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高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1讲坐标系习题课件

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高三数学一轮复习第十三篇坐标系与参数方程第1节坐标系课件理

高三数学一轮复习第十三篇坐标系与参数方程第1节坐标系课件理

【例 3】 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标 系,设☉C 的极坐标方程为ρ =2sin θ ,点 P 为☉C 上一动点,点 M 的极坐标为
(4, π ),点 Q 为线段 PM 的中点. 2
(1)求点 Q 的轨迹 C1 的方程;
解:(2)由(1)可知,曲线 C1:ρ=2sin θ即圆 x2+(y-1)2=1,如图所示, 过 P(-1,1)被曲线 C1 截得弦长为 2 的直线有两条:
第十三篇 坐标系与参数方程(选修4—4) 第1节 坐标系
3.常用简单曲线的极坐标方程 曲线
圆心在极点,半径为 r 的圆
圆心为(r,0),半径为 r 的圆
圆心为

r
,
π 2

,半径为
r
的圆
过极点,倾斜角为α 的直线
过点(a,0),与极轴垂直的直线
过点


,
π 2

,与极轴平行的直线
(2)过点 P 被曲线 C1截得弦长为 2 的直线的极坐标方程.
解:设伸缩变换为
x ' y '

x 0, y 0,
由题知

2x2 9
+ 2y2
4
=1,即


3
2
x2+


2
2
y2=1.
与
x2+y2=1
比较系数,得

解:(1)由ρ=2cos θ 得ρ2=2ρcos θ . 所以☉O1的直角坐标方程为x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1. 由ρ=2asin θ 得ρ2=2aρsin θ . 所以☉O2的直角坐标方程为x2+y2=2ay, 即x2+(y-a)2=a2.

高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 第1节 坐标系课件 理 选修4-4

高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 第1节 坐标系课件 理 选修4-4
解析：如图，O 为极点，OB 为直
径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°， ρ
OB＝2 2＝sin（θ－90°），化简得 ρ
＝－2 2cosθ.
答案：ρ＝－2 2cosθ
热点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
平面直角坐标中的伸缩变换
【例 1】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的 图形经过伸缩变换xy′ ′＝ ＝23xy，后的图形．
平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
φ：xy′ ′＝ ＝
， ，（ （λμ>>00）），的作用下，点 P(x，y)对应到
点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，
简称伸缩变换．
答案
λ·x μ·y
1．在同一平面直角坐标系中，直线 x－2y＝2 经过伸缩 变换xy′ ′＝ ＝x4，y 后，变成直线________．
____________
(－π2 ≤θ<π2 )
π 圆心为(r， 2 )，
半径为 r 的圆 过极点，倾斜角
为 α 的直线
过点(a，0)，与极 轴垂直的直线
____________ (0≤θ<π)
θ＝α(ρ∈R) 或 θ＝ π＋α(ρ∈R) __________
(－π2 <θ<π2 )
π 过点(a， 2 )，与 极轴平行的直线
的长度单位，设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，
y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为 x＝______，y
＝______．另一种关系为 ρ2＝______，tanθ＝______．
答案
1．极点 极轴 极径

高考数学(理科)一轮复习课件：坐标系与参数方程 第1节 坐标系

高考数学(理科)一轮复习课件：坐标系与参数方程 第1节 坐标系

数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
3．(2014广东惠州市第三次调研)在极坐标系中，已知 点A、B的极坐标分别为 3，3π ， 4，6π ，则△AOB(其中O为 极点)的面积为________．
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
解析：由 A、B 的极坐标可知|OA|＝3，|OB|＝4，
课时训练
1．直线 3x－2y＋1＝0 经过变换xy′ ′＝ ＝32xy， 后的直线方 程为________．
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
解析：由变换xy′ ′＝ ＝32xy，
得
x＝x′3 ， y＝y′2 ，
代入直线方
程， 得 3×x′3 －2×y′2 ＋1＝0，得 x′－y′＋1＝0， 即变换后的直线方程为 x－y＋1＝0.
的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩
变换．
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
2．极坐标系 (1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点 M的__极__径__，记为ρ.以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的____极__角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的 极坐标，记作M(ρ，θ)．
数学（人教A版 ·理科）(AH)
基础梳理
考点突破
课时训练
曲线 过极点，倾斜角 为 α 的直线 过点(a,0)，与极 轴垂直的直线
过点a，π2，与极 轴平行的直线
图形
极坐标方程 θ＝α(ρ∈R) 或 θ ＝π＋α(ρ∈R)

18高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理

18高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理

2 x′＝3x， y 2 3．求双曲线 C：x －64＝1 经过 φ： 变换后所得曲线 2y′＝y
C′的焦点坐标．
解：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)， 1 2 x＝ x ′ ， y 3 由题意，将 代入 x2－64＝1 y＝2y′ x′2 4y′2 得 9 － 64 ＝1， x′2 y′2 化简得 9 － 16 ＝1，
，θ)(θ∈R) ，和直角坐标不 点，特别地，极点 O 的坐标为(0 ____________
同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可 用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也 是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
3． [考点二]在极坐标系中， 直线 ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线 ρ＝2cos θ－4sin θ 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，求实数 a 的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 x－y＋a＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 所以圆心 C 的坐标为(1，－2)，半径 r＝ 5，所以圆心 C 到 |1＋2＋a| 直线的距离为 ＝ 2 r
点M 互化公式 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， y tan θ＝xx≠0
ρcos θ x＝_______， ρsin θ y＝_________
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x， φ： 2y′＝y.
1． 在同一平面直角坐标系中， 已知伸缩变换 点

高考数学一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理

高考数学一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理

注:把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示方法(极角相差2π的 整数倍).一般取θ∈[0,2π)就可以了.
4.常见曲线的极坐标方程
(1)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程: (2)圆心为 r , ,半径为r的圆的极坐标方程: 2

ρ=r(0≤θ<2π) . ρ=2rsin θ(0≤θ<π) .
直线ρcos θ=2的距离是3,故选C.
4.已知直线l的极坐标方程为ρsin θ-2ρcos θ+3=0,则直线l的斜率是 2 .
答案 2 解析 由直线l的极坐标方程可得其直角坐标方程为y-2x+3=0,即2x-y-
3=0,所以直线l的斜率为2.
5.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcos θ- 3 ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos
(3)过极点,倾斜角为α的直线的极坐标方程:
R)或θ=α和θ=π+α .
θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈
(4)过点(a,0),与极轴垂直的直线的极坐标方程:
a, ,与极轴平行的直线的极坐标方程: (5)过点 2
θ 2 ρcos θ=a 2
极径,记为ρ.
(ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记 为θ. (iii)极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
3.极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间
ρ 2 ⑩ x 2 y 2 , , x ⑧ cos θ y 的关系为 y ⑨ sin θ , tan θ ⑪ ( x 0). x

(全国版)高考数学一轮复习坐标系与参数方程1坐标系课件理选修44

(全国版)高考数学一轮复习坐标系与参数方程1坐标系课件理选修44

(1)求曲线C2的极坐标方程.
(2)求曲线C2上的点到直线ρcos
距离的最大值.
(θ π ) 2 4
第四十一页，共52页。
【解题导引】(1)设出M,P的极坐标,由|OP|·|OM|=4,即M,P 的极径之积等于(děngyú)4得到两点的极坐标的关系,把M的 极坐标用P的极坐标表示,代入直线C1的极坐标方程即可得到 曲线C2的极坐标方程.
θ
π， 4
所以交θ点的π4，极坐标为 (2 2, π)(或(2 2, 5π)).
4
4
第三十页，共52页。
2.本例条件不变,求圆C2关于极点的对称圆的方程. 【解析(jiě xī)】因为点(ρ,θ)与(-ρ,θ)关于极点对称,所 以由C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0得 圆C2关于极点的对称圆方程是ρ2+2ρcosθ+4ρsinθ +4=0.
第七页，共52页。
(2)互化公式:设M是平面内的任意(rènyì)一点,它的直角
坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则 x __c_o_s__,
2 _x_2___y_2 ,
y __s_i_n__,
tan
y (x 0)
_x_______
.
第八页，共52页。
4.直线的极坐标方程 (1)一般(yībān)位置: 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的 极坐标方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
因此,经过变换 y 4y后,直线x-2y=2变成直线2x′-
y′=4.
第二十页，共52页。
【加固训练(xùnliàn)】
1.在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:

人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1课时 极坐标方程与参数方程

(θ 为参数)
= + sin.
= cos,
2
2
(3)椭圆方程 2 + 2 =1(a>b>0)的参数方程为
(θ 为参数)


= sin.
2

=
2
,
2
(4)抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为
(t 为参数)
= 2.
2
2
2
微点拨1.参数方程通过代入消元法或加减消元法消去参数化为普通方程,
= -1 + 2sin (α为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标
π
= 2cos,
(2)由(1)得曲线 C 的参数方程为
为参数, 且 ≠
2
= sin
∴点 A( 2cos θ,sin θ)到直线 l 的距离
| 2cos -sin -1|
d=
2
=
,
2
,
2
整理得 2cos θ=sin θ 或 2cos θ-sin θ= 3cos(θ+α)=2 其中 tan =
(3)取相同的长度单位
互化公式
x = ρθ,
①
y = ρθ,
ρ2 = x 2 + y 2 ,
②
y
θ = x ( ≠ 0)
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数
倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
4.直线的极坐标方程
(1)若直线过点M(ρ0,θ0),且从极轴到此直线的角为α,则它的方程为ρsin(θ-α)
由已知tan θ=2,可得
16cos2θ-8sin θcos θ=0,
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解
(1)由曲线 C1：xy＝＝sin3αco，sα，来自得x3＝cosα，
y＝sinα，
即
曲线 C1 的直角坐标方程为x32＋y2＝1.
由曲线 C2：ρsinθ＋π4＝2 2，得 22ρ(sinθ＋cosθ)＝2 2， 即曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cosα，sinα)．因
板块三 模拟演练·提能增分
[基础能力达标] 1．[2018·广东珠海模拟]在极坐标系中，圆 C 的极坐标 方程为 ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以极点 O 为原点，极轴所 在直线为 x 轴建立平面直角坐标系． (1)求圆 C 的参数方程； (2)在直角坐标系中，点 P(x，y)是圆 C 上一动点，试求 x＋y 的最大值，并求出此时点 P 的直角坐标．
解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为 Γ 上的
点(x，y)，依题意，得xy＝ ＝23xy11， ，
即x1＝2x， y1＝3y.
由 x21＋y21＝1，得2x2＋3y2＝1，即曲线 Γ 的方程为x42＋y92
＝1.
故 Γ 的参数方程为xy＝ ＝23csionstt， (t 为参数)．
4．[2018·昆明模拟]将圆 x2＋y2＝1 上每一点的横坐标变 为原来的 2 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 Γ.
(1)写出 Γ 的参数方程； (2)设直线 l：3x＋2y－6＝0 与 Γ 的交点为 P1，P2，以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程．
解 (1)将xy＝＝45＋＋55csionstt， 消去参数 t， 化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即 C1：x2＋y2－8x －10y＋16＝0. 将xy＝ ＝ρρcsionsθθ，， 代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得 ρ2－ 8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
(2)C2 的直角坐标方程为 x2＋y2－2y＝0. x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
由x2＋y2－2y＝0，
解得xy＝＝11， 或xy＝＝02，.
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为
2，π4，2，π2.
3．[2018·南通模拟]在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数 方程为xy＝＝22c＋os2φsi，nφ (φ 为参数)．以 O 为极点，x 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆 C 的普通方程； (2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsinθ＋π6＝5 3，射线 OM： θ＝π6与圆 C 的交点为 O，P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长．
解 (1)因为圆 C 的参数方程为xy＝＝22c＋os2φs，inφ (φ 为参 数)，所以圆心 C 的坐标为(0,2)，半径为 2，圆 C 的普通方程 为 x2＋(y－2)2＝4.
(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入 x2＋(y－2)2＝4，得圆 C 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ.
ρ＝4sinθ， 设 P(ρ1，θ1)，则由θ＝π6，
解得 ρ1＝2，θ1＝π6.
设 Q(ρ2，θ2)，则由θ2＝ρsiπ6n，θ＋π6＝5 3， 解得 ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ|＝3.
6ρsinθ＋5＝0.
5．[2016·全国卷Ⅲ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参 数方程为yx＝＝sin3αcosα， (α 为参数)．以坐标原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标 方程为 ρsinθ＋π4＝2 2.
(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求|PQ|的最小值及 此时 P 的直角坐标．
(2)由x42＋y92＝1， 3x＋2y－6＝0，
解得xy＝＝20， 或xy＝＝03，.
不妨设 P1(2,0)，P2(0,3)，则线段 P1P2 的中点坐标为
1，32，所求直线的斜率 k＝23.于是所求直线方程为 y－32＝23 (x－1)，即 4x－6y＋5＝0，化为极坐标方程，得 4ρcosθ－
为 C2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d(α)的 最小值，
d(α)＝|
3cosα＋sinα－4|＝ 2
2sinα＋π3－2.
当且仅当 α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小
值为 2，此时 P 的直角坐标为32，12.
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2 ． [2018·宁 波 模 拟 ] 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为
x＝4＋5cost， y＝5＋5sint
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝
2sinθ.
(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解 (1)因为 ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6， 所以 x2＋y2＝4x＋4y－6，
所以 x2＋y2－4x－4y＋6＝0， 整理得(x－2)2＋(y－2)2＝2.
所以圆 C 的参数方程为xy＝＝22＋＋
2cosθ， 2sinθ
(θ 为参数)．
(2)由(1)可得 x＋y＝4＋ 2(sinθ＋cosθ) ＝4＋2sinθ＋π4. 当 θ＝π4，即点 P 的直角坐标为(3,3)时，x＋y 取得最大 值，其值为 6.