二倍角的正弦、余弦和正切公式(导学案)

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计高一A 组 韩慧芳年级：高一 科目：数学 内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式 课型：新课一、教学目标1、知识目标：（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题.(2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用）,使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2、能力目标:通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。

在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键1、教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用.3、关键：二倍角的理解三、学法指导学法：研讨式教学四、教学设想：1、问题情境复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 思考：在这些和角公式中，如果令βα=，会有怎样的结果呢？2、建构数学公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=;()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-;22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看,倍角公式给出了αα与2的三角函数之间的关系。

2022版高中数学必修四导学案313二倍角的正弦余弦正
切公
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
【学习目标】
1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，了解二倍角正弦、余弦和正切公式的推导；
2.会应用二倍角公式进行简单的求值、化简与证明；
3.理解二倍角公式在“升幂”“降幂”中的作用.
【新知自学】知识回顾：
co(αβ-)=
co(αβ+)=
in(αβ+)=
in()αβ-=
tan()αβ+=
tan()αβ-=新知梳理
由上述公式能否得到in2,co2,tan2ααα的公式呢？
in2α=
co2α=
tan2α=
注意：2,22kkπ
π
απαπ≠+≠+()kz∈思考感悟对点练习：
（1）已知αco=－33
,且0tan<α，则α2in的值等于（）A．322B．13
C．－32
2D．－13
（2）若∈=ππ
in，则α2tan的值为（）
A、119120
B、119120
C、120229
D、120229
（3）已知53
)2in(=-απ
,则=α2co
【合作探究】典例精析：
例1、已知5in2,,
1342π
π
αα=<<
求in4,co4,tan4ααα的值．
变式练习：
1、已知),2(,61)4in()4in(
ππππ∈=-+某某某，求某4in的值.例2、在△ABC中，5
4co=A，BAB的值求)22tan(,2tan+=。

§3 二倍角的三角函数 导学案编制人：赵琳卓【学习目标】1、知识与技能以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用。

2、过程与方法通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导，体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法。

3、情感、态度、价值观通过学习，使同学对三角函数之间的关系有更深的认识，增强学生逻辑推理和综合分析能力。

【重点、难点】教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.【使用说明与学法指导】1、 根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2、 用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论；【自主探究】温故知新——两角和与差的正弦、余弦和正切公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ； βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ ；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ ； βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-探究1、在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，请尝试尽可能多的求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值。

探究2、公式推导：α2sin =α2cos =α2tan =探究3、公式变形：小组交流合作，尽可能全面挖掘公式的变形形式探究4、 二倍角公式中，“倍”字如何理解？ （1）4sin （2）α6cos （3）αα2tan 12tan 22- （4）2)2cos 2(sin αα+【合作探究】探究1、熟练掌握公式 例1、求值（1）sin15°cos15° （2）。

75cos 2（3）已知2tan =α，求α2tan探究2、解决实际问题例2、在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值。

3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos 2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-tan 2α=-（四）课堂练习：详见学案（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（六）作业：15034.P T T -§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式课前预习学案一、预习目标复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式，为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺垫。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式——二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计教学过程一引入回忆上节课的内容两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)=sinαcosβ±sinβcosα，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)=tanα±tanβ。

1∓tanαtanβ二新知探究问题如何借助S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式？（通过复习和引导，让学生自己动手完成推导过程。

）1.角2α与α的关系：2α=α+α，2.二倍角的正弦公式令S(α+β)公式中括号里的βα=，sin(α+α)=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα。

思考1：除了通过S(α+β)推导出sin2α的公式外，能不能借助S(α−β)推导出sin2α的公式？令S(α−β)公式中括号里的β=−α，借助诱导公式得到sin(α−(−α))=sinαcos(−α)−sin(−α)cosα=sinαcosα+sinαcosα=2sinαcosα即sin2α=2sinαcosα.3.二倍角的余弦公式令C(α+β)中括号里的βα=，cos(α+α)=cosαcosα−sinαsinα=cos2α−sin2α，或令C(α−β)中括号里的β=−α，通过诱导公式得到cos(α−(−α))=cosαcos(−α)+sinαsin(−α)=cosαcosα−sinαsinα=cos2α−sin2α。

思考2: 能不能根据同角三角函数的平方和关系表示出cos2α的其他形式呢？由平方和关系可知cos2α=1−sin2α，再代入回原来的式子，可得cos2α=1−sin2α−sin2α=1−2sin2α.或将sin2α=1−cos2α代入可得出cos2α=cos2α−(1−cos2α)=2cos2α−1。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（导学案）
一、重点与难点：
1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式 。

2、 难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、和角公式的综合应用。

二、教学过程：
1、探究公式的形成：(请把化归的过程填入下面的式中)
sin 2α= 简记： 2()S α cos 2α= 简记： 2()C α tan 2α= 简记：2()T α
2、公式的运用：
☆ 梯度一 (倍角的相对性)
sin 22sin cos ααα= 22cos 2cos sin ααα=-
cos 4α= 2cos 2sin - sin 2α
= sin cos
sin α= cos α=
☆ 梯度二：(熟练公式结构并会用公式的逆用)
（1）2sin15°cos15°= (公式的逆用)
（2）22cos sin 8
8π
π-= (公式的逆用) （3）22cos 112π
-= (公式的逆用)
（4） 0
202tan 22.51tan 22.5
=- (公式的逆用) 三、课后提升
1，已知 12cos 13α= ，)2
,0(πα∈，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的值 ?
2、已知 5
tan 12α= ，3(,)2π
απ∈，求 tan 2α 的值。

四、课后思考：
（1） 二倍角公式中角的取值范围是任意的吗？
（2） C S αα22中角α没有限制条件，
T α2 中，α有限制条件 公式中(2k παπ≠+且)()42k k Z π
π
α≠+∈。

- 1 - §3.1.3 《二倍角的正弦、余弦和正切公式》导学案学习目标：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程， 掌握其应用.学习重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导及灵活运用.学习难点：灵活应用二倍角公式.学习过程一、复习回顾1、 写出两角和的正弦、余弦和正切公式：2、在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令β=α可得什么结论 ？二、合作探究1、二倍角的正弦、余弦、正切公式：=α2sin=α2cos=α2tan 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈2、思考：对cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？3、（公式巩固性练习）求下列各式的值：跟踪练习：课本135页 5=，。

，。

、3022cos 3022sin 1=-18cos 222π、- 2 - 三.例题讲解例1 已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：例２ 已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：例3 证明：四、当堂达标1.计算=2.若53)2(sin =+θπ，则θ2cos = 3.已知55sin =α，则=-αα22cos sin 4.若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值.五、小结反思 熟记二倍角的正弦、余弦和正切公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差2012sin 22.5-。

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，了解二倍角正弦、余弦和正切公式的推导；2.会应用二倍角公式进行简单的求值、化简与证明；3.理解二倍角公式在“升幂”“降幂”中的作用.【新知自学】 知识回顾：)=cos(αβ+)=sin(αβ+)=sin ()αβ-=tan ()αβ+=tan ()αβ-= 新知梳理sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？sin 2α=cos 2α=tan 2α=注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈ 思考感悟cos(αβ-)、cos(αβ+)、sin(αβ+)、sin ()αβ-、tan ()αβ+、tan ()αβ-、α2sin 、α2cos 、α2tan 间的区别与联系？对点练习：（1）已知αcos =－33,且0tan <α，则α2sin 的值等于 （ ） A ．322 B ．13 C ．－322 D ．－13（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,135sin ，则α2tan 的值为 （ ）A 、 119120B 、 119120-C 、 120119D 、 120119-（3）已知53)2sin(=-απ,则=α2cos【合作探究】 典例精析：例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．变式练习：1、已知),2(,61)4sin()4sin(ππππ∈=-+x x x ，求x 4sin 的值.例2、在△ABC 中，54cos =A ，。

B A B 的值求)22tan(,2tan +=变式练习：2、已知2tan =x ，则)4(2tan π-x =（ ） A. 34 B. 34- C.43 D. 43-*例3、已知的值求)2tan(,31tan ,71tan βαβα+==【课堂小结】【当堂达标】1. 若x = π12 ，则x x 44cos sin -的值为 （ ）A ．21B ．21-C ．23- D ．232. ︒︒15cos 15sin =︒-︒15sin 15cos 22=3. 已知：()πααα<<=+033cos sin ，求：α2cos 的值．【课时作业】1. =+10sin 1（ ）A 、5sin 5cos +B 、5sin 5cos -C 、5cos 5sin -D 、5cos 5sin --2. 若24,412sin παπα<<=，则ααsin cos -的值等于（ ）A 、23B 、43C 、23- D 、43- 3. 52cos 5cos ππ的值等于 （ ）A 、 41B 、 21C 、 2D 、 44．已知 sin （x －π4 ）= 35 ,则sin2x = （ ）A ．825B ．725C ．1625D ．－1625*5. 求函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值.*6. 已知：⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-401354sin ππx x ，求：⎪⎭⎫⎝⎛+x x4cos 2cos π的值．*7. 已知：x tan = －2 2 ，求：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x x x 4sin 21sin 2cos 22π的值．【延伸探究】 已知向量1(cos ,)2a x =-， (3sin ,cos2),b x x x R =∈，设函数()f x a b =，（1）求()f x 的最小正周期。

《二倍角的正弦余弦正切公式》教案教案：《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学目标：1.理解二倍角的概念和基本性质；2.学习和掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；3.运用二倍角的公式解题。

教学内容：1.二倍角的概念和基本性质；2.二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导；3.二倍角公式的应用。

教学过程：第一步：导入新知1.引导学生回顾正弦、余弦、正切函数的定义和性质；2.提问：你知道什么是角的倍数吗？角的二倍数是什么？为什么要研究二倍角呢？第二步：理解二倍角的概念和基本性质1.引导学生思考：角的二倍数就是两个角之和等于该二倍数的角，即2θ；2.引导学生举例，如角θ=30°，则2θ=60°，角θ=45°，则2θ=90°；3.引导学生总结二倍角的性质：二倍角的度数是原角的二倍，且二倍角的三角函数可以用原角的三角函数表示。

第三步：学习和掌握二倍角的公式1.导出二倍角的正弦公式：通过绘制单位圆的二倍角所在弧，可以推导出sin 2θ =2sinθcosθ；2.导出二倍角的余弦公式：通过绘制单位圆的二倍角所在弧，可以推导出cos 2θ = cos²θ - sin²θ；3.导出二倍角的正切公式：将sin 2θ = 2sinθcosθ和cos 2θ = cos²θ - sin²θ相除，得到tan 2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)；4.引导学生通过课堂推导，巩固二倍角的正弦、余弦、正切公式。

第四步：运用二倍角的公式解题1.教师出示一道二倍角公式的应用题，引导学生分析题意和给定的条件；2.指导学生使用二倍角的公式计算，并注意使用适当的三角函数；3.检查计算结果，并进行讲解。

第五步：练习和巩固1.指导学生完成若干道二倍角公式的应用题，并互相交流、校对答案；2.师生共同讨论解题思路和方法，澄清疑惑；3.总结二倍角的正弦、余弦、正切公式的使用技巧和注意事项。

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学案1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式以及同角三角函数关系推到二倍角的正弦、余弦和正切公式2.熟记公式并能正向和逆向运用3.掌握一些简单的角的变换，体会整体思想一、课前准备（预习教材P 132~ P 1134，找出疑惑之处）1.两角和的正弦公式：=+)sin(βα2.两角和的余弦公式：=+)cos(βα3.两角和的正切公式：=+)tan(βα4.同角关系之平方关系：二、新课导学※ 预习探究探究任务一：二倍角公式的推导 1.如何利用βαβαβα+++T C S ,,推导出ααα2tan ,2cos ,2sin 的公式？2.根据同角关系之平方关系，你能否只用αsin 或只用αcos 表示α2cos ？3.二倍角公式（尤其是αα2cos ,2sin ）左右两边的式子结构有什么特点？4.思考（升幂公式）=+αsin 1 ；=-αsin 1 ；=+αcos 1 ；=-αcos 1 。

探究任务二：降幂公式（二倍角公式的变形式）试用二倍角α2的三角函数表示下列各式1.=ααcos sin ；2.=α2sin；3.=α2cos※ 预习检测1.已知2tan =α，则=α2tan 。

2.已知，则=α2cos 。

3.已知α在第二象限， ，则=α2sin 。

4.=-02025.22sin 5.22cos =-025.22sin 21 ；41sin =α532cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ=-15.22cos 202 ※ 典型例题例1．已知 ，求ααααα4tan ,4cos ,4sin ,2tan ,2cos 。

思考：根据条件你能求出αsin 与αcos 吗？ 小结：二倍角的相对性------将所给角变为某个角的二倍角=α ；=±x 22π。

变式：（1）已知παπα128,548cos<<-=，求4tan ,4cos ,4sin ααα的值 （2）已知πααα<<=+0,31cos sin ，求ααα2tan ,2cos ,2sin例2.化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+例3.（1）设α为锐角，若546cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πa ，求①)32cos(),32sin(παπα++；②)122sin(πα+ （2）已知40,135)4sin(ππ<<=-x x ，求①x 2cos ；②)4cos(x +π；③x sin例4.求下列各式的值①0010cos 310sin 1- ②00080cos 40cos 20cos例5.已知πθπθ325,54sin <<=，求2tan ,2sin ,2cos θθθ =-0205.22tan 15.22tan 24,532sin παπα<<=变式：（1）已知παα<<=0,53cos ，求2sin α （2）已知2572cos =θ，求θcos （3）已知542sin ,432-=<<θπθπ，求θtan1.=-12cos 12sin 44（ ）A.21-B.23-C.21 D.23 2.函数1)4(cos 22--=πx y 是（ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数 D. 最小正周期为π的偶函数 3.已知23,53cos πθπθ<<-=，则=2tan θ（ ） A.2 B.2- C.21 D.21- 4.若31)6sin(=-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos ( ) A. 31- B.97- C.31 D.97 5.已知2tan =x ，则=-)4(2tan πx6.若)20(62)4cos()4cos(πθθπθπ<<=+-，则=θ2sin 7.已知向量x f x x •==-=)(),cos ,(sin ),3,1(（1）若0)(=θf ，求)4sin(21sin 2cos 22πθθθ+--的值； （2）当[]π,0∈x 时，求函数)(x f 的值域。

二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案教学设计：二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标1.知识目标：1)理解两角和的正弦、余弦和正切公式，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。

2)通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2.能力目标：通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3.情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。

在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键1.教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式。

2.教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。

3.关键：二倍角的理解。

三、学法指导学法：研讨式教学。

四、教学设想1.问题情境复回顾两角和的正弦、余弦、正切公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ；tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。

思考：在这些和角公式中，如果令β=α，会有怎样的结果呢？2.建构数学公式推导：sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα；cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sinα或cosα的式子呢？cos2α=cos2α-sin2α=1-si n2α-sin2α=1-2sin2α；cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1.以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看，倍角公式给出了α与2α的三角函数之间的关系。

既公式中等号左边的角是右边角的2倍。

所以，确切地说，这组公式是二倍角的正弦、余弦、正切公式，这正是本节课要研究的内容。

3. 1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 三维目标1.通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导领悟寻找数学规律的方法，培养的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程(问题导入) 1、 若sin α=53,α∈(2π,π),求sin2α，cos2α的值.并总结思想方法。

2、①请试着用sin α 或cos α,表示sin2α，cos2α。

②请试着用tan α表示tan2α。

（新知讲解）这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系. 公式说明：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去； (Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数； (Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21k π+4π和α≠k π+2π(k∈Z )时才成立，但是当α=k π+2π,k∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式. （Ⅴ）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. （应用示例）例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 练习1、已知cos 8α=54-,8π<α<12π,求sin 4a ,cos 4a ,tan 4a 的值。

14-50 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(1班级: 姓名:学习目标一学案复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin( a b += (βα+Scos( a b += (βα+Ctan( a b += (βα+T二、讲解新课:二倍角公式的推导在公式(βα+S , (βα+C , (βα+T 中,当βα=时,得到相应的一组公式: sin 2a = ; (2αS cos 2a = ; (2αCtan 2a = ; (2αT因为 1cos sin 22=+αα,所以公式(2αC 可以变形为2cos a = 2sin a = (2αC ' 公式(2αS , (2αC , (2αC ', (2αT 统称为二倍角的三角函数公式,简称为二倍角公式.探究:(1二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.(2 二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式, 其它如α4是α22α是4α的两倍, α3是23α3α是 6α的两倍等, 所有这些都可以应用二倍角公式. 因2此,要理解“二倍角”的含义,即当2=βα时, α就是β的二倍角.凡是符合二倍角 (3二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角相等时推导出,记忆时可联想相应角的公式.(4 公式(2αS , (2αC , (2αC ', (2αT 成立的条件是 : 公式(2αT 成立的条件是 Z k k k R ∈+≠+≠∈, 4, 2, ππαππαα.其他∈α(5熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角—降次,降角—升次(6特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形: 2cos a =, 2sin a =三、讲解范例:例 1 不查表.求下列各式的值(1 15cos 15sin ; (2 8sin 8cos 22ππ-;(35. 22tan 15. 22tan 22-; (4 75sin 212-.例2不查表.求下列各式的值(1 125cos 125(sin125cos 125(sinππππ-+ (2 2sin 2cos 44αα- (3 ααtan 11tan 11+-- (4 θθ2cos cos 212-+3例3若tan θ = 3,求sin2θ - cos2θ例 4 已知 5sin 2, (, 1342ππαα=∈,求sin4α, cos4α, tan4α二练习案(公式巩固性练习求值:1. sin22︒30’cos22︒30’=_________2. =-π18cos 22__________3. =π-π8cos 8sin 22__________4. =ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8________ 270°<α<360°,则α2cos 2 1212121++等于( 2α2αsin 2α cos 2α sin10°sin30°sin50°sin708cos 4θ=cos4θ+4cos2θ+3。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1、导出倍角公式（重点） 。

2、会利用倍角公式进行求值、化简（难点）。

二、教学过程1、引入：☆ 复习回顾： sin()αβ+= cos()αβ+= tan()αβ+=2、自主学习：P132-134(1)怎么推导倍角公式的？（2）公式的结构特征是什么?“倍”的含义是什么？（3）公式成立的条件是什么？（4）思考：吗？ααsin 22sin =吗？ααcos 22cos =吗？ααtan 22tan =（5）例5关键是求出哪个函数值？要注意什么问题？求α2tan 还有别的方法吗？（6) 例6 之间有怎样的关系？与"""22"B A B A ++？理解记忆公式：sin 2α= 简记： 2()S α cos 2α= 简记： 2()C α tan 2α= (2k παπ≠+且)()42k k Z ππα≠+∈ 简记：2()T α cos 2α= cos 2α=3、合作探究： 针对预习提纲，小组讨论.例 1、已知 5sin 213α=，42ππα<<，求 sin 4α，cos 4α，tan 4α 的值 ?例 2、在 ABC ∆ 中，4cos 5A =，tan 2B =，求 tan(22)A B + 的值？4、师生点评：5、课堂练习 （一）达标练习，当堂测试 教材 第135 页 第 4 题（1).__________________=00cos15sin15（2）.__________________88cos 2=ππ2sin -（3）._______________________5.2220=20tan -1 2.5tan （4） .__________________1=-0222.52cos（二）深化提高（1）化简: .__________10sin 10=-（2）在等腰的正弦值。

，求顶角的余弦值为中，已知一底角A B ABC 54∆ (三）课外思考题：求值：______________80cos 40cos 20cos 000=三、小结：让学生自己总结学习心得与体会反思 .四、作业：教材 第 138 页 第 15、16、17、18 题。

二倍角正弦余弦正切公式教案教案标题：二倍角正弦、余弦和正切公式一、教学目标：1.了解二倍角正弦、余弦和正切公式的定义和推导过程。

2.能够熟练应用二倍角公式解决相关数学问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学内容：1.二倍角正弦公式的定义和推导。

2.二倍角余弦公式的定义和推导。

3.二倍角正切公式的定义和推导。

三、教学过程：导入（5分钟）：1.打开课堂，引入学生对三角函数的基本概念和性质。

2.让学生回顾一下正弦、余弦和正切函数的定义和图像。

讲解（20分钟）：1. 介绍二倍角正弦公式的概念和定义：sin(2θ)。

2. 推导二倍角正弦公式的过程：利用和差化积公式推导sin(2θ)。

3.引导学生理解和记忆二倍角正弦公式的结果。

练习（20分钟）：1.让学生在课堂上尝试解决一些二倍角公式的相关问题。

2.鼓励学生思考问题，提供适当的提示和指导。

讲解（20分钟）：1. 介绍二倍角余弦公式的概念和定义：cos(2θ)。

2. 推导二倍角余弦公式的过程：利用和差化积公式推导cos(2θ)。

3.引导学生理解和记忆二倍角余弦公式的结果。

练习（20分钟）：1.继续让学生在课堂上尝试解决一些二倍角公式的相关问题。

2.鼓励学生与同桌合作，互相讨论问题。

讲解（20分钟）：1. 介绍二倍角正切公式的概念和定义：tan(2θ)。

2. 推导二倍角正切公式的过程：利用sin(2θ)和cos(2θ)的定义和推导。

3.引导学生理解和记忆二倍角正切公式的结果。

练习（20分钟）：1.让学生解决一些与二倍角公式相关的问题。

2.鼓励学生尝试不同的方法和思路，培养他们的问题解决能力。

总结（10分钟）：1.复习二倍角正弦、余弦和正切公式的定义和推导过程。

2.强调二倍角公式的重要性和应用范围。

3.鼓励学生继续深入学习和应用三角函数的相关知识。

四、教学反思：通过本节课的学习，学生能够了解二倍角正弦、余弦和正切公式的定义和推导过程，熟练掌握应用二倍角公式解决相关数学问题的方法和技巧。