七年级线段中点与角平分线

中线与角平分线的区别关键词中线与角平分线的区别在几何学中，中线和角平分线是两个重要的概念，它们在不同的几何形状中发挥着不同的作用。

本文将讨论中线和角平分线的定义、特点以及它们之间的区别。

一、中线的定义和特点中线是连接一个几何形状的两个顶点，并且通过该几何形状的中心的线段。

在三角形中，一个三角形的三条中线分别连接三个顶点与对边的中点，并同时交于一个点，称为三角形的重心。

中线的特点如下：1. 中线的长度等于对边长度的一半。

2. 三角形的三条中线交于一个点，即三角形的重心。

3. 中线对应的中点是对边上一点与顶点的中点。

二、角平分线的定义和特点角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个角都有一个对应的角平分线。

角平分线将角分成两个大小相等的角，并且角平分线相交于角的顶点。

角平分线的特点如下：1. 角平分线将一个角分成两个大小相等的角。

2. 角平分线相交于角的顶点。

3. 三角形的三个角的角平分线交于一个点，称为三角形的内心。

三、中线与角平分线的区别中线和角平分线在几何上起着不同的作用，它们之间的主要区别如下：1. 定义不同：中线是连接一个几何形状的两个顶点，并且通过该几何形状的中心的线段；而角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。

2. 作用不同：中线是用来描述几何形状的分割和关联关系，例如三角形的中线将三角形划分为三个相等的小三角形；而角平分线是用来分割和关联角度的，保证角度的大小一致。

3. 相交点不同：中线在三角形中交于一个点，即三角形的重心；而角平分线在三角形中交于一个点，即三角形的内心。

总结起来，中线和角平分线是两个几何概念，用来描述几何形状中的分割和关联关系。

中线连接的是几何形状的顶点和中心，用于划分不同的小区域；而角平分线将角分成两个相等的角，保证角度的大小一致。

它们的相交点分别是三角形的重心和内心。

中线与角平分线的区别中线与角平分线是在数学中常见的概念，它们有着不同的性质和用途。

中线是指将一个三角形的某一边的中点与该边的对角线连接起来的线段，而角平分线是将一个三角形的某一角平分为两个相等的角的线段。

虽然它们都与三角形的边和角有关，但是它们在定义、性质和应用上存在着一些显著的区别。

首先，中线的定义是通过三角形的一边的中点连接到该边对应的对角线的线段。

也就是说，中线总是连接三角形的两个顶点和对边的中点。

而角平分线是将一个三角形的某一角平分为两个相等的角的线段，它通常以该角的顶点为起点，且平分角的两边分别与该角的两个相邻边相交。

因此，角平分线与角的顶点和两边都有直接关系。

其次，中线的性质与角平分线的性质也不相同。

中线的一个重要性质是，它将三角形的底边分成两个长度相等的线段，并且与底边垂直。

而角平分线的一个重要性质是，它将三角形的某一角平分为两个相等的角。

换句话说，角平分线将三角形分成了两个角相等的小三角形。

此外，中线还具有一个重要性质，即三角形的三条中线共点于一个点，该点称为三角形的重心。

而角平分线则没有类似的性质。

最后，中线和角平分线在应用中的作用也不尽相同。

中线对于三角形的性质和构造具有重要的影响。

例如，根据中线的性质可以得知，重心到顶点的距离是中线长度的两倍，这样就可以通过中线来确定重心的位置。

同时，中线也经常用于构造等边三角形、证明等腰三角形等。

与之相比，角平分线在三角形的角度度量和角度关系中起着重要的作用。

通过角平分线可以证明两个角度相等，以及构造相似三角形等。

综上所述，中线和角平分线虽然都是与三角形的边和角有关的概念，但是它们在定义、性质和应用上存在着明显的区别。

中线是由三角形的一边的中点与对角线连接形成的线段，具有分割底边、垂直和共点于重心等性质，而角平分线是将一个角平分为两个相等的角的线段，具有平分角和构造相似三角形等性质。

理解和运用这两个概念，对于解决三角形的相关问题具有重要的意义。

人教版数学七年级上册《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析人教版数学七年级上册《角平分线的性质》是学生在学习了角的概念、垂线的性质等知识后，进一步研究角平分线的性质。

通过本节课的学习，学生能够掌握角平分线的定义、性质和作法，并为后续学习三角形内心的性质和线段的垂直平分线打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对角的概念和垂线的性质有一定的了解。

但是，对于角平分线的性质和作法，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要通过生动形象的讲解和丰富的实例，帮助学生理解和掌握角平分线的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够准确地描述角平分线的定义和性质，并会运用角平分线的性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等活动，培养自己的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与数学学习，体验成功的喜悦，增强对数学学科的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义和性质。

2.难点：角平分线的作法和在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和模型，引发学生的兴趣，引导学生主动探究角平分线的性质。

2.启发式教学法：教师提问引导学生思考，激发学生的思维，培养学生的创新能力。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体课件等。

2.学具：每人一套几何工具，包括三角板、直尺、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活实例引入本节课的主题——角平分线。

例如，教师可以提问：“在修筑公路时，如何确定两个交叉路口之间的距离？”引导学生思考角平分线的作用。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的定义和性质，引导学生初步理解角平分线的概念。

同时，教师可以给出一些实例，让学生观察和思考，进一步加深对角平分线性质的理解。

三角形的中位线角平分线和垂线三角形的中位线、角平分线和垂线三角形是初中数学中一个重要的图形，它由三条边和三个顶点组成。

在三角形中，中位线、角平分线和垂线是三条与三角形内部相关的特殊线段。

本文将介绍中位线、角平分线和垂线在三角形中的性质和应用。

一、中位线中位线是连接一个三角形的两个顶点和对边中点的线段。

对于三角形ABC，三条中位线分别为AD，BE和CF（D、E和F分别为边BC、AC和AB的中点）。

中位线具有以下性质：性质1：三角形中的三条中位线互相平分。

性质2：三角形中的三条中位线交于一个点，该点被称为中心。

性质3：中心到各顶点的距离等于中心到对边中点的距离，而且中心是中位线的重心。

应用：中位线的应用较多，最常见的是利用中位线求三角形重心。

重心是以三角形三条中位线的交点为顶点的新三角形的重心。

我们可以根据中位线的性质计算重心的坐标。

二、角平分线角平分线是从一个角的顶点出发，平分这个角的角度的线段。

对于三角形ABC，角BAC的角平分线为AD（D在BC上）。

角平分线具有以下性质：性质1：角平分线把原来的角分成两个相等的角。

性质2：三角形的三条角平分线交于一点，该点被称为内角平分点。

性质3：内角平分点到三个顶点的距离相等。

应用：角平分线的应用较多，最常见的是利用角平分线求三角形内心。

内心是以三角形的三条角平分线的交点为顶点的新三角形的内心。

我们可以根据角平分线的性质计算内心的坐标。

三、垂线垂线是从一个顶点引出，与对边垂直相交的线段。

对于三角形ABC，从顶点A引出的垂线为AD（D在BC上）。

垂线具有以下性质：性质1：垂线与对边垂直相交，交点为垂足。

性质2：三角形的三条垂线交于一点，该点被称为垂心。

应用：垂线的应用较多，可以用于求解三角形的垂心。

垂心是以三角形的三条垂线的交点为顶点的新三角形的垂心。

我们可以根据垂线的性质计算垂心的坐标。

综上所述，三角形的中位线、角平分线和垂线在几何学中具有重要的地位和应用。

线段（双中点）、角（双角平分线）模型线段（双中点）模型讲解【口诀】字母去重，线段留半 【结论1】已知点B 在线段AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 【答案】9；4；5；9；4；5或13【结论2】已知点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴CM= 12AC ，CN= 12BC,∴MN=CM+CN= 12AC+ 12BC= 12(AC+BC)= 12AB.【结论3】已知点C 是线段AB 延长线上一点，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M.N 分别是AC ，BC 的中点， ∴MC= 12AC ，NC= 12BC ，∴MN=MC-NC= 12AC- 12BC= 12(AC-BC)= 12AB.拓展已知点C 是线段BA 延长线上一点，点M ，N 分别是AC.BC 的中点，则MN= 12AB.无论线段之间的和差关系怎样变，MN 的长度只与AB 有美，即MN= 12AB.典型例题典例1如图，点C 是线段AB 上一点，AC ＜CB ，M ，N 分别是AB 和CB 的中点，AC=8，NB=5，则线段MN=___________.典例2如图，已知点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点.(1)若AB=20,BC=8.求MN的长；(2)若AB= a,BC=8.求MN的长；(3)若AB= a,BC= b.求MN的长；(4)从(1) (2) (3)的结果中能得到什么结论?典例3如图，线段AB=10cm，BC=3cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则DE的长是_________.初露锋芒1.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4 cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( ).A.7 cmB.3 cmC.5 cmD.7 cm或3 cm2.如图，已知A，B.C三点在同一直线上，AB=24.BC= 3AB，E是AC8的中点，D是AB的中点，则DE的长度是___________.3. 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=6cm，BC=4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( ).A.5cmB.1cmC.5或1cmD.无法确定4. 已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( )A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm感受中考1.(2018贵州铜仁中考模拟)C为线段AB上任意一点，D、E分别是AC，CB的中点，若AB=10cm.则DE的长是( ).A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2.(2018湖南邵阳中考模拟）已知点C为线段AB上任一点，AC=8 cm，CB=6cm，M，N分别是AC，BC的中点.(1)求线段MN的长；(2)点C为线段AB上任一点，满足AC+CB= a cm，点M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?并说明理由.(3)点C在线段AB的延长线上，满足AC-BC=b cm，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由.(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?3.如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为-5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒.(1)BP=________,点P表示的数________ (分别用含t的代数式表示）；(2)点P运动多少秒时，PB=2PA.(3)若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长.参考答案典例1 【答案】4【解析】∵M ，N 分别是AB 和CB 的中点， ∴根据线段（双中点）的结论，有MN= 12AC.则MN=4. 典例2【答案】从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段AB 的一半，与C 点的位置无关. 【解析】(1)∵AB=20，BC=8. ∴AC=AB+BC=28.∵点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. ∴MC= 12AC.NC= 12BC.∴MN=MC-NC= 12(AC-BC)= 12AB=10.(2)根据(1)得MN= 12 (AC-BC)= 12AB= 12a .(3)根据(1)得MN= 12(AC-BC)= 12AB= 12a .(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段 AB 的一半，与C 点的位置无关.典例3 【答案】1.5【解析】∵AB=10cm ，BC=3cm ，（已知） ∴AC=AB-BC=7cm.∵点D 为AC 中点，点E 为AB 的中点，（已知） ∴AD= 12AC,AE= 12AB.(线段中点定义)∴AD=3.5cm,AE=5cm. ∴DE=AE-AD=1.5cm. 故答案为：1.5.初露锋芒1.【答案】C.【解析】当点C 在线段AB 上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.综上所述，MN 的长为5cm. 故选C.2. 【答案】92.【解析】∵AB=24，BC= 38AB ，∴BC=9.∵E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知DE= 12BC= 92.3. 【答案】C【解析】如图1，当点B 在线段AC 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm,BN = 12BC = 2cm,∴MN=MB+NB=5cm,如图2，当点C 在线段AB 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm ，BN= 12BC=2cm,∴MN=MB-NB=1cm 。

三角形的垂线角平分线和中线的关系在几何学中，三角形是指由三个边连接而成的多边形。

三角形具有很多有趣的性质和特点，其中包括垂线、角平分线和中线。

本文将探讨三角形的垂线、角平分线和中线之间的关系。

一、垂线与角平分线的关系1. 垂线的定义与特点垂线是指从一个点到一条线段或直线所作的垂直线。

在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条垂线，与对边相交，形成一个直角。

这条垂线被称为该顶点对边的垂线。

2. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。

在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。

3. 垂线与角平分线的关系在三角形中，垂线和角平分线可以有以下关系：（1）垂线和角平分线可以是同一条线段或射线。

当一个顶点上的垂线同时是该顶点角的角平分线时，这条线段或射线既是垂线，又是角平分线。

（2）垂线和角平分线可以相交于一点。

当一个顶点上的垂线和角平分线不是同一条线段或射线时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和角平分线的交点。

二、垂线与中线的关系1. 中线的定义与特点中线是指连接一个三角形的一个顶点和中点的线段。

在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条中线，将对边对应的两个中点连接起来。

2. 垂线与中线的关系在三角形中，垂线和中线可以有以下关系：（1）垂线和中线可以是同一条线段。

当一个顶点上的垂线同时经过对边的中点时，这条线段既是垂线，又是中线。

（2）垂线和中线可以相交于一点。

当一个顶点上的垂线不经过对边的中点时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和中线的交点。

三、角平分线与中线的关系1. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。

在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。

2. 角平分线与中线的关系在三角形中，角平分线和中线可以有以下关系：（1）角平分线和中线可以是同一条线段或射线。

当一个顶点上的角平分线同时经过对边的中点时，这条线段既是角平分线，又是中线。

平行四边形的角平分线与中位线的长度关系平行四边形是一种特殊的四边形，其中对边平行，并且对角相等。

在平行四边形中，角平分线和中位线是两种重要的线段，它们之间存
在着一定的长度关系。

首先，我们来看角平分线。

角平分线是平行四边形内部的一条线段，它将一个角平分为两个相等的角。

在平行四边形中，角平分线将对角
的两个角分成相等的两部分，即形成两个相等的直角三角形。

因此，
根据直角三角形的性质，角平分线的长度等于与平行四边形的一个顶
点相连接的点到对边的距离。

接下来，我们来看中位线。

中位线是平行四边形内部的一条线段，
连接对边的中点。

在平行四边形中，中位线将对角的两个对边分成两
个面积相等的三角形。

因此，根据三角形的性质，中位线的长度等于
与平行四边形的一个顶点相连接的点到对边的中点的距离。

综上所述，平行四边形的角平分线和中位线的长度具有如下关系：
角平分线的长度等于与平行四边形的一个顶点相连接的点到对边的距离；而中位线的长度等于与平行四边形的一个顶点相连接的点到对边
的中点的距禯。

这种长度关系不仅符合几何图形的性质，也具有实际
应用的意义。

在解决平行四边形相关问题时，我们可以根据角平分线和中位线的
长度关系，灵活运用几何知识，求解各种角度和边长。

因此，深入理
解平行四边形的角平分线与中位线的长度关系，有助于我们提高解题
能力，拓展思维视野，提升数学水平。

希望通过本文的介绍，读者能对这一点有更深入的认识，为自己的学习和工作带来帮助。

中线与角平分线的区别中线和角平分线是几何中常见的两种特殊线段，它们在三角形中起到重要作用。

虽然它们都涉及到图形的角度和边长，但它们有着不同的定义和性质。

首先，我们来看中线。

中线是连接三角形两个顶点和对边中点的线段。

具体而言，一个三角形有三条中线，分别连接三个顶点与对边中点。

中线的性质如下：1. 中线的长度相等：三角形的三条中线互相等长，也就是说，无论是哪两条中线，它们的长度是相等的。

2. 中线的交点是重心：三角形的三条中线相交于一个点，这个点叫做重心。

重心离三角形的每条边的距离是相等的，而且它将每条中线的长度按1：2的比例分割。

3. 中线的长度比边长大：三角形的每条中线的长度都大于相对应的边长。

具体而言，如果中线与对边的中点连线的长度是x，那么中线的长度恒大于2x。

与中线相比，角平分线是连接三角形的一个顶点和对边的角平分点的线段。

如果一个角被分成两个相等的角，那么它的角平分线就称为内角平分线；如果一个角被分成两个相等的补角，那么它的角平分线就称为外角平分线。

角平分线具有以下性质：1. 角平分线平分角度：角平分线将角分成两个相等的角。

2. 角平分线的交点是内心或外心：三角形的三条内角平分线相交于一个点，这个点叫做内心；三角形的三条外角平分线相交于一个点，这个点叫做外心。

3. 角平分线与相应边的长度成比例：如果角的顶点到角平分线的距离是x，那么角平分线与相应边的长度的比例是相等的。

到目前为止，我们已经了解了中线和角平分线的定义和性质。

尽管它们的作用不同，但它们都关注于三角形中的角度和边长。

中线主要用于研究三角形的重心，而角平分线则用于研究三角形的内心和外心。

通过熟练掌握中线和角平分线的性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。

中线与角平分线的区别中线和角平分线是几何学中常见的概念，两者在定位和性质上存在一定的区别。

中线和角平分线分别对应三角形和角，下面将详细阐述这两个概念的区别。

首先讨论中线。

中线是指连接三角形的一个顶点与对立边中点的线段。

对于一个三角形ABC，如果D、E和F分别是BC、AC和AB的中点，那么AD、BE和CF就是这个三角形的三条中线。

每个三角形都有三条中线。

中线具有以下几个性质：1. 三条中线交于一点：对于任意一个三角形，三条中线必然交于一个点，这个点被称为三角形的重心。

重心是一个重要的几何中心，它与三角形的其他几何中心（如外心、内心和垂心）之间存在一定的关系。

2. 重心到顶点的距离等于中线的长度的两倍：三角形的重心到三个顶点的距离相等，而且等于每条中线的长度的两倍。

3. 中线的比例关系：对于一个任意三角形ABC，如果AD是BC的中线，那么有AD:DB=1:1。

也就是说，中线将对立边分成两个相等的部分。

4. 中线与对立边的垂直关系：中线与对立边是垂直的，即AD⊥BC。

这意味着中线可以用来构造垂直平分线，从而将一个三角形分成两个相等的部分。

接下来讨论角平分线。

角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

对于一个任意角OAB，如果OC是这个角的平分线，那么∠COA=∠COB=0.5∠AOB。

角平分线具有以下几个性质：1. 角平分线穿过角的顶点和角的对边：角平分线必然穿过角的顶点，并且与角的对边相交于一点。

2. 角平分线的长度比例：角平分线将角的对边分成两个部分，其长度之比等于角余弦值之比。

具体而言，如果∠COA=∠COB=0.5∠AOB，那么有AC:CB=AO:OB=CO:CO。

3. 角平分线与角的垂直关系：角平分线与角的两边及其对边垂直相交，即∠COA=∠COB⊥AB。

4. 角平分线的外角相等：对于一个三角形ABC，如果AD是∠BAC的平分线，那么∠BAM=∠CDM，其中M是AD和BC的交点。

总结起来，中线和角平分线在几何学中具有不同的定位和性质。

角平分线与中线角平分线和中线是几何学中的重要概念，它们在解题和证明中有着广泛应用。

本文将介绍角平分线和中线的定义、性质以及它们在几何中的应用。

一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等的角的射线或线段。

具体来说，对于一个角ABC，若有射线或线段AD使得∠CAD = ∠BAD，则AD称为角ABC的角平分线。

角平分线有以下几个重要性质：1. 角平分线的唯一性：对于任意一个角，存在唯一一条角平分线。

这是因为在平面几何中，两条不同的直线最多只能有一个交点。

2. 角平分线的性质：角平分线将原角分成的两个小角相等。

即∠CAD = ∠BAD。

3. 角平分线的外角性质：对于一个凸角ABC及其角平分线AD，有∠ACD = 2∠BAD。

这是因为∠CAD = ∠BAD，而外角等于内错角。

角平分线在解题中有着广泛的应用。

例如，利用角平分线的性质可以证明两条平行线被一组平行线所截得的两个对应角相等；利用角平分线的外角性质可以证明一个三角形的外角等于它所对的内角之和。

二、中线中线是指一个三角形的顶点和对边中点之间的线段。

对于三角形ABC，若M是BC的中点，则AM称为三角形ABC的中线。

中线有以下几个重要性质：1. 中线的唯一性：对于任意一个三角形，存在唯一一条位于三角形内部的中线。

这是因为三角形的三条边只能有一个中点。

2. 中线的性质：中线平分对边。

即BM = MC。

3. 中线的长度：对于一个三角形ABC，有AM^2 = BM^2 + MC^2/4。

这是由勾股定理和中线的性质推导得到的。

中线在解题中也有着广泛的应用。

例如，利用中线的性质可以证明一个三角形的两个内角对应的对边相等；利用中线的长度公式可以求解三角形的边长和面积。

综上所述，角平分线和中线是几何学中重要的概念，它们有着独特的定义和性质，并且在解题和证明中有着广泛的应用。

对于几何学的学习和理解，掌握角平分线和中线的概念和性质是至关重要的。

线段的中点与垂直平分线线段在几何学中是一个基本的概念，它由两个端点所确定。

而线段的中点以及垂直平分线则是与线段相关的重要概念之一。

本文将详细介绍线段的中点以及垂直平分线，并探讨它们在几何学中的应用。

1. 线段的中点所谓线段的中点指的是将一个线段分成两个等长的部分时，位于线段中间的点。

在几何学中，线段的中点具有以下性质：1.1 线段的中点位于两个端点的中垂线上。

中垂线是通过连接线段两个端点，并且与线段垂直的线段。

因此，线段的中点也同时位于线段的中垂线上。

1.2 线段的中点到两个端点的距离相等。

既然中点位于线段的中垂线上，那么它与两个端点的距离必然相等。

1.3 线段的中点将线段分成两个等长的部分。

中点将线段分为"等长左段"和"等长右段"，即线段的左半部分与右半部分长度相等。

利用线段的中点性质，可以进行一系列有趣的推理和证明。

例如，基于线段的中点性质，我们可以证明一个三角形的垂心（垂直平分线的交点）位于三角形的三条高线的交点处。

2. 线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指与线段垂直且平分线段的线。

具体而言，线段的垂直平分线具有以下性质：2.1 线段的垂直平分线与线段垂直相交。

垂直平分线与线段形成的交点是线段的中点，因此中点必然位于垂直平分线上。

2.2 线段的垂直平分线将线段分成两个等长的部分。

根据垂直平分线的定义，它将线段分为"等长左段"和"等长右段"，即线段的左半部分与右半部分长度相等。

垂直平分线在几何学中有广泛的应用。

例如，在构造正方形时，我们可以利用线段的垂直平分线将一个角度平分为两个相等的角度，从而得到正方形的边界。

3. 线段的中点和垂直平分线的应用线段的中点和垂直平分线在几何学的实际应用中具有广泛的意义。

下面以几个具体例子来说明它们的应用：3.1 三角形的垂心在三角形ABC中，通过连接三个顶点至对应边中点的垂直平分线，可以得到一个特殊的点H，该点被称为三角形的垂心。

专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。

这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。

但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

模型1.线段的双中点模型图1图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC =.2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12DE AC =.A ．20AC =B ．DC 例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，点1(1)若20AB cm =，求MN 的长；(2)初步感知：(1)如图1，点C 在线段AB 上，若2k =，则AC =__________；若3AC BC =，则k =例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．模型2.双角平分线模型图1图2图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC ∠=∠.2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC ∠=∠.3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB +∠BOC+∠AOC=360°，OP 1平分∠AOC 、OP 2平分∠BOC ；结论：1211802POP AOB ︒∠=-∠.A ．70︒B ．100例2．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线,BOC OF ∠平分AOB ∠，以下四个结论：③AOD BOC ∠=∠；④EOF ∠例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，22OA OB 、分别是1A OM ∠和MOB ∠别是1n A OM ∠-和1n MOB -∠的平分线，则例4．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A ．当∠BOC ＝30°时，∠EOD 的度数为B ．当∠BOC ＝α°时，∠EOD 的度数为例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：别平分AOB ∠、AOC ∠，求()°<180n m <，OD 、OE 分别平分例6．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在AOB ∠的内部画射线OC ，射线OC 把AOB ∠分成两个角，分别为AOC ∠和BOC ∠，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB ∠的“3等分线”．(1)若90AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠的“3等分线”，则AOC ∠的度数为__________．(2)如图2，已知60AOB ∠=︒，过点O 在AOB ∠外部作射线OP ．若,,OA OP OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求AOP ∠的度数（180AOP ∠≤︒）．例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P 是直线AB 上一点，∠CPD 是直角，PE 平分∠BPC ．（1）如图1，若∠APC =40°，求∠DPE 的度数；（2）如图1，若∠APC =α，直接写出∠DPE 的度数（用含α的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC 和∠DPE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．A ．①②③B ．③④C ．①②④4．（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段A ．20225102+B ．20235102+C ．20225102-D ．20235102-A ．30︒B ．25︒7．（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在别为AOC ∠和BOC ∠，若AOC ∠60AOB ∠=︒，射线OC 为AOB ∠①在图1的情况下，在DBC ∠内作DBF ∠②在旋转过程中，若BM 平分DBA ∠，BN ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成④DBC ABE ∠+∠的角度恒为105︒．其中正确的结论个数为（A ．1个B ．2个11．（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点13．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）已知点D 、E 分别为线段AB BC 、中点，直线14．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段QD16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数MP=时，NP=；(1)若点P在线段AB上运动，当7AB=，点P以1cm/s (2)【拓展与延伸】已知线段10cm的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A(1)根据题意，小明求得MN=______于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点(1)如图1，求证：AOB EOB DOE ∠-∠=∠；(2)如图2，作OF 平分AOB ∠(3)如图3，在（2）的条件下，当90AOD ∠=︒时，作射线OA 的反向延长线AOH AOE ∠=∠，反向延长射线OE 得到射线OQ ，射线OP 在HOQ ∠内部，26BOC DOF ∠-∠=︒，5271GOH POQ EOF ∠+∠-∠=︒，求BOP ∠的度数．（2）若将（1）中的条件“ON 平分BOC ∠，OM 平分且AOB α∠=，求AOM BON ∠+∠的度数；（3）如图2，若ON 、OC 在AOB ∠的外部时，ON 时，猜想：MON ∠与β的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF ∠的度数；EOF ∠的度数；(3)当AOB ∠和COD ∠的位置如图325．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）为何值时，26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB ＝60°，∠COD ＝90°，OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOD ．（1）如图1，OC 在∠AOB 内部时，∠AOD +∠BOC ＝，∠BOD ﹣∠AOC ＝；（2）如图2，OC 在∠AOB 内部时，求∠MON 的度数；（3）如图3，∠AOB ，∠COD 的边OA 、OD 在同一直线上，将∠AOB 绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB 边第一次与OD 边重合为止，整个运动过程时间记为t 秒．若∠MON ＝5∠BOC 时，求出对应的t 值及∠AOD 的度数．27．（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC 在AOB ∠的内部，图中共有3个角：AOB ∠、AOC ∠、BOC ∠，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB ∠的“定分线”．（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若MPN a ∠=，且射线PQ 是MPN ∠的“定分线”，则MPQ ∠=________(用含a 的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若MPN ∠=48°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ 与PN 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ 同时停止．当PQ 是MPN ∠的“定分线”时，求t 的值．。