线段的中点及角平分线

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

数学高线中线角平分线的三条概念数学中，线是指无限延伸的一维物体，可以用来连接两个点。

平面几何中，线是由点组成的集合，而空间几何中，直线可以看作是不受限制的无限延伸。

高线、中线和角平分线是几何中的三个重要概念，它们在解决几何问题中起到了关键的作用。

下面将分别介绍这三个概念。

一、高线：高线是指从一个点到与其所在平面垂直的直线段的长度。

在三角形中，高线指的是从一个顶点到对边的垂直线段。

一个三角形可以有三条高线，分别从三个顶点到对边。

这些高线交于一个点，被称为三角形的垂心。

垂心是三角形的一个重要特征点，它有很多有趣的性质。

例如，三角形的三条垂线（垂直于三个边并通过垂心的直线）相交于一点，且这个点是三角形外接圆的圆心。

此外，垂心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离。

垂心还与三角形的其他特征点（如重心、外心和内心）之间存在特殊的关系。

除了三角形，其他多边形（如正方形、长方形和菱形）也有高线的概念。

在任意多边形中，高线指的是从一个顶点到与其所在边垂直的线段。

二、中线：中线是指连接多边形的两个非相邻顶点并通过多边形的重心（或中点）的线段。

在三角形中，中线指的是连接两个顶点和对边中点的线段。

三角形有三条中线，分别连接两个顶点和对边中点。

这些中线交于一个点，称为三角形的重心。

重心具有很多有趣的性质。

例如，三角形的重心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离的两倍。

重心还与三角形的其他特征点（如垂心、外心和内心）之间存在特殊的关系。

除了三角形，其他多边形也有中线的概念。

在任意多边形中，中线指的是连接两个非相邻顶点并通过多边形的重心的线段。

三、角平分线：在平面几何中，角平分线指的是把一个角分为两个相等的角的线段。

角平分线分为内角平分线和外角平分线两种。

内角平分线指的是从一个角的顶点出发并通过角的内部，将角分为两个相等的角的线段。

对于任意角而言，都存在一条内角平分线。

内角平分线具有许多重要的性质。

例如，一条内角平分线将角分为两个相等的角。

中线与角平分线的区别中线与角平分线是在数学中常见的概念，它们有着不同的性质和用途。

中线是指将一个三角形的某一边的中点与该边的对角线连接起来的线段，而角平分线是将一个三角形的某一角平分为两个相等的角的线段。

虽然它们都与三角形的边和角有关，但是它们在定义、性质和应用上存在着一些显著的区别。

首先，中线的定义是通过三角形的一边的中点连接到该边对应的对角线的线段。

也就是说，中线总是连接三角形的两个顶点和对边的中点。

而角平分线是将一个三角形的某一角平分为两个相等的角的线段，它通常以该角的顶点为起点，且平分角的两边分别与该角的两个相邻边相交。

因此，角平分线与角的顶点和两边都有直接关系。

其次，中线的性质与角平分线的性质也不相同。

中线的一个重要性质是，它将三角形的底边分成两个长度相等的线段，并且与底边垂直。

而角平分线的一个重要性质是，它将三角形的某一角平分为两个相等的角。

换句话说，角平分线将三角形分成了两个角相等的小三角形。

此外，中线还具有一个重要性质，即三角形的三条中线共点于一个点，该点称为三角形的重心。

而角平分线则没有类似的性质。

最后，中线和角平分线在应用中的作用也不尽相同。

中线对于三角形的性质和构造具有重要的影响。

例如，根据中线的性质可以得知，重心到顶点的距离是中线长度的两倍，这样就可以通过中线来确定重心的位置。

同时，中线也经常用于构造等边三角形、证明等腰三角形等。

与之相比，角平分线在三角形的角度度量和角度关系中起着重要的作用。

通过角平分线可以证明两个角度相等，以及构造相似三角形等。

综上所述，中线和角平分线虽然都是与三角形的边和角有关的概念，但是它们在定义、性质和应用上存在着明显的区别。

中线是由三角形的一边的中点与对角线连接形成的线段，具有分割底边、垂直和共点于重心等性质，而角平分线是将一个角平分为两个相等的角的线段，具有平分角和构造相似三角形等性质。

理解和运用这两个概念，对于解决三角形的相关问题具有重要的意义。

中线与角平分线的关系
中线是一边中点和对应顶点的连线。

角平分线是将一角平分并与对边相交的线段。

只有为等腰三角形时或者等边三角形时，两者顶角平分线才与对边中线重合。

三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

“中心”与“重心”很容易弄混淆，“中心”只存在于正三角形，也就是等边三角形当中。

在等边三角形中，其内心，外心，重心，垂心都在一个点上，于是称之为中心。

内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。

外心：三角形三条边的中垂线的交点叫作三角形的外心，即外接圆圆心。

重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。

垂心：三角形三条垂线的交点叫作三角形的垂心。

线段（双中点）、角（双角平分线）模型线段（双中点）模型讲解【口诀】字母去重，线段留半 【结论1】已知点B 在线段AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 【答案】9；4；5；9；4；5或13【结论2】已知点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴CM= 12AC ，CN= 12BC,∴MN=CM+CN= 12AC+ 12BC= 12(AC+BC)= 12AB.【结论3】已知点C 是线段AB 延长线上一点，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M.N 分别是AC ，BC 的中点， ∴MC= 12AC ，NC= 12BC ，∴MN=MC-NC= 12AC- 12BC= 12(AC-BC)= 12AB.拓展已知点C 是线段BA 延长线上一点，点M ，N 分别是AC.BC 的中点，则MN= 12AB.无论线段之间的和差关系怎样变，MN 的长度只与AB 有美，即MN= 12AB.典型例题典例1如图，点C 是线段AB 上一点，AC ＜CB ，M ，N 分别是AB 和CB 的中点，AC=8，NB=5，则线段MN=___________.典例2如图，已知点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点.(1)若AB=20,BC=8.求MN的长；(2)若AB= a,BC=8.求MN的长；(3)若AB= a,BC= b.求MN的长；(4)从(1) (2) (3)的结果中能得到什么结论?典例3如图，线段AB=10cm，BC=3cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则DE的长是_________.初露锋芒1.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4 cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( ).A.7 cmB.3 cmC.5 cmD.7 cm或3 cm2.如图，已知A，B.C三点在同一直线上，AB=24.BC= 3AB，E是AC8的中点，D是AB的中点，则DE的长度是___________.3. 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=6cm，BC=4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( ).A.5cmB.1cmC.5或1cmD.无法确定4. 已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( )A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm感受中考1.(2018贵州铜仁中考模拟)C为线段AB上任意一点，D、E分别是AC，CB的中点，若AB=10cm.则DE的长是( ).A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2.(2018湖南邵阳中考模拟）已知点C为线段AB上任一点，AC=8 cm，CB=6cm，M，N分别是AC，BC的中点.(1)求线段MN的长；(2)点C为线段AB上任一点，满足AC+CB= a cm，点M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?并说明理由.(3)点C在线段AB的延长线上，满足AC-BC=b cm，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由.(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?3.如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为-5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒.(1)BP=________,点P表示的数________ (分别用含t的代数式表示）；(2)点P运动多少秒时，PB=2PA.(3)若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长.参考答案典例1 【答案】4【解析】∵M ，N 分别是AB 和CB 的中点， ∴根据线段（双中点）的结论，有MN= 12AC.则MN=4. 典例2【答案】从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段AB 的一半，与C 点的位置无关. 【解析】(1)∵AB=20，BC=8. ∴AC=AB+BC=28.∵点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. ∴MC= 12AC.NC= 12BC.∴MN=MC-NC= 12(AC-BC)= 12AB=10.(2)根据(1)得MN= 12 (AC-BC)= 12AB= 12a .(3)根据(1)得MN= 12(AC-BC)= 12AB= 12a .(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段 AB 的一半，与C 点的位置无关.典例3 【答案】1.5【解析】∵AB=10cm ，BC=3cm ，（已知） ∴AC=AB-BC=7cm.∵点D 为AC 中点，点E 为AB 的中点，（已知） ∴AD= 12AC,AE= 12AB.(线段中点定义)∴AD=3.5cm,AE=5cm. ∴DE=AE-AD=1.5cm. 故答案为：1.5.初露锋芒1.【答案】C.【解析】当点C 在线段AB 上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.综上所述，MN 的长为5cm. 故选C.2. 【答案】92.【解析】∵AB=24，BC= 38AB ，∴BC=9.∵E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知DE= 12BC= 92.3. 【答案】C【解析】如图1，当点B 在线段AC 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm,BN = 12BC = 2cm,∴MN=MB+NB=5cm,如图2，当点C 在线段AB 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm ，BN= 12BC=2cm,∴MN=MB-NB=1cm 。

中线与角平分线的区别中线和角平分线是几何中常见的两种特殊线段，它们在三角形中起到重要作用。

虽然它们都涉及到图形的角度和边长，但它们有着不同的定义和性质。

首先，我们来看中线。

中线是连接三角形两个顶点和对边中点的线段。

具体而言，一个三角形有三条中线，分别连接三个顶点与对边中点。

中线的性质如下：1. 中线的长度相等：三角形的三条中线互相等长，也就是说，无论是哪两条中线，它们的长度是相等的。

2. 中线的交点是重心：三角形的三条中线相交于一个点，这个点叫做重心。

重心离三角形的每条边的距离是相等的，而且它将每条中线的长度按1：2的比例分割。

3. 中线的长度比边长大：三角形的每条中线的长度都大于相对应的边长。

具体而言，如果中线与对边的中点连线的长度是x，那么中线的长度恒大于2x。

与中线相比，角平分线是连接三角形的一个顶点和对边的角平分点的线段。

如果一个角被分成两个相等的角，那么它的角平分线就称为内角平分线；如果一个角被分成两个相等的补角，那么它的角平分线就称为外角平分线。

角平分线具有以下性质：1. 角平分线平分角度：角平分线将角分成两个相等的角。

2. 角平分线的交点是内心或外心：三角形的三条内角平分线相交于一个点，这个点叫做内心；三角形的三条外角平分线相交于一个点，这个点叫做外心。

3. 角平分线与相应边的长度成比例：如果角的顶点到角平分线的距离是x，那么角平分线与相应边的长度的比例是相等的。

到目前为止，我们已经了解了中线和角平分线的定义和性质。

尽管它们的作用不同，但它们都关注于三角形中的角度和边长。

中线主要用于研究三角形的重心，而角平分线则用于研究三角形的内心和外心。

通过熟练掌握中线和角平分线的性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。

中点及角平分线定义、表示与计算（通用版）试卷简介:理解中点和角平分线的定义，掌握中点和角平分线的六种表示方法及其相关计算.一、单选题(共14道，每道7分)1.如图,点D为∠BAC内一点,则下列等式:①②；③；④．能说明射线AD是∠BAC平分线的有( )A.①B.①②③C.①③D.①②③④答案：C解题思路：由题可知，射线AD在∠BAC内部．由角平分线的六种表示可知：①③能说明射线AD是∠BAC平分线；②④只能说明射线AD在∠BAC内部，但不能说是∠BAC平分线．故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线的定义2.如果点C在线段AB上,则下列等式:①AC=CB;②;③AB-AC=BC;④AB=2AC,能说明点C是线段AB中点的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④答案：B解题思路：中点的定义：点C把线段AB分成两条相等的线段，点C叫做线段AB的中点．点C在线段AB上，可知①②④成立时，点C是线段AB的中点，如图；③AB-AC=BC只能说明点C在线段AB上，但不能说明点C是线段AB的中点，如图：故选B.试题难度：三颗星知识点：中点的定义3.点C是线段AB的中点,点D是线段BC上一点,下列说法错误的是( )A.BD=AC-CDB.C.CD=AD-BCD.答案：D解题思路：由题意可画图如下：D选项中，由于题中未给出点D是线段BC的中点，所以D说法错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：中点的六种表示4.下列说法正确的是( )A.若,则点C是线段AB的中点B.若,则OC是的平分线C.若,则点B是线段AC的中点D.若点B是线段AC的中点,则答案：D解题思路：若，则点C也可能在线段BA的延长线上，如图：因此A错误；若，则射线OC也可能在∠AOB的外部，如图：因此B错误；若，不能保证三点在同一直线上，如图：如果在同一直线上的话，也只能说明点A是线段BC的中点，因此C错误；由中点的六种表示可知，D说法正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：中点的定义5.如图,AB⊥CD于点B,BE是∠ABD的平分线,则∠CBE的度数是( )A.45°B.90°C.120°D.135°答案：D解题思路：∵AB⊥CD于点B∴∠ABC=∠ABD=90°∵BE是∠ABD的平分线∴∴∠CEB=∠ABC+∠ABE=90°+45°=135°故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线6.如图,已知O是直线AB上的一点,∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°答案：B解题思路：∵O是直线AB上的一点∴∠AOB＝180°∵∠1＝40°∴∠BOC=∠AOB-∠1=180°-40°=140°∵OD平分∠BOC故选B．试题难度：三颗星知识点：角平分线7.如图,∠AOB=40°,∠BOC=30°,OM为∠AOB的角平分线,则∠MOC的度数是( )A.35°B.40°C.45°D.50°答案：D解题思路：∵OM为∠AOB的角平分线∴∵∠AOB=40°∴∵∠BOC=30°∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=20°+30°=50°故选D．试题难度：三颗星知识点：角平分线8.如图,点C是线段AB的中点,点D是线段AC的中点,已知线段DC=3cm,则线段AB的长为( )A.12cmB.9cmC.18cmD.15cm答案：A解题思路：∵点D是线段AC的中点∴AC=2DC∵DC=3 cm∴AC=6 cm∵点C是线段AB的中点∴AB=2AC=12cm故选A．试题难度：三颗星知识点：求线段长9.如图,已知线段AB,点C是线段AB上一点,点M,N分别是线段AC,BC的中点,且MN=6,则线段AB的长为( )A.10B.12C.14D.16答案：B解题思路：∵点M，N分别是线段AC，BC的中点∴AC=2MC，BC=2CN∵MN=6∴AB=AC+BC=2MC+2CN=2（MC+CN）=2MN=2×6=12故选B．试题难度：三颗星知识点：求线段长10.已知线段AB=6cm,点C在直线AB上,AC=2BC,M,N分别为线段AB,BC的中点,则MN的长为( )A.4.5cm或3cmB.6cm或4.5cmC.2cm或6cmD.4cm或3cm答案：C解题思路：（1）分析：由题意，点C的位置不确定，分情况讨论，符合题意的有两种．然后画出相应的图形进行求解．（2）解题过程：由题意，点C的位置不确定，分两种情况．①如图1：∵AB=6，AC=2BC∴∵M，N分别为线段AB，BC的中点∴，∴MN=MB-NB=3-1=2②如图2：∵AB=6，AC=2BC∴AC=12，BC=6∵M，N分别为线段AB，BC的中点∴，MN=BM+BN=3+3=6∴MN的长为2cm或6cm故选C．（3）易错点：①因为点的位置不确定，可能有多种情况，需要分类讨论；②需要根据题目条件画出符合题意的图形，然后计算．试题难度：三颗星知识点：求线段长11.如图所示,∠AOB=120°,OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE=( )A.60°B.90°C.120°D.30°答案：A解题思路：∵OD平分∠AOC∴∵OE平分∠BOC∴∵∠AOB=120°故选A．试题难度：三颗星知识点：角平分线12.如图,已知点O为直线AB上一点,OM,ON分别是∠AOC,∠BOC的角平分线,则∠MON的度数是( )A.70°B.80°C.90°D.95°答案：C解题思路：∵O是直线AB上的一点∴∠AOB＝180°∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线∴，故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线13.如图所示,点M,C都在直线AB上,且点M是AC的中点,若AC=a,BC=b,则MB的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：∵点M是AC的中点∴∵∴∵故选C．试题难度：三颗星知识点：求线段长14.已知∠AOB=30°,∠AOD=2∠AOB,OC平分∠AOB,OM平分∠AOD,则∠MOC的度数为( )A.15°B.45°C.15°或45°D.20°或45°答案：C解题思路：由题意，射线OD位置不确定，分两种情况.如图1：∵∠AOB=30°，∠AOD=2∠AOB∴∠AOD=60°∵OC平分∠AOB∴∵OM平分∠AOD∴∴∠MOC=∠AOC+∠AOM=15°+30°=45°如图2：∵∠AOB=30°，∠AOD=2∠AOB∴∠AOD=60°∵OC平分∠AOB∴∵OM平分∠AOD∴∴OM与OB重合∴∠MOC=∠AOM-∠AOC=30°-15°=15°故选C．试题难度：三颗星知识点：角平分线第11页共11页。

角平分线与中线角平分线和中线是几何学中的重要概念，它们在解题和证明中有着广泛应用。

本文将介绍角平分线和中线的定义、性质以及它们在几何中的应用。

一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等的角的射线或线段。

具体来说，对于一个角ABC，若有射线或线段AD使得∠CAD = ∠BAD，则AD称为角ABC的角平分线。

角平分线有以下几个重要性质：1. 角平分线的唯一性：对于任意一个角，存在唯一一条角平分线。

这是因为在平面几何中，两条不同的直线最多只能有一个交点。

2. 角平分线的性质：角平分线将原角分成的两个小角相等。

即∠CAD = ∠BAD。

3. 角平分线的外角性质：对于一个凸角ABC及其角平分线AD，有∠ACD = 2∠BAD。

这是因为∠CAD = ∠BAD，而外角等于内错角。

角平分线在解题中有着广泛的应用。

例如，利用角平分线的性质可以证明两条平行线被一组平行线所截得的两个对应角相等；利用角平分线的外角性质可以证明一个三角形的外角等于它所对的内角之和。

二、中线中线是指一个三角形的顶点和对边中点之间的线段。

对于三角形ABC，若M是BC的中点，则AM称为三角形ABC的中线。

中线有以下几个重要性质：1. 中线的唯一性：对于任意一个三角形，存在唯一一条位于三角形内部的中线。

这是因为三角形的三条边只能有一个中点。

2. 中线的性质：中线平分对边。

即BM = MC。

3. 中线的长度：对于一个三角形ABC，有AM^2 = BM^2 + MC^2/4。

这是由勾股定理和中线的性质推导得到的。

中线在解题中也有着广泛的应用。

例如，利用中线的性质可以证明一个三角形的两个内角对应的对边相等；利用中线的长度公式可以求解三角形的边长和面积。

综上所述，角平分线和中线是几何学中重要的概念，它们有着独特的定义和性质，并且在解题和证明中有着广泛的应用。

对于几何学的学习和理解，掌握角平分线和中线的概念和性质是至关重要的。

角平分线与线段中点练习题一．解答题（共16小题）1．如图，已知同一平面内∠AOB=90°，∠AOC=60°，（1）填空∠BOC= ；（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为°；（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC=60°改成∠AOC=2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．2．如图，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOD，射线OE平分∠BOC，∠EOD=42°，求∠EOC的大小．3．如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？4．如图所示，∠AOB=30°，∠BOC=40°，∠COD=26°，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数．5．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．6．已知在平面内，∠AOB=70°，∠BOC=40°，求∠AOC的度数．7．如图，点O在直线AB上，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数．8．如图，∠AOB=35°，∠BOC=90°，OD是∠AOC的平分线，求∠BOD的度数．9．如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．10．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．（1）若AB=10cm，则MN= cm；（2）若AC=3cm，CP=1cm，求线段PN的长．11．如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M、N分别为AC、BC的中点．（1）求线段BC、MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别是线段AC、BC的中点，求MN的长度．12．如图，D是AB的中点，E是BC的中点，BE=AC=3cm，求线段DE的长．13．如图，AB=10cm，点C、D在AB上，且CB=4cm，D是AC的中点．（1）图中共有几条线段，分别表示出这些线段；（2）求AD的长．14．已知线段AB=8cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C并且BC=1cm，求线段DC的长．15．已知线段AB=14cm，C为线段AB上任一点，D是AC的中点，E是CB的中点，求DE的长度．16．如图所示，点C在线段AB的延长线上，且BC=2AB，D是AC的中点，若AB=2cm，求BD的长．解：∵AB=2cm，BC=2AB，∴BC=4cm．∴AC=AB+= cm．∵D是AC的中点，∴AD== cm．∴BD=AD﹣= cm．第1页（共2页）角平分线与线段中点练习题参考答案一．解答题（共16小题）1．150°；45；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．5；11．；12．；13．；14．；15．；16．BC；6；AC；3；AB；1；第2页（共2页）。

线段的垂直平分线与角平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. 经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCm图2DABCjik图3OBCA课堂笔记：例2、 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

线段与角平分线的性质线段和角平分线是几何学中常见的概念，它们有着一些特殊的性质。

本文将从线段和角平分线的定义开始，逐步展示它们的性质和应用。

一、线段的性质线段是由两个端点确定的有限直线段，具有以下性质：1. 长度：线段的长度是由两个端点之间的距离所决定的。

2. 线段中点：线段的中点是指线段上距离两个端点相等的点。

线段的中点在线段上恰好平分了线段。

3. 线段的延长：线段的延长是指在线段的两个端点上任取一点，并将该点与线段的两个端点按一定方向延长。

延长后的线段仍然与原线段具有相同的性质。

4. 线段的等分：对于线段上的任意一点，若它把线段分成两个相等的部分，则该点即为线段的等分点。

二、角平分线的性质角平分线是指从角的顶点引出的直线，将角平分为两个相等的角。

它具有以下性质：1. 角平分线的存在唯一性：对于任意一个角，存在唯一一条将该角平分的角平分线。

2. 角平分线的性质：角平分线将原角分成两个相等的角，这两个角的大小都等于原角的一半。

也就是说，原角的两个内角和外角与平分角的两个内角和外角之间存在以下关系：（1）两个内角的和等于原角的一半；（2）两个外角的和等于原角的一半。

三、线段与角平分线的关系线段和角平分线之间有一些重要的关系：1. 线段平分角：线段的延长线可以用来平分一个角。

如果将线段的延长线与角的一条边相交于一点，那么该点确定的直线就是该角的平分线。

2. 角平分线与线段的关系：如果一条线段与一个角的两条边的延长线相交，且该线段能够平分该角，那么它就是该角的平分线。

综上所述，线段和角平分线是几何学中重要的概念。

了解它们的性质和关系，有助于解决各种几何问题。

线段和角平分线在建筑、工程、地理等学科中都有广泛应用，它们的性质和定理为我们探索和研究物理世界提供了基础。

总之，线段和角平分线是几何学中常见的重要概念。

通过对它们的性质和关系的深入了解，可以为我们解决各种几何问题提供有力的工具和方法。

在实际应用中，线段和角平分线的特性被广泛运用于建筑、工程等领域，为设计与计算提供有力的支持。