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线段的中点及角平分线

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三角形的中线和角平分线

三角形的中线和角平分线
应用实践能力不足
虽然掌握了三角形中线和角平分线的基本知识点，但在实际应用中，如解决几何问题时，往往不 能灵活运用这些知识。
缺乏与其他知识点的联系
在学习三角形中线和角平分线时，容易忽视它们与其他几何知识点（如相似三角形、勾股定理等 ）的联系，导致知识体系不够完整。
对未来学习方向展望
深化概念理解
通过更多的练习和阅读相关文献， 加深对三角形中线和角平分线概 念的理解，掌握其背后的数学原
中线性质
三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的 重心。
3
中线与底边平行且等于底边一半
在三角形中，一条中线与它所对的底边平行，且 等于底边的一半。
中线长度与三角形面积关系
中线长度与三角形面积关系定理
三角形的中线长度与三角形的面积存在一定的比例关系。具体来说，对于任意 三角形ABC，若M是BC的中点，则AM（即中线）的长度与三角形ABC的面积 之比为2:1。
理和性质。
提高应用实践能力
通过解决更多的实际问题，提高 运用三角形中线和角平分线知识 的能力，培养自己的数学思维和
解决问题的能力。
建立知识网络
将三角形中线和角平分线的知识 与其他几何知识点联系起来，形 成一个完整的知识网络，提高自
己的数学素养和综合能力。
THANKS
感谢观看
利用中线构造平行四边形
在三角形中，一条中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形。如果将这两个三角形沿 中线翻折，就可以得到一个平行四边形。这一性质常用于构造平行四边形或证明某些四边 形是平行四边形的问题。
03
角平分线性质与定理
角平分线定义及性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做 这个角的角平分线。

高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件

高考数学二轮复习三角形中的中线、高线、角平分线问题ppt课件
培优提能5
三角形中的中线、高线、
角平分线问题
一、中线
2
2
2
2
1.中线长定理:在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,则 AB +AC =2(BD +AD )
推导过程:在△ABD 中,cos B=
在△ABC 中,cos B=
+ -
+ -
·
·


,求 c.






解:(2)设 BC 边上的高为 h,由三角形的面积公式得 S△ABC= ah= ×



bcsin A=×5c×sin=


c,所以


a=


c,即 a=
a=


c,
由余弦定理得 a2=25+c2-5c,
将 a=


c 代入上式得 c2+16c-80=0,解得 c=4 或-20(舍去),所以 c=4.
→
→ → →
+ +||·||·cos∠ADB,解得


cos∠ADB=.
三角形的角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比,
再结合共线定理的推论,就可以转化为向量.一般地,涉及三角形中“定比”
类问题,运用向量知识解决起来都较为简捷.
触类旁通2 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,c=6,
→

→

→
→
→

两边平方得 4 = + +2·,
2
2
2

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

数学高线中线角平分线的三条概念

数学高线中线角平分线的三条概念

数学高线中线角平分线的三条概念数学中，线是指无限延伸的一维物体，可以用来连接两个点。

平面几何中，线是由点组成的集合，而空间几何中，直线可以看作是不受限制的无限延伸。

高线、中线和角平分线是几何中的三个重要概念，它们在解决几何问题中起到了关键的作用。

下面将分别介绍这三个概念。

一、高线：高线是指从一个点到与其所在平面垂直的直线段的长度。

在三角形中，高线指的是从一个顶点到对边的垂直线段。

一个三角形可以有三条高线，分别从三个顶点到对边。

这些高线交于一个点，被称为三角形的垂心。

垂心是三角形的一个重要特征点，它有很多有趣的性质。

例如，三角形的三条垂线（垂直于三个边并通过垂心的直线）相交于一点，且这个点是三角形外接圆的圆心。

此外，垂心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离。

垂心还与三角形的其他特征点（如重心、外心和内心）之间存在特殊的关系。

除了三角形，其他多边形（如正方形、长方形和菱形）也有高线的概念。

在任意多边形中，高线指的是从一个顶点到与其所在边垂直的线段。

二、中线：中线是指连接多边形的两个非相邻顶点并通过多边形的重心（或中点）的线段。

在三角形中，中线指的是连接两个顶点和对边中点的线段。

三角形有三条中线，分别连接两个顶点和对边中点。

这些中线交于一个点，称为三角形的重心。

重心具有很多有趣的性质。

例如，三角形的重心到三个顶点的距离恰好等于它到对边的距离的两倍。

重心还与三角形的其他特征点（如垂心、外心和内心）之间存在特殊的关系。

除了三角形，其他多边形也有中线的概念。

在任意多边形中，中线指的是连接两个非相邻顶点并通过多边形的重心的线段。

三、角平分线：在平面几何中，角平分线指的是把一个角分为两个相等的角的线段。

角平分线分为内角平分线和外角平分线两种。

内角平分线指的是从一个角的顶点出发并通过角的内部，将角分为两个相等的角的线段。

对于任意角而言，都存在一条内角平分线。

内角平分线具有许多重要的性质。

例如，一条内角平分线将角分为两个相等的角。

线段的中垂线和角平分线--华师大版

线段的中垂线和角平分线--华师大版

D E C
M A B
D E C N P
M
A
B
例3、角平分线上的点到角的两边 距离相等，到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上”。如图 所示：①若∠BAD=∠CAD，且 BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则 BD=CD，②若BD⊥AB于B， DC⊥AC于C，且BD=CD，则 ∠BAD=∠CAD试利用上述知识 ，解决下面的问题：三条公路两 两相交于A、B、C三点，现计划 修建一个商品超市，要求这个超 市到三条公路距离相等，问可供 选择的地方有多少处？你能在图 中找出来吗？
填空:
1.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E， 交AB于D，连结BE，若∠A=50°，则 ∠EBC=__________。 2.已知：如图，B、C、 D 、 E都在边BC上，FD、 EG分别是AB、AC的中垂线。 1）若BC=10， 三角形ADE的周长 . 2）若∠BAC=100°，∠DAE的度数 。
碌着，并没有随女眷们壹起去永和宫请安。因此直到乾清宫，他才见到魂牵梦萦の小仙女。两年不见，水清仍然如他三年前初见の那样，岁月 不曾在她の身上留下壹丝壹毫の痕迹。壹样の稚嫩脸庞，壹样の冰清玉洁，壹样の傲然孤立。而且二十三小格还知道，水清两年如壹日，壹样 の冷遇无宠。对于这各结果，他既是暗自高兴，也是黯然神伤。高兴，当然他是巴不得水清壹辈子不得宠才好；神伤，当然是后悔不已，假如 自己早早知道年羹尧还有这么壹各亲妹妹，他壹定会不惜壹切代价将她娶进二十三贝子府，做他の福晋。从此以后，他二十三小格再也不会看 其它任何壹各诸人壹眼，他の心会小得只装得下她壹各人，他会让她独享专宠，他会让她享尽尊荣，她是他の曾经沧海，她是他の巫山云。就 在二十三小格不停地后悔，不停地立下誓言之际，不多时，响鞭壹阵阵传来，随即鼓乐齐鸣，圣驾来至宴席，众人纷纷起立，请安之声不绝于 耳。由于是纯粹の家宴，待落座之后，先是后宫中位份最高の佟佳贵妃率众妃嫔向皇上祝寿，祝寿过后，所有在场人员随着李德全の口令起身 离座、跪下磕头、起身回座。后妃祝寿过后便是皇子们の祝寿。此时大小格、废太子都在圈禁中，因此三小格诚亲王作为皇子中最为年长者率 弟弟们向皇阿玛祝寿，完毕后所有人员再次在离座、磕头、回座。然后是儿媳妇们の祝寿，众人再次行磕头大礼。最后是皇孙、重皇孙们，众 人再行磕头大礼。多半各时辰里除咯祝寿和行磕头大礼之外，所有の人没有吃壹口饭，没有喝壹口水。好不容易集体祝寿结束，众人可以踏实 落座，李德全壹声令下，宫女太监们开始摆膳。第壹卷 第335章 小鬼 壹整天の时间里，弘时都对这各年姨娘讨厌透顶：额娘被太太冷落， 自己又没有机会跟太太说上话，平时在府里就瞧这年姨娘不顺眼，此刻更是“新仇旧恨”齐齐涌上心头，因此他那小脑袋瓜里壹刻不停地盘算 着如何好好地整治这各年姨娘の各种招数。他要让这各平时对他不够恭敬、不够谦卑の年姨娘必须吃点儿苦头，知道他小爷不是好惹の。此刻 の他，壹双小眼睛滴溜溜地转来转去，打着鬼主意，想着、想着，这主意就想出来咯！这不奴才们正摆膳嘛，于是他假意跟淑清撒娇，身子顿 时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变 咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！ 吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席 上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各 滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事 情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地 洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯 她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席 宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺 目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程 度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她 の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在 呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴 才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷 第336章 冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人 听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴 才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕 竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の 过失？而且淑清最后那壹句话，不但是话里有话，而且毫不掩饰地就将矛头直接指向咯水清。水清知道，这是因为锦茵格格出嫁の事情，淑清 姐姐壹直在记恨她，才会对她这么含沙射影，才不会放过吟雪の任何壹各过失。可是这是皇上六十大寿の寿宴，又是当着其它嫂子、弟妹们の 面，她就是再有天大の委屈，无论如何也不能跟李姐姐起

三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)

三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)

复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？

中线与角平分线的区别

中线与角平分线的区别中线与角平分线是在数学中常见的概念，它们有着不同的性质和用途。

中线是指将一个三角形的某一边的中点与该边的对角线连接起来的线段，而角平分线是将一个三角形的某一角平分为两个相等的角的线段。

虽然它们都与三角形的边和角有关，但是它们在定义、性质和应用上存在着一些显著的区别。

首先，中线的定义是通过三角形的一边的中点连接到该边对应的对角线的线段。

也就是说，中线总是连接三角形的两个顶点和对边的中点。

而角平分线是将一个三角形的某一角平分为两个相等的角的线段，它通常以该角的顶点为起点，且平分角的两边分别与该角的两个相邻边相交。

因此，角平分线与角的顶点和两边都有直接关系。

其次，中线的性质与角平分线的性质也不相同。

中线的一个重要性质是，它将三角形的底边分成两个长度相等的线段，并且与底边垂直。

而角平分线的一个重要性质是，它将三角形的某一角平分为两个相等的角。

换句话说，角平分线将三角形分成了两个角相等的小三角形。

此外，中线还具有一个重要性质，即三角形的三条中线共点于一个点，该点称为三角形的重心。

而角平分线则没有类似的性质。

最后，中线和角平分线在应用中的作用也不尽相同。

中线对于三角形的性质和构造具有重要的影响。

例如，根据中线的性质可以得知，重心到顶点的距离是中线长度的两倍，这样就可以通过中线来确定重心的位置。

同时，中线也经常用于构造等边三角形、证明等腰三角形等。

与之相比，角平分线在三角形的角度度量和角度关系中起着重要的作用。

通过角平分线可以证明两个角度相等，以及构造相似三角形等。

综上所述，中线和角平分线虽然都是与三角形的边和角有关的概念，但是它们在定义、性质和应用上存在着明显的区别。

中线是由三角形的一边的中点与对角线连接形成的线段，具有分割底边、垂直和共点于重心等性质，而角平分线是将一个角平分为两个相等的角的线段，具有平分角和构造相似三角形等性质。

理解和运用这两个概念，对于解决三角形的相关问题具有重要的意义。

中线与角平分线的关系

中线与角平分线的关系
中线是一边中点和对应顶点的连线。

角平分线是将一角平分并与对边相交的线段。

只有为等腰三角形时或者等边三角形时，两者顶角平分线才与对边中线重合。

三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。

任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。

由定义可知，三角形的中线是一条线段。

三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

“中心”与“重心”很容易弄混淆，“中心”只存在于正三角形，也就是等边三角形当中。

在等边三角形中，其内心，外心，重心，垂心都在一个点上，于是称之为中心。

内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。

外心：三角形三条边的中垂线的交点叫作三角形的外心，即外接圆圆心。

重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。

垂心：三角形三条垂线的交点叫作三角形的垂心。

中考必会几何模型：线段(双中点)、角(双角平分线)模型

线段（双中点）、角（双角平分线）模型线段（双中点）模型讲解【口诀】字母去重，线段留半 【结论1】已知点B 在线段AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm.(1)P 、Q 分别是AB 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (2) P 、Q 分别是AC 、BC 的中点，则PQ 为_________cm. (3) P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，则PQ 为_________cm. 【答案】9；4；5；9；4；5或13【结论2】已知点C 在线段AB 上，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴CM= 12AC ，CN= 12BC,∴MN=CM+CN= 12AC+ 12BC= 12(AC+BC)= 12AB.【结论3】已知点C 是线段AB 延长线上一点，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则MN= 12AB.【证明】∵M.N 分别是AC ，BC 的中点， ∴MC= 12AC ，NC= 12BC ，∴MN=MC-NC= 12AC- 12BC= 12(AC-BC)= 12AB.拓展已知点C 是线段BA 延长线上一点，点M ，N 分别是AC.BC 的中点，则MN= 12AB.无论线段之间的和差关系怎样变，MN 的长度只与AB 有美，即MN= 12AB.典型例题典例1如图，点C 是线段AB 上一点，AC ＜CB ，M ，N 分别是AB 和CB 的中点，AC=8，NB=5，则线段MN=___________.典例2如图，已知点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点.(1)若AB=20,BC=8.求MN的长；(2)若AB= a,BC=8.求MN的长；(3)若AB= a,BC= b.求MN的长；(4)从(1) (2) (3)的结果中能得到什么结论?典例3如图，线段AB=10cm，BC=3cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则DE的长是_________.初露锋芒1.已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4 cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( ).A.7 cmB.3 cmC.5 cmD.7 cm或3 cm2.如图，已知A，B.C三点在同一直线上，AB=24.BC= 3AB，E是AC8的中点，D是AB的中点，则DE的长度是___________.3. 如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=6cm，BC=4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为( ).A.5cmB.1cmC.5或1cmD.无法确定4. 已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC 的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是( )A.7cmB.3cmC.7cm或3cmD.5cm感受中考1.(2018贵州铜仁中考模拟)C为线段AB上任意一点，D、E分别是AC，CB的中点，若AB=10cm.则DE的长是( ).A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2.(2018湖南邵阳中考模拟）已知点C为线段AB上任一点，AC=8 cm，CB=6cm，M，N分别是AC，BC的中点.(1)求线段MN的长；(2)点C为线段AB上任一点，满足AC+CB= a cm，点M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?并说明理由.(3)点C在线段AB的延长线上，满足AC-BC=b cm，M，N分别是AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗?请画出图形，写出你的结论，并说明理由.(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗?3.如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为-5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒.(1)BP=________,点P表示的数________ (分别用含t的代数式表示）；(2)点P运动多少秒时，PB=2PA.(3)若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长.参考答案典例1 【答案】4【解析】∵M ，N 分别是AB 和CB 的中点， ∴根据线段（双中点）的结论，有MN= 12AC.则MN=4. 典例2【答案】从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段AB 的一半，与C 点的位置无关. 【解析】(1)∵AB=20，BC=8. ∴AC=AB+BC=28.∵点A ，B ，C 在同一直线上，M ，N 分别是AC ，BC 的中点. ∴MC= 12AC.NC= 12BC.∴MN=MC-NC= 12(AC-BC)= 12AB=10.(2)根据(1)得MN= 12 (AC-BC)= 12AB= 12a .(3)根据(1)得MN= 12(AC-BC)= 12AB= 12a .(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到：线段MN 始终等于线段 AB 的一半，与C 点的位置无关.典例3 【答案】1.5【解析】∵AB=10cm ，BC=3cm ，（已知） ∴AC=AB-BC=7cm.∵点D 为AC 中点，点E 为AB 的中点，（已知） ∴AD= 12AC,AE= 12AB.(线段中点定义)∴AD=3.5cm,AE=5cm. ∴DE=AE-AD=1.5cm. 故答案为：1.5.初露锋芒1.【答案】C.【解析】当点C 在线段AB 上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.当点C 在线段AB 的延长线上时，如图.∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知MN= 12AB=5 cm.综上所述，MN 的长为5cm. 故选C.2. 【答案】92.【解析】∵AB=24，BC= 38AB ，∴BC=9.∵E 是AC 的中点，D 是AB 的中点，∴根据线段(双中点)的结论，可知DE= 12BC= 92.3. 【答案】C【解析】如图1，当点B 在线段AC 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm,BN = 12BC = 2cm,∴MN=MB+NB=5cm,如图2，当点C 在线段AB 上时，∵AB=6cm ，BC=4cm ，M ，N 分别为AB ，BC 的中点， ∴MB= 12AB = 3cm ，BN= 12BC=2cm,∴MN=MB-NB=1cm 。

中线与角平分线的区别

中线与角平分线的区别中线和角平分线是几何中常见的两种特殊线段，它们在三角形中起到重要作用。

虽然它们都涉及到图形的角度和边长，但它们有着不同的定义和性质。

首先，我们来看中线。

中线是连接三角形两个顶点和对边中点的线段。

具体而言，一个三角形有三条中线，分别连接三个顶点与对边中点。

中线的性质如下：1. 中线的长度相等：三角形的三条中线互相等长，也就是说，无论是哪两条中线，它们的长度是相等的。

2. 中线的交点是重心：三角形的三条中线相交于一个点，这个点叫做重心。

重心离三角形的每条边的距离是相等的，而且它将每条中线的长度按1：2的比例分割。

3. 中线的长度比边长大：三角形的每条中线的长度都大于相对应的边长。

具体而言，如果中线与对边的中点连线的长度是x，那么中线的长度恒大于2x。

与中线相比，角平分线是连接三角形的一个顶点和对边的角平分点的线段。

如果一个角被分成两个相等的角，那么它的角平分线就称为内角平分线；如果一个角被分成两个相等的补角，那么它的角平分线就称为外角平分线。

角平分线具有以下性质：1. 角平分线平分角度：角平分线将角分成两个相等的角。

2. 角平分线的交点是内心或外心：三角形的三条内角平分线相交于一个点，这个点叫做内心；三角形的三条外角平分线相交于一个点，这个点叫做外心。

3. 角平分线与相应边的长度成比例：如果角的顶点到角平分线的距离是x，那么角平分线与相应边的长度的比例是相等的。

到目前为止，我们已经了解了中线和角平分线的定义和性质。

尽管它们的作用不同，但它们都关注于三角形中的角度和边长。

中线主要用于研究三角形的重心，而角平分线则用于研究三角形的内心和外心。

通过熟练掌握中线和角平分线的性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。

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判断：
B
• 若∠BOC＝ ∠AOC ，则OC为∠AOB的平分线。
C
O A
角平分线的条件： 1、在已知角内。 2、把已知角分成两个相等的角
类似的,还有角的三等分线、四等分 线、五等分线等。 A C D E O 如图：射线OC、OD、OE是∠AOB的四 等分线。 B
已知OB是∠AOC的平 E 分线, OD是∠COE的 平分线, 如果 ∠AOE=1300, 那么 ∠BOD是多少度?
MON ＝ BOM － 1＝50 －30 ＝20
画线段AB=10mm，延长AB至C,BC=15mm，再 反向延长线段AB至D，使DA=15mm，先依题 意画出图形，并求出DC的长.
D
15mm
A
10mm
B
15mm
C
DC=DA+AB+BC=15+10+15=40mm
做出姿态。因此王爷没有说啥啊，只是点咯点头就算是应允咯。对方已经给咯台阶，必须见好就收，否则他这么多年来精心树立の友爱兄弟の形象将会毁于壹旦。随二十三小 格壹同前来贺寿の有穆哲、塔娜，不出意料，还有婉然。 壹进咯王府，二十三小格自然是由苏培盛引领着先去朗吟阁见四哥，而女眷们则被红莲直接请到咯霞光苑，排字琦、 淑清、惜月三各人已经恭候多时。穆哲与排字琦作为嫡福晋，三天两头地见面，不是在永和宫向德妃娘娘请安，就是在某各宴席上比邻而座，因此见过礼之后，两各人就亲热 地聊咯起来。塔娜是第壹次来王府，啥啊都新鲜得不行，因此小丫头の眼睛都不够使咯，左看看，右看看，自娱自乐，不亦乐乎。都是至亲家眷，因此没有分男宾女宾，只开 壹席。而且由于婉然是新妇，“初见”四哥、四嫂，需要先行见礼和敬茶。因此女眷们在霞光苑里壹边闲聊，壹边等待着两位爷の到来。二十三小格随苏培盛来到朗吟阁の时 候，秦顺儿也早早地守在院门口候着呢。如此高の接待规格，让他更加心情忐忑。“给四哥请安。二十三弟祝四嫂福如东海，寿比南山。”“四哥替四嫂谢过。四哥也祝二十 三弟娶得如花美眷，夫妻二人永结同心。”“弟弟谢过四哥。”随着这壹番客套下来，两人分坐两侧，二十三小格既然放低咯姿态来到王府，索性将这各姿态壹放到底：“四 哥，您最近读到啥啊好书咯？”“四哥能读啥啊，不过是研读些佛法经书而已。”“久闻四哥对佛家学说研究颇深，不知四哥有啥啊高见。”“佛说：今生种种皆是前生因果。 佛说：壹切有为法，尽是因缘合和，缘起时起，缘尽还无，不外如是。佛说：你可以拥有爱，但不要执著，因为分离是必然の。佛说：壹念愚即般若绝，壹念智即般若生。佛 说：握紧拳头，你の手里是空の；伸开手掌，你拥有全世界。佛说：这世间，人皆有欲，有欲故有求，求不得故生诸多烦恼，烦恼无以排遣故有心结，人就陷入“无明”状态 中，从而造下种种惑业。佛说：人在荆棘中，不动不刺。佛说：你永远要宽恕众生，不论他有多坏，甚至他伤害过你，你壹定要放下，才能得到真正の快乐。佛说：你啥啊时 候放下，啥啊时候就没有烦恼。……第壹卷 第437章 四哥当所有の女眷们都已经把所有の话题全部说尽，为咯不至于冷场，而东拉西扯、口干舌燥、望眼欲穿の时候，两位 爷终于出现在咯霞光苑の宴客前厅。刚刚当众女眷热络地聊着家常长理短之时，只有婉然壹各人，心事重重，不言不语。望着这熟悉得不能再熟悉の霞光苑，她恍如隔世壹般。 时光荏苒，生命轮回，五年前の那各大年三十，她是彬彬有礼、落落大方、心无旁骛の年家大仆役；四年前の春天里，她是忐忑不安、彷徨迷茫、心有所属の玉盈姑娘；而今 天，她却是罪孽深重、十恶不赦、心如死灰の二十三贝子府の婉然格格。此时，眼见两位爷进咯屋子，女眷们停止交谈纷纷起身，穆哲、塔娜和婉然作为弟妹更是上前壹步， 第壹时间向王爷请安。而王爷根本没有看向这几位弟妹们，他の眼睛壹直盯着前方の条案，等几位二十三弟妹们壹并请过安之后，他才不慌不忙地回咯壹句：“起来吧。”再 次听到他那充满磁性の声音，再次闻到他那淡淡の檀香味道，婉然担心自己是否还能继续在这里呆下去。那不带壹丝感情の话语硬生生地撞入她の耳膜，差点儿将她击倒在地。 壹屋子の人都在盯着她，除咯他。婉然用尽咯全身の力气，才勉强将自己の双脚牢牢地钉在地上，排字琦赶快拿眼神示意咯壹下红莲，红莲会意，赶快走到壹边，将早早就准 备好の茶盘端咯过来。在等两位爷の漫长时间里，这两盏茶已经被红莲换过四次咯！见红莲端上咯茶盘，婉然晓得那各时刻到咯。她慢慢地伸出手，努力将茶盏端得平稳，这 简直比刚才将双脚牢固地钉在地上还要困难成百上千倍。她唯有放缓行动，放缓再放缓。手中の茶盏似有千斤重，婉然根本就端不起来，她试咯两次，都是徒劳，第三次，她 使足咯全身の力气，几乎是将两只手全部覆在咯茶盏上，才勉力将茶盏端离茶盘。然后她使出全力终于将颤抖の身子稳住，缓缓地转过身，面对王爷，低垂下眼帘说道：“请 四哥喝茶。”那壹声“四哥”，就像是王母娘娘手中の玉簪，瞬时在两各人之间划出壹条浩瀚渺遥、大浪滔天の银河，似是在说，嫦娥应悔偷灵药，碧海青天夜夜心。望着眼 前の这盏茶，他没有婉然の竭力隐忍，他有の是毫不犹豫，立即伸手接咯过来，没有丝毫迟疑地喝咯下去。这哪里是啥啊改口茶，这只是壹杯忘情水，这只是壹口孟婆汤！喝 下去，忘记此前种种，喝下去，从此萧郎是路人！那整整满盏の茶，壹滴不剩地全部顺着他の喉咙壹路向下，郁积在他胸膛，仿佛他咽下の，更是壹团烈焰，焚心似火，要将 他炸得粉身碎骨。他要坚持，他要努力，因为他要在粉身碎骨之前响亮地说出那四各字：“多谢弟妹。”从今往后，这各世上再也没有玉盈，再也没有盈儿，只有婉然，他の 二十三小弟妹。从今往后，这各世上再也没有她の心上人，只有雍亲王爷，她の四哥。第壹卷 第438章 圆场当排字琦听到王爷字正腔圆地说出咯“多谢弟妹”这四各字，她 の心里总算是壹块石头落咯地，为咯及时巩固成果，不要再节外生枝，她赶快走上前去，亲亲热热地朝婉然说道：“哎呀，小弟妹，四嫂这盏茶再不给喝可就凉咯，不但茶凉 咯，这菜也都凉咯。怕大家饿肚子，四嫂
1 2
D
C B
1 2 O
1 2 COE
A
解： OB 、 OD 分别是 AOC 与 COE 的角平分线
2＝
2＋1＝ 1 2
AOC ， 1＝
1 2 COE
AOC＋
1 1 1 ＝ AOE＝ 130 ＝65 ＝ （AOC＋COE） 2 2 2
讨论题：如果∠ AOB= 500 ,∠ BOC= 220 ， OM
10 A M B 甲 N C
＝
A
C
M N
6 乙
B
解： 点 M 、 N 分别是 AB 、 BC 的中点
MB＝ NB＝ 1 2 1 AB＝ 10＝5， 2 2 1 2 6＝3 1
CB＝
∴MN=MB –NB＝5－3＝2cm
已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且 BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
A M
1 AM=BM= AB； 2
B
AB=2AM
AB=2BM
Байду номын сангаас A
M
N
B
M、N为线段AB的三等分点 AM=MN=NB=
1 3
AB；AB=3AM=3MN=3NB M
A
N
P
B
M、N、P为线段AB的四等分点
AN=MN=MP=PB=
1 4
AB；AB=4AN=4MN=4NP=4PB
判断：
• 若AM=BM，则M为线段AB的中点。
1 2
1 2
CB
1 2
∴MN=MC+CN = AC+
2
CB =
1
(AC+CB) =
AB＝4
2 答：线段MN的长为4cm
DB=3cm，BC=7cm，C是AD的中点， 求AB的长.
A C D B
解：∵DB=3cm，BC=7cm ∴CD=BC－DB=7－3=4cm， ∵点C是AD的中点， ∴AC=CD=4cm， ∴AB=AC+CD+DB=4+4+3=11cm
已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，若 OM平分∠AOB，ON平分∠BOC， 求∠MON的度数.
M
此题应有两种情况 （1）OC在∠AOB外面
解： OM 、 ON分别是
A
2
O
1
B N
AOB与 BOC 的角平分线
2＝
1 2
AOB＝50 ，1＝
1 2
BOC ＝30
C
MON ＝ 1＋ 2＝50 ＋30 ＝80
1 2
CB
∴MN=MC+CN = AC+
2
CB =
1 2
1 2
(a+b)
(AC+CB) =
例1 （2）已知：如图，点C是线段AB上一点，
AB=8cm，点M是AC的中点,点N是BC的中点，求 线段MN的长
A M C N B
解： 点 M 、 N 分别是 AC 、 BC 的中点
MC＝
1
1 2
AC ，CN＝
A
是∠ AOB的角平分线，那么∠MOC=？
A
M
O B C
M
C
O
B
解：∵ OM是∠ AOB的角平分线
∴∠BOM=∠ AOM=
1 2
∠ AOB=
1 2
×500 = 250
=25 0－220
=30
(1) ∠MOC = ∠ BOM+ ∠ BOC
(2) ∠MOC= ∠ BOM－∠ BOC
=250+
=470
220
（3）已知线段AB=10cm,点C在直线AB上， BC=6cm，①求线段AC的长 解：①有两种情况
A 10 B 甲 6 C
图甲：当点C在线段AB的延长线时 AC=AB+BC=10+6=16
10 A C 乙 B
6
图乙：当点C在线段AB上时 AC=AB –BC=10 – 6=4
（3）已知线段AB=10cm,点C在直线AB上， BC=6cm， ②若M是AB的中点,点N是BC的中点,求MN的长 解：①有两种情况