【解】 ⇒x2＋x≤4－2x⇒x2＋3x－4≤0， ≤ － ⇒ － ≤ ， ⇒－4≤x≤1. ≤ ≤ 1x －x ∵y＝2 ＝( ) 为 R 上的减函数， ＝ 上的减函数， 2 －x ＝－2 上的增函数， ∴y＝－ 为 R 上的增函数， ＝－ －x x 上为增函数， ∴y＝2 －2 在[－4,1]上为增函数， ＝ － 上为增函数 15 3 －x x 的值域为[－ ∴函数 y＝2 －2 的值域为 －15 ， ]． ＝ ． 16 2
【解】 (1)法一：∵f(x)是定义域在 R 上 法一： 法一 是定义域在 的奇函数， 的奇函数， ＝－f(x)， ∴f(－x)＝－ ， － ＝－ a·2－x＋a－2 a·2x＋a－2 － － ∴ ＝－ ， －x x 2 ＋1 2 ＋1 ∴2(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1. － ＝ ， ＝
∴当x1＜x2时，2x1＜2x2， 上是增函数． ∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在R上是增函数． ＞ ， 在 上是增函数 (3)由f(1－m)＋f(1－m2)＜0， 由 － ＋ － ＜ ， ＜－f(1－ ＝ ， 得f(1－m)＜－ －m2)＝f(m2－1)， － ＜－ ∴1－m＜m2－1，即m2＋m－2＞0， － ＜ ， － ＞ ， 解得m＜－ ＜－2或 ＞ 解得 ＜－ 或m＞1. 的取值范围为(－ ∴m的取值范围为 －∞，－2)∪(1，＋∞)． 的取值范围为 ∪ ， ．
答案： ＝－ ＝－4 答案：x＝－
2－ 3 － 5．已知 a＝ ． ＝ ，函数 f(x)＝ax，若实数 ＝ 2 m，n 满足 f(m)<f(n)，则 m，n 的大小关系 ， ， ， 为________． ．
答案： 答案：m>n
考点探究• 考点探究•挑战高考
考点突破 指数的运算 进行指数运算时，要化负指数为正指数， 进行指数运算时，要化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数运算， 为分数指数幂，化小数为分数运算，同时还要注 意运算顺序问题． 意运算顺序问题．
原式＝ 【解】 (1)原式＝ (2x ) − (3 ) − 4x x + 4x x 原式
= 4x − 33 − 4x
1 2 1 2 1 − +1 2 1 2
1 4 2
3 2 2
−
1 2
−
1 2
−
1 2
+ 4x
1 1 − + 2 2
= 4x − 27 − 4x + 4 = −23
2 1 5 − 1 −3 −3 2 − a 6 b ÷ (4a 3 b ) (2)原式＝ 2 原式＝ 原式
课前热身
1 1 − 7 2 ( ) (1 ) 0 1．(教材习题改编 化简 4 ＋(－2.8) － 9 教材习题改编)化简 ． 教材习题改编 － －2 的结果为( ) ＋0.1 的结果为 803 A．100 B. ． 8 797 403 C. D. 8 4
3 2
答案：B 答案：
2. 右图是指数函数 右图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y ＝ ＝ ＝cx，(4)y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的 ＝ 的图像， ， ， ， 与 的 大小关系是( 大小关系是 ) A．a＜b＜1＜c＜d ． ＜ ＜ ＜ ＜ B．b＜a＜1＜d＜c ． ＜ ＜ ＜ ＜ C．1＜a＜b＜c＜d ． ＜ ＜ ＜ ＜ D．a＜b＜1＜d＜c ． ＜ ＜ ＜ ＜ 答案： 答案：B
1 ( ) 变式训练 2 求函数 y＝ 2 ＝ 值域并求其单调区间． 域、值域并求其单调区间．
− x2 −3 x +4
的定义
要使函数有意义， 则只需－ 解 ： 要使函数有意义 ， 则只需 － x2 － 3x 4≥0， ＋4≥0， 即 x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1， － ≤ ，解得－ ≤ ≤ ， 函数的定义域为{x|－ ≤ ≤ ． ∴函数的定义域为 －4≤x≤1}． ＝－x 令 t＝－ 2－3x＋4，则 ＝－ ＋ ， 3 2 25 2 t＝－ －3x＋4＝－ ＋ ) ＋ ， ＝－x ＝－(x＋ ＝－ ＋ ＝－ 2 4
3．(2011年江门调研 若函数 ＝(a2－3a＋ ． 年江门调研)若函数 年江门调研 若函数y＝ ＋ 3)·ax为指数函数，则有 为指数函数，则有( A．a＝1或2 ． ＝ 或 C．a＝2 ． ＝ 答案： 答案：C ) B．a＝1 ． ＝ D．a＞0且a≠1 ． ＞ ． ＝ 的解是 ． 16
1 3 − 5 − 1 −3 = − a 6 b ÷ (a 3 b 2 ) 4 3 5 −1 −2 = − a 2b 4
5 1 5 ab ＝－ · 2. 3＝－ 4 ab 4ab
25 1 64 − 2 1 ( )2 ( ) 3 3＋37 (3)原式＝= 9 ＋ 原式＝ 原式 ＋ 27 － ＋ 1 2 48 ( ) 10 5 9 37 ＝ ＋100＋ －3＋ ＝100. ＋ ＋ 3 16 48
失误点评】 【 失误点评 】
对于结果的形式， 对于结果的形式 ， 如果题目
是以根式的形式给出的， 是以根式的形式给出的 ， 则结果用根式的形 式表示， 如果题目是以分数指数幂的形式给 式表示 ， 出的， 则结果用分数指数幂的形式表示 ． 结 出的 ， 则结果用分数指数幂的形式表示． 果不要同时含有根号和分数指数幂， 果不要同时含有根号和分数指数幂 ， 也不要 既有分母又含有负指数幂． 既有分母又含有负指数幂．
2．指数函数的图像与性质 ． y＝ax ＝ 图像 定义域 值域 R ________ (0，＋∞) ，＋∞ ，＋ __________ a>1 0<a<1
(1)过定点 过定点(0,1) 过定点 (2)当x>0时， (2)当x>0时， 当 当 时 时 y>1 ； _______； 0<y<1当x<0时， 当 时 y>1 性 当x<0时，0<y<1 _______ 时 质 (3)在(－∞，＋ 在－ (3)在(－∞，＋∞) 在 － ，＋∞ ∞)上是 上是 上是________ 上是 增函数 ________ 减函数
§2.5 指数与指数函数
§ 2.5 指 数 与 指 数 函 数
双基研习• 双基研习•面对高考
考点探究•挑战高考 考点探究•
考向瞭望• 考向瞭望•把脉高考
双基研习• 双基研习•面对高考
基础梳理 1．实数指数幂 ．
n
am
1 a
m n
n
1 am
0
无 理 数 指 数 幂 运 算 性 质
0的负无理数次幂无意义 的负无理数次幂无意义 0的正无理数次幂为 的正无理数次幂为0 的正无理数次幂为
＋ am＋n am·an＝_______ (a>0，m， ， ， n∈R) ∈ (am)n＝amn(a>0，m，n∈R) ， ， ∈ a nb n n＝_______ (a>0，b>0， (ab) ， ， n∈R) ∈
思考感悟
分数指数幂与根式有何关系？ 分数指数幂与根式有何关系？
提示：分数指数幂是根式的另一种写法， 提示：分数指数幂是根式的另一种写法，二 者可以互化， 者可以互化，通常利用分数指数幂进行根式 的运算． 的运算．
(2011 年淮北联考 设函数 f(x)＝ 年淮北联考)设函数 ＝ a·2x＋a－2 － 为奇函数． 为奇函数．求： x 2 ＋1 (1)实数 的值； (1)实数 a 的值； (2)用定义法判断 f(x)在其定义域上的单调 用定义法判断 用定义法判 在其定义域上的单调 性； (3)求满足： －m)＋f(1－m2)＜0 的实数 M 求满足： 求满足 f(1－ ＋ － ＜ 的取值范围． 的取值范围．
例2
－
1 x－ 2 已知 2x ＋x≤( ) ，求函数 y＝2x ≤ ＝ 4
2
－ 的值域． －2 x 的值域．
思路点拨】 【思路点拨】
由y＝2x的单调性可得到关 ＝
的一元二次不等式求得x的范围 于 x的一元二次不等式求得 的范围 ， 进而 的一元二次不等式求得 的范围， 可求得函数y＝ 的值域． 可求得函数 ＝2x－2－x的值域．
－2
−
1 2
2 3
1 −3 2
10 − 2 7 0.5 －2 (2 ) 3 3π0 37. (3)(2 ) ＋0.1 ＋ 27 － ＋ 9 48
【思路点拨】 题目中给出的是分数指数幂， 思路点拨】 题目中给出的是分数指数幂， 先看其是否符合运算法则的条件， 先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法 则进行下去，如不符合再创设条件去求． 则进行下去，如不符合再创设条件去求．
例1 化简下列各式 其中各字母均为正数 ． 化简下列各式(其中各字母均为正数 其中各字母均为正数)．
(1) (2 x + 3 )(2 x − 3 ) − 4 x ( x − x ) ；
5 (2) 6 a
1 3
1 4
3 2
1 4
3 2
−
1 2
1 2
·b ·(－ 3a b－1)÷ (4a .b ) ；
例3
＝－f(x)恒成立可得 恒成立可得a 【思路点拨】 由f(－x)＝－ 思路点拨】 － ＝－ 恒成立可得 的值； 的值；第(2)问按定义法判断单调性的步骤进 问按定义法判断单调性的步骤进 行求解即可；第(3)问利用单调性脱掉 可求 行求解即可； 问利用单调性脱掉“f”可求 问利用单调性脱掉 的取值范围． 得M的取值范围． 的取值范围
2
x2 + x
1 x2 + x － ≤ ( )x −2 ⇒2 ＋x≤24 2x， ≤ 4
【规律小结】 规律小结】
指数函数y＝ 指数函数 ＝ax(a＞1)为单调 ＞ 为单调
增函数，在闭区间[s， 上存在最大 最小值， 上存在最大、 增函数，在闭区间 ，t]上存在最大、最小值， 当x＝s时，函数有最小值as；当x＝t时，函 ＝ 时 函数有最小值 ＝时 数有最大值at.指数函数 ＝ax(0＜a＜1)为单 指数函数y＝ 数有最大值 指数函数 ＜ ＜ 为单 调减函数，在闭区间 ， 上存在最大 上存在最大、 调减函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小 值，当x＝s时，函数有最大值 s；当x＝t时， ＝ 时 函数有最大值a ＝时 函数有最小值a 函数有最小值 t.
