第21章 一元二次方程考点

九年级数学上册第二十一章一元二次方程重点知识点大全单选题1、已知关于x 的一元二次方程标kx 2−(2k −1)x +k −2=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k >−14B ．k <14C ．k >−14且k ≠0D ．k <14且k ≠0答案：C分析：由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．解：由题可得：{k ≠0[−(2k −1)]2−4k (k −2)>0, 解得：k >−14且k ≠0；故选：C ．小提示：本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．2、已知A =x 2+6x +n 2，B =2x 2+4x +2n 2+3，下列结论正确的个数为( )①若A =x 2+6x +n 2是完全平方式，则n =±3；②B －A 的最小值是2；③若n 是A +B =0的一个根，则4n 2+1n 2=659；④若(2022−A )(A −2019)=2，则(2022−A )2+(A −2019)2=4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B分析：①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．解：①∵A =x 2+6x +n 2是完全平方式，∴n =±3，故结论正确；②∵B -A=2x 2+4x +2n 2+3-（x 2+6x +n 2）=x 2-2x +n 2+3=（x -1）2+n 2+2，而（x -1）2+n 2≥0，∴B -A ≥2，∴B -A 的最小值是2，故结论正确；③∵A +B =x 2+6x +n 2+2x 2+4x +2n 2+3=3x 2+10x +3n 2+3，把x =n 代入3x 2+10x +3n 2+3=0，得3n 2+10n +3n 2+3=0，即6n 2+10n +3=0，解得n =−5±√76 当n =−5+√76时，2n +1n =−5+√73+−5−√73=−103,∴4n 2+1n 2=(2n +1n )2−4=1009−4=649当n =−5−√76时，2n +1n =−5−√73+−5+√73=−103 ∴4n 2+1n 2=(2n +1n )2−4=1009−4=649;故结论错误； ④∵（2022-A +A -2019）2=（2022-2019）2=（2022-A ）2+（A -2019）2+2（2022-A ）（A -2019）=（2022-A ）2+（A -2019）2+2×2=9，∴（2022-A ）2+（A -2019）2=5；故结论错误； 故选B ．小提示：本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．3、已知x＝a是一元二次方程x2−2x−3=0的解，则代数式2a2−4a的值为（）A．3B．6C．﹣3D．﹣6答案：B分析：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．解：把x＝a代入一元二次方程x2−2x−3=0，得a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a=6，故选：B．小提示：本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．4、已知方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0的解是（）A．x1=﹣1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=2，x2=6D．x1=﹣2，x2=﹣6答案：D分析：根据已知方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，求出两个方程的解即可．解：∵方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3=0中x+3=1或﹣3，解得：x=﹣2或﹣6，即x1=﹣2，x2=﹣6，故选：D．小提示：本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3=1，x+3=﹣3，是解此题的关键．5、已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么m3+2m2−2025m+2022的值为（）A．−2022B．0C．2022D．4044答案：B分析：根据题意有m2+3m−2022=0，即有m3+3m2−2022m=0，据此即可作答．∵m为x2+3x−2022=0的根据，∴m2+3m−2022=0，且m≠0，∴m3+3m2−2022m=0，则有原式=(m3+3m2−2022m)−(m2+3m−2022)=0−0=0，故选：B．小提示：本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x−2022=0得到m2+ 3m−2022=0是解答本题的关键．6、如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（）A．3B．4C．4.8D．5答案：D分析：观察图形可知阴影部分小长方形的长为(x+40−2x2)cm，再根据去除阴影部分的面积为950cm2，列一元二次方程求解即可．解：由图可得出，40×30−2x2−2x⋅(x+40−2x2)=950整理，得，x2+20x−125=0解得，x1=5,x2=−25（不合题意，舍去）．小提示：本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．7、若α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，且αβ−2α−2β=−11，则b的值是（）A．－3B．3C．－5D．5答案：C分析：根据一元二次方程根与系数的关系得出α+β=−b,αβ=−1，代入αβ−2α−2β=−11得到关于b的方程，求出b的值即可．解：∵α和β是关于x的方程x2+bx−1=0的两根，∴α+β=−b,αβ=−1，∴αβ−2α−2β=αβ−2(α+β)=−1+2b=−11∴b=−5故选：C小提示：本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-ba ，两根之积为ca是解题的关键．8、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有两个实数根答案：B分析：先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6) ＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；小提示：本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．9、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是（）A．3(x−1)x=6210B．3(x−1)=6210C．(3x−1)x=6210D．3x=6210答案：A分析：设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．小提示：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10、一元二次方程x2−25=0的解为（）A．x1=x2=5B．x1=5，x2=−5C．x1=x2=−5D．x1=x2=25答案：B分析：先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．解：x2−25=0，移项得：x2=25，开平方得：x1=5，x2=﹣5，故选B．小提示：本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．填空题11、若关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，则m+n的值是___．答案：1分析：根据一元二次方程解的定义把x=1代入到mx2+nx−1=0(m≠0)进行求解即可．解：∵关于x的一元二次方程mx2+nx−1=0(m≠0)的一个解是x=1，∴m+n−1=0，∴m+n=1，所以答案是：1．小提示：本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．12、若a是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式−3a2−3a+2022的值为________．答案：2019分析：根据a是方程x2+x−1=0一个根，可以得到a2+a−1=0，然后即可得到a2+a=1，再整体代入所求式子计算即可．解：∵a是方程x2+x−1=0一个根，∴a2+a−1=0，∴a2+a=1，∴−3a2−3a+2022=−3(a2+a)+2022=−3×1+2022=−3+2022=2019，所以答案是：2019．小提示：本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答．13、若a是方程2x2=x+5的一个根，则代数式6a2−3a的值是__________.答案：15分析：利用a是方程2x2=x+5的一个根，得到2a2−a=5，代入6a2−3a即可．解：∵a是方程2x2=x+5的一个根，∴2a2=a+5，∴2a2−a=5，∴6a2−3a=3(2a2−a)=3×5=15，所以答案是：15．小提示：本题考查了方程解的定义以及整体代入求值，其中利用方程解的定义求得2a2−a=5是解题的关键．14、近来房地产市场进入寒冬期，某楼盘原价为每平方米10000元，连续两次降价后售价为8100元，则平均每次降价的百分率是______．答案：10%分析：设平均每次降价的百分率为x，根据该楼盘的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得：10000（1-x）2=8100，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．所以答案是：10%．小提示：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15、“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．答案：x1=0,x2=−1,x3=1分析：先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.解：∵x3−x=0,∴x(x+1)(x−1)=0,则x=0或x+1=0或x−1=0,解得：x1=0,x2=−1,x3=1.所以答案是：x1=0,x2=−1,x3=1.小提示：本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.解答题16、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD 边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．答案：(1)4(2)存在，t=3；2√89+30(3)52分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法，得到PD=BQ=10，列出一元一次方程求解即可；（2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到PB=PR=10，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）先确定四边形BCMP的周长等于30+QM+CM，再利用轴对称的知识和两点之间线段最短的知识确定QM+CM的最小值即可得到周长最小值，最后求出AP的长即可得到P点运动时间．（1）解：连接BP、DQ，∵BC＝20，点Q为BC中点，∴BQ=CQ=10，要使四边形PBQD是平行四边形，则PD=BQ=10，∴18−2t=10，∴t=4，此时，PD=BQ且PD∥BQ，则四边形PBQD是平行四边形，∴当t为4时，四边形PBQD是平行四边形．（2）存在，t=3；假设R点在图中所示位置，则连接BP、QR，要使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，则有PB=PR=10，在Rt△ABP中，82+(2t)2=102，∴t=3，t=−3（舍去），此时AR=2×3+10=16，符合题意；∴在AD边上存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，且t=3．（3）5；2√89+302如图，连接BP、QM，因为PM=10，∴PM=BQ且PM∥BQ，∴四边形PBQM是平行四边形，∴PB=QM，∵四边形BCMP的周长=PM+PB+BC+CM=10+QM+20+CM=30+QM+CM，∴当QM+CM的值最小时，四边形BCMP的周长最小，作Q点关于AD的对称点G，连接CG，则QG=2QE=16，四边形ABQE是矩形，∴AE=BQ=10，AB=EQ=8，当C、M、G三点共线时（即M点位于图中的F点处），QM+CM的值最小等于CG，∴Rt△GQC中，CG=√QG2+QC2=√162+102=2√89，此时，四边形BCMP的周长最小值为2√89+30，∵E点为QG中点，EF∥QC，∴EF=1QC=5，2∴AF=15，∴AP=15-10=5,∴t=5．2∴当点P从点A向右运动5秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为2√89+30．2；2√89+30．所以答案是：52小提示：本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理解三角形、“将军饮马”问题、一元一次方程的应用、解一元二次方程等，解题关键是能正确建立方程，以及能确定最短路径．17、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，线段OB，OC（OB<OC）的长是关于x的方程x2−7x+6=0的两个根，且满足CO＝2AO．(1)求直线AC的解析式；(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，设△CPQ的面积为S（S≠0），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；(3)点M的坐标为(m,2)，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．答案：(1)y=12x+3；(2)S={74a2+212a,a<−6或a>0−74a2−212a,−6<a<0；(3)m的值为－3或－1或2或7；分析：（1）根据一元二次方程的解求出OB和OC的长度，然后得到点B，点C坐标和OA的长度，进而得到点A坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC的解析式；（2）根据点A ，点B 坐标使用待定系数法求出直线AB 的解析式，根据直线AB 解析式和直线AC 解析式求出点P ，Q ，D 坐标，进而求出PQ 和CD 的长度，然后根据三角形面积公式求出S ，最后对a 的值进行分类讨论即可；（3）根据△MAB 的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．（1）解：解方程x 2−7x +6=0得x 1=6，x 2=1，∵线段OB ，OC （OB <OC ）的长是关于x 的方程x 2−7x +6=0的两个根，∴OB ＝1，OC ＝6，∴B (1,0)，C (−6,0)，∵CO ＝2AO ，∴OA ＝3，∴A (0,3)，设直线AC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，把点A (0,3)，C (−6,0)代入得{−6k +b =0b =3， 解得{k =12b =3， ∴直线AC 的解析式为y =12x +3；（2）解：设直线AB 的解析式为y =px +q ，把A (0,3)，B (1,0)代入直线AB 解析式得{3=q 0=p +q， 解得{p =−3q =3， ∴直线AB 的解析式为y =−3x +3，∵PD ⊥x 轴，垂足为D ，PD 与直线AB 交于点Q ，点P 的横坐标为a ，∴P (a,12a +3)，Q (a,−3a +3)，D (a,0)，∴PQ =|(−3a +3)−(12a +3)|=|72a|，CD =|a +6|，∴S=12PQ⋅CD=12×|72a|⋅|a+6|，当点P与点A或点C重合时，即当a=0或a=−6时，此时S=0，不符合题意，当a<−6时，S=12×(−72a)[−(a+6)]=74a2+212a，当−6<a<0时，S=12×(−72a)(a+6)=−74a2−212a，当a>0时，S=12×72a(a+6)=74a2+212a，∴S={74a2+212a,a<−6或a>0−74a2−212a,−6<a<0；（3）解：∵A(0,3)，B(1,0)，M(m,2)，∴AB=√(1−0)2+(0−3)2=√10，AM=√(m−0)2+(2−3)2=√m2+1，BM=√(m−1)2+(2−0)2=√m2−2m+5，当∠MAB=90°时，AM2+AB2=BM2，∴(√m2+1)2+(√10)2=(√m2−2m+5)2，解得m=−3，当∠ABM=90°时，AB2+BM2=AM2，∴(√10)2+(√m2−2m+5)2=(√m2+1)2，解得m=7，当∠AMB=90°时，AM2+BM2=AB2，∴(√m2+1)2+(√m2−2m+5)2=(√10)2，解得m1=−1，m2=2，∴m的值为－3或－1或2或7．小提示：本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．18、解方程：(1)2x2－5x－3＝0；(2)x2－2x＝2x－1；(3)x2＋3x＋2＝0答案：(1)x1＝－12，x2＝3(2)x1＝2＋√3，x2＝2－√3(3)x1＝－1，x2＝－2分析：（1）直接用公式法求解；（2）用配方法求解；（3）用因式分解法求解．(1)解：∵a＝2，b＝－5，c＝－3，∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－3)＝49＞0，∴x＝5±√492×2＝5±74，∴x1＝－12，x2＝3；(2)解：移项，得x2－4x＝－1，配方，得x2－4x＋4＝－1＋4，即(x－2)2＝3，两边开平方，得x－2＝±√3，即x－2＝√3或x－2＝－√3，∴x1＝2＋√3，x2＝2－√3；(3)解：原方程可变形为(x＋1)(x＋2)＝0，∴x＋1＝0或x＋2＝0，∴x1＝－1，x2＝－2．小提示：本题考查一元二次方程解法，根据方程的特征，选择适当方法求解是解题的关键．。

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

当m=2，x2-2x=2，解得x=1± 3，
所以，原方程的解为x1=3，x2=-1， x3=1+ 3 ，x4=1- 3 ．
侵权必究
考点3 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等
的实数根，则m的取值范围是（ A ）
A. m 4 B. m<2
3
C. m ≥0
第二十一章 一元二次方程 小结与复习
侵权必究
目录页
要点梳理
考点精讲
课堂小结
当堂练习
侵权必究
要点梳理
✓ 教学目标 ✓ 教学重点
侵权必究
要点梳理 一、一元二次方程的基本概念 1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如 下：设公司每天的销售价为x元.
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单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
侵权必究
解：设销售单价为x元.则月销售量为［500-10(x-50)］kg. 由题意可得 (x-40)［500-10(x-50)］=8000， 解得 x1=60, x2=80， 又 40［500-10(x-50)］≤10000. x≥75. ∴x=60<75(舍去) 答：销售单价应为80元.

一元二次方程知识点知识点一 一元二次方程的定义只含有 ，并且未知数的 的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是 ②只含有③未知数的 （判断时，需将方程化成一般形式。

）知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式： ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中 是二次项， 叫做二次项系数； 是一次项， 是一次项系数；c 叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）x x 2752=； （2）()()832=+-x x ； （3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程 的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫 。

知识点四 解一元二次方程一 直接开平方法若方程可化为()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=；（3）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是mn c x -±=。

例 用直接开平方法解下列一元二次方程（1）01692=-x ； （2）()01652=-+x ； （3）()()22135+=-x x二 因式分解法多项式因式分解的常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。