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复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习一、目标展示1、 在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。
2、 会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。
3、 通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问题的能力。
二、自主学习1线段的中点及角平分线知识回顾线段中点：把一条线段分成____的两部分的点，叫这条线段的中点．结合图形写出它的符号语言（1）∵____________________∴①：AC=BC （等）②：AB= = (倍)③：AC=AB= （份）反之，∵①、②、③之一∴角平分线:从一个角的____引出一条射线，把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线.结合图形写出它的符号语言（1） ∵OB 是∠AOC 的平分线 ∴①：∠AOB=∠BOC （等）②：∠AOC= = (倍)③：∠AOB=∠BOC= （份）反之，∵①、②、③之一∴自主学习 2 （图形语言与符号语言规范复习）1.中点解题规范训练如图所示，已知线段AB=80cm ，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为PB 中点，NB=14cm ，求MP 的长．解：如图O A C B∵点M是线段AB的中点∴_______________又∵ AB=80∴___________________∵点N是线段BP的中点∴________________ ∵NB=14∴PB=2×14=28∴MP=MB-PB=40-28=12即MP的长为12 cm2.角平分线解题规范训练如图所示，已知∠AOB=84°,∠AOC=40°OM平分∠AOB，求∠MOC的度数．解：如图∵OM平分∠AOB∴∠AOM=_________又∵∠AOB=84°∴∠AOM=______ = __ _∵∠AOC=40°∴∠MOC= -=42°-400=2°∴∠MOC的度数为2°三、合作探究合作探究1：线段中点与角平分线判定的类比例1.如果点C在线段AB上,则下列等式:①AC=CB; ②AC=1/2AB; ③AB-AC=BC; ④AB=2AC;能说明点C是线段AB中点的有( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④类比迁移1：若点D为∠BAC内的一点,则下列等式:①∠BAD=1/2∠BAC; ②∠BAD=∠BAC-∠CAD;③∠BAC=1/2∠BAC+∠BAD; ④∠DAC=∠BAC-∠BAD;能说明射线AD是∠BAC平分线的有( )A.①B.①②③C.①③D.①②③④合作探究2：一个中点与一个角平分线问题的类比例2.已知线段AB=20cm,在直线AB上有一点C，且BC=4cm,则线段AC=_________. 类比迁移2：已知∠AOB=30°，∠BOC=20°，则∠AOC=___________.合作探究3：双中点和双角平分线问题的类比例3：已知线段AB=10cm,点C在直线AB上,BC=6cm,M,N分别为线段AB,BC的中点,求MN的长类比迁移3：已知射线OE是∠AOB的平分线，射线OF是∠B OC 的角平分线，且∠AOB=82°，∠BOC=36°，求∠EOF的度数学习-----好资料四、归纳总结，当堂小测1、点A,B,C在同一条直线上，AB=3cm，BC=1cm,求AC的长度.解：①当点Ｃ位于线段AB上时，AC=_________=_________=_______；②当点Ｃ位于线段AB延长线时, AC=_________=_________=_______.2、射线OA,OB,OC在同一平面内，∠AOC=120o, ∠BOC=30o,求∠AOB的度数. 解：①当点OB位于∠AOC 的内部时，∠AOB=_________=_________=_______；②当点OB位于∠AOC 的外部时，∠AOB =_________=_________=_______.3、如图，C是AB上的一点且AC:BC=3:5，D是AB的中点,CD=1cm，求线段AB 的长.A C4、如图，BD是∠ABC内部的一条射线且∠CBD:∠ABD=3:5,BE平分∠ABC，∠DBE=15o,求∠ABC的度数.。
类比线段中点与角平分线计算中的思想方法
类比是一种思维方法，通过将两个或多个事物进行比较，从而发现它们之间的相似之处，从而推测出新的知识或解决问题的方法。
在计算中，我们可以运用类比思维方法来计算线段的中点和角的平分线。
线段中点是指线段的中心点，位于线段的中间位置，使得线段两边的长度相等。
为了计算线段的中点，我们可以使用如下的类比思维方法：
1. 找到两个端点的坐标：我们需要确定线段的两个端点的坐标。
对于一个二维平面上的线段，我们可以用两个点的坐标来表示线段的位置。
2. 求取两条边的中点坐标：一旦我们有了角的两条边的坐标，我们可以分别计算它们的中点坐标，分别代表两条边的中点位置。
3. 连接两个中点：通过连接两条边的中点，我们可以得到角的平分线。
这条线段将角分成两个相等的部分。
类比思维方法在计算中点和角平分线时的运用可以帮助我们简化计算过程，从而更快速、准确地得到结果。
通过将已知问题与类似的问题进行比较，我们可以找到解决问题的线索，并将知识或方法进行转化，以适应新的问题的求解。
这种思维方法在数学和其他领域的问题求解中有着广泛的应用。
线段的中点与角平分线共性许科锋1、若线段AB 长80cm ，点C 是直线AB 上一点，且BC=20cm ，M 是线段AB 的中点，N 是线段BC 的中点，求MN 的长度。
①如图：若点C 在点B 右侧，则cm BC AB BC AB NB MB MN 50)2080(21)(212121=+⨯=+=+=+=②如图：若点C 在点B 左侧，则cm BC AB BC AB NB MB MN 30)2080(21)(212121=-⨯=-=-=-=而角也有着类似的处理方法：已知，∠AOB=80°，∠BOC=20°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON ？① 如图，若射线OC 在∠AOB 外部，则︒=︒+︒⨯=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠50)2080(21)(212121BOC AOB BOC AOB NOBMOB MON︒=︒-︒⨯=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠30)2080(21)(212121BOC AOB BOC AOB NOB MOB MONNC BNO二、若把上面的线段AB 改成AC ，∠AOB 改成∠AOC 又会有怎样的效果呢？我们一起来研究下：1、若线段AB 长80cm ，点C 是直线AB 上一点，且BC=20cm ，M 是线段AC 的中点，N 是线段BC 的中点，求MN 的长度。
①如图：若点C 在线段AB 上，则cm AB BC AC BC AC NC MC MN 4021)(212121==+=+=+= （与BC 的长度无关）②如图：若点C 在点B 右侧，则cm AB BC AC BC AC NC MC MN 4021)(212121==-=-=-= （与BC 的长度无关）③如图：若点C 在点B 左侧，则cm AB AC BC AC BC MC NC MN 4021)(212121==-=-=-=（与BC 的长度无关）再来研究一下角：已知，∠AOB=80°，∠BOC=20°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON ？︒=︒⨯=∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠40802121)(212121AOB BOC AOC BOC AOC NOCMOC MON︒=︒⨯=∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠40802121)(212121AOB BOC AOC BOCAOC NOCMOC MON︒=︒⨯=∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠40802121)(212121BOA AOC BOC AOC BOC MOC NOC MON由此可见，在二的情况下，角也有着类似的处理方法与结论。
线段中点与角平分线的类比学习陈㊀妹(江苏省南京师范大学附属中学江宁分校㊀２１１１０２)摘㊀要:在平时授课过程中去渗透类比思想也是新课标所倡导的ꎬ这就要求我们在实际数学教学和学习过程中ꎬ引导学生学会如何将已有知识和方法迁移到新问题的解决中来ꎬ这对于学生的思维拓展有很大帮助ꎬ从而进一步提高学生学习数学的兴趣.本文主要以线段的中点和角的角平分线为载体ꎬ通过知识的横向迁移ꎬ让学生能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系ꎬ并能够总结出解题方法和规律.关键词:初中数学ꎻ线段中点ꎻ角平分线ꎻ类比学习中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０５－０００７－０２收稿日期:２０２０－１１－１５作者简介:陈妹(１９９０.７－)ꎬ女ꎬ江苏省南京人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在数学学习和研究中ꎬ类比是一种重要的思想方法ꎬ也是合情推理得一种重要形式.类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似ꎬ猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法ꎬ亦是由特殊到一般的过程.㊀㊀一㊁线段中点与角平分线的概念１.线段中点:把一条线段分成相等的两部分的点ꎬ叫这条线段的中点.２.角平分线:从一个角的顶点引出一条射线ꎬ把这个角分成相等的两个角的ꎬ则这条射线叫这个角的角平分线.㊀㊀㊀二㊁单中点与单角平分线问题的类比例１㊀如图１ꎬ已知线段ＡＢ＝１０ｃｍꎬ在直线ＡＢ上有一点Ｃꎬ且ＢＣ＝２ｃｍꎬ若点Ｍ是线段ＡＣ的中点ꎬ则线段ＡＭ＝.图１分析㊀①如图１ꎬ当点Ｃ在线段ＡＢ的延长线上时ꎬ此时ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝１２ꎬ因为Ｍ是线段ＡＣ的中点ꎬ所以ＡＭ＝１２ＡＣ＝６ꎻ图２②如图２ꎬ当点Ｃ在线段ＡＢ上时ꎬ此时ＡＣ＝ＡＢ－ＢＣ＝８ꎬ因为Ｍ是线段ＡＣ的中点ꎬ所以ＡＭ＝１２ＡＣ＝４ꎻ类比１㊀已知øＡＯＢ＝６０ꎬøＢＯＣ＝２０ʎꎬ若ＯＭ平分øＡＯＣꎬ则øＡＯＭ＝.分析㊀①如图１ꎬ当øＢＯＣ在øＡ０Ｂ外部时ꎬ此时øＡＯＣ＝øＡ０Ｂ＋øＢＯＣ＝８０ʎꎬ因为ＯＭ平分øＡＯＣꎬ所以øＡＯＭ＝１２øＡＯＣ＝４０ʎꎻ②如图２ꎬ当øＢＯＣ在øＡ０Ｂ内部时ꎬ此时øＡＯＣ＝øＡ０Ｂ－øＢＯＣ＝４０ʎꎬ因为ＯＭ平分øＡＯＣꎬ所以øＡＯＭ＝１２øＡＯＣ＝２０ʎꎻ做此题时要引导学生应考虑到Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三点之间的位置关系的多种可能ꎬ即点Ｃ在线段ＡＢ的延长线上或点Ｃ在线段ＡＢ上.类比到角中ꎬøＢＯＣ也可以在角的内部ꎬ也可以在角的外部ꎬ对于不同的情况ꎬ要进行分类讨论.㊀㊀三㊁双中点与双角平分线问题的类比例２㊀如图３ꎬ已知线段ＡＢ＝１０ｃｍꎬＣ为线段ＡＢ上一点ꎬＭ㊁Ｎ分别为ＡＣ㊁ＢＣ的中点ꎬ图３(１)若ＢＣ＝４ｃｍꎬ求ＭＮ的长ꎻ(２)若ＢＣ＝７ｃｍꎬ求ＭＮ的长ꎻ(３)若Ｃ为线段ＡＢ上任一点ꎬ你能求ＭＮ的长吗?７请写出结论ꎬ并说明理由.分析㊀在(１)(２)两问中ꎬ由点Ｎ是ＢＣ的中点ꎬ得ＣＮ＝１２ＢＣꎬ由ＡＢ＝１０ｃｍꎬ求得ＡＣ的长ꎬ点Ｍ是ＡＣ的中点ꎬ可得ＭＣ＝１２ＡＣꎬ所以ＭＮ＝ＭＣ＋ＣＮ即可求解ꎬ不难猜出不管点Ｃ在线段ＡＢ的任何位置ꎬＭＮ＝１２ＡＢ.图４类比２㊀如图ꎬ已知øＡＯＢ＝９０ʎꎬøＡＯＣ在øＡＯＢ的内部ꎬＯＭ㊁ＯＮ分别平分øＡＯＣ和øＢＯＣꎬ(１)若øＡＯＣ＝２０ʎꎬ求øＭＯＮ的度数ꎻ(２)若øＢＯＣ＝５０ʎꎬ求øＭＯＮ的度数ꎬ(３)由(１)(２)的结果你发现了什么规律ꎬ请写出结论ꎬ并说明理由.分析㊀在(１)(２)两问中ꎬ由ＯＮ平分øＡＯＣ的中点ꎬ则得øＭＯＣ＝１２øＡＯＣꎬ由øＡＯＢ＝９０ʎꎬ求得øＢＯＣ的大小ꎬ点ＯＭ平分øＢＯＣꎬ可得øＮＯＣ＝１２øＢＯＣꎬ所以øＭＯＮ＝øＭＯＣ＋øＮＯＣ即可求解ꎬ不难猜出ＯＣ为øＡＯＢ内的任一条射线ꎬøＭＯＮ＝１２øＡＯＢ.考查了两点间的距离ꎬ利用线段的中点的性质转化线段之间的和差关系是解题的关键ꎬ类比２综合考查了角平分线的定义ꎬ角的和差等相关知识ꎬ重点掌握角平分线的定义.这两题从本质上来讲ꎬ都是根据已知条件求解线段的长度或者角的度数ꎬ都是求解定值的过程ꎬ也都是由特殊到一般的过程ꎬ注重引导学生运用整体思想说理ꎬ同时要注意在不同的情况下灵活选用线段中点或角平分线的不同表示方法ꎬ有利于解题的简洁性.例３㊀如图５ꎬ已知线段ＡＢ＝１０ｃｍꎬＣ为线段ＡＢ延长线上一点ꎬＭ㊁Ｎ分别为ＡＣ㊁ＢＣ的中点ꎬ(１)若ＢＣ＝４ｃｍꎬ求ＭＮ的长ꎻ(２)若ＢＣ＝７ｃｍꎬ求ＭＮ的长ꎻ图５(３)若Ｃ为线段ＡＢ延长线上任一点ꎬ你能求ＭＮ的长吗?若能ꎬ请求出ＭＮ的长ꎬ并说明理由.类比３㊀如图ꎬ已知øＡＯＢ＝９０ʎꎬøＡＯＣ在øＡＯＢ的图６外部ꎬＯＭ㊁ＯＮ分别平分øＡＯＣ和øＢＯＣꎬ(１)若øＡＯＣ＝２０ʎꎬ求øＭＯＮ的度数ꎻ(２)若øＡＯＣ＝５０ʎꎬ求øＭＯＮ的度数ꎻ(３)由(１)(２)的结果ꎬ你发现了什么规律ꎬ请写出结论ꎬ并说明理由.同样的ꎬ类比 例２ 与 类比２ ꎬ也很容易求出这两题的一般结论.此时不妨引导学生去总结一下求双中点和双角平分线问题的一般规律.在双中点问题中的一般性结论:在同一条直线上ꎬ有公共端点两条线段中点之间的距离就等于ꎬ不重合的那两端点距离的一半.通过类比ꎬ我们可以得到在双角平分线问题中的一般性结论:当两个角的顶点及边重合时ꎬ两个角的平分线所组成的角ꎬ就应该等于不重合的两边所构成角的一半.紧扣线段的公共端点或角的公共边ꎬ从中点定义或角平分线出发ꎬ得出一般性的结论.㊀练习㊀１.已知Ｃ为直线ＡＢ上任一点ꎬＭ㊁Ｎ分别为ＡＣ㊁ＢＣ的中点ꎬ试探究ＭＮ与ＡＢ之间的关系ꎬ并说明理由.㊀２.已知øＡＯＢꎬ过点Ｏ一射线ＯＣꎬＯＭ平分øＡＯＣꎬＯＮ平分øＢＯＣꎬ试探究øＭＯＮ与øＡＯＢ的关系ꎬ并说明理由.诚如数学家Ｇ 波利亚说: 类比是一个伟大的引路人. 在数学问题的解决中ꎬ很多数学家就是利用类比法猜想某些结论的成立ꎬ并对之进行证明ꎬ推进了数学的发展.在本文中通过对中点定义㊁角平分线定义在解题中应用的类比ꎬ不仅可以让学生自己得到类似知识点的概念ꎬ引导学生体会应用由特殊到一般的思想方法ꎬ探索图形中的一般规律ꎬ而且有利于在学习过程中培养勤于思考㊁乐于探究的学习习惯ꎬ提高学生在数学学习中的自信心和积极性.在数学学习研究中ꎬ用到的往往不是单一的思想方法ꎬ比如本文中还涉及到数形结合思想㊁分类讨论思想ꎬ甚至对于题目的处理也可以运用方程思想来解决.这也再次要求我们教师在平时的教学中不断渗透数学思想方法ꎬ重视培养学生的核心素养ꎬ教会学生去思考ꎬ做好学生数学学习的引路人.㊀㊀参考文献:[１]卫志勇.利用类比法学习线段中点与角平分线[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０１６(１２):３６＋４１.[责任编辑:李㊀璟]８。
复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习（学案）【学习目标】1、 在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。
2、 会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。
3、 通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问题的能力。
【学习重点】通过同类型题目的对比，能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。
【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。
【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。
【学习过程】【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾线段中点：把一条线段分成____的两部分的点，叫这条线段的中点． 结合图形写出它的符号语言 （1）由_______________________ 得①：AC=BC （等） ②：AB= = (倍) ③：AC=AB= （份） 反之，由①、②、③之一 可得： （1）若已知AC=3，求BC ，则用哪一种表示方法：_____________． （2）若已知AC=3，求AB ，则用哪一种表示方法：_____________． （3）若已知AB=6，求AC ，则用哪一种表示方法：_____________. 角平分线:从一个角的____引出一条射线，把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线.结合图形写出它的符号语言（1） 由OB 是∠AOC 的平分线 得①：∠AOB=∠BOC （等） ②：∠AOC= = (倍) ③：∠AOB=∠BOC= （份） 反之，由①、②、③之一 可得：（1）若已知∠BOC=35°，求∠AOB，则用哪一种表示方法：_________．（2）若已知∠BOC=35°，求∠AOC，则用哪一种表示方法：_________．（3）若已知∠AO C =70°，求∠BOC，则用哪一种表示方法：_________.O A C B方法总结______________________________________________________。
二、解决问题三、复习巩固且=2 或=2∴C是线段AB中点（3）∵点C在线段AB上，且=12或=12∴C是线段AB中点中点的应用：1、如图，C是线段AB中点，D是线段BC中点，若AC=4，则BC= ，CD= ，BD= ，AB= ，AD= .2、如图：D是线段AB中点，E是线段BC中点，若AB=3，BC=5，则DE= ；思考：已知：线段AB=10，直线AB上有一点C，且BC=4，M是线段AC中点，则AM的长为.（提示：画出图形进行分析解答）能力提升：如图，已知AC = 10 cm，BC = 4 cm，点M、N分别是AC、BC的中点。
求线段MN的长；(一)、角平分线的图形及符号语言：线段中点的三种表示方法：如上图，（1）∵OC平分∠AOB∴=（2）∵OC平分∠AOB学生在学案中完成，教师巡视，帮助学生解惑。
小组讨论，相互交流，得出结论学生分析，教师订正教师引导学生观察图形，反思解题过程，得到猜想。
结合图形，学生思考口答，教师做出判断,得到角平分线的符号语言的三种表示方法.通过对线段中点，角平分线的图形语言及符号语言的探讨，培养学生的数形结合思想。
通过对符号语言的三种表示方法的正反推理，培养学生严谨的思维过程，学会说理，渗透几何的推理过程。
对符号语言的三种表示方法的简单应用，巩固新知。
DC BAEA B CD21OABC四、解决问题五、拓展提高∴=2 或=2（3）∵OC平分∠AOB∴=12或=12反之推理，仍然成立.（1）∵=∴OC平分∠AOB（2）∵=2 或=2∴OC平分∠AOB（3）∵=12或=12∴OC平分∠AOB角平分线的应用：如图，如果∠AOC= 50°，∠BOC=32°，OP是∠AOC的平分线，OQ是∠BOC的平分线，①请求出∠POQ的度数。
②∠POQ与∠AOC+∠BOC有什么关系，你能证明吗能力提升：已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，求∠MON的度数。
中点及角平分线（讲义）知识点睛1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的．2.如图，若点C 为线段AB 的中点，则中点的六种表示是．A C B3.从一个角的顶点引出一条，把这个角分成两个相等的角，这条叫做这个角的平分线．4.如图，若OC 为∠AOB 的平分线，则角平分线的六种表示是．ACO B 精讲精练1.已知：如图，线段AB=10 cm，点C 是线段AB 的中点，求AC 的长．A C B2.已知：如图，点C 是线段AB 的中点，AC=4 cm，求AB 的长．C B3.已知：如图，线段AB=10 cm，AD=6 cm，点C 是线段AD 的中点，求BC的长．A C D B4.如图，线段AB=4，点O 是线段AB 上一点，点C，D 分别是线段OA，OB 的中点，求CD 的长．A C O D B5.已知：如图，∠AOB=70°，OC 平分∠AOB，求∠AOC 的度数．ACOA N6. 如图，已知 OC 平分∠AOB ，OD 平分∠AOC ，且∠COD =25°， 求∠AOB 的度数．ADCOB7. 如图，∠AOB =90°，∠AOC =50°，OM 平分∠BOC ，ON 平分 ∠AOC ，求∠MON 的度数．BMC8.如图，点O 为直线AB 上一点，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）求∠BOD 的度数；（2）通过计算说明OE 是否平分∠BOC．C EDA O B【参考答案】知识点睛1. 中点2. AC =BC ，BC =ACAC 1AB ， B C 1AB22AB =2AC ，AB =2BC3. 射线，射线4. ∠AOC =∠BOC ，∠BOC =∠AOC ，∠AOC = 1 ∠AOB ，∠BOC = 1∠AOB2 2 ∠AOB =2∠AOC ，∠AOB =2∠BOC精讲精练1. 5 cm2. 8 cm3. 7 cm4. 25. 35°6. 100°7. 45°8. （1）155°；（2）平分，理由略。
线段中点与角平分线专题训练教学设计一、教学目标：知识与技能：在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。
过程与方法：通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问题的能力。
情感态度与价值观：调动学生的热情和积极性，激发学生的学习兴趣，使学生能够学以致用，会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。
二、教学重点：通过同类型题目的对比，能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。
三、教学难点：通过类比习题之间的异同，学会进行知识的迁移，并能够总结出解题方法和规律。
四、学法指导：类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。
五、教学过程：（一）引入新课引言：在几何图形初步这一章，我们即学习了线段中点又学习了角平分线，在具体的问题中，它们之间有什么联系呢？这节课，我们来学习线段中点与角平分线专题训练，用心学习，你一定会找到它们之间的联系。
设计意图：我用的是开门见山导入法，以便使学生的思维迅速定向，投入对新知识的探究。
达到一开始就明确目标，突出重点的效果。
师语：首先，我们来回顾一下线段中点的相关知识：（一）线段中点知识点回顾线段中点：把一条线段分成相等的两部分的点，叫这条线段的中点。
结合图形写出它的符号语言已知点B是线段AC的中点，A B C①AB=BC.(相等关系）1 AC .（二分之一关系）②AB=BC=2③AC=2 AB =2 BC .（二倍关系）反之由之一可得点B是线段AC的中点。
老师让同学们总结：通过①②③你们能总结出线段中点定义在使用中可以写作什么样的形式吗？让学生小组交流讨论。
设计意图：为了提高学生归纳总结的能力，小组合作在讨论中发现问题，解决问题，让答案更加完善。
学生代表归纳总结，老师补充归纳总结：线段中点的定义在使用中根据解题的需要(1)可以写作两线段相等的形式；（相等关系）(2)可以写作一条线段是另一条线段的两倍的形式（二倍关系）(3)可以写作一条线段是另一条线段一半的形式．（二分之一关系）老师继续补充，（1）我们可以简单说成（相等关系）（2）我们可以简单说成（二倍关系)(3)我们可以简单说成（二分之一关系）。
中点及角平分线（讲义）知识点睛1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的．2.如图，若点C 为线段AB 的中点，则中点的六种表示是．A C B3.从一个角的顶点引出一条，把这个角分成两个相等的角，这条叫做这个角的平分线．4.如图，若OC 为∠AOB 的平分线，则角平分线的六种表示是．ACO B精讲精练1.已知：如图，线段AB=10 cm，点C 是线段AB 的中点，求AC 的长．A C B2.已知：如图，点C 是线段AB 的中点，AC=4 cm，求AB 的长．C B3.已知：如图，线段AB=10 cm，AD=6 cm，点C 是线段AD 的中点，求BC的长．A C D B4.如图，线段AB=4，点O 是线段AB 上一点，点C，D 分别是线段OA，OB 的中点，求CD 的长．A C O D B5.已知：如图，∠AOB=70°，OC 平分∠AOB，求∠AOC 的度数．ACO A N6. 如图，已知 OC 平分∠AOB ，OD 平分∠AOC ，且∠COD =25°， 求∠AOB 的度数．A DCO B7. 如图，∠AOB =90°，∠AOC =50°，OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，求∠MON 的度数．BMC8.如图，点O 为直线AB 上一点，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）求∠BOD 的度数；（2）通过计算说明OE 是否平分∠BOC．C EDA O B【参考答案】知识点睛1.中点2.AC=BC，BC=ACAC 1AB ，BC1AB 2 2AB=2AC，AB=2BC3.射线，射线4.∠AOC=∠BOC，∠BOC=∠AOC，∠AOC= 1∠AOB，∠BOC=1∠AOB 2 2∠AOB=2∠AOC，∠AOB=2∠BOC精讲精练1. 5 cm2.8 cm3.7 cm4. 25. 35°6. 100°7. 45°8. （1）155°；（2）平分，理由略。
复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习（学案）【学习目标】1、在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。
2、会进行知识的横向迁移，总结解题规律与经验。
3、通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点，提高解决问题的能力。
【学习重点】通过同类型题目的对比，能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。
【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。
【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。
【学习过程】【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾线段中点：把一条线段分成____的两部分的点，叫这条线段的中点．结合图形写出它的符号语言（1）由_______________________ 得①：AC=BC（等）②：AB= = (倍)③：AC=AB= （份）反之，由①、②、③之一可得：（1）若已知AC=3，求BC，则用哪一种表示方法：_____________．（2）若已知AC=3，求AB，则用哪一种表示方法：_____________．（3）若已知AB=6，求AC，则用哪一种表示方法：_____________. 角平分线:从一个角的____引出一条射线，把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线.结合图形写出它的符号语言（1）由OB是∠AOC的平分线得①：∠AOB=∠BOC（等）②：∠AOC= = (倍)③：∠AOB=∠BOC= （份）反之，由①、②、③之一可得：（1）若已知∠BOC=35°，求∠AOB，则用哪一种表示方法：_________．（2）若已知∠BOC=35°，求∠AOC，则用哪一种表示方法：_________．（3）若已知∠AO C=70°，求∠BOC，则用哪一种表示方法：_________. O ACB方法总结______________________________________________________。
复习专题之：线段中点与角平分线的类比学习(学案)
【学习目标】
1、在已有知识基础上，进一步理解线段中点与角平分线的应用。
2、会进行知识的横向迁移,总结解题规律与经验。
3、通过类比迁移有效沟通知识间的联系，突破教学难点,提高解决问题
的能力。
【学习重点】
通过同类型题目的对比,能够在具体的解题中体会线段中点与角平分线之间的区别与联系。
【学习难点】通过类比习题之间的异同，学会进行知识间的迁移，并能够总结出解题方法和规律。
【学法指导】类比迁移、分类讨论、归纳总结思想的综合应用。
【学习过程】
【环节一】线段的中点及角平分线知识回顾
线段中点:把一条线段分成____的两部分的点,叫这条线段的中点．
ﻭ
结合图形写出它的符号语言（１)由__＿__＿_＿＿___＿_＿____＿___
得①：ＡC＝BC(等）
②：ＡB= =
(倍)
③:ＡC=AB= (份）反之,由①、②、③之一
可得：
（1)若已知AC=3，求BC,则用哪一种表示方法:___＿__＿＿_＿___．（2）若已知AC＝３，求AＢ,则用哪一种表示方法：＿___________＿．ﻭ(3）若已知AB=6，求AＣ，则用哪一种表示方法：______＿_____＿.
角平分线:从一个角的＿___引出一条射线,把这个角分成____的两个角的射线，叫这个角的角平分线．
结合图形写出它的符号语言（1）由OB是∠AOC的平分线
得①：∠AＯB＝∠ＢOC（等)
②：∠AOC= =
(倍）
③:∠AOＢ=∠BOＣ= (份）
反之，由①、②、③之一
可得: （1）若已知∠BＯC=3５°,求
∠AOB，则用哪一种表示方
法:______＿__.ﻭ（2)若已知
O A
C
B
∠BOC=35°,求∠AＯＣ，则用哪一种表示方法：_________.ﻭ（３)若已知∠AO C =70°,求∠BOC，则用哪一种表示方法:_________.
方法总结___________＿＿___＿＿_＿＿＿___＿__＿__＿____＿__＿___
＿＿_____＿___。
【环节二】图形语言与符号语言规范复习
1.中点解题规范训练 如图所示，已知线段AB=８0cm ，Ｍ为AB 的中点，P 在M Ｂ上，Ｎ为PB 中点，NB=14cm,求M Ｐ的长. 解:如图 由点M 是线段AB 的中点ﻭ得：__＿
＿_______＿＿_＿_ﻭ
2.角平分线解题规范训练 ﻭ
如图所示，已知∠AOB=9０°,
∠ＡＯＣ=4０°O Ｍ平分∠ＡOB,
求∠MO Ｃ的度数．ﻭ解:如图
由O Ｍ平分∠A ＯB
得∠AO Ｍ=_____＿___
又AB=８0 又∠AOB=90°
故:_______________＿_＿_ 故∠AO Ｍ=______ = _＿ ＿ 由点N 是线段BP 的中点 所以:∠ＭＯC ＝
-
得__＿_______＿____＿ =45°－400
而NB=14 即∠MO Ｃ的度数为5° 即P Ｂ=2×１4=28
所以：MP=MB-PB
=40-28=1２
即MP 的长为12 c ｍ
【环节三】知识探究：
探究一：线段中点与角平分线判定的类比
例1.如果点C 在线段ＡB 上，则下列等式: ①AC=ＣＢ; ②ＡC ＝1/2ＡB; ③AＢ-AC=ＢC; ④AB＝2ＡC; 能说明点C 是线段ＡB 中点的有（ ） A.①②③ B.①②④ C ．①③④ D．②③④
类比迁移1：若点Ｄ为∠ＢAC 内的一点，则下列等式:
①∠BAD=1／2∠ＢAC ；
②∠BAD ＝∠B ＡＣ-∠ＣAD;
③∠BA Ｃ=１／２∠BAC+∠ＢAD; ④∠ＤＡC=∠ＢAC-∠B ＡD;
能说明射线ＡD 是∠BAＣ平分线
的有( )
A.① Ｂ.①②③ C．①③
D．①②③④
方法总结:_＿___＿＿______＿＿_____＿_＿_＿__＿___＿_____________＿___＿___。
探究二：一个中点与一个角平分线问题的类比
例2.已知线段ＡＢ＝20cm,在直线AB上有一点C,且BC=4ｃｍ，则线段AC＝_＿_____＿_. 类比迁移２:已知∠ＡOB=30°,∠ＢOC＝20°，则∠AOＣ=________＿_＿．
方法总结:__________________＿__＿__＿＿__＿_____＿________＿_＿_____＿_。
探究三:双中点和双角平分线问题的类比
例3:已知线段AB＝6ｃm,点C在直线AB上,BC=４cm,M，Ｎ分别为线段ＡB，ＢC的中点，则ＭN的长为______. 类比迁移3:已知∠ＡOＢ=5０°,,∠BＯC＝３０°, OM,ON 分别平分∠AOB和∠BOC,则∠MＯＣ的度数为__＿_＿.
方法总结：_＿______＿＿＿＿____＿__＿_＿_______＿＿＿____＿__＿_＿__＿_＿___＿__。
探究四:
例4.如图，B,C是线段AＤ上任意两点，M是AＢ的中点,N是CＤ的中点,若MN=a，BC=b,则AＤ的长是( ）ﻭA．2a-b B.a-b
Ｃ.a+b D.2（a-b)
类比迁移４:如图,OB、ＯC是∠A ＯD的任意两条射线,OM平分∠ＡＯB，ＯN平分∠ＣOＤ。
若
∠MON=α，∠BＯＣ＝β，则表示∠ＡOD的代数式是( ）
O A B N C
M
Ａ.2α－β B.α-β
C ．α+β Ｄ.２(α-β)
方法总结:___＿__＿__＿_＿__＿______＿____＿＿_＿_＿_________＿
_______＿___。
能力提升:
5.如图:(1) ∠AOB=90°,∠ＢOC=30°，OM 平分∠AOC,ON 平分∠B ＯＣ，
求∠ＭON 的度数.
(2如果(１）中∠AOB=α， 其他条件不变，求∠ＭOC 的度数，ﻫ(3)如果
（1)中∠B ＯC=β,其他条件不变,求∠M ＯC 的度数，ﻫ（4)从(１）（2）(３）的结果中你能得出什么规律?ﻫ （5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系,它们之间的解法可以互相借鉴，请你模仿（1）—(4），设计一道以
线段为背景的计算题,写出其中的规律来。
【环节五】本节课我的收获有哪些？
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【课外思考】
在你所学过的知识中，能否举出与今天课堂中两个知识点类似的例子？与同学间互相交流。
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