暨南大学《810高等代数》考研专业课真题试卷

12013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题）****************************************************************************************学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、 运筹学与控制论专业 研究方向：各方向考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810考试科目: 高等代数 共 4 页,第 1 页考试科目: 高等代数 共 4 页,第 2 页2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（副题） **************************************************************************************** 学科、专业名称：数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分一、填空题（将题目的正确答案填写在答题纸上。

共7小题，每小题3分，共21分.）： 1、多项式32()24f x x x x t =--+有重因式，那么t =_________________.2、行列式034100002000234的第三行元素的代数余子式31323334A A A A +++=_____. 3、如果三阶矩阵100100A λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么n A = ___________________. 4、已知两向量1(1,2,4)α=,2(2,1,7)α=,那么与12,αα线性无关的所有向量为_____________________.5、矩阵方程13322465X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 那么X =_______________________.6、设数域F 上的三维列向量空间V 上的线性变换ϕ在基123{,,}e e e 下的矩阵是112201121-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭那么ϕ在基321{,,}e e e 下的矩阵是__________________________. 7、已知A 是n 阶实对称矩阵，当实数s 充分大时，sI A +一定是正定矩阵，那么给出s 应满足的下界是_____________.二、 在每个题后给出的3个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母填写在答题纸上：（共7小题，每小题3分，共21分） 1、 下面论述中, 正确的有几条_______________ (1) 奇数次实系数多项式必有实根； (2) 代数基本定理适用于复数域；(3) 如果()|(),()|()f x g x f x h x ，那么()|(()())f x g x h x ±; (4) 如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x +-=. A 1 B 2 C 3 D 4 2、1320021300321001*********=____________ A 18 B 36 C -18 D -36 3、已知123452345123452345123452345123452345123451333332555553777774999995x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎪++++=⎨⎪++++=⎪++++=⎪⎩ ,那么此方程组__________ A 无解 B 有唯一解 C 有无穷多解 D 解的个数有限4、已知矩阵21012000A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 555033001B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,要使A 和B 相似，则t=_____A 0B 1C 3D 55、向量组1234,,,αααα的秩是3，向量组1235,,,αααα的秩是4，那么12354,,,34ααααα-的秩是_____A 2B 3C 4D 无法确定六、(15分七、（12分八、（12分2运筹学与控制论专业 研究方向：各方向考试科目名称：高等代数 考试科目代码：810考试科目: 高等代数 共 4 页,第 3 页 考试科目: 高等代数 共 4 页,第 4 页考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分 6、下列关于二次型的陈述正确的是___________ A 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型 B 若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零 C 若A 为负定矩阵，则必有||0A <D 实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零 7、下列矩阵在实数域上合同于单位阵的是__________________A 111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ B 101010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C 121271118⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D 21231323242⎛⎫⎪- ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭三、(15分) 求矩阵962181231896A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭的若当标准形. 四、（15分）求下列线性方程组的全部解,并写出对应齐次方程组的基础解系1245123412345123453221426348242479x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩五、(15分) 设二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++,求出非退化线性变换将上述二次型替换成标准型.。

暨南大学线性代数07-08内cankao暨南大学考试试卷答案及评分标准2021 - 2021 学年度第一学期教课程名称：<>(经管内招生用) 师考试方式开卷[ ] 闭卷[√] 填授课教师姓名：_________________ ___ 写考试时间: 2021年1月11日试卷类别(A、B) [ A ] 共9页课程类别必修[√] 选修[ ] 考生填写学院(校) 专业班(级) 姓名学号内招[√] 外招[ ] 题号得分一二三四五六七八九十总分得分 1. 若a15a42a3ja21ak4是五阶行列式aij的一项(除去符号),则有:( b ) (a) j=3,k=5,此项为正 (b) j=3,k=5,此项为负 (c) j=5,k=3,此项为正(d) j=5,k=3,此项为正 2.已知n阶矩阵A为可逆阵,B为n?m阵,则有:( b )(a) r(A)?r(AB) (b) r(B)?r(AB) (c) r(B?1评阅人一、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题目的括号内。

共10小题，每小题2分，共20分）)?r(AB) (d) r(A?1)?r(AB)3. 下列行列式（ a ）的值必为零．2(a) n阶行列式中，零元素个数多于n?n个；(b) n阶行列式中，零元素个数小于n2?n个； (c) n阶行列式中，零元素个数多于n个； (d) n阶行列式中，零元素的个数小于n个．4.以下向量组是线性无关的为（ c ） (a) 含零向量的向量组(b) 向量组中有两个成比例的向量. (c) 向量组的秩等于向量组中向量的个数.(d) 向量组的维数小于向量组的向量个数.5.如果n阶方阵A与n阶方阵B相似，则下列结论不正确的是（ a ） (a) A与B有相同的特征矩阵 (b) A与B有相同的特征方程 (c) A与B有相同的行列式(d) A与B有相同的特征值6.已知一5元齐次线性方程组之系数矩阵A的秩为3,则下列结论不正确的为:( a )(a) 此齐次线性方程组有2个基础解系. (b) 此齐次线性方程组有2个自由变量.(c) 此齐次线性方程组的通解中有2个任意常数. (d) 此齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数为2.7.不可对角化的矩阵为（ d ） (a)实对称矩阵 (b) 有n个不同特征值的n阶方阵(c) 有n个线性无关的特征向量的n阶方阵 (d) 不足n个线性无关的特征向量的n阶方阵.8.下列矩阵中不可逆矩阵为（ a ） (a) 奇异矩阵. (b) 满秩方阵(c) 行列式值不为零的方阵 (d) 可以表成初等矩阵之积的方阵.9.下列向量组是线性无关的为( b )(a)有非零解的齐次线性方程组的系数方阵. (b)正交向量组 (c)单位向量组(d)方阵A的特征值λ的特征向量组.10.下列( d )为正定二次型. (a) f(x1,x2,x3)?x1?x322(b) f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?x3 (c) xAx的三阶矩阵A的特征值为2,3,-1(d) f(x1,x2,x3)?3x1?6x1x3?x2?4x2x3?8x3 得分评阅人二、判断题（在题目的括号内填入对或错。

高等代数与解析几何试卷答案公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]暨 南 大 学 考 试 试 卷一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

共5小题，每小题4分，共20分）1． 下列关于欧式空间中内积的结论错误的是（ B ）。

A ．),(),(αββα=； B ．),(),(βαβα=k k ； C. ),(),(),(γβγαγβα+=+； D. 0),(≥αα。

2. 设1))(),((=x g x f ，则以下说法中错误的是（ B ）。

A ． 若)()()(x h x g x f ，则)()(x h x f ；B ． 对任意)(),(x v x u 都有1)()()()(=+x g x v x f x u ；C ． 如果)()(x h x f ，)()(x h x g ，则)()()(x h x g x f ；D ． )())()(),()((x h x h x g x h x f =，)(x h 为非零的首一多项式。

3. 曲线⎩⎨⎧=+=++y z x z y x 22222212对xOy 平面的射影柱面的方程为（ A ）。

A ． 01222=+--y y x ； B ． 02422=-++y z y ； C ． 12222=++z y x ； D ． y z x =+222。

4. 方程02410222=-++-y x y x 表示的曲线是（ B ）。

A ． 椭圆； B ． 双曲线； C ． 抛物线； D ． 无法确定。

5. （ C ）不是矩阵A 与B 相似的充分必要条件。

A ．A E -λ与B E -λ等价； B ．A 与B 有相同的不变因子；C ．A 与B 等价；D ．A 与B 有相同的初等因子。

二、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。

共5小题，每小题4分，共20分）1. 2-x 除23223+-+x x x 的余式为 12 。

暨南大学2005——2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（高等代数） 2005年1、 （20’）设m 是大于1的整数，12()...1m m f x xx --=+++，证明：()f x 整除()mf x c +的充要条件是c=-m2、 (20’)设n 阶行列式2cos 100012cos 100012cos 000002cos 102cos n D βββββ=1，（1） 当2k βπ=时，k 为整数，计算n D （2） 当k βπ≠时，k 为整数，证明sin(1)sin n n D ββ+=3、 (15’)下列线性方程组的系数行列式0D =，D 的某个元素ij a 的代数余子式0ij A ≠，11112212112222112200(1)0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩证明：这个方程组的解都可以写成12(,,,)i i in kA kA kA 的形式，k 为任意数.4、(20’)设A ，B 是两个n 级方阵，证明：AB 与BA 有相同的特征多项式5、(20’)将下列二次型化为标准形，并写出所用的满秩的线性替换.222123123121323(,,)235448f x x x x x x x x x x x x =+++--.6、(15’)设123(,,)L ααα表示向量1(1,0,2,0)α=,2(0,2,0,3)α=,3(2,6,4,9)α=生成的实向量空间4R 的子空间，把123(,,)L ααα的一个基底扩充成4R 的一个基.7、(20’)设σ是实向量空间3R 的线性变换，对任意向量(,,)x y z α=,()(,,)(2,23,3)x y z y z x z x y σασ==+-+--.求σ的特征根与特征向量.8、(20’)设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ的值域与σ的核重合，证明： （1）n 是偶数；（2）如何选取V 的基，才能使σ在这个基下的矩阵是若尔当（Jordon ）标准形，并写出这个标准形.2006年一、 选择题(每小题5分)1、用多项式2()31g x x x =-+除多项式42()2456f x x x x =+-+所得的余式()r x =（ ）2.4914.4914.14.491.a x b x c x d x e ----前面的答案均不对2、如果()g x 是一个非零多项式，且'(1)(1)0g g ==,'(2)(2)0g g ==,则()g x 一定有因子：（ ）22.7..16.(1)(2).a x b x c x d x x e ----前面的答案均不对3、如果行列式0112013aD x-=-的第一行第一列元素a 的代数余子式114A =，则x =（ ）..7.3.2.6.a b c d e 前面的答案均不对4、由行列式定义的x 的多项式212111()321111xx x f x xx-=的最高项系数是（ ）..7.2.8.6.a b c d e 前面的答案均不对5、如果齐次线性方程组1112131412122232423132333434142434440000a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦只有零解，则（ ）. 11121314121222324231323334341424344413.57a a a a x a aa a x a a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组无解； 11121314121222324231323334341424344410.90a a a a x a aa a xb a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有无穷解； 11121314121222324231323334341424344413.88a a a a x a a a a x c a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有唯一一组解；11121314121222324231323334341424344401.01a a a a x a a a a x d a a a a x a a a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性方程组有两组不同的解； .e 前面的答案均不对6、如果向量组{}123,,ααα是线性无关组，则（ ）也是线性无关组.{}{}{}1223311221122331.,,.,,.,,a b c αααααααααααααααα+++-++-{}122331.,,.d e αααααα---前面的答案均不对7、一个矩阵的对角线上方元素全为零，称为下三角矩阵，则（ ）. .a 任意两个同阶下三角方阵的乘积不再是下三角矩阵； .b 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定是对角矩阵； .c 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定不可逆； .d 任意两个同阶下三角方阵的乘积一定可逆； .e 前面的答案均不对. 8、设{}12,,,n ααα和{}12,,,n βββ均是实数域R 上的同一个向量空间V 的基，从基{}12,,,n ααα到{}12,,,n βββ的过渡矩阵为A ，即1122n n A βαβαβα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，向量空间V 中的向量γ关于基{}12,,,n βββ的坐标为12,,,n y y y （），即[]1212,,,n n y y y ββγβ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则向量γ关于基{}12,,,n ααα的坐标为（ ）1''12121212.,,,.,,,.,,,.,,,n n n n a y y y A b y y y A c y y y A d A y y y -（）（）（）（）.e 前面的答案均不对9、三元二次型222123111222333121213132323(,,)222f x x x a x a x a x a x x a x x a x x =+++++可能的规范型是：（ ）{}{}{}222222222222222222123123123123123123..,.,,a y y y b y y y y y y c y y y y y y y y y +++++-+++---{}222222222123123121.,,0.d y y y y y y y y y e +±±--±±±，，前面的答案均不对10、当（ ）时，二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+正定.44444.(,0).(,0)(0,1).(,0)(0,).(,0)(1,2)55555a tb tc td t ∈-∈-∈-∈-.e 前面的答案均不对11、( )是实数域上次数不超过3次的多项式作成的向量空间的一组基.{}{}{}{}333.1,,,.1,2,,.1,,(1),(1)(2).1,2,9,a x x x b x x x c x x x x x x d x x x -+----+-+.e 前面的答案均不对12、若尔当矩阵1000010000000001000n nA λλλλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦满足0nA =的充要条件是（ ）. .0.0.0.0.a b c d e λλλλ><≠=前面的答案均不对13、区间[]0,1上所有实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上一个向量空间，该空间是（ ）......a b c d e 无限维向量空间有限维向量空间分数维向量空间三维向量空间前面的答案均不对14、如果A 是n 阶实矩阵，()f E A λλ=-是A 的特征多项式，则（ ）..()0.()0.().1().a f A b f A c f A d f A e ≠=可逆是对特征值前面的答案均不对15、区间[]0,1上所有可微实函数全体按实数与函数的乘法和函数与函数的加法作成实数域上的一个向量空间，由2211sin ,cos ,sin ,cos ,sin ,cos 22x x x xx x e x e x xe x xe x x e x x e x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭生成的子空间关于微分变换D 是（ ）......a b c d e 其核空间其象空间不变子空间其核空间的正交补空间前面的答案均不对16、矩阵126103114A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的初等因子是（ ）. {}{}{}{}32323(1)..1,(1).1,(1).1,(1),(1).a b c d e λλλλλλλλ--------前面的答案均不对17、设12,(,,)n u u u u =，12,(,,)n v v v v =都是n 维(2)n ≥欧氏空间n R 中给定的非零行向量，E 是n 阶单位矩阵.令[]121,,,,1,2,,;0nn i i i i V x x x x R i n u x =⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∑，则矩阵'A E v u =-（ ）.'.1.1.v u a b c ⊥有特征值且其特征子空间为V 有特征值且其特征子空间为V 有特征值且其特征子空间为V'.v u .d e ⊥有特征值且其特征子空间为V 前面的答案均不对18、如果λ是实正交矩阵Q 的实特征值，则（ ）.1.1.{1,1}.cos sin .a b c d i e λλλλθθ==-∈-=+前面的答案均不对19实数域上两个有限维向量空间同构的充要条件是（ ）......a b c d e 它们有相同的维数它们有不同的维数它们有相同的基它们为相同的向量空间前面的答案均不对 20、如果{}12,,,n ααα是欧氏空间V 的一组标准正交基,则（ ）是1{}W k k V α=∈的正交补空间W ⊥的一组基。