概率论与数理统计第一章第五节(概率统计)

第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。

（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。

（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。

（6）实测某种型号灯泡的寿命。

解 （1）},100,,1,0{n i n i==Ω其中n 为班级人数。

（2）}18,,4,3{ =Ω。

（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。

（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。

（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。

2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。

（1）A 发生，B 与C 不发生。

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。

（4）A ，B ，C 都发生。

（5）A ，B ，C 都不发生。

（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。

（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。

（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。

解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃ 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。

（1）B B A B A = （2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若, （4）若 A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6） 若Φ=AB 且A C ⊂， 则Φ=BC 解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。

概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。

了解概率的公理化定义。

(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。

理解事件的独立性。

本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。

第1章随机事件与概率概率论与数理统计是研究随机现象规律性的学科.概率论侧重于对随机现象出现的可能性大小做出数量上的描述，形成一整套数学理论和方法；数理统计是以概率论为基础研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定结论的科学和艺术.概率论与数理统计是既有理论基础又有应用潜力的学科，其理论与方法已广泛应用于林业、农业、工程、社会学、经济学等领域中，还在不断向新兴学科渗透并相互促进发展.§1.1 随机现象及其统计规律性客观世界的各种现象大体可分为两类：一类称为决定性现象，即在一定的条件下，只出现一个结果.例如，在标准大气压下，水升温至100摄氏度时沸腾；每天清晨，太阳总从东方升起；向空中抛一物体必然下落等.另一类称为非决定性现象，即在一定的条件下，并不总是出现相同结果，在概率论中称为随机现象. 比如，播种一粒银杏种子，可能发芽可能不发芽；掷一颗骰子，可能出现1至6点等.该类现象有以下两个特点：①结果不止一个；②人们事先不能确定出现的结果.随机现象是概率论与数理统计的研究对象.1.1.1 随机试验对随机现象进行的试验和观察称为随机试验.例1．1随机现象的例子（1）播种一粒银杏种子，观察银杏种子发芽；（2）掷一颗骰子，观察出现的点数；（3）单位时间内，某手机被呼叫的次数；（4）某种型号冰箱的使用寿命；（5）测量课本的长度，观测其误差.在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验称为试验.在概率论中，将满足下述条件的试验称为随机试验：（1）试验在相同条件下是可以重复进行的；（2）试验的结果不至一个，但全部可能结果事先是知道的；（3）每一次试验都会出现上述全部可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事先无法预知.1.1.2随机现象的统计规律性对一个随机试验来说，每次试验结果具有不确定性，规律性不强，但大量重复性试验的结果就存在一定的规律性.例如，若抛掷一枚均匀硬币，一次抛掷，出现正面还是出现反面很难确定，但重复大量次抛掷，出现正面次数占抛掷总次数的1/2. 历史上有许多科学家做过抛掷硬币的试验. 抛掷均匀硬币，其结果见表1—1.表1—1 历史上抛掷硬币试验可以看出,试验中出现正面次数与抛硬币次数的比值,当试验次数较小时,随机波动较大；当试验次数较大时,随机波动较小. 随着试验次数的增大, 出现正面次数与抛硬币次数的比值逐渐稳定于固定值0.5，出现很强的规律性.随机现象在大量次试验中所呈现出的规律性，称为随机现象的统计规律性.由于概率论和数理统计所研究的试验都是随机试验，所以随机试验简称为试验.§1.2 随机事件及其关系1.2.1样本空间与随机事件1. 样本空间随机现象一切可能的基本结果组成的集合称为样本空间，用}{ω=Ω表示，其中ω表示基本结果，又称为样本点.例1.2 给出例1.1中随机现象的样本空间：(1) 播种一粒银杏种子的样本空间：},{211ωω=Ω，其中1ω表示银杏种子发芽，2ω表示银杏种子不发芽.(2) 掷一颗骰子的样本空间：},,,{6212ωωω =Ω，其中i ω表示出现i 点，6,,2,1 =i .也可更直接地记此样本空间为：}6,,2,1{2 =Ω.(3) 单位时间内某手机被呼叫的次数的样本空间：},2,1,0{3 =Ω.(4)某种型号冰箱使用寿命的样本空间：}0{4≥=Ωt t .(5) 测量课本的长度，测量误差的样本空间：}{5+∞<<∞-=Ωx x .2. 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，一般用大写字母,,,A B C 表示.例如，掷一颗骰子，=A “出现奇数点”是一个事件，即}5,3,1{=A .关于事件的定义，有以下几个说明.（1）任一事件A 是样本空间Ω的子集.在概率论中我们可用维恩（Venn ）图表示（见图1—1）.（2）当A 中某个样本点出现了，就说事件A 发生了.（3）事件既可以用语言描述，也可以用集合表示.（4）由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件.样本空间的最大子集，即其本身称为必然事件，记作Ω.样本空间的子集之一，空集称为不可能事件，记作φ.例1.3 掷一颗骰子的样本空间为：}6,,2,1{ =Ω.事件=A “出现2点”，即}2{=A ，它是一个基本事件.事件=B “出现的点数不超过6”，即Ω==}6,5,4,3,2,1{B ，它就是必然事件.事件=C “出现的点数小于1”，即φ=C ，它就是不可能事件.1.2.2 事件的关系及运算假设以下讨论是在同一个样本空间Ω中进行的.1.事件间的关系图1—11）包含关系如果A 中的样本点都是B 中的样本点，则称A 包含于B （见图1—2），或称B 包含A ，也称A 为B 的子事件，记为B A ⊂或A B ⊃.用概率论语言描述为：事件A 发生必然导致事件B 发生.例如，冰箱的使用寿命T 超过30000h ，记为事件}30000{>=T A ，使用寿命T 超过35000h ，记为事件}35000{>=T B ，则B A ⊃.对任一事件A ，必有Ω⊂⊂A φ.2）相等关系如果事件A 与事件B 满足：A 中的样本点都是B 中的样本点，同时B 中的样本点又都是A 中的样本点，即B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等，记为B A =.例如，抛掷两颗骰子，记事件A =“两颗骰子的点数之和为奇数”，事件B =“两颗骰子的点数为一奇一偶”，显然，B A =.3）互不相容关系如果A 与B 没有相同的样本点（见图1—3），则称A 与B 互不相容.用概率论语言描述为：事件A 与事件B 不能同时发生.例如，掷一颗骰子，事件=A “出现偶数点”，B =“出现奇数点”，显然A 与B 互不相容.例1.4 掷一颗骰子的样本空间为：}6,,2,1{ =Ω.图1—3图1—2事件=A “出现2点”，即}2{=A ,=B “出现偶数点”，即}6,4,2{=B ，显然B A ⊂;=C “出现非奇数点”，即}6,4,2{=C ，显然C B =;=D “出现奇数点”，即}5,3,1{=C ，显然C ，，与B A D 都互不相容.2.事件间的运算事件的运算与集合的运算类似，有和、积、差等运算.（1）事件A 与B 的和，记为B A .其含义为“由事件A 与B 中所有样本点组成的新事件”（见图1—4）.用概率论语言描述为：事件A 与B 中至少有一个发生.事件的和运算可推广至有限个或可列个的情形： n i i A 1=或∞=1i i A . （2）事件A 与B 的积，记为B A 或简记为AB .其含义为“由事件A 与B 中公共的样本点组成的新事件”（见图1—5） .用概率论语言描述为：事件A 与B同时发生.事件的积运算可推广至有限个或可列个的情形： n i i A 1=或 ∞=1i i A .（3）事件A 与B 的差，记为B A -.其含义为“由事件A 中而不在B 中的样本点组成的新事件”（见图1—6）.用概率论语言描述为：事件A 发生而B 不发生.图1—4图1—5（4）对立事件事件A 的对立事件，记为A ，即“由在Ω中而不在A 中的样本点组成的新事件”（见图1—7）. 用概率论语言描述：A 不发生，即A A -Ω=.注意 （1）A A =，φ=Ω，Ω=φ.（2）A 与B 为对立事件的充分必要条件是φ=B A ，且Ω=B A . 例1.5 掷一颗骰子的样本空间为}6,,2,1{ =Ω.设}4,2,1{=A ， }5,4,1{=B . 则=B A }5,4,2,1{；}4,1{=B A ；}2{=-B A ；}6,5,3{=A .例1.6 设C B A ,,是某个随机现象的三个事件，则(1) “A 发生，C B ,都不发生”的事件可表示为：C B A C B A --=；(2) “B A ,都发生，C 不发生”的事件可表示为：C AB C AB -=；(3) “C B A ,,都发生”的事件可表示为：ABC ；(4) “C B A ,,中至少有一个出现”的事件可表示为：C B A C B A = .图1—6（1）图1—6（2）图1—73.事件的运算性质（1）交换律A B B A =，BA AB =.（2）结合律)()(C B A C B A =，)()(BC A C AB =.（3）分配律BC AC C B A =)(,)()()(C B C A C B A =.（4）对偶律(德莫根公式)B A B A = ，B A AB =. 对偶律可推广至有限个及可列个的情形： n i i n i i A A 11===， ni i n i i A A 11===， ∞=∞==11i i i i A A ， ∞=∞==11i i i i A A .§1.3 事件的概率及其性质1.2.1 概率的定义1.概率的频率定义定义1.1 设在n 次随机试验中，事件A 出现的次数为)(A n ，这里的)(A n 也称为事件A 出现的频数.称事件A 出现的频数与随机试验总数之比，即nA n A f n )()(= 为事件A 出现的频率.容易验证频率满足：(1)非负性 0)(≥A f n ；(2)规范性 1)(=Ωn f ；(3)有限可加性 若m A A A ,21 ，，，两两互不相容，则)()(11i mi n m i i n A f A f ∑=== .随机现象的统计规律性表明：随着试验重复次数n 的增加，事件A 出现的频率)(A f n 会稳定在某一常数p 附近，即频率的稳定值，这个频率的稳定值就是事件A 发生的概率，因此我们可以用事件A 频率来定义事件A 的概率，即)()(A f A P n ≈（n 足够大）.下面用例子进一步说明频率的稳定性.例1．7 考虑某树种发芽率试验. 从一大批树种中随机抽取7批树种做发芽试验,其结果见表1—2.表1—2 树种发芽试验的频率表可以看出，树种发芽的频率也具有随机波动性.当树种粒数较小时,随机波动较大；当树种粒数较大时,随机波动较小.最后,随着树种粒数的增大,发芽率逐渐稳定于固定值0.9. 用概率频率的定义可以描述为：该树种发芽的概率为0.9.2.概率的古典定义古典概型满足：（1）样本空间Ω中只有有限个样本点，即},,,{21n ωωω =Ω；（2）每个样本点发生可能性相等，即nP P P n 1)()()(21====ωωω ， 若事件A 含有k 个样本点，则事件A 的概率为nk A A P =Ω=中所有样本点的个数所含样本点的个数事件)(. 例1．8 掷两枚硬币，记事件=A “一个正面朝上，一个反面朝上”， =B “两个正面朝上”， =C “至少一个正面朝上”，求)(A P ，)(B P ，)(C P .解 此试验的样本空间为=Ω{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，即样本空间为Ω有4个样本点.由于=A {（正，反），（反，正）}，即A 含有2个样本点，所以21)(=A P ；由于=B {（正，正）}，即B 含有1个样本点，所以41)(=B P ；由于=C {（正，正），（正，反），（反，正）}，即C 含有3个样本点，所以43)(=C P .例1．9 设有两种树苗栽成一排，每种树苗都是4棵，为了美观，树苗必须交叉排列栽植，求其栽植概率.解 利用排列组合知识，有351!8!4!412=⋅⋅=A P .例1．10 今年有12名同学进行暑期社会实践，其中有3名同学是女生，现将它们随机地平均分配到三个小组中去，问： ⑴每个小组都分配到一名女同学的概率是多少？ ⑵3名女同学分配在同一小组的概率是多少？ 解 12同学平均分配到三个小组中的分法总数为 !4!4!4!124448412=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.⑴ 每个小组分配到一名女同学的分法有!3. 对应每种分法，其余9名同学平均分配到三个小组的分法共有!3!3!3!9333639=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，故所求的概率为 5516!4!4!4!12!3!3!3!9!31==P . ⑵ 将3名女同学分配在同一小组的分法有3种，对应每种分法，其余9名同学的分法共有!4!4!1!9444819=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，故所求的概率是 553!4!4!4!12!4!4!1!932=⋅=P . 例1．11 设袋中有白球a 只，黑球b 只.每次从中任取一只，取后放回袋中，共取n 次，试求=k A “n 次取球中有k 次取到白球”的概率.解 利用排列组合知识，有kn k k b a b b a a k n A P -++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()(，n k ,,1,0 =.若记p ba a=+，则 kn k k p p k n A P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()(，n k ,,1,0 =.例1．12 设有n 个球，每个球都等可能地被放到N 个不同盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限.试求（1）指定的)(N n n ≤个盒子中各有一球的概率1p ； （2）恰好有)(N n n ≤个盒子中各有一球的概率2p . 解 利用排列组合知识，有 （1） nN n p !1=； （2） )!(!!2n N N N N n n N p nn -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 例1．13 n 个人生日全不相同的概率是n p 多少？解 把n 个人看成是n 球，将一年365天看成是N =365个盒子，则“n 个人生日全不相同”就相当于“恰好有)(N n n ≤个盒子中各有一球”， 所以n 个人生日全不相同的概率为365!365(365)!n np n =-. 当60n =时，10.9922n p -=，表明在60个人的群体中至少有两个人生日相同的概率超过99%.3.概率的几何定义 几何概型满足：（1）样本空间Ω充满某个区域，其度量（长度、面积或体积等）大小可用ΩS 表示；（2）任意一点落在度量相同的 子区域内是等可能的，与子区域的形 状及子区域在Ω中位置无关，若事件 A 为Ω中的某个子区域（见图1—8）， 图 ? 1 — 8其度量大小可用A S 表示，则事件A 的概率为Ω=S S A P A)(. 例1.14 甲、乙两人约定上午8点到9点之间在茶馆会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去.求两人会面的概率.解 以x 和y 分别表示甲、乙两人到达 约会地点的时间，则两人能够会面的充要 条件为20≤-y x . 在平面上建立直角坐标 系，如图1—9，则95604060222=-==ΩS S P A .4.概率的公理化定义定义1.2 设Ω为一个样本空间，对Ω中的任一随机事件A ，定义一个实数值)(A P 满足：(1)非负性 0)(≥A P ； (2)规范性 1)(=ΩP ；(3)可列可加性 若 ，，21A A ，两两互不相容，有 ∑∞=∞==11)(i i i i A P A P ）（ ，则称)(A P 为事件A 的概率.由概率的公理化定义知，概率是事件（集合）的映射，当这个映射能满足上述公理的三条，就被称为概率.1.3.2 概率的性质 性质1 0)(=φP._ 图 1 — 9_x因为1)(=ΩP ，则0)(1)(=Ω-=P P φ.性质2 （有限可加性）若有限个事件n A A A ,21 ，，互不相容，则 ∑===ni i n i i A P A P 11)(）（ . 性质3 对任一事件A 有 )(1)(A P A P -=.例1.15 设袋中有5只白球，7只黑球.从中任取3只，求至少取到1只白球的概率.解 记=A “取出的3只中至少有1只白球”，则A 包括三种情况：取到白球1只黑球2只，或取到白球2只黑球1只，或取到白球3只黑球0只, 如此计算较为复杂.而A 只包括一种情况，即“取到的3只全是黑球”，从而159.044731237)(==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A P ， 所以841.04437)(1)(==-=A P A P . 性质4 若B A ⊃,则)()()(B P A P B A P -=-.证明 因为B A ⊃，所以)(B A B A -= ,且B A -与B 互不相容，则 )()()(B A P B P A P -+=, 即)()()(B P A P B A P -=-.推论（单调性）若B A ⊃,则)()(B P A P ≥.性质5 对任意两个事件B A ,,有)()()(AB P A P B A P -=-. 例16 从1，2，…，100中任取一数，求它能被2整除但不能被3整除的概率.解 记=A “取到的数能被2整除”，=B “取到的数能被3整除”，AB =“取到的数能被2和3整除”，则 “能被2整除但不能被3整除”的事件可表示为B A -.由性质5，有)()()(AB P A P B A P -=-50171001610050=-=. 性质6（加法公式）对任意两个事件B A ,,有)()()()(AB P B P A P B A P -+= .对任意n 个事件n A A A ,21 ，，，有 ∑∑∑≤<<≤≤<≤==+-=nk j i kjinj i jini i n i i A A A P A A P A P A P 1111)()()()()()1(211n n A A A P --++. 推论（半可加性） 对任意两个事件B A ,,有)()()(B P A P B A P +≤ . 例17 从1~1000中随机取一整数，问取到的整数能被4或6整除的概率是多少？解 设A 为“取到的整数能被4整除”，B 为“取到的整数能被6整除”，则所求概率为)()()()(AB P B P A P B A P -+= 由于25041000=，16761000166<<，8412100083<<， 则 1000250)(=A P ，1000166)(=B P ，100083)(=AB P ，所以 )()()()(AB P B P A P B A P -+=100033310008310001661000250=-+=.例18已知41)()()(===C P B P A P ，12/1)()(==BC P AB P ,0)(=AC P .则C B A ,,中至少有一个发生概率是多少？C B A ,,都不发生概率是多少？解 因为0)(=AC P ，AC ABC ⊂,所以由概率的单调性知0)(=ABC P .再由加法公式，得C B A ,,中至少有一个发生概率为)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=12712243=-=. C B A ,,都不发生概率是)(1)(C B A P C B A P -==125. 1.4 条件概率和乘法公式在实际问题中，除了要考虑某事件A 的概率外，有时还需要考虑在“事件B 已经发生”的条件下，某事件A 发生的概率.一般情况下，前后两者的概率不同.为了有所区别，常称后者的概率为条件概率，记为)(B A P 或)(A P B ,读作“在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率”.1.4.1 条件概率例1．19 从标有号为1，2，3，4，5，6的6个同型同质的球中等可能地任取一球，事件A =“取得标号为4”，事件B =“取得标号为偶数”，求“在取得标号为偶数条件下，取得标号为4”的概率.解 由于6个球中有3个标号为偶数，按古典概型计算，得31)(=B A P ，而61)(=A P ，由此可见)()(A P B A P ≠.还可以得到“很巧合”的结论，可以计算得61)(=AB P ，21)(=B P ，从而，)()(21/6131)(B P AB P B A P ===. 受此启发，可以给出条件概率的定义.定义1.3 设B A ,是两个随机事件，且0)(>A P ,称 )()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率.不难验证，条件概率)(A P ⋅满足概率定义中的三条公理，即 （1）非负性 对于任一事件B ，有0)(≥A B P ； （2）规范性 1)(=ΩA P ；（3）可列可加性 若 ，，21B B ，两两互不相容，则∑∞=∞==11)(i i i i A B P A B P ）（ .因为条件概率符合上述三则公理，所以关于概率的一些重要结果都适用于条件概率.例如，)(1)(A B P A B P -=；对于任意事件21,B B ,有)()()()(212121A B B P A B P A B P A B B P -+= .例1．20 某种动物出生后活到20岁的概率为0.8，活到30岁的概率为0.72，求现年为20岁的这种动物活到30岁的概率.解 记A =“动物出生后活到20岁”，B =“动物出生后活到30岁”，则)(A P =0.7，)()(AB P B P ==0.72，由条件概率计算公式，得9.08.072.0)()()()()(====A PB P A P AB P A B P . 例1．21 掷两颗骰子，已知有一个出现6点，求点数之和不小于9的概率.解 方法一 该试验的样本空间为)}6,6(,),2,6(),1,6(,),6,1(,),2,1(),1,1{( =Ω 共36个样本点.记=A “至少有一个6点”，则)}6,6(),5,6(),6,5(),,4,6(),6,4(),3,6(),6,3(),2,6(),6,2(),1,6(),6,1{(=A ,含有11个样本点；记=B “点数之和不小于9”，则)}6,6(),5,6(),6,5(),5,5(),4,6(),6,4(),4,5(),5,4(),3,6(),6,3{(=B ,含有10个样本点. 而)}6,6(),5,6(),6,5(),4,6(),6,4(),3,6(),6,3{(=AB ，含有7个样本点.由条件概率计算公式，得1173611367)()()(===A P AB P A B P . 方法二 可先将样本空间缩小为)}6,6(),5,6(),6,5(),,4,6(),6,4(),3,6(),6,3(),2,6(),6,2(),1,6(),6,1{(=ΩA ，共有11个样本点.样本空间A Ω中，事件A B )}6,6(),5,6(),6,5(),4,6(),6,4(),3,6(),6,3{(=，含有7个样本点，直接计算得117)(=A B P .1.4.2 乘法公式 （1）若0)(>A P ，则)()()(A B P A P AB P =. （2）若0)(121>-n A A A P ，则)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P .例1.22 某单位100人进行年欢游戏活动，共有1号,2号,…,100号共100支签, 其中有10支中奖签，依次轮流进行抽签，求恰好第三人抽中奖签的概率.解 记=i A “第i 人抽中奖签”，100,,2,1 =i .则所求概率为)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P ==083.09810998910090≈⨯⨯. 1.5 全概率公式和贝叶斯公式1.5.1 全概率公式设n B B B ,,,21 是样本空间Ω的事件，满足： （1）n B B B ,,,21 互不相容； （2） ni i B 2=Ω=；（3）n i B P i ,,2,1,0)( =>则称n B B B ,,,21 是样本空间Ω的一个完备事件组.如果n B B B ,,,21 是样本空间Ω的一个完备事件组，则对样本空间Ω的任一事件A ，有)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==.这就是全概率公式. 证明 因为)()(11ni i n i i AB B A A A ====Ω=，且n AB AB AB ,,,21 互不相容，则由可加性可得)())(()(11i ni ni i AB P AB P A P ∑==== ,再将)()()(i i i B A P B P AB P =，n i ,,2,1 =，代入式(1.21)即得)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==.关于全概率公式的几点说明：（1）全概率公式的最简单的形式，若1)(0<<B P ，则)()()()()(B A P B P B A P B P A P +=； （2）条件n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个完备事件组，可改成n B B B ,,,21 互不相容，且 ni i A B 2=⊃，)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==仍成立.1.5.2 贝叶斯公式设n B B B ,,,21 是样本空间Ω的一个完备事件组，如果0)(>A P ，则)()()()()(1jnj ji i i B A P B P B A P B P A B P ∑==，n i ,,2,1 =.例1.23 设某县有A 、B 、C 、D 、E 共5个片区种植杨树，各个片区种植面积分别占总面积的15%，20%，25%，30%，10%，各个片区杨树中“79杨”的百分比分别为80%，70%，60%，75%，90%，如从该县杨树中任抽取一颗，求：（1）任取一颗为“79杨”的概率；（2）若取到的是“79杨”，求它依次是A 、E 片区种植的概率. 解 记事件Y =“取到“79杨””.（1）由全概率公式，有)()()()()()()()()()()(E Y p E p D Y p D p YC p C p B Y P B p A Y p A p Y p ++++= =90.010.075.030.060.025.070.020.080.015.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.725.（2）由贝叶斯公式，有()2912725.080.015.0)()()(=⨯==Y p A Y p A p Y A p ， ()14518725.090.010.0)()()(=⨯==Y p E Y p E p Y E p .1.6 事件的独立性与伯努利概型1.6.1事件的独立性1.两个事件的独立性两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生.例如，在掷两枚硬币的试验中，记事件=A “第一枚硬币出现正面”，记事件=B “第二枚硬币出现正面”.显然A 与B 的发生是相互不影响的.从概率的角度看，如果事件B 的发生不影响事件A 的发生，即)()(A P B A P =，由此又可推出)()(B P A B P =，即事件A 的发生也不影响事件B 的发生.可见独立性是相互的，它们等价于)()()(B P A P AB P =.另外，对于0)(=B P ，或0)(=A P ，式(1.24)仍然成立.由此，我们给出两个事件相互独立的定义.定义1.4 如果)()()(B P A P AB P =成立，则称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立.否则称A 与B 不独立或相依.性质1 若事件A 与B 独立，则A 与B 独立；A 与B 独立；A 与B 独立.证明 这里只证事件A 与B 独立，其余类似.因为B A AB A =从而)()()(B A P AB P A P +=由此得 )()()](1)[()()()()()()(B P A P B P A P B P A P A P AB P A P B A P =-=-=-=所以事件A 与B 独立.2.多个事件的相互独立性定义1.5 设C B A ,,是3个事件，如果有⎪⎩⎪⎨⎧===)()()()()()()()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ， 则称C B A ,,两两独立.若还有)()()()(C P B P A P ABC P =，则称C B A ,,相互独立.进一步地，给出3个以上事件的相互独立性.定义1.6 设有个n 事件n A A A ,,,21 ，若)(21k i i i A A A P )()()(21k i i i A P A P A P = )1(n i k ≤≤成立，则称n 事件n A A A ,,,21 相互独立.性质2 n 个相互独立的事件中，任意一部分与另一部分独立.性质3 将n 个相互独立的事件中的任一部分换为对立事件，所得的诸事件仍为相互独立的.例1.24 设三事件C B A ,,相互独立，试证B A -与C 相互独立. 证明 因为)()()()())(())((C P B P A P C B A P C B A P C B A P ===-)()()()(C P B A P C P B A P -==.可以推得：B A 与C 独立；AB 与C 独立.例1.25 甲、乙两射手彼此独立地向同一目标射击，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率为0.9，求目标被击中的概率.解 记=A “甲射中目标”，=B “乙射中目标”，则“目标被击中”B A =，故)()()()()(B P A P B P A P B A P -+==98.09.08.09.08.0=⨯-+.1.6.2 伯努利概型将随机试验E 重复进行n 次，各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，这样的试验称为n 重独立试验.特别地，若在n 重独立试验中，每次试验的结果只有两个：A 与A ，且q A P p A P ==)(,)( )1,10(=+<<q p p ，则这样的试验称为伯努利（Bernoulli ）试验或伯努利概型.对于伯努利概型，我们需要计算事件A 在n 次独立试验中恰好发生k 次的概率.性质4 在伯努利概型中，设事件A 在各次试验中发生的概率)10()(<<=p p A P ，则在n 次独立试验中恰好发生k 次的概率k n k n k n qp k P -=)()(， 其中n k q p ,,2,1,0,1 ==+.证明 设事件i A 表示“事件A 在第i 次试验中发生”，则有),,2,1(1)(,)(n i q p A P p A P i i ==-==　.因为各次试验是相互独立的，所以事件n A A A ,,,21 是相互独立的.由此可见，n 次独立试验中事件A 在指定的k 次（如在前面k 次）试验中发生而在其余k n -次试验中不发生的概率)()()()()(1111n k k n k k A P A P A P A P A A A A P ++=k n k k n n q p q q p p --=⋅=个个)( 由于事件A 在n 次独立试验中恰好发生k 次共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 种不同的方式，每一种方式对应一个事件，易知这⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 个事件是互不相容的，所以根据概率的可加性得k n k n q p k n k P -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)( ，n k ,,2,1,0 =. 由于上式右端正好是二项式n q p )(+的展开式中的第1+k 项，所以通常把这个公式称为二项概率公式.例1．26 某种植物移栽成活率为0.8，现移栽10颗，求有8颗成活的概率。

考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@参考教材概率论与数理统计第四版（浙江大学主编）重要定理、性质、公式、结论经典例题、重要例题及不需要做的题目第一章概率论的基本概念（考小题）第一节随机试验（了解）第二节样本空间，随机事件（了解）第三节频率与概率（频率可以不用看，了解）第四节等可能概率（古典概论）（难点非重点，做一些基本题即可）第五节条件概率（重要，考小题为主，考大题有时会用到）第六节独立性（重要，考小题为主，大题经常会用到）第二章随机变量及其分布（至少考小题，考大题一定会用到）第一节随机变量（了解）第二节离散型随机变量及其分布律（重要，经常考）第三节随机变量的分布函数（重要，每年必考）第四节连续型随机变量及其概率密度（重要，每年必考）第五节随机变量的函数分布（重要，大题的命题点）第三章多维随机变量及其分布（考大题可能性极大）第一节二维随机变量（了解）第二节边缘分布（理解）第三节条件分布（理解）第四节概率独立的随机变量（重要，基本每年必考）第五节两个随机变量函数的分布（重要，大题的经典命题点）第四章随机变量的数字特征（重要）第一节数学期望（重要，每年必考）第二节方差（重要，每年必考）第三节协方差与相关系数（重要，经常考）第四节矩，协方差矩阵（矩，了解，协方差矩阵不用看）.第五章大数定律及中心极限定理(了解)第一节大数定律(了解,关注定律的前提条件与结论)第二节中心极限定理（了解，关注定理的前提条件与结论）考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@第六章样本及抽样分布（考小题为主）第一随机样本（了解，其中有重要概念，简单随机样本）第二直方图和箱线图（重要，考小题）第三抽样分布（重要，考小题）第七章参数估计（重要，考大题经典章节）第一节点估计（极其重要，矩估计：重点非难点，最大似然估计（重点且难点））第二节基于截尾样本的最大似然估计（不用看）第三节估计量的评选标准（数一重要，数三不用看）第四区间估计（数一理解，考的比较少）第五正态总体均值与方差的区间估计（数一理解，考的比较少）第六（０－１）分布参数的区间估计（不用看）第七单侧置信区间（理解，一般不考）（第四－第七，只有数一考，数三均不用看）第八章假设检验（理解，一般不考，只有数一有要求，数三不考）第一假设检验（理解）第二正态总体均值的假设检验（理解）第三正态总体方差的假设检验（理解）第四，第五，第六，第七，第八（均不用看）．考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学概率统计的重点难点必考点及重要例题和习题不用做的例题和习题第一章概率论的基本概念P３最后４行的小写字体不用看P５例３不用做（一）频率不用看P6-7 例 1 与例 2 均不用做，P7 概率重点看P9 等可能概率一般都不单独考，考大题经常会用到，P13 例 6 不用做，P14 例 8 不用做 P14 条件概率重点看，P15 例 2 不用做，P16 例 3 不用做，P17 例 4 重点做P17（三）全概率公式和贝叶斯公式为难点P19例5不用做，P20独立性为考研数学的绝对重点，P22例2与例3均不用做P23例4重点做P24-29 不用做的习题是 1、5、6、10、12、15、16、18、19、20、21、23、25、26、29、32、34、35、38、39、40第二章随机变量及其分布P30 例 1 不用看P37 泊松定理只需要记住结论，证明可以不用看P38 随机变量的分布函数为考研必考概念P42 连续性随机变量概率密度为考研必考点P50 随机变量的函数的分布是考大题的重要命题点P53 例 5 不用做P55-59 不用做的习题 1、5、6、7、9、10、11、13、15、16、19、22、27、28、30、31、38、39第三章多位随机变量及其分布P63 性质 4 的解释不用看P65 例 1 不用做，P66 例 3 重点做一下（提升计算能力）P68 例 1 不用做，P72 相互独立的随机变量为重点章节P76 两个随机变量的函数的分布为考大题的重要备考章节P78 例 3 不用做，P81 例 5 不用做P84-89 不用做的习题是 3、6、7、10、11、12、13、28、31第四章随机变量的数字特征P91 例 1 不用做，P92 例 3 与例 4 不用做，P93 例 5 不用做P95 中间的证明不用看，P96 例 8 与例 10 不用做P97 例 11 不用做，P100 例 13 不用做，P105 不用做P107 XY的两条重要性质的推导及含义不用看考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@P108 只需要看前四行即只需要记住定理 4 证明可以不用看P109 例 2 重点做（提升计算能力）P110 矩为一般考点，协方差矩阵不用看P113-118 不用做的习题是 1.4.5.12.13.15.16.18.19.22.23.24.35.36.37.38第五章大数定律及中心极限定理（难点非重点）P124 例 1 不用做P126-127 不用做的习题是 2、4、5、10、11、13第六章样本及抽样分布（一般考点考小题）P130 第四行简单随机样本为重要概念P130 第二节直方图和箱线图不用看P135 第三节抽样分布（考小题），P136 统计量定义及几个常见统计量要重点看而且要牢记其表达式P137 经验分布函数只有数三同学稍微了解P138-141 数理统计所有的三大分布的典型模式要牢记但三种分布的概率密度表达式可以不用记P145-147 定理 2 的证明与推广均不用看P147-148 不用做的习题是 1、5、6、10、11第七章参数估计（数一数三的绝对的重点和难点）P149 点估计数一数三的绝对重点矩估计重点非难点，最大似然估计重点且难点P163-155 例 4 例 5 例 6 重点做P156-158 第二节基于截尾样本的最大似然估计不用看P158 估计量的评选标准数一重点看，数三大纲上虽然没有但建议数三看一下最好P161-168 区间估计，正态总体均值与方差的区间估计，只有数一看，为一般考点P168 0-1 分布参数的区间估计数一数三均不用看P169 单侧置信区间，只有数一看，为一般考点P193-177 数三不用做的习题为 4（3）、6、7、8、9、10、11-27 均不用做数一不用做的习题为4（3）、6、7、8、9、15、17、20、21、22、23、26、27第八章假设检验（数一特有的考点，难点非重点）数一只需要看前四节P178-193从第五节以后均不需要看P218-223 习题只需要做 1、2、3、4 其余的题目可以不用做考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@。

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk knk kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -=（逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。