《大学物理》教案二〇一五年三月
第10章 电磁场理论
内容：全电流定律
麦克斯韦方程组
10.1全电流定律
10.1.1位移电流
麦克斯韦对电磁场的重大贡献的核心是位移电流的假说。
位移电流是将安培环路定理运用于含有电容器的交变电路中出现矛盾而引出的。
我们知道，在稳恒电流中传导电流是处处连续的，磁场与传导电流之间满足安培环路定理
0i L i d I μ⋅=∑⎰
B l 电流是稳恒的，所以∑i I 应该是穿过以该闭合回路L 为边界的任意形状曲面S 的传导电流。
在非稳恒条件下，安培环路定理是否还成立？
对于S 1曲面，因有传导电流穿过该曲面，故应用安培环路定理
I l B 0
L d μ=•⎰ 而对于S 2面来说，因没有传导电流通过S 2，因此有
0d L
=•⎰l B 可见，在非稳恒电流的磁场中，把安培环路定理应用到以同一闭合回路L 为边界的不同曲面时，得到完全不同的结果。
也就是说安培环路定理在非稳恒的情况下不适用了。
麦克斯韦注意到了安培环路定理的局限
性，他注意到电容器充放电时，极板间虽无
传导电流，却存在着变化的电场。
麦克斯韦
在仔细审核了安培环路定理后，肯定了电荷
守恒定律，对安培环路定理作了修改。
为了
解决电流不连续的问题，麦克斯韦提出了位
移电流的假设，把变化的电场视为电流，称
为“位移电流”。
电容器充放电时，设t 时刻A 极板电荷为＋q ，电荷密度为＋σ，B 极板电荷为－q ，电荷密度为－σ，极板面积为S ，则导线中传导电流为
图10-2 位移电流
()dt d S dt S d dt dq I c σσ===
dt
d dt dq
S I j c c σ===S dt
d S dt dq S I j c c σ=== 在电容器充放电过程中，板上的电荷面密度为σ，两极板之间的电位移矢量大小D=σ和电位移通量DS D =Φ都是变化的，电位移通量对时间的变化率就称为“位移电流”I d ，即
()c D d I dt
d S dt dD S dt DS d dt d I ====Φ=σ dt
dD j d = dt dD j d =
（10-2） 麦克斯韦称I d 为位移电流强度，称j d 为位移电流密度。
当电容器充电时，板上σ增加，极板之间电场E 也增大，电位移随时间变化率dt
dD 的方向与电场方向一致，同时也与导体中电流方向一致；当放电时，板上σ减小，极板之间电场E 也减小，电位移随时间的变化率dt
dD 的方向与D 方向相反同时也与导体中电流方向一致。
为此，麦克斯韦提出假设：电容器中变化的电场可以看作是一种电流，其大小等于传导电流，方向与传导电流相同，即位移电流。
这样，电容器两极板之间传导电流虽然中断了，但是有位移电流接替，于是解决了含有电容器的电路中电流不连续的问题。
10.1.2 全电流定律
麦克斯韦认为与传导电流的磁效应相同，位移电流按同样的规律在空间激发涡旋磁场，称为感生磁场。
麦克斯韦的这一观点现在已为实验证实。
导线中传导电流Ic 产生的磁场强度为B 1，应用安培环路定理可得：
1c B dl I ⋅=⎰
以B 2表示感生磁场的磁场强度，仿照传导电流的情形可以建立关于I d 的安培环路定理：
2d B dl I ⋅=⎰
c d B dl I I ⋅=+⎰ 麦克斯韦把传导电流I c 和位移电流I d 合称为全电流。
B=B 1+B 2是全电流产生的
磁场强度，称为全电流定理。
需要指出的是，虽然位移电流与传导电流一样激发涡旋磁场，但两者有根本区别：传导电流是由电荷的宏观定向运动形成的，而位移电流则是由变化电场所激发的。
麦克斯韦所作的两个基本假设是：变化磁场激发感生电场和变化电场激发感生磁场，将电场与磁场更为紧密地联系在一起，形成统一电磁场。
麦克斯韦根据变化电场和变化磁场的相互激发，预言了电磁波的存在。
20年后赫兹用实验证实了这一预言，从而也证实了上述两个基本假设的正确性。
只有那种有准备的头脑，才不会放过科学的机遇。
10.2麦克斯韦方程组
麦克斯韦电磁场理论的基本概念包括两个主要内容，即：①除静止电荷激发无旋电场外，变化的磁场还将激发涡旋电场；②变化的电场和传导电流一样激发涡旋磁场。
这就是说，变化的电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场。
（1）静电场的高斯定理
自由电荷激发的电场和变化磁场激发的电场性质并不相同。
在前节中，我们已假定高斯定理在普遍情况下也适用，也就是说，它不仅适用于静电场也适用于运动电荷的电场，即在自由电荷所激发的电场中，通过任何封闭曲面的电位移通量等于它包围的自由电荷量的代数和。
变化磁场激发的电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，所以对封闭曲面的通量无贡献。
在一般情况下，电场可以由自由电荷和变化磁场共同激发，如用D 表示总电位移，根据以上的论述，不难得出介质中电场的高斯定理为：
q dV d V S ==•⎰⎰ρS D
上式告诉我们：在任何电场中，通过任何封闭曲面的电位移通量等于这封闭面内自由电荷量的代数和。
这是麦克斯韦方程组中的第一个方程，此方程不仅在静电场中成立，即使在电荷和电场都随时间变化时仍然成立。
此定理反映了电场是有源场这一性质。
（2）静电场的安培环路定理
由静止电荷激发的静电场中场强线是不闭合的，场强沿闭合回路的积分为零，即静电场的环路定理为：
0d L
=•⎰l E 此时可以把电场理解为完全是由自由电荷激发的。
（3）稳恒磁场的高斯定理
磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场激发，激发的方式虽然不同，但它们所激发的磁场都是涡旋场，磁感应线都是闭合线。
因此，在任何磁场中，通过任何封闭曲面的磁通量总是等于零。
故磁场的高斯定理是：
0d S
=•⎰S B 即：磁场中，通过任意闭合曲面的磁通量等于零。
同样，此定理不仅在不随时间变化的恒定磁场中成立，即使在随时间变化的非恒定磁场中仍然成立。
此定理反映了磁场是无源场的性质。
（4）稳恒磁场的安培环路定理
通过前面学习我们知道，在恒定磁场中磁场强度沿任意闭合曲线的积分等于通过该曲线所包围任意曲面的电流的代数和，这称为恒定磁场的环路定理，其数学表达式为：
c L S c
d j d I S l B =•=•⎰⎰
式中，等式右侧的电流为电荷定向运动形成的，称为传导电流，为了与位移电流加以区分，我们用I c 表示传导电流。
传导电流等于传导电流面密度（通过曲面单位面积的电流）j c （其方向与电流的流向相同）在面S 上的积分，即
⎰⋅=S
c c
d S j I 上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
（1）变化电场的高斯定理
q dV d V S ==•⎰⎰ρS D
（2）变化电场的安培环路定理
根据场强与电势的关系我们知道，场强沿路径积分应等于对应的电势差，即电动势，在变化电场中，此电动势是磁场变化产生的，因而是感应电动势。
根据法拉第电磁感应定律，此感应电动势应等于回路中磁通量随时间的变化率的负值，整理得：
S B l E d t
-d S L •∂∂=•⎰⎰ （3）变化磁场的高斯定理
0d S
=•⎰S B （4）变化磁场的安培环路定理
（1）在非恒定磁场中，虽然对应的传导电流不一定连续，但若考虑传导电流和位移电流的和d c I I I +=，则电流是连续的；
（2）位移电流与传导电流一样，也会在其周围激发磁场，根据位移电流与变化电场的关系可知，磁场实际上是变化电场激发的。
麦克斯韦运用这种思想把恒定磁场中的安培环路定理中的电流重新定义为传导电流与位移电流的和，进而把恒定磁场中的安培环路定理推广到任意磁场中，得出麦克斯韦方程组
中的第四个方程，即
⎰⎰•∂∂+=•L S c d t
d S D j l B ）（ 麦克斯韦方程组是对整个电磁场理论的总结，它形式上简洁优美，全面反映了电磁场的基本性质和规律。
麦克斯韦电磁理论的建立是19世纪物理学史上的又一个重要里程碑。
正如爱因斯坦在一次纪念麦克斯韦诞辰时所说的，“这是自牛顿以来物理学上所经历的最深刻和最有成果的一次变革”。
