(n-1)] 对任意 n 均相互独立，则称 X(t) 是独立增量过程。

若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。

兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

应⽤随机过程复习资料1 [()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- 由于(0)0X =故()[()][()(0)]X m t E X t E X t X t λ==-=2()[()][()(0)]X t D X t D X t X t σλ==-=2222(,)[()()]{()[()()()]}[()(0)][()()][()][()(0)][()()][()]{[()]}()()(1)X R s t E X s X t E X s X t X s X s E X s X X t X s E X s E X s X E X t X s D X s E X s s t s s s st s s t λλλλλλλλ==-+=--+=--++=-++=+=+(,)(,)()()X X X X B s t R s t m s m t s λ=-=()()[]exp{(1)}iuX t iu X g u E e t e λ==-2 定理3.2 设{(),0}X t t ≥是具有参数λ的泊松分布，{,1}n T n ≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T 是独⽴同分布的均值为1λ的指数分布Proof:注意到1{}T t >发⽣当且仅当泊松过程在区间[0,]t 内没有事件发⽣，因⽽1{}{()0}t P T t P X t e λ->=== 即111(){}1{}1tT F t P T t P T t e λ-=≤=->=-所以1T 是服从均值为1λ的指数分布.利⽤泊松过程的独⽴、平稳增量性质，有21{|}{()()0}{()(0)0}tP T t T s P X t s X s P X t X eλ->==+-==-==即222(){}1{}1tT F t P T t P T t e λ-=≤=->=-对任意的1n ≥和121,,,...,0n t s s s -≥有21111{|,...,}{()(0)0}t n n P T t T s T s P X t X e λ--->===-==即(){}1n tT n F t P T t eλ-=≤=-所以对任⼀n T 其分布是均值为1λ的指数分布.所以1,0(){}0,0n t T n e t F t P T t t λ-?-≥=≤=?概率密度为,0T et f t t λλ-?≥=?3 设在[0,]t 内事件A 已经发⽣n 次,0s t <<,对于0k n <<,求{()|()}P X s k X t n ==解:利⽤条件概率及泊松分布得{(),()}{()|()}{()}{(),()()}{()}1kn kk n P X s k X t n P X s k X t n P X t n P X s k X t X s n k P X t n s s C t t -=======-=-===- ? ???这是⼀个参数为n 和st的⼆项分布 4 对有s t <有11(){,()1}{|()1}{()1}{()1,()()0}{()1}{()1}{()()0}{()1}s t s s P W s X t P W s X t P X t P X s X t X s P X t P X s P X t X s P X t se e s se t λλλλλ----≤=≤====-====-=====即分布函数为1|()10,0(),01,W X t s F s s t s t s t ==≤分布密度为1|()11,0()0,W X t t s tf s =≤其它5 设()1()N t kk X t Y（1）{(),0}X t t ≥是独⽴增量过程；（2）()X t 是特征函数()()exp{[()1]}X t Y g u t g u λ=-,其中()Y g u 是随机变量1Y 的特征函数; λ是事件的到达率;3)若21()E Y <∞,则1[()][]E X t tE Y λ=,21[()][]D X t tE Y λ= Proof:1)令010...m t t t ≤<<<, 则1()1()1()()k k N t k k i i N t X t X t Y --=+-=∑,1,2,...,k m = 故()X t …2)因为 ()()()01()[][|()]{()}()[exp()|()]!exp{[()1]}iuX t iuX t X t n n ntk n k Y g u E eE eN t n P N t n t E iu Y N t n en t g u λλλ∞=∞-=========-∑∑∑3)由条件期望的性质[()]{[()|()]}E X t E E X t N t =及假设知()11[()|()][|()]()N t ii E X t N t n E Y N t n nE Y =====∑所以11[()]{[()|()]}[()]()()E X t E E X t N t E N t E Y tE Y λ===类似地1[()|()]()[]D X t N t N t D Y =,2111[()]{()[]}{()()}()D X t E N t D Y D N t E Y tE Y λ=+=6 设脉冲到达计数器的规律是到达率为λ的泊松过程,记录每个脉冲的概率为p ,记录不同脉冲的概率是相互独⽴的.l 令()X t 表⽰已被记录的脉冲数. (1) 求{()},0,1,2,...P X t k k == (2) ()X t 是否为泊松过程.则()1()N t ii X t ξ==∑根据复合泊松过程的定义知()X t 为泊松过程，且1()()EX t EN t E t p pt ξλλ=== 故()X t 强度为p λ,(){()}! kptpt P X t k e k λλ-==,0,1,...k =7 设{,}n X n T ∈为马尔科夫链,则对任意整数0,n ≥0l n ≤<和,i j I ∈,n 步转移概率()n ij p 具有下列性质：(1) ()()()n l n l ij ik kjk Ip pp -∈=∑; (2) 112111()......n n n ij ik k k k j k Ik I p pp p --∈∈=∑∑(3) ()(1)n n P PP-=(4) ()n nP P =Proof:1）利⽤全概率公式及马尔科夫性，有()()()()(){,}{|}{}()()n m m n ij m n m m n l l l n l kj ik ik kjP X i X j p P X j X i P X i p m l p m p p ++--∈∈========+=∑∑2)在(1)中令11,l k k ==，得111()(1)n n ij ik k jk Ip pp -∈=∑ 这是⼀个递推公式，故可推得到112111()......n n n ij ik k k k j k Ik Ip p p p --∈∈=∑∑3）在(1)中令1l =,利⽤矩阵乘法可证 4）由(3),利⽤归纳法可证8 判别马⽒性、齐次性1）马⽒性定义: 110011{|,,...,}n n n n P X i X i X i X i ++====11{|}n n n n P X i X i ++===2)111111111111{,,...,}{|}{|}...{|}n n n n n n n n n n n n n n P X i X i X i P X i X i P X i X i P X i X i ++--++--==========9 设{,0}n X n ≥为马尔科夫链，试证(1) 1100{,...,|,...}n n n m n m n n P X i X i X i X i ++++====11{,...,|}n n n m n m n n P X i X i X i ++++====(2)002211{,...,,...,|}n n n n n m n m n n P X i X i X i X i X i ++++++=====00112211{,...|}{,...,|}n n n n n n n m n m n n P X i X i X i P X i X i X i ++++++++=======proof: (1)110000110011{,...,|,...}{,...,,...,}{,...}{,...,}{}{,...,|}n n n m n m n n n n n n n m n m n n n n n m n m n n n n n m n m n n P X i X i X i X i P X i X i X i X i P X i X i P X i X i P X i P X i X i X i ++++++++++++++===================(2)利⽤条件概率类似可得,,,222i i i p p p i I +===∈考察状态0 可知000000(1)(2)(3)11111111,,22242228p p p ==?==??=有00()12n n p =故0001111,22n n n n f n µ∞∞-=====<∞∑∑可见0为正常返，由于00(1)102f =>，所以它是⾮周期的，因⽽是遍历的，对于其它状态由定理4.9，因0i ?故i 也是遍历的11 设{1,2,...6}I =转移矩阵为00100000000100001013130130010*******12P =?试分解此链并指出各状态的常返性及周期性. 解：有题可知1111(3)()1,0,3n f f n ==≠所以11()113n n nfµ∞===∑可见1为正常返状态且周期等于3.含1的基本常返闭集为1{:1}{1,3,5}C k k =→=µ=,其周期为1,含6的基本常返闭集为2{:6}{2,6}C k k =→=可见2是遍历的. 由于(1)()44441,0,13n f f n ==≠故4⾮常返，周期为1，于是I 可分解为12{4}{1,3,5}{2,6}I D C C == 12 设不可分马⽒链的状态空间为{1,2,...6}C =,转移矩阵为0120120130010101000000100001000000140340P ??=?可知各状态的周期3d =.固定状态1i =令(3)01,(31)11,(32)21,{:00}{1,4,6}{:00}{3,5}{:00}{2}n j n jn jG j n p G j n p G j n p++=≥>==≥>==≥>=对某有对某有对某有故012{1,4,6}{3,5}{2}C G G G == 13 设马尔科夫链具有状态空间{0,1,...}I =,转移概率11,,(0)ii i ii i ii i p p p r p q i +-===≥,其中,0i i p q >1i i i p r q ++=.称这种马尔科夫链为⽣灭链,是不可约的，记0101...1,,1...j j jp p a a j q q -==≥试证此马⽒链存在平稳分布的充要条件为=<∞∑Proof:由题可知000111111,11j j j j j j j j j j r q p r q j p r q πππππππ--++?=+? =++≥??++=?于是有递推关系110011110j j j j j j j j q p q p q p ππππππ++---=-=-??解得11,0j j j j p j q ππ--=≥所以110001...j j j j jp p a q q ππππ--==== 对j 求和得001jj j j a ππ∞∞====∑∑由此可知平稳分存在的充要条件是jj a∞=<∞∑此时001,,1jj a j aπππ∞===≥∑14 设马⽒链的转移概率矩阵为(1) 12121323 (2) 112233000p q p q q p计算()()1112,,1,2,3n n f f n =解：(1) (1)(2)(3)(1)(2)(3)111111121213111111,,;,,269248f f f f f f ====== (2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)2111111112312112111311,0,;,,f p f f q q q f q f p q f p q ====== 15 设马⽒链的转移矩阵为1112010.........00......000.....................q p P q p =??求它的平稳分布. 解：110011101...1,1,...1j j j kjj k k p p j pq q q πππ--∞==+=16 证明泊松过程{(),0}X t t ≥为连续时间齐次马⽒链 Proof:先证泊松过程具有马⽒性,再证齐次性,由泊松过程的定义知{(),0}X t t ≥识独⽴增量过程,且(0)0X =对任意110...n t t +<<<有111111111111{()|(),...,()}{()()|()(0),...,()()}{()()}n n n n n n n n n n n n n n n n P X t i X t i X t i P X t X t i i X t X i X t X t i i P X t X t i i ++++--++====-=--=-=-=-=-⼜因为1111{()|(),...,()}n n n n P X t i X t i X t i ++===1111{()()|()(0)}{()()}n n n n n n n n n n P X t X t i i X t X i P X t X t i i ++++=-=--==-=-所以111111{()|(),...,()}{()|()}n n n n n n n n P X t i X t i X t i P X t i X t i ++++=====即泊松过程是⼀个连续时间马⽒链；再证齐次性,当j i ≥时,由泊松过程定义,得{()|()}(){()()}()!j i tP X s t j X s i t P X s t X s j i ej i λλ--+===+-=-=- 当j i <时,由于过程的增量只取⾮负整数,故(,)0ij p s t =,所以(),(,)()()!0,j it ij ij t ej i p s t p t j i j i λλ--?≥?==-??即转移概率只与t 有关,泊松过程具有齐次性17 求poisson 过程的Q 及π解：poisson 过程(),0()()!0,j i tij t e j i p t j i λλ--?-≥?=-其它(1) 0,(0)lim (0)lim 1,0,tij j i p p e j i j i λ-?(2)由性质知()p t 关于t ⼀致连续lim ()t p t π→∞=（存在）(3) (0)limp IQ t,()!1()lim ,1()lim ()!0,1,ij ijij tj i t t j i tp t I q te t e t j i j i t e j i t e t t j i j i j i λλλλλλλλλ-------=-==? ?-?=??==+??=??-?>+由Q Q ππθ==得0...00...00...............Q λλλλλλ-??-?=-??-??,0π=18 M/M/s 排队系统.假设顾客按照参数为λ的泊松过程来到⼀个有s 个服务员的服务站,即相继到达顾客的时间间隔是均值为1λ的独⽴指数随机变量,每⼀个顾客⼀来到,如果有服务员空闲,则直接进⾏服务,否则此顾客加⼊排队⾏列.当⼀个服务员结束对⼀位顾客的服务时,顾客就离开服务系统,排队中的下⼀个顾客进⼊服务.假定相继的服务时间是独⽴的指数随机变量,均值为1µ.如果我们以()X t 记时刻t 系统中的⼈数,则{(),0}X t t ≥是⽣灭过程,1,n n n ss n s µµµ=≤≤??>?，,0n n λλ=≥ M/M/s 排队系统中M 表⽰马⽒过程,s 代表有s 个服务员.特别,在M/M/s 排队系统中,,n n λλµµ===,于是若1λµ<,则1()1,01()nnn n n n λµλλπλµµµ∞=??==-≥ ? ?????+∑ 要平稳分布存在, λ必须⼩于µ.λµ=的情况类似随机游动,它是常零返的,从⽽没有极限概率19 某修理店只有⼀个服务员,顾客按强度为4⼈每⼩时poisson 过程到达,服务员对每位顾客服务的时间是常数10的指数分布,问(1)修理店空闲的概率0β;(2)等候服务的顾客平均数解：(1) 010.6λβµ=-=； (2) 010101... 1.5n n L n λµβββλµ∞=-==++==∑20 讨论随机过程()X t Y =的各态历经性,其中Y 是⽅差不为零的随即变量.解：易知()X t Y =是平稳过程,事实上[()][]()X E X t E Y m ==常数，22(,)[][]()X X R t t E Y D Y m t τ-==+与⽆关但此过程不具有各态历经性，因为1()12TTT X t i mYdt Y T-→∞<>=??=?,Y 是⾮常数，不等于[()]E X t .所以()X t Y =的均值不具有各态历经性.类似可证其相关函数也不具有各态历经性.21 设随机过程()sin()cos()X t A t B t λλ=+，其中A B 、是均值为零、⽅差为2σ相互独⽴的正态随机变量.试问： (1) ()X t 的均值是否各态历经的？(2) ()X t 的均⽅值2[()]E X t 是否各态历经的？(3)若sin cos A B φφ=，,φ是π（0,2）上服从均匀分布的随机变量,此时2[()]E X t 是否各态历经的？解：(1) [()]=sin()cos()=0E X t EA t EB t λλ+()1()21=12cos()2sin()=1TTT T T T X t i mX t dtTi mB t dt T t i m B tλλλ-→∞→∞→∞<>=由于2(0,)B N σ ,故22222sin()sin ()lim 0lim 0T T t t E B EB t tλλλλ→∞→∞-== 即sin()t B tλλ均⽅收敛于0,故()X t 的均值是各态历经的 (2)222222[()][sin ()cos ()2sin()cos()]E X t E A t B t AB t t λλλλσ=++= 2222221()1()2sin 21()24T TT T X t i m X t dtT A B T i m B A Tλλ-→∞→∞<>=??+=+??-?类似(1)可证得22sin 21()04T T i mB A Tλλ→∞-=，故 222A B X t +<>=⼜2(0,)A N σ ,故222(1)A χσ,22()2A D σ=,242DA σ=222222222411[()]()2211[()]()024E A B EA EB D A B DA DB σσ+=+=+=+=≠因此()X t 的均⽅值2[()]E X t ⾮各态历经.(3) 将A B 、代于(2)中得222()[()]X t E X t σ<>== 故2[()]E X t 是各态历经的22 赌徒输光问题两赌徒甲、⼄进⾏⼀系列赌博.赌徒甲有a 元,赌徒⼄有b 元,每赌⼀局输者赢着⼀元钱,没有和局,直到两个⼈中有⼀个输光为⽌.设在每⼀局中,甲赢的概率为p,输的概率为q=1-p ，求甲输光的概率.解：设i u 表⽰甲从状态i 出发转移到0的概率,由于0和c 是吸收状态,故01,0c u u ==由全概率公式11i i i u pu qu +-=+,1,2,...,1i c =-由于1p q +=即有差分⽅程11(),1,2,...,1i i i i u u r u u i c +--=-=- 其中qr p=,其边界条件为01,0c u u ==Case1 当1r p q ===时，有 11i i i i u u u u +--=-解得1,1,2,...,1i i u i c c=-=- 令i a =求得甲输光的概率为1a a b u c a b=-=+ 故在p q =时赌本⼩的输光的可能性⼤同样⼄输光的概率为b a u a b =+ 由于1a b u u +=故必有⼀⼈要输光，赌博迟早要结束 Case2p q ≠时111()(1)1k cc c k i i i kr r u u r u u u r --=--=-=--∑ 令0k =由于0c u =故111(1)1cr u r-=--即11(1)1c r u r --=-所以,1,2,...11k ck cr r u k c r-==-- 令k a =得甲输光的概率1a ca cr r u r -=- 同样⼄输光的概率为1b cb cr r u r -=-由于1a b u u +=p q ≠时也必有⼀⼈要输光。

应用随机过程期末复习资料全第一章随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ，···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。

例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。

令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。

为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。

例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。

以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。

例4：乘客到火车站买票，当所有售票窗口都在忙碌时，来到的乘客就要排队等候。

乘客的到来和每个乘客所需的服务时间都是随机的，所以如果用X(t)表示t 时刻的队长，用Y(t)表示t 时刻到来的顾客所需等待的时间，则{X(t), t ∈T}和{Y(t), t ∈T}都是随机过程。

定义：设给定参数集合T ，若对每个t ∈T, X(t)是概率空间),,(P ?Ω上的随机变量，则称{X(t), t ∈T}为随机过程，其中T 为指标集或参数集。

E X t →Ω:)(ω，E 称为状态空间，即X(t)的所有可能状态构成的集合。

例1：E 为{0,1} 例2：E 为[0, 10]例3：E 为},2,2,1,1,0{Λ-- 例4：E 都为),0[∞+注：（1）根据状态空间E 的不同，过程可分为连续状态和离散状态，例1，例3为离散状态，其他为连续状态。

（2）参数集T 通常代表时间，当T 取R, R +, [a,b]时，称{X(t), t ∈T}为连续参数的随机过程；当T 取Z, Z +时，称{X(t), t ∈T}为离散参数的随机过程。