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通过曲面S 的总电通量 ⎰⎰⋅=Φ=ΦS S e e S d E d
S 为闭合曲面时 ⎰⋅=ΦS e S d E
无关，只与被球面所包围的电量q 有关
虚线表示等势面，实线表示电力线 二、场强与电势梯度的关系 电势与场强的积分关系：⎰⋅=零点
l d E U
，
求出场强分布后可由该式求得电势分布．
空腔内有带电体q时，空腔内表面感应电荷为-q，导体外表面感应电荷为静电屏蔽
）在导体内部有空腔时，空腔内的物体不受外电场的影响。
）接地的导体空腔，空腔内的带电物体的电场不影响外界。
三、有导体存在的静电场场强与电势的计算
有极分子电介质的极化：在外电场作用下分子偶极矩转向与外电场接近平行的方向，叫取向极化。
五、极化强度和极化电荷
极化强度P
)。
§5.4 高斯定理一、电力线（电场线）为了对电场有一个比较直观的了解,可用图示的方法形象地描绘电场中的电场强度分布状况.为此在电场中作一系列有向曲线,使曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致,这些有向曲线称为电力线（又称电场线）,简称E 线.为了使电力线不仅能表示出电场中各点场强的方向,而且还能表示出场强的大小,我们规定：电场中任一点场强的大小等于在该点附近垂直通过单位面积的电力线数,即)(电场线密度E dSdN= (5.17) 按此规定,电场强度的大小E 就等于电力线密度,电力线的疏密描述了电场强度的大小分布,电力线稠密处电场强,电力线稀疏处电场弱.匀强电场的电力线是一些方向一致,距离相等的平行线.静电场的电力线具有以下特点：（1）电力线起自正电荷（或来自无穷远）,终止负电荷（或伸向无穷远）,但不会在无电荷的地方中断,也不会形成闭合线.（2）因为静电场中的任一点,只有一个确定的场强方向,所以任何两条电力线都不可能相交.二、电通量通过电场中某一个曲面的电力线数称为通过该曲面的电通量。
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅=θ=Φ⎰⎰)()()(cos c b a S d E S E ES ES e 图ϖϖϖϖ (5.18)若对封闭曲面,并规定面元法向n 的正向为从面内指向面外,则上式可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<>⋅=Φ⎰⎰小于穿入闭面的电场线从闭面穿出的电场线数大于穿入闭面的电场线从闭面穿出的电场线数00S e S d E ϖϖ (5.19) 三、高斯定理高斯（K.F.Gauss ,1777-1855年）是德国物理学家和数学家,他在实验物理和理论物理以及数学方面都做出了很多贡献,他导出的高斯定理是电磁学的一条重要规律.定理反映了静电场中任一闭面电通量和这闭面所包围的电荷之间的确定数量关系.下面在电通量概念的基础上,利用场的叠加原理推导高斯定理.1、包围点电荷 q 的球面的电通量以点电荷 q 所在点为中心,取任意长度r 为半径,作一球面S 包围这个点电荷 q ,如图5.6（a ）所示,据点电荷电场的球对称性知,球面上任一点的电场强度E 的大小为204r qπε,方向都是以q 为原点的径向,则电场通过这球面的电通量为：⎪⎩⎪⎨⎧<>ε=πε=πε=⋅=Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰004402020qdS r qdS r q S d E SSSe ϖϖ 此结果与球面的半径r 无关,只与它包围的电荷有关.即通过以 q 为中心的任意球面的电通量都一样,均为q/0ε ,用电力线的图象来说,即当 q >0 时, e Φ> 0 ,点电荷的电力线从点电荷发出不间断的延伸到无限远处；q<0 时, e Φ< 0 ,电力线从无限远不间断地终止到点电荷.2、包围点电荷的任意封闭曲面S'的电通量S'和球面S 包围同一个点电荷q ,如图5.6（a ）所示,由于电力线的连续性,可以得出通过任意封闭曲面S' 的电力线条数就等于通过球面S 的电力线条数.所以通过任意形状的包围点电荷q 的封闭曲面的电通量都等于q/0ε．3、如果闭面S' 不包围点电荷q如图5.6(b)所示.则由电力线的连续性可得,由一侧穿入S' 的电力线数就等于从另一端穿出S' 的电力线数,所以净穿出S' 的电力线数为零.即：0=⋅=Φ⎰⎰'S e S d E ϖϖ4、任意带电系统的电通量以上只讨论了单个点电荷的电场中,通过任一封闭曲面的电通量.我们把上结果推广到任意带电系统的电场中,把其看成是点电荷的集合.通过任一闭面S 的电通量为：⎰⎰∑∑⎰⎰⋅+=⋅=Φ+==Ssn i i n i i S e S d E E S d E ϖϖϖϖϖ)('11∑∑⎰⎰⎰⎰∑===ε=⋅=⋅=ni i n i S i S ni i q S d E S d E 10111ϖϖϖϖ5、高斯定理综上可得如下结论：在真空中通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面内电荷电量的代数和除以 .这便是高斯定理 .其数学表达式为0101ε−−→−ε=⋅∑⎰⎰=q q S d E n i i S 写成'ϖϖ (5.20) 应当注意,高斯定理说明了通过封闭面的电通量,只与该封闭面所包围的电荷有关,并没有说封闭曲面上任一点的电场强度只与所包围的电荷有关.封闭面上任一点的电场强度应该由激发该电场的所有场源电荷（包括封闭面内、外所有的电荷）共同决定.四、高斯定理的应用高斯定理是反映静电场性质的一条普遍定律,它对后面要讨论的变化电场也是成立的.另外,在电荷分布具有某种对称性时,也可用高斯定理求该种电荷系统的电场分布,而且利用这种方法求电场要比库仑定律简便得多.下面通过例子来说明.例题 5.4 内、外半径分别为21R R 和的均匀带电球壳,总电荷为Q .求空间各点的电场强度。
教学对象：大学物理专业学生教学课时：2课时教学目标：1. 理解静电场的基本概念，掌握静电场的基本物理量。
2. 掌握库仑定律的应用，能够计算两个点电荷之间的静电力。
3. 理解电场强度和电势的概念，掌握电场强度和电势的计算方法。
4. 理解高斯定理和环路定理，并能应用于解决实际问题。
教学内容：一、静电场的基本概念和物理量1. 静电场的定义和特性2. 电荷的基本性质和电荷守恒定律3. 电场强度和电势的定义4. 电场线、等势面和电场强度叠加原理二、库仑定律1. 库仑定律的表述和适用条件2. 库仑定律的应用实例3. 静电力计算公式三、电场强度和电势的计算1. 电场强度和电势的计算方法2. 点电荷激发的电场强度3. 带电体激发的电场强度和电势四、高斯定理和环路定理1. 高斯定理的表述和证明2. 高斯定理的应用实例3. 环路定理的表述和证明4. 环路定理的应用实例教学过程：第一课时一、导入1. 回顾电荷和电场的基本概念。
2. 提出静电场的基本问题，引导学生进入学习状态。
二、静电场的基本概念和物理量1. 讲解静电场的定义和特性，引导学生理解静电场的概念。
2. 介绍电荷的基本性质和电荷守恒定律，强调电荷守恒的重要性。
3. 讲解电场强度和电势的定义，以及它们之间的关系。
三、库仑定律1. 讲解库仑定律的表述和适用条件，引导学生理解库仑定律的基本原理。
2. 通过实例演示库仑定律的应用，帮助学生掌握静电力计算公式。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结静电场的基本概念和物理量。
2. 提出思考问题，引导学生深入思考。
第二课时一、导入1. 回顾上一节课所学内容，引导学生进入学习状态。
二、电场强度和电势的计算1. 讲解电场强度和电势的计算方法，包括点电荷激发的电场强度和带电体激发的电场强度和电势。
2. 通过实例演示电场强度和电势的计算方法，帮助学生掌握相关计算技巧。
三、高斯定理和环路定理1. 讲解高斯定理的表述和证明，引导学生理解高斯定理的基本原理。
§5.5 静电场的功 电势一、静电场力的功 静电场的环路定理将试探电荷0q 引入点电荷q 的电场中,现在来考察如图5.10所示, 把0q 由a 点沿任意路径 L 移至b 点,电场力所做的功.路径上任一点c 到q 的距离为r ,此处的电场强度为r r q E 304 如果将试探电荷0q 在点c 附近沿L 移动了位移元dl ,那么电场力所做的元功为cos Edl q l d E q dA 00dr rq q Edr q 20004 式中θ是电场强度E 与位移元dl 间的夹角,dr 是位移元dl 沿电场强度E 方向的分量.试探电荷由a 点沿L 移到b 点电场力所做的功为)(ba r r r r q q dr r q q dA Ab a 114400200 (5.22) 其中b a r r 和分别表示电荷q 到点a 和点b 的距离.上式表明在点电荷的电场中,移动试探电荷时,电场力所做的功除与试探电荷成正比外,还与试探电荷的始、末位置有关,而与路径无关.利用场的叠加原理可得在点电荷系的电场中,试探电荷0q 从点a 沿L 移到点b 电场力所做的总功为ii A A上式中的的每一项都表示试探电荷0q 在各个点电荷单独产生的电场中从点a 沿L 移到点b 电场力所做的功.由此可见点电荷系的电场力对试探电荷所做的功也只与试探电荷的电量以及它的始末位置有关,而与移动的路径无关.任何一个带电体都可以看成由许多很小的电荷元组成的集合体,每一个电荷元都可以认为是点电荷.整个带电体在空间产生的电场强度E 等于各个电荷元产生的电场强度的矢量和.于是我们得到这样的结论：在任何静电场中,电荷运动时电场力所做的功只与始末位置有关,而与电荷运动的路径无关.即静电场是保守力场.若使试探电荷在静电场中沿任一闭合回路L 绕行一周,则静电场力所做的功为零,电场强度的环量为零，即 00000Lq L l d E l d E q (5.23) 静电场的这一特性称为静电场的环路定理,它连同高斯定理是描述静电场的两个基本定理.二、电势能和电势1 电势能在力学中已经知道,对于保守力场,总可以引入一个与位置有关的势能函数,当物体从一个位置移到另一个位置时,保守力所做的功等于这个势能函数增量的负值.静电场是保守力场,所以在静电场中也可以引入势能的概念,称为电势能 .设b a W W 、分别表示试探电荷0q 在起点a 、终点b 的电势能,当0q 由a 点移至b 点时,据功能原理便可得电场力所做的功为)(a b b aab W W l d E q A 0 (5.25) 当电场力做正功时,电荷与静电场间的电势能减小；做负功时,电势能增加.可见,电场力的功是电势能改变的量度.电势能与其它势能一样,是空间坐标的函数,其量值具有相对性,但电荷在静电场中两点的电势能差却有确定的值.为确定电荷在静电场中某点的电势能,应事先选择某一点作为电势能的零点.电势能的零点选择是任意的,一般以方便合理为前提.若选c 点为电势能零点,即0 c W ,则场中任一点a 的电势能为c aa l d E q W 0 (5.26) 2 电势与电势差电势能（差）是电荷与电场间的相互作用能,是电荷与电场所组成的系统共有的,与试探电荷的电量有关.因此,电势能（差）不能用来描述电场的性质.但比值0q W a /却与0q 无关,仅由电场的性质及a 点的位置来确定,为此我们定义此比值为电场中a 点的电势,用a V 表示,即c a a a ld E q W V 0(5.27) 这表明,电场中任一点a 的电势 ,在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能；或等于单位正电荷从该点沿任意路径移至电势能零点处的过程中,电场力所做的功.式(5.27)就是电势的定义式,它是电势与电场强度的积分关系式.静电场中任意两点a 、b 的电势之差,称为这两点间的电势差,也称为电压,用V 或U 表示,则有b ac b c a b a ld E l d E l d E V V U (5.28) 该式反映了电势差与场强的关系.它表明,静电场中任意两点的电势差,其数值等于将单位正电荷由一点移到另一点的过程中,静电场力所做的功.若将电量为0q 的试探电荷由a 点移至b 点,静电场力做的功用电势差可表示为)(b a b a ab V V q W W A 0 (5.29)由于电势能是相对的,电势也是相对的,其值与电势的零点选择有关,定义式(5.27)中是选c 点为电势零点的.但静电场中任意两点的电势差与电势的零点选择无关.在国际单位制中,电势和电势差的单位都是伏特（V ）.等势面 在电场中电势相等的点所构成的面称为等势面.不同电场的等势面的形状不同.电场的强弱也可以通过等势面的疏密来形象的描述,等势面密集处的场强数值大,等势面稀疏处场强数值小.电力线与等势面处处正交并指向电势降低的方向.电荷沿着等势面运动,电场力不做功.等势面概念的用处在于实际遇到的很多问题中等势面的分布容易通过实验条件描绘出来,并由此可以分析电场的分布.三、电势的计算1 点电荷的电势在点电荷q 的电场中,若选无限远处为电势零点,由电势的定义式（5.27）可得在与点电荷q 相距为 r 的任一场点P 上的电势为rq l d E V r P 04 (5.30) 上式是点电荷电势的计算公式,它表示,在点电荷的电场中任意一点的电势,与点电荷的电量q 成正比,与该点到点电荷的距离成反比.2 多个点电荷的电势在真空中有N 个点电荷,由场强叠加原理及电势的定义式得场中任一点P 的电势为ii i r i r i i r P V l d E l d E l d E V (5.31) 上式表示,在多个点电荷产生的电场中,任意一点的电势等于各个点电荷在该点产生的电势的代数和.电势的这一性质,称为电势的叠加原理.设第i 个点电荷到点P 的距离为i r ,P 点的电势可表示为N i i i i i P r q V V 1041 (5.32) 3 任意带电体的电势对电荷连续分布的带电体,可看成为由许多电荷元组成,而每一个电荷元都可按点电荷对待.所以,整个带电体在空间某点产生的电势,等于各个电荷元在同一点产生电势的代数和.所以将式（5.32）中的求和用积分代替就得到带电体产生的电势,即线分布面分布体分布L S V P rdl rdS r dV r dq V 00004444 （5.33） 讨论：1）在上述所给的电势表式中，都选无限远作为电势参考零点；2）在计算电势时,如果已知电荷的分布而尚不知电场强度的分布时,总可以利用（5.33）直接计算电势.对于电荷分布具有一定对称性的问题,往往先利用高斯定理求出电场的分布,然后通过式（5.27）来计算电势.例题5.6 求电偶极子电场中的电势分布,已知电偶极子的电偶极矩P = q l ． 解：如图5.11所示,P 点的电势为电偶极子正负电荷分别在该点产生电势的叠加（求代数和）,即r q r q V P 004141 因而有因此由于,cos ,, l r r r r r l r 230204141r r p r ql V P cos由此可见,在轴线上的电势为2041r p V P ；在中垂面上一点的电势为0 P V 。
第六章 真空中的静电场（electrostatic field ）§6-1. 库仑定律 （Coulomb’s law ）一、库仑定律（Coulomb’s law ）1、 内容：（content ）两点电荷的受力与所带电量的乘积成正比，与它们的距离平方成反比，其方向沿两点电荷的连线，其矢量表达式为==r r q q k F ˆ221 22141r q q o πε32141ˆr r q q r o πε= 式中，k =oπε41——比例系数；o ε—真空中的电容率；rˆ —为单位矢量，大小为1，方向由施力电荷指向受力电荷 r —两点电荷21q q 、的间距；2、适用范围(appled limits)点电荷，点电荷概念不成立 ，则库仑定律也不成立。
§ 6-2 电场 电场强度（electric field electric field strength ）一、电场(electric field )带电体周围存在的一种特殊物质,它对处于其中的电荷有力的作用，电场具有力与能的性质，具有质量和动量。
电场与电荷的关系为：电荷−→←电场−→←电荷 二、电场强度（electric field strength ）1、 目的(purpose)便于研究、判定电场力的特性(不受外置电荷影响) 2、 定义（definition ）单位试验电荷的受力[力与试验电荷（量）之比]oq F E =q o –––试验电荷，荷电量很小（不影响电场分布）的正电荷. ∴正电荷q 的场离q 而去，负电荷q 的场向q 而来。
三、场强的计算（computation of electric field strength ）1、 叠加原理(superposition principle)为简便计，设电荷系统由两个点电荷组成，则试验电荷所受库仑力F =F 1+F2系统所产生的场强i oo o E E E q F q F q F E∑=+=+==2121点电荷系所产生的场强等于组成系统的各电荷单独存在时所产生的场强的矢量和。
第五章 真空中的静电场第一节 电荷、库仑定律一、电荷电子具有电荷191.6021910e C -=-⨯(库仑)，质子具有电荷191.6021910p C e -=⨯，中子不带电。
物理学对电荷的认识可概括为：(1) 电荷和质量一样，是基本粒子的固有属性； (2) 电荷有两种：正电荷和负电荷，一切基本粒子只可能具有电子或质子所具有电荷的整数倍；(3) 电荷具有守恒性；(4) 电荷之间的相互作用，是通过电场作媒质传递的。
不同质料物体相摩擦后，每个物体有若干电子脱离原子束缚，进入到对方物体中去，双方失去电子数目不一样，一个净获得电子，一个净失去电子，这就是摩擦起电。
核反应中，电荷也是守恒的，例如用α粒子42He 去轰击氮核147N ，结果生成178O 和质子11H1441717281N +He O H →+反应前后，电荷总数皆为9e 。
根据(2)，电荷电场电荷，质量引力场质量。
在电解液中，自由电荷是酸碱盐溶质分子离解成的正、负离子；在电离的气体中，自由电荷也是正、负离子，不过负离子往往就是电子；在超导中，传导电流的粒子是电子对(库珀对)，还可能是极化子、双极化子、孤子等。
从微观上去看，电荷是分立的，宏观上来看，其最小变化量与宏观粒子系统的总电荷量比较完全可被当作无穷小处理。
所以宏观小微观大的带电体，电荷的连续性与分立性得到了统一。
二、库仑定律123014q q F r r πε=或122014r q q F e r πε= 0ε为真空电容率(vacuum permittivity)，其数值为()()1222122208.85418781810/8.8510/C N m C N m ε--=⨯⋅≈⨯⋅介质中的库仑力12314q q F r rπε=0r εεε=是电介质的介电常数，r ε是相对介电常数。
电介质中作用力比真空中小，是因为介质极化后，在点电荷周围出现了束缚电荷。
它削弱了原点电荷之间的作用。
三、叠加原理实验表明，如果同时存在多个点电荷相互作用，则任意两个点电荷之间的相互作用，并不因为第三个电荷的存在而改变，即作用在一个电荷上的力，等于其他每一个电荷单独对该点电荷的库仑作用力的矢量之和，这个规律称为叠加原理。
第五章真空中的静电场第一节电荷、库仑定律一、 电荷电子具有电荷191.6021910e C -=-⨯(库仑)，质子具有电荷191.6021910p C e -=⨯，中子不带电。
物理学对电荷的认识可概括为：(1)电荷和质量一样，是基本粒子的固有属性；(2)电荷有两种：正电荷和负电荷，一切基本粒子只可能具有电子或质子所具有电荷的整数倍；(3)电荷具有守恒性；(4)电荷之间的相互作用，是通过电场作媒质传递的。
不同质料物体相摩擦后，每个物体有若干电子脱离原子束缚，进入到对方物体中去，双方失去电子数目不一样，一个净获得电子，一个净失去电子，这就是摩擦起电。
核反应中，电荷也是守恒的，例如用α粒子42He 去轰击氮核147N ，结果生成178O 和质子11H 反应前后，电荷总数皆为9e 。
根据(2)，电荷€电场€电荷，质量€引力场€质量。
在电解液中，自由电荷是酸碱盐溶质分子离解成的正、负离子；在电离的气体中，自由电荷也是正、负离子，不过负离子往往就是电子；在超导中，传导电流的粒子是电子对(库珀对)，还可能是极化子、双极化子、孤子等。
从微观上去看，电荷是分立的，宏观上来看，其最小变化量与宏观粒子系统的总电荷量比较完全可被当作无穷小处理。
所以宏观小微观大的带电体，电荷的连续性与分立性得到了统一。
二、 库仑定律 123014q q F r r πε=r r 或122014r q q F e r πε=r r 0ε为真空电容率(vacuumpermittivity)，其数值为()()1222122208.85418781810/8.8510/C N m C N m ε--=⨯⋅≈⨯⋅ 介质中的库仑力0r εεε=是电介质的介电常数，r ε是相对介电常数。
电介质中作用力比真空中小，是因为介质极化后，在点电荷周围出现了束缚电荷。
它削弱了原点电荷之间的作用。
三、 叠加原理实验表明，如果同时存在多个点电荷相互作用，则任意两个点电荷之间的相互作用，并不因为第三个电荷的存在而改变，即作用在一个电荷上的力，等于其他每一个电荷单独对该点电荷的库仑作用力的矢量之和，这个规律称为叠加原理。
库仑定律只适用于点电荷，但有了叠加原理，任意形状、大小的带电体之间的相互作用理论上都是可以计算的。
只需将带电体划分为许多小电荷元，就可以看成是点电荷系了。
第二节电场电场强度地球周围存在重力场，电荷周围空间存在电场，电场具有对其中的电荷施加力的作用。
电场不具有占位性，是一种特殊形态的物质。
对于放入电场中的一个尺寸足够小的电荷量为0q 的点电荷，0F q 是一个恒矢量，与检验电荷性质无关，称0F E q =r 为电场强度，简称场强。
由0q =+1时，有E F =r r，所以，电场中任一点场强的大小和方向，相当于单位正电荷在该点所受电场力的大小和方向。
单位是1N C -⋅。
1111N C V m --⋅=⋅。
由库仑力的叠加原理，易得 如果电荷是连续分布，可将它分成许多点电荷元dq ，则 对于体分布电荷214r V dq E e r ρπε=⎰r r 而面分布电荷214r S dq E e r σπε=⎰r r 线分布电荷214r l dq E e r λπε=⎰r r 通常将dE r 沿直角坐标轴分解成三个分量,,x y z dE dE dE 。
电场强度的大小为E =cos ,cos ,cos y x z E E E E E Eαβγ===。
第三节从库仑定律导出高斯定理一、 电位移矢量为了方便，选择一个新的矢量D E ε=r r ，则在真空和介质里，有D r 称为电位移矢量。
单位2C m -⋅，显然i iD D =∑r 。
D r 是由自由电荷所决定的场，它与介质无关。
二、 电场线使曲线上每一点的切线方向都与该点的场强方向一致，这样的曲线称为电场线(在空间各点画小箭头的方法描绘点电荷的电场中各处场强分布情况，然后把小箭头连接起来，就得到电场线)。
为了使电场线不只是表示出电场中场强的方向分布，而且要表示出各点场强的大小分布，故引入电场线密度：在电场中任一点，通过与场强方向垂直的单位面积的电场线条数，即电场线密度，表示为dN dS ⊥。
并且使电场中任一点的电场线密度与该点电场强度大小成正比dN E dS ⊥∝r 。
静电场的电场线的性质：(1)电场线起于正电荷(或来自无穷远)，止于负电荷(或伸向无穷远)，在没有电荷的地方不会中断。
(2)任意两条电场线在没有电荷处不相交。
(3)不形成闭合曲线。
三、 电通量(E r 通量)和D r 通量当所取的面元与该处场强E r 不垂直的时候通过电场中任意给定面积的电场线数目，称该面积的E r 通量。
cos e n d dN E dS E dS EdS Φθ==⋅==r r r r若把电场线数目改为电位移场线的数目，则cos d d dN D dS DdS Φθ==⋅=r r对于闭合曲面把整个空间分成内、外两部分，把指向曲面外部空间的叫外法线矢量，指向内部空间的叫内法线矢量。
规定：对于闭合曲面，总是取它的外法线矢量为正。
四、 高斯定理证明：S VD dS DdV ⋅=∇⋅⎰⎰r r r 证：如图类似有利用上面的公式可得： 对于闭合球面：24D S S qdS D dS q r Φπ=⋅==⎰⎰r r 蜒 对任一形状的闭曲面∑：'2,4D rr q e dS e dS dS r Φπ∑=⋅⋅=⎰r r r r r Ñ其中 立体角：平面角ϕ的大小是s r ϕ=，因为整个圆周的长度为2r π，故圆周角是2πrad 。
类似地，立体角是由过一点('o 点)的射线，旋转一周扫出的锥面所限定的空间。
以'o 为球心，以r 为半径作球面，若立体角的锥面在球面上截下的面积为S ，则立体角的大小是2S rΩ=，因为整个球面的面积是24r π，所以它所张的立体角是4π。
以上结论可推广到多个点电荷系有高斯定理：通过任意一个闭合曲面∑的电位移通量D Φ，等于该曲面所包围的全部电荷量的代数和而与曲面外的电荷无关。
这个结论称为高斯定理。
习惯上，称闭合面∑为高斯面。
对于连续分布的电荷，高斯定理可写为这就是高斯定理的微分形式。
0D ∇⋅≠r ，说明必有电位移场线从该点出发或终止，通常称散度不为0的点为场源头，故散度不为0的矢量场为有源场。
高斯定理表明，静电场是有源场，电荷是静电场的源头。
D ∇⋅r 等于空间该点附近单位体积所净流出的D r 的通量，在数值上正好等于该点的自由电荷密度ρ。
对于无穷小体积，则0,d D dSD d dV ρ∑→⋅∇⋅==∑⎰r r r Ñ为包围体元dV 的无穷小封闭曲面。
第四节由库仑定律得出静电场的环路定理—静电场力作功与路径无关设0q 在路径L 上任意一点处(P 点)作一元位移dl r 到达'P 点，'P 点到O 点的距离分别为',()r r r dr +。
这元位移过程中电场力作的元功为 可见，当0q 一定时，电场力的功只和0q 始末位置有关，与电荷0q 移动的路径无关。
以上是单个点电荷在其产生电场中，电场力作功与路径无关，类似地，任意带电体系在其产生的电场中，电场力作功与路径亦无关。
另一种表述：设0q 在静电场中沿任意一条闭合曲线L 移动一周，则电场力在这个过程中作的总功为静电场力作功与路径无关这一特性可知因此，第二种表述为电场强度的环流等于零，与静电场力作功与路径无关是等价的。
任何力场，只要具备场强的环流为零的特性，就叫做保守力场或势场。
静电场是保守力场。
第五节电势静电场中，场强沿任何闭合路径的线积分等于零，即作功与路径无关。
那么，这个场就叫保守力场或势场(其它，如重力场)，由x V F x¶=-¶可知，静电场力应是保守力。
设想把电量为0q 的试验电荷从电场中a 点移到b 点，我们把这个过程中电场力作的功定义为0q 在a 、b 两点的电势能(静电位能)之差：0ba b a W W q E dl -=?òr r ，若要问电荷0q 在电场中任一给定点的静电位能是多大，则需选定参考点。
通常取无穷远处为参考点。
电势能并不能直接描述该点电场的性质，但比值0a W q 却与0q 无关，只与电场性质和a 点位置有关，这表明0a W q 是描写电场中a 点电场性质的物理量，把它叫做a 点的电势(电位)，取无穷远处为参考点，以aU 表示a 点电位。
距离场源电荷q 为r 处的P 点的电势为电场中任意两点,a b 的电势之差称为电势差或电压：0P 为零电势参考点。
由上可知电势是个标量，电势的单位第六节等势面电场强度与电势的关系一、等势面在电场中，电势相等的各点所构成的曲面，叫做等势面。
如点电荷的电势公4q U rpe =，其等势面是以q 为中心的球面。
静电场中的等势面有以下几点性质：(1)沿着等势面移动电荷时电场力不做功。
因为()ab a b W q U U =-，由于a b U U =，因此0ab W =；(2)电场线与等势面正交。
0cos dW q Edl q =，q 为电场强度E r 的方向(即电场线方向)与dl r 之间的夹角。
由于dW =0，而0q 、E 、dl 不为零，所以cos cos900q ==o，即E r 与dl r 垂直，由于dl r 总在等势面上，因此E r 的方向(即电场线方向)与等势面必然垂直。
(3)b a b a U U U E dr -D =-=?òr r 或(0)E dr dU dU E dr E dnq ==-拙揪揪揪揪揪揪揪揪?-r r r r r r 与方向相同，等电势面靠的越近，电场强度就越大，即等电势越密集的地方电场强度大，电场强；稀疏的地方电场越弱。
(4)任意两个等电势面不相交。
二、电场强度和电势的关系在空间直角坐标系中，电势是空间坐标(),,x y z 的函数：(),,U U x y z =，由x y z x y z U U U dU E drdx dy dz E dx E dy E dy x y z U U U E dx E dy E x y z 抖?=-邹++=-----抖?骣骣骣抖?琪琪琪+++++琪琪琪抖?桫桫桫r r 或 由dx 、dy 、dz 的独立性，可知 其中，U U U i j k x y y 抖?押++抖?r r r 称梯度算符，U Ñ为电势梯度。
