2014北京八中初二(下)期中数学

人教版八年级第二学期下册期中模拟数学试卷(含答案)一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠C大小为（）A．40°B．80°C．140°D．180°2．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．53．（3分）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（）A．B．C．D．4．（3分）已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝﹣x+1图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．不能确定5．（3分）函数y＝x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线平分对角7．（3分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞28．（3分）在下列命题中，是真命题的是（）A．两条对角线相等的四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（）A．13B．14C．15D．1610．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）将正比例函数y＝﹣2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是．12．（3分）若方程组的解是，则直线y＝﹣2x+b与直线y＝x﹣a的交点坐标是．13．（3分）如图，∠B＝∠ACD＝90°，BC＝3，AB＝4，CD＝12，则AD＝．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD垂直于AB，垂足为点D，则DC＝，AD＝．15．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为．16．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB＝3cm，ED ＝1cm，则平行四边形ABCD的周长是．17．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将纸片折叠使直角边落在斜边AB上且与AE重合，折痕为AD．则CD＝．18．（3分）四边形ABCD中，已知∠A＝∠B＝∠C＝90°，再添加一个条件，使得四边形ABCD为正方形，可添加的条件是．19．（3分）如图，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，且距A点18海里，某船以每小时36海里的速度从点A向正东方向航行，航行半小时后到达B点，此时测得岛C 在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．B点与C岛的距离是B点暗礁区域（填内或外）20．（3分）弹簧挂上物体后会伸长，测得﹣弹簧的长度y（cm）与所挂重物的质量x（㎏）有下面的关系：那么弹簧总长y（cm）与所挂重物x（㎏）之间的函数关系式为．三、解答题（共8小题，满分40分）21．（5分）已知，一次函数y＝kx+3的图象经过点A（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）分别求出图象与x轴，与y轴交点坐标．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．23．（5分）如图，在△MBN中，已知BM＝6，BN＝7，MN＝10，点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点，（1）求证：四边形ABCD是平行四边形（2）四边形ABCD的周长为（直接写出答案）．24．（5分）已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于F．求证：BF＝EC．25．（5分）已知，如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°．（1）利用直尺和圆规按要求完成作图（保留作图痕迹）；①作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连接BM，在BM的延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD、CD．（2）试判断（1）中四边形ABCD的形状，并说明理由．26．（5分）在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间为一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求出蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式并写出自变量取值范围；（2）求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．27．（5分）（1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：命题：两条平行线中，一条上的两点与另一条上任一点所构成的三角形面积相等．如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC＝S△BCD．证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于F．DE⊥BC于E，由AD∥BC，可得AF＝DE，又因为S△ABC＝×BC×AF，S△BCD＝．所以S△ABC＝S△BCD所以此命题为真（2）应用拓展：如图2，将大小不同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是cm2．请直接写出答案并用（1）中的命题结论说明理由28．（5分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F 在DE延长线上，且AF＝AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．附加题（5分）（答对计入总分100分封顶，答错或不答不扣分）29．以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），EB和FD的数量关系是；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．2016-2017学年北京四十一中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝40°．故选：A．2．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝八年级下册数学期中考试题【含答案】一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列各式没有意义的是（）A．B．﹣C．D．2．（3分）矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（）A．邻边相等B．四个角都是直角C．对角线相等D．对角线互相平分3．（3分）下列计算正确的是（）A．+＝B．＝1C．÷＝D．×＝6 4．（3分）如图，若DE是△ABC的中位线，△ADE的周长为1，则△ABC的周长为（）A．1B．2C．3D．45．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°6．（3分）已知直角三角形的一个锐角为60度，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（）A．2.5B．3C．+2D．+37．（3分）若3，m，5为三角形三边，化简：﹣得（）A．﹣10B．﹣2m+6C．﹣2m﹣6D．2m﹣108．（3分）如图，E为▱ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝65°，则∠A的度数为（）A．65°B．100°C．115°D．135°9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为（）A．30B．24C．20D．4810．（3分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（）A．1B．2C．2D．4二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）计算：＝．12．（4分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝140°，那么∠D＝．13．（4分）当x＝时，有最小值．14．（4分）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB＝．15．（4分）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式+|c﹣a|＝0，则△ABC的形状．16．（4分）如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是．三、解答题17．（6分）计算：（2﹣3）218．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝﹣1．19．（6分）已知，如图四边形ABCD是平行四边形．（1）作∠ABC的平分线BE交AD于E点（用尺规作图，不要写作法，保留作图痕迹）（2）求证：AE＝CD．20．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝30°，AD⊥AB，垂足为A，CD＝1cm，求AB的长．21．（7分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：∠BAE ＝∠DCF．22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．23．（9分）已知x+1＝，求下列问题：（1）证明：x2+2x＝1；（2）利用（1）的结论，化简x4+2x3+2x﹣1．24．（9分）已知：如图，四边形ABCD中AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：（1）∠BAD的度数．（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）25．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．2017-2018学年广东省汕头市潮南区两英镇八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列各式没有意义的是（）A．B．﹣C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数进行判断即可．【解答】解：有意义，A错误；﹣有意义，B错误；无意义，C正确；＝有意义，D错误，故选：C．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．2．（3分）矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（）A．邻边相等B．四个角都是直角C．对角线相等D．对角线互相平分【分析】首先弄清楚矩形、菱形、正方形各自的性质，然后从备选答案中一个一个的判断，属于这三个图形的公共特征的就是正确的．【解答】解：A、矩形的邻边不相等，错故选项误，B、菱形的四个角不是直角，故选项错误，C、菱形的对角线不相等，故选项错误，D、三个图形中，对角线都互相平分，故选项正确．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质，主要从边、角、对角线三个方面考查的，正方形是平行四边形的最典型的图形．3．（3分）下列计算正确的是（）A．+＝B．＝1C．÷＝D．×＝6【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（A）原式＝+，故A错误；（B）原式＝﹣，故B错误；（D）原式＝，故D错误，故选：C．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．4．（3分）如图，若DE是△ABC的中位线，△ADE的周长为1，则△ABC的周长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE的周长为1，∴△ABC的周长为2，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．5．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，点D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出CD＝BD，进而得到∠B＝∠DCB＝55°，再根据∠ACB＝90°，即可得出∠ACD的度数．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∴∠B＝∠DCB＝55°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣55°＝35°，故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．6．（3分）已知直角三角形的一个锐角为60度，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（）A．2.5B．3C．+2D．+3【分析】根据直角三角形的性质：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半求得30°所对的直角边，然后利用勾股定理求得另一条直角边，即可解答．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝2，故BC＝AB＝×2＝1，AC＝＝＝，故此三角形的周长是+3．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，熟悉直角三角形的性质：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理是关键．7．（3分）若3，m，5为三角形三边，化简：﹣得（）A．﹣10B．﹣2m+6C．﹣2m﹣6D．2m﹣10【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由三角形三边关系可知：2＜m＜8∴2﹣m＜0，m﹣8＜0∴原式＝﹣（2﹣m）+（m﹣8）＝﹣2+m+m﹣8＝2m﹣10故选：D．【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键还是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．8．（3分）如图，E为▱ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E＝65°，则∠A的度数为（）A．65°B．100°C．115°D．135°【分析】根据EB⊥BC，ED⊥CD，可得∠EBC＝90°，∠EDC＝90°，然后根据四边形的内角和为360°，∠E＝65°，求得∠C的度数，然后根据平行四边形的性质得出∠A ＝∠C，继而求得∠A的度数．【解答】解：∵EB⊥BC，ED⊥CD，∴∠EBC＝90°，∠EDC＝90°，∵在四边形EBCD中，∠E＝65°，∴∠C＝360°﹣∠E﹣∠EBC﹣∠EDC＝115°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C＝115°．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质及多边形的内角和，用到的知识点为：①四边形的内角和为360°，②平行四边形的对角相等．9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为（）A．30B．24C．20D．48【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，如图所示，由D为BC的中点，得到CD ＝BD，再由一对对顶角相等，利用SAS得出△ADB与△EDC全等，由全等三角形的对应边相等得到AB＝CE，由AE＝2AD，AB的长，利用勾股定理的逆定理得到△ACE为直角三角形，即AE垂直于CE，利用垂直定义得到一对直角相等，△ABC的面积等于△ACE 的面积，利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，∵D为BC的中点，∴DC＝BD，在△ADB与△EDC中，∵，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE＝AB＝6．又∵AE＝2AD＝8，AB＝CE＝6，AC＝10，∴AC2＝AE2+CE2，∴∠E＝90°，则S△ABC ＝S△ACE＝CE•AE＝×6×8＝24．故选：B．【点评】本考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的解本题的关键．10．（3分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（）A．1B．2C．2D．4【分析】根据菱形AECF，得∠FCO＝∠ECO，再利用∠ECO＝∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．【解答】解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3﹣x，解得：x＝1，∴CE＝2，利用勾股定理得出：BC2+BE2＝EC2，BC＝＝＝，又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，则菱形的面积是：AE•BC＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）计算：＝4﹣π．【分析】首先判断π﹣4的符号，然后根据绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵π＜4，∴π﹣4＜0，∴原式＝4﹣π．故答案是：4﹣π．【点评】本题考查了绝对值的性质，正确理解当a＞0时|a|＝a；当a＝0时|a|＝0；当a ＜0时|a|＝﹣a，是关键．12．（4分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝140°，那么∠D＝110°．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝140°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝140°，∴∠A＝∠C＝70°，∴∠D＝180°﹣∠A＝110°．故答案为：110°．【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用是解此题的关键．13．（4分）当x＝时，有最小值．【分析】直接利用二次根式的定义结合（a≥0），进而得出x的值，求出答案．【解答】解：当2x﹣5＝0时，则x＝，则x＝时，有最小值．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．14．（4分）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB＝22.5°．【分析】根据正方形的性质可得出∠CAB＝45°，根据菱形的性质可得出AF平分∠CAB，从而得出∠FAB的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，∴∠DAC＝∠CAB＝45°．∵四边形AEFC为菱形，AF为对角线，∴AF平分∠CAB，∴∠FAB＝∠CAB＝22.5°．故答案为：22.5°．【点评】本题考查了正方形的性质以及菱形的性质，解题的关键是根据菱形的性质找出AF平分∠CAB．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记各特殊图形的性质是关键．15．（4分）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式+|c﹣a|＝0，则△ABC的形状等腰直角三角形．【分析】根据非负数的性质可得c﹣a＝0，c2+a2﹣b2＝0，再解可得a＝c，c2+a2＝b2，根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状是等腰直角三角形．【解答】解：∵+|c﹣a|＝0，∴c﹣a＝0，c2+a2﹣b2＝0，解得：a＝c，c2+a2＝b2，∴△ABC的形状是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．16．（4分）如图，▱ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝3，则AB的长是．【分析】根据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB＝DE＝CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝30°，∵EF＝3，∴CE＝＝2，∴AB＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强．三、解答题17．（6分）计算：（2﹣3）2【分析】利用完全平方公式计算．【解答】解：原式＝12﹣12+18＝30﹣12．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（6分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝﹣1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19．（6分）已知，如图四边形ABCD是平行四边形．（1）作∠ABC的平分线BE交AD于E点（用尺规作图，不要写作法，保留作图痕迹）（2）求证：AE＝CD．【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AB，BC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在△ABC内交于一点O，作射线BO，交AD于点E即可；（2）利用角平分线的性质以及平行线的性质求出∠ABE＝∠AEB即可得出答案．【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴AE＝CD．【点评】本题考查了三角形的角平分线的画法以及角平分线的性质以及平行线的性质等知识，利用角平分线的性质得出解题关键．20．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝30°，AD⊥AB，垂足为A，CD＝1cm，求AB的长．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，易求得∠BAC＝120°，故∠DAC ＝∠C＝30°，由此可证得△ADC是等腰三角形，即可求出AD的长，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AB的长．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝30°，∴∠C＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∠DAC＝120°﹣90°＝30°；即∠DAC＝∠C，∴CD＝AD＝1cm．在Rt△ABD中，AB＝＝．【点评】此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的应用；求得∠DAC＝30°是正确解答本题的关键．21．（7分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：∠BAE ＝∠DCF．【分析】先由平行四边形的性质得出AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，再加上已知BE＝DF 可推出△ABE≌△DCF，得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠BAE＝∠DCF．【点评】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定和性质，关键是证明BE和DF所在的三角形全等．22．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD．∵四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，BE＝AD，∴BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形．∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴▱BECD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．23．（9分）已知x+1＝，求下列问题：（1）证明：x2+2x＝1；（2）利用（1）的结论，化简x4+2x3+2x﹣1．【分析】（1）将式子x+1＝，两边平方，然后整理化简即可证明结论成立；（2）根据（1）中的结果，将所求式子变形即可解答本题．【解答】（1）证明：∵x+1＝，∴（x+1）2＝2，∴x2+2x+1＝2，∴x2+2x＝1；（2）∵x2+2x＝1，∴x4+2x3+2x﹣1＝x2（x2+2x）+2x﹣1＝x2+2x﹣1＝1﹣1＝0．【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．24．（9分）已知：如图，四边形ABCD中AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：（1）∠BAD的度数．（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）【分析】（1）连接AC ，由勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状，进而可求出∠BAD 的度数；（2）由（1）可知△ABC 和△ADC 是Rt △，再根据S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC 即可得出结论．【解答】解：（1）连接AC ，∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°∴AC ＝又∵AD ＝1，DC ＝∴（）＝12+（）2即CD 2＝AD 2+AC 2∴∠DAC ＝90°∵AB ＝BC ＝1∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°∴∠BAD ＝135°；（2）由（1）可知△ABC 和△ADC 是Rt △，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC＝1×1×+1××＝+．【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．（9分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；（2）由（1）可得AF＝BD，结合条件可求得AF＝DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD＝CD，可证得四边形ADCF为菱形；（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．∵AD为BC边上的中线∴DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）连接DF，∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，＝AC▪DF＝×4×5＝10．∴S菱形ADCF【点评】本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF＝CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．八年级（下）期中考试数学试题(含答案)一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.下列根式不是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.正方形的面积是4，则它的对角线长是（）A. 2B.C.D. 43.能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）A. ，B. ，C. ，D. ，4.下列计算正确的是（）A. B.C. D.5.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（）A. B. C. D.6.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（）A. 对角相等B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对边相等7.若=a，=b，则=（）A. B. C. D.8.已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（）A. B. C. D.9.直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A. 34B. 26C.D.10.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A. 7B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.若有意义，则x的取值范围是______．12.如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是______．13.如图，▱ABCD中，AB的长为8，DAB的角平分线交CD于E，若DE：EC=3：1，则BC的长为______ ．14.计算：= ______ ．15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为______．16.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=4cm，AOB=60°，则AC= ______ cm．17.如图，菱形ABCD的边长是4cm，E是AB的中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______cm2．18.观察下列各式：=2，=3，=4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19.计算：（1）（-4）-（3-2）（2）．20.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？四、解答题（本大题共4小题，共36.0分）21.请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．22.如图，▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF=CE，求证：AE=CF．23.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BOC=120°，AC=6，求：（1）AB的长；（2）矩形ABCD的面积．24.如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE=______cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE=______cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）答案和解析1.【答案】D【解析】解：=．故选D根据最简二次根式的判断标准即可得到正确的选项．此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】解：设正方形的对角线为x，∵正方形的面积是4，∴边长的平方为4，∴由勾股定理得，x==2．故选C．设正方形的对角线为x，然后根据勾股定理列式计算即可得解．本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟记定理和性质是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：A、AB∥CD，AD=BC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；B、AB=CD，AD=BC判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项正确；C、A=B，C=D不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；D、AB=AD，CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项错误；故选：B．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得答案．此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．4.【答案】C【解析】解：A、2+4不是同类项不能合并，故A选项错误；B、=2，故B选项错误；C、÷=3，故C选项正确；D、=3，故D选项错误．故选：C．A、根据合并二次根式的法则即可判定；B、根据二次根式的乘法法则即可判定；C、根据二次根式的除法法则即可判定；D、根据二次根式的性质即可判定．此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便．5.【答案】C【解析】解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．∵（）2+（）2=（）2．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是等腰直角三角形．∴ ABC=45°．故选：C．根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，。

北京师大附中2013－2014学年下学期初中八年级期中考试数学试卷 有答案试卷说明：本试卷满分120分，考试时间为120分钟。

一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是 （ ）2. 一次函数图象2(2)4y k x k =-+-经过原点，则k 的值为（ ）A. 2B. 2或2C. －2D. 33. 已知一组数据－1，0，4，x ，6，15，且这组数据的中位数为5，那么数据的众数为（ ）A. 5B. 6C. 4D. 5.54. 某商店选用28元/kg 的甲种糖3kg ，20元/kg 的乙种糖2kg ，12元/kg 的丙种糖5kg ，混合成杂拌糖出售，则售价是（ ）A. 18.4元B. 18元C. 19.6元D. 20元5. 如图所示，函数1||y x =和21433y x =+的图象相交于（－1，1），（2，2）两点，当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A. 1x <-B. 12x -<<C. 2x >D. 1x <-或2x >6. 下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，那么这个四边形ABCD 是平行四边形； ④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，其中正确命题的个数是A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个7. 一次函数(2)y kx k =--与x y k=在同一坐标系内的图象可以为（ ）A. B. C. D.8. 四个容器截面形状如下，以均匀的流量分别注水到这四个容器，在注水过程中，容器水位高度h与时间t变化规律如图所示，这个容器的形状是图中的（）9. 把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，剪开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（）A. (10cmB. (10cm+C. 22cmD. 18cm10. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）A. 3B. 4C. 2D. 15 4二、填空题（每小题4分，共44分）11. 函数y=中，自变量x的取值范围为_________。

2014-2015学年度第二学期期中练习题年级：初二 科目：数学 班级_______ 姓名________一. 选择题（每题3分， 共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． 等腰直角三角形B ．平行四边形C ． 圆D ．等边三角形2．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根3． △ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若△DEF 的周长为6，则△ABC 周长为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 4．下列三角形中不是．．直角三角形的是（ ） A. 三个内角之比为5∶6∶1 B. 其中一边上的中线等于这一边的一半 C. 三边之长为9、40、41 D. 三边之比为1.5∶2∶3 5．若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是（ ） A.12和2 B ．3和4 C ．14和16 D ．4和8 6．如图所示：数轴上点A所表示的数为a ，则a 的值是（ ）1B.C.D. 27．如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，点E 是AB 边的中点，图中与△ADE 面积相等的三角形（不包括．．．△．ADE ．．．）共有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 68．如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形AB′C′D ′，则它们的公共部分的面积等于（ ）OABCDE第7题图ADCBD'C'B'第8题图第6题图A.3 B.33 C. 233 D. 23 9．△ABC 中，AB =15，AC =20，BC 边上的高AD =12，则BC 的长为（ ） A.25 B.7 C.25或7 D.14或4 10．如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，将ABCD 绕点B 顺时针旋转90°到GBEF 位置，H 是EG 的中点，若AB =6， BC =8，则线段CH 的长为（ ） A. 52 B. 21 C. 102 D. 41二. 填空题（每题2分，共20分）11．将代数式242+-x x 配方的结果是 12．方程04542=-+y y 的根为13．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的为 （填序号）①AB =CD ，AD =BC ②AD =BC ，AD ∥BC ③AB =CD ，∠B =∠D ④AB ∥CD ，∠A =∠C 14．如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为60°，则两纸条重叠部分的面积是 15．如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是16中，∠DAB 的角平分线交CD 于E ，若DE :EC =3:1，AB 的长为8，则BC 的长为 17．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为 18．已知关于x 的方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有实数根，则k 满足第10题图DBA CF EGH第15题图第14题图第16题图EC'ABCD19 ABCD 中,︒=∠90C ，沿着直线BD 折叠，使点C 落在C′处，BC′交AD 于E ，AD =16,AB =8，则DE 的长20．如图，点O （0,0），B （0,1）是正方形C OBB 1的两个顶点，以它的对角线1OB 为一边作正方形121C B OB ，以正方形121C B OB 的对角线2OB 为一边作正方形232C B OB ，再以正方形232C B OB 的对角线3OB 为一边作正方形343C B OB ， …， 依次进行下去， 则点6B 的坐标是三. 解答题（共22分）21．（10分）解下列一元二次方程：（1）2(1)2x -= （2）07422=--x x22．（6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF .求证：四边形BFDE 是平行四边形．23．（6分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点E ，∠BAC =90°，∠CED =45°,∠DCE =30°，DE =2,BE =22.求CD 、AC 的长．第17题图a bc第19题图第20题图BCDAEFDAMPNFC ADBE四．作图题（4分）24．根据题意作出图形，并回答相关问题：请在网格中．．．．设计一个图案（图中每个小三角形都是边长为 1的 等边三角形），要求所设计的图案既是轴对称图形，又是中心对称图 形，并且图案的顶点在格点上，面积等于33 案用铅笔涂黑．五．解答题（共24分）25．（6分）义卖活动中某班以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品售价为x 元，则可卖出（350-10x ）件．此班计划盈利400元，因为将商品卖给本校师生，所以限定每件商品利润不得超过20%，问每件商品售价多少元？26．（6分）设E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上滑动保持且∠EAF =45°．若AB =5，求△ECF 的周长．27．（6分）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数．28．（6分）在 ABCD 中，∠A =∠DBC , 过点D 作DE =DF , 且∠EDF =∠ABD , 连接EF 、 EC , M 、N 、P 分别为EF 、EC 、BC 的中点，连接NP ．请你发现∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，并证明．2014-2015学年度第二学期期中练习题答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CB C D C A C B C D二、填空题11、2)2(2--x 12、 -9，5 13、 ③ 14、33215、（0，1） 16、6 17、 14 18、421-≥k 19、10 20、 （-8，0） 三、解答题21、（1）21±=x （2）2232±=x 22、连接BD23、CD=2，33+=AC四、作图题 24、五、解答题： 25、25 26、1027、解： 关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与054422=-+-m mx x 有解，则0≠m ，0≥∆∴0442=+-x mx ，∴01616≥-=∆m ，即1≤m ；054422=-+-m mx x ，020********≥++-=∆m m m ，45,054-≥≥+∴m m ；145≤≤-∴m ，而m 是整数，所以m =1，m =0（舍去），m =﹣1（一个为0442=-+x x ，另一个为0342=++x x ，冲突，故舍去），当m =1时，0442=+-x mx 即0442=+-x x ，方程的解是221==x x ；054422=-+-m mx x 即054=--x x ，方程的解是1,521-==x x ；当m =0时，0442=+-x mx 时，方程是044=+-x 不是一元二次方程，故舍去． 故m =1．28、解:∠ABD +∠MNP =180︒证明：如图, 分别连接BE 、CF .∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ，AB ∥DC ，∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC . ∵ ∠A =∠DBC ， ∴ ∠DBC =∠DCB . ∴ DB =DC . ① ∵∠EDF =∠ABD ,∴∠EDF =∠BDC .∴∠BDC -∠EDC =∠EDF -∠EDC .即∠BDE =∠CDF . ②又 DE =DF ， ③由①②③得△BDE ≌△CDF . ∴ EB =FC , ∠1=∠2.∵ N 、P 分别为EC 、BC 的中点，∴NP ∥EB , NP =EB 21.同理可得 MN ∥FC ，MN =FC 21.∴ NP = NM .∵ NP ∥EB , ∴∠NPC =∠4.∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4. ∵MN ∥FC ，∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1.∴ ∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4=∠DBC +∠DCB =180︒-∠BDC =180︒-∠ABD .∴ ∠ABD +∠MNP =180︒.M1 32 4 P N AEFCDB。

2014-2015学年北京八中怡海分校八年级（下）期中数学试卷一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．已知x=2是一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个解，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．2或﹣42．将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x+4）2=﹣3 D．（x+2）2=﹣5 3．直角三角形两边长分别是3、4，第三边是（）A．5 B．C．5或D．无法确定4．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AC⊥BD5．下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5 B．a=5，b=12，c=13C．a=1，b=3，c=D．a=，b=，c=6．若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 7．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，对角线交于点O，连结AO，如果AB=4，AO=4，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4D．8二、细心填一填（每空2分，共24分）9．方程x2=2x的解是．10．如图，等边△BCP在正方形ABCD内，则∠APD=度．11．矩形的两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长为12，则对角线长为．12．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有一个实数根为x=3，则方程的另一个根为；m的值为．13．菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的周长为cm，面积为cm2．14．如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP=．15．如图，已知正方形ABCD的边长为，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，且AE=DF=CG=BH，则四边形EFGH的形状为，它的面积的最小值为．16．如图，AD∥BC，AB⊥BC，动点E从点A开始沿AD运动，动点F从点B开始沿BC 运动，AM=10cm，BN=8cm（1）若动点E的速度为2cm/s，动点F的速度为1cm/s时，当运动时间为秒时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；（2）若AB=4cm，当点E、F的运动速度比=时，在某一时刻，四边形EMFN 为菱形．三、作图题（3分）17．现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形．（标上相应的序号）四、耐心算一算（每小题4分，共16分）18．用配方法解方程：2x2+2x﹣1=0．19．用适当的方法解关于x的一元二次方程：（1）x（3x+4）=2（公式法）（2）（2x+1）2﹣3（2x+1）+2=0（3）mx2﹣（4m﹣1）x+3m﹣1=0（m≠0）五、解答与证明（共33分）20．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．21．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．22．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知AB=8cm，BC=10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC．23．已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．24．如图，已知在△ABC中，DE∥BC交AC于点E，交AB于点D，DE=BC求证：D、E分别是AB、AC的中点．25．如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG．（1）求证：BE=DG，BE⊥DG；（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：△MPN是等腰直角三角形；（3）若AB=4，EF=2，∠DAE=45°，直接写出MN=．26．如图，在正方形ABCD外侧作直线DQ，点C关于直线DQ的对称点为P，连接DP、AP，AP交直线DQ于点F，交BD于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠QDC=25°，求∠DPA的度数；（3）探究线段AE、EF、FP的等量关系并加以证明．六、附加题：思维拓展（本题6分，计入总分）27．已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．2014-2015学年北京八中怡海分校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．已知x=2是一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个解，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．2或﹣4【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个解，∴22+2m﹣8=0，∴m=2．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2．将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x+4）2=﹣3 D．（x+2）2=﹣5 【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程常数项移到右边，两边加上2变形即可得到结果．【解答】解：将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（x+2）2=2．故选B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．直角三角形两边长分别是3、4，第三边是（）A．5 B．C．5或D．无法确定【考点】勾股定理．【分析】此题要考虑两种情况：当第三边是斜边时；当第三边是直角边时．【解答】解：当第三边是斜边时，则第三边==5；当第三边是直角边时，则第三边==．故选C．【点评】熟练运用勾股定理，注意此题的两种情况．4．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AC⊥BD【考点】矩形的判定．【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．【解答】解：需要添加的条件是AC=BD；理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．5．下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5 B．a=5，b=12，c=13C．a=1，b=3，c=D．a=，b=，c=【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．【解答】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、12+32=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣2≠0且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，解得m＜3且m≠2．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．7．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关【考点】三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．故选C．【点评】主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，对角线交于点O，连结AO，如果AB=4，AO=4，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4D．8【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】在AC上截取CG=AB=4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=4，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．【解答】解：在AC上截取CG=AB=4，连接OG，∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，∴B、A、O、C四点共圆，∴∠ABO=∠ACO，在△BAO和△CGO中，∴△BAO≌△CGO（SAS），∴OA=OG=4，∠AOB=∠COG，∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，即△AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG==8，即AC=AG+CG=8+4=12．故选A．【点评】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．二、细心填一填（每空2分，共24分）9．方程x2=2x的解是x1=0，x2=2．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到x2﹣2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x﹣2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=2．【解答】解：∵x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．10．如图，等边△BCP在正方形ABCD内，则∠APD=150度．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出AB=BP=CP=CD，∠ABP=∠DCP=30°，由三角形内角和定理求出∠BAP=∠BPA=∠CDP=∠CPD=75°，再求出∠PAD=∠PDA=15°，然后由三角形内角和定理求出∠APD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∵△BCP是等边三角形，∴BP=CP=BC，∠PBC=∠BCP=∠BPC=60°，∴AB=BP=CP=CD，∠ABP=∠DCP=90°﹣60°=30°，∴∠BAP=∠BPA=∠CDP=∠CPD=（180°﹣30°）=75°，∴∠PAD=∠PDA=90°﹣75°=15°，∴∠APD=180°﹣15°﹣15°=150°；故答案为：150．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．11．矩形的两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长为12，则对角线长为24．【考点】矩形的性质．【分析】由矩形的性质得出OA=OB，证明△AOB是等边三角形，得出OA=OB=AB=12，即可得出对角线的长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC ，OB=BD ，AC=BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴OA=OB=AB=12， ∴AC=BD=24． 故答案为：24．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．12．若关于x 的方程x 2﹣2x ﹣m=0有一个实数根为x=3，则方程的另一个根为 ﹣1 ；m 的值为 3 ．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】根据两根之和为﹣，两根之积为，求解即可．【解答】解：设方程的另一个根为a ，则a+3=2，3a=﹣m ， 解得：a=﹣1，m=3． 故答案为：﹣1，3．【点评】本题考查了根与系数的关系，解答本题的关键是掌握两根之和为﹣，两根之积为．13．菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若AC=6cm ，BD=8cm ，则菱形ABCD 的周长为 20 cm ，面积为 24 cm 2．【考点】菱形的性质．【分析】由菱形对角线互相垂直平分，可得AC⊥BD，BO=4cm，AO=3cm，然后由勾股定理求得边长，进而可求出其周长；再由菱形的面积=对角线乘积的一半则可求出其面积．【解答】解：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=OD=BD=×8=4（cm），AO=OC=AC=×6=3（cm），∴AB=5（cm），∴菱形的周长为20cm；∴菱形的面积=×8×6=24cm2，故答案为：20，24．【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分以及数据菱形的面积公式：对角线乘积的一半．14．如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP=．【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先根据网格计算出AC2=12+32=10，AB2=22+62=40，CB2=12+72=50，进而可得∠CAB=90°，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【解答】解：AC2=12+32=10，AB2=22+62=40，CB2=12+72=50，∵10+40=50，∴AC2+AB2=CB2，∴∠CAB=90°，∵点P为BC的中点，∴AP=BC=×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．如图，已知正方形ABCD的边长为，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，且AE=DF=CG=BH，则四边形EFGH的形状为正方形，它的面积的最小值为．【考点】正方形的判定与性质；二次函数的最值．【分析】先证明△AEH≌△DFE≌△CGF≌△BHG，从而得到HE=EF=FG=HG，然后证明EFGH四边形有一个角是直角，从而可判断出四边形EFGH的形状，设AE=x，则AH=（﹣x），依据正方形的面积公式以及勾股定理可得到四边形EFGH的面积与x的函数关系式，依据二次函数的性质求得二次函数的最小值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D．∵AE=DF=CG=BH，∴AH=ED=FG=BG．在△AEH、△DFE、△CGF、△BHG中，，∴△AEH≌△DFE≌△CGF≌△BHG．∴HE=EF=FG=HG．∴四边形EFGH是菱形．∵△AEH≌△DFE，∴∠AEH=∠DFE．∵∠AHE+∠AEH=90°，∴∠DEF+∠AEH=90°．∴∠HEF=90°．∴EHGF为正方形．设AE=x，则AH=（﹣x）．∵正方形EFHG的面积=HE2=AE2+AH2=x2+（﹣x）2=2x2﹣2x+5，∴当x=﹣=时，正方形的面积有最小值．∴正方形EFHG的面积的最小值=（）2+（﹣）2=．故答案为：正方形；．【点评】本题主要考查的正方形的判定与性质、二次函数的最值，全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式、勾股定理等知识，列出四边形EFGH的面积与x的函数关系式是解题的关键．16．如图，AD∥BC，AB⊥BC，动点E从点A开始沿AD运动，动点F从点B开始沿BC 运动，AM=10cm，BN=8cm（1）若动点E的速度为2cm/s，动点F的速度为1cm/s时，当运动时间为2或6秒时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；（2）若AB=4cm，当点E、F的运动速度比=时，在某一时刻，四边形EMFN为菱形．【考点】菱形的判定；平行四边形的判定．【专题】动点型．【分析】（1）当EM=FN时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形，分类讨论：当点E，F在MN的左侧时，EM=10﹣2t，FN=8﹣t，则10﹣2t=8﹣t；当点F在MN的左侧时，点E在MN的右侧时，EM=2t﹣10，FN=8﹣t，则2t﹣10=8﹣t，然后分别解方程即可得到对应的t的值；（2）作MN的垂直平分线交AD于M，交BC于N，交MN于O点，作MQ⊥BC于Q，如图，先证明△OME≌△ONF得到EM=FN，则可判断四边形MENF为平行四边形，加上MN⊥EF，则四边形MENF为菱形，接着在Rt△MNQ中利用勾股定理计算出MN=2，通过Rt△OEM∽Rt△QMN，利用相似比可计算出EM=5，则NF=5，于是得到AE=AM﹣EM=5，BQ=BN+NF=13，然后得到点E和点F的速度比．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴EM∥FN，当EM=FN时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形，当点E，F在MN的左侧时，∵AM=10cm，BN=8cm∴EM=10﹣2t，FN=8﹣t，∴10﹣2t=8﹣t，解得：t=2，当点F在MN的左侧时，点E在MN的右侧时，∵AM=10cm，BN=8cm∴EM=2t﹣10，FN=8﹣t，∴2t﹣10=8﹣t，解得：t=6，综上所述：当t=2s或6s时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；（2）作MN的垂直平分线交AD于M，交BC于N，交MN于O点，作MQ⊥BC于Q，如图，∵AD∥BC，∴∠OEM=∠OFN，∠OME=∠ONF，在△OME和△ONF中，，∴△OME≌△ONF，∴EM=FN，而EM∥FN，∴四边形MENF为平行四边形，∵MN⊥EF，∴四边形MENF为菱形，在Rt△MNQ中，∵MQ=AB=4，NQ=BQ﹣BN=AM﹣BN=10﹣8=2，∴MN==2，∴OM=，∵∠NMQ=∠OEM，∴Rt△OEM∽Rt△QMN，∴=，即=，解得EM=5，∴NF=5，∴AE=AM﹣EM=5，BQ=BN+NF=13，∴=．故答案为：2或6；．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．也考查了相似三角形的判定与性质．三、作图题（3分）17．现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形．（标上相应的序号）【考点】作图—应用与设计作图．【分析】利用正方形的性质可得出其边长，进而得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．四、耐心算一算（每小题4分，共16分）18．用配方法解方程：2x2+2x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程整理后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2+x=，配方得：x2+x+=，即（x+）2=，开方得：x+=±，解得：x1=﹣+，x2=﹣﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．用适当的方法解关于x的一元二次方程：（1）x（3x+4）=2（公式法）（2）（2x+1）2﹣3（2x+1）+2=0（3）mx2﹣（4m﹣1）x+3m﹣1=0（m≠0）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）3x2+4x﹣2=0△=42﹣4×3×（﹣2）=40，x==所以x1=，x2=；（2）[（2x+1﹣1][（2x+1﹣2]=0，2x+1﹣1=0或2x+1﹣2=0，所以x1=0，x2=；（3）[mx﹣（3m﹣1）]（x﹣1）=0，mx﹣（3m﹣1）=0或x﹣1=0，所以x1=，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．五、解答与证明（共33分）20．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．【解答】证明：连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．21．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，=ABBC+ACCD，∴S四边形ABCD=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．22．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知AB=8cm，BC=10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由翻折的性质可知AF=AD=10，由勾股定理可先求得BF的长，然后在△FEC中，依据勾股定理、翻折的性质进行求解即可．【解答】解∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，CD=AB=8．∠B=∠C=90°由翻折的性质可知；AF=AD=10，EF=ED．设EC=x，则EF=8﹣x．在Rt△ABF中，BF==6∴FC=4．在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，∴（8﹣x）2=16+x2解得：x=3．∴EC=3．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．23．已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）分类讨论m=0和m≠0两种情况下方程根的个数；（2）把mx2+（3m+1）x+3=0因式分解得到x1=﹣，x2=﹣3，根据题意可知﹣是整数，据此求出正整数m的值．【解答】（1）证明：当m=0时，x=﹣3，当m≠0时，b2﹣4ac=（3m﹣1）2≥0，所以该一元二次方程有两个实根，综上不论m为何实数，此方程总有实数根；（2）解：∵mx2+（3m+1）x+3=0，∴（mx+1）（x+3）=0，∴x1=﹣，x2=﹣3，∵方程有两个不同的整数根，且m为正整数，∴m=1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24．如图，已知在△ABC中，DE∥BC交AC于点E，交AB于点D，DE=BC求证：D、E分别是AB、AC的中点．【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】如图，作BF∥AC交ED的延长线于点F，构建平行四边形BCEF，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定定理AAS得到△ADE≌△BDF，则该全等三角形的对应边相等：AD=BD，AE=BF=EC，即证得结论．【解答】证明：作BF∥AC交ED的延长线于点F，∵DE∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC=EF=2ED，AC∥BF，EC=BF，∴ED=DF，∠A=∠DBF，∴在△ADE与△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（AAS）∴AD=BD，AE=BF=EC，即D、E分别是AB、AC的中点．【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质．注意：本题中辅助线的作法，通过作辅助线构建全等三角形是解题的难点．25．如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG．（1）求证：BE=DG，BE⊥DG；（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：△MPN是等腰直角三角形；（3）若AB=4，EF=2，∠DAE=45°，直接写出MN=2．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；正方形的性质．【分析】（1）根据SAS证明△BEA与△DAG全等，再利用全等三角形的性质证明即可；（2）利用三角形中位线定理证得△MPN是等腰直角三角形；（3）过点G作GH垂直于DA的延长线于点H，利用勾股定理得出DG，进一步得出PN，利用勾股定理得出结果．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD和正方形AEFG，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE，∴∠BAE=∠DAG，∵在△BEA与△DAG中，，∴△BEA≌△DAG（SAS），∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，∴∠BOD=∠BAD=90°，∴BE⊥DG；（2）证明：如图，由三角形中位线定理可得：MP∥BE，MP=BE，PN∥DG，PN=DG，∴PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，即△MPN是等腰直角三角形；（3）解：如图，过点G作GH垂直于DA的延长线于点H，∵∠DAE=45°，∠EAG=90°，∴∠HAG=45°，∵EF=2，∴AH=HG=2，∵AB=4，∴DH=6，∴DG==2，∴NP=MP=，∴MN=2．【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，结合图形和数据，灵活作出辅助线解决问题．26．如图，在正方形ABCD外侧作直线DQ，点C关于直线DQ的对称点为P，连接DP、AP，AP交直线DQ于点F，交BD于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠QDC=25°，求∠DPA的度数；（3）探究线段AE、EF、FP的等量关系并加以证明．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可；（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；（3）由轴对称的性质可得：EC=EA，FC=FP，∠DPA=∠DAP=∠DCF，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：（2）∵∠QDP=∠QDC=25°，DP=DC=AD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠QDP=∠QDC=25°，∴∠PDA=140°，∴∠DPA==20°；（3）AE2=EF2+FP2，∵△DAE≌△DCE，△DFP≌△DFC，可得：EC=EA，FC=FP，∠DPA=∠DAP=∠DCF，∵∠DEA+∠DAP=∠CEF+∠DCF=90°，∴∠EFC=∠ADC=90°，∴AE2=EF2+FP2【点评】此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质得出对应边相等是解题关键．六、附加题：思维拓展（本题6分，计入总分）27．已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）首先作EF⊥AB于点F，根据直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B，分别求出A、B的坐标，以及AB的长度各是多少；然后设EF=EO=x，则BE=3﹣x，BF=1，再根据勾股定理，可得BE2=EF2+BF2，据此求出x的值是多少，即可确定出∠BAO的平分线的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形．根据题意，分3种情况：①当AN、OM是菱形ANMO的两条对角线时；②当AO、MN是菱形ANMO的两条对角线时；③当AM、ON是菱形ANMO的两条对角线时；然后根据菱形的特征，分别求出点N的坐标各是多少即可．【解答】解：（1）如图1，AE为∠BAO的平分线，交y轴于点E，作EF⊥AB于点F，∵直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B，∴A（﹣4，0），B（0，3），∴AB==5，设EF=EO=x，则BE=3﹣x，BF=AB﹣AF=AB﹣AO=5﹣4=1，∵BE2=EF2+BF2，∴（3﹣x）2=x2+12，解得，∴点E的坐标是（0，），设AE的函数关系式是y=kx+b，则解得∴∠BAO的平分线的函数关系式是y=（x≥﹣4）．（2）存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形．①如图2，∵四边形OAMN为菱形，∴ON∥AB，ON=AO=4，∵AB所在的直线的解析式是y=x+3，∴ON所在的直线的解析式是y=x，设点N的坐标为（m，），则m2+（m）2=42，解得m=±，∴点N的坐标为（）或（﹣，﹣）．②如图3，当AO是菱形ANOM其中的一条对角线时，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴MN所在的直线的解析式是x=﹣2，当x=﹣2时，=﹣+3=，∴点N的坐标为（﹣2，﹣）．③如图4，设点N的坐标为（m，n），当AM、ON是菱形ANMO的两条对角线时，∵AM⊥ON，∴…（1），∵ON的中点P在直线AB上，∴…（2），由（1）（2），解得∴点N的坐标为．综上，可得点N的坐标为，，或．【点评】（1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．。

第Ⅰ卷一. 选择题（每小题3分，共30分）1. 若正比例函数kx y =的图像经过点（-2，1），则k 的值为（ ）． A ．21-B ．－2 C．21D ．22. 如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（）．A 1BCD 3. 一条直线y kx b =+其中5k b +=-，6kb =，那么该直线经过（ ）． A ．第二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第一、三象限 D ．第二、三、四象限4. 已知平行四边形周长为28cm ，相邻两边的差是4cm ，则两边的长分别为（ ）．A ．4cm 、10cm B ．5cm 、9cm C ．6cm 、8cm D ．5cm 、7cm5. 若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（）．A ．10 B． C ．10或 D ．102013---2014学年度北京市第十三中学分校 第二学期期中 八年级 数 学 试 卷6. 下列命题中，不正确的是（）．A．三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形;B．三边之比为1: 3:2的三角形是直角三角形;C．三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形;D．三边之比为2:2:2的三角形是直角三角形.7.一次函数y=kx+b与y=kbx，它们在同一坐标系内的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．8. 已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是（）．A．10与6 B．12与16 C．20与22 D．10与189.如下图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）．A．4 B．5 C．9 D．1010. 已知直线(1)122ny xn n-+=+++（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2014=（）．A．1007503B．5032014C．10074032D．10072016ADP第Ⅱ卷二. 填空题（每小题2分，共16分）11. 已知菱形ABCD 两对角线AC = 8 cm, BD = 6 cm, 则菱形的高为________．12. 如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，N 为DC 的中点，点M 在DC 上，且AM=AB ，则∠MBN 的度数为 ． 13. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为 ．14. 如图所示，已知边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中，位于x 轴上方，OA 与x 轴正半轴的夹角为60°，则B 点坐标为__________．15.新定义：[a ，b]为一次函数y=ax+b （a ≠0，a ，b 为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m ﹣2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程1111x m+=-的解为 ． 16. 如图是一个“羊头”形图案，其做法是：从正方形（1）开始，以它的一边为斜边，向外做等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外做正方形（2）和2’（），...，依次类推，若正方形（1）的边长为64厘米，则正方形（7）的边长为 厘米． 17. 如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为 ．18. 已知点A 、B 分别在一次函数y=x ，y=8x ，的图像上，其横坐标分别为a 、b(a>0，b>O)．若直线AB 为一次函数y=kx+m 的图像，则当a b是整数时，满足条件的整数k 的值为 ．BADCMN 12题图G DBA 13题图105︒30︒8BA三．解答题(19、21题 每题5分；26、27题7分, 其余各题每题6分, 共54分 ) 19. 如图，在△ABC 中，∠B=30°, ∠BAC=105°,AB=8. 求BC 的长.20. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数 y=kx+b 的图象与x 轴交于点A(-3,0),与y 轴交于点B,且与正比例函数43y x =的图象的交点为C(m,4).(1)求一次函数y=kx+b 的解析式.(2)若点D 在第二象限,△DAB 是以AB 为直角边的等腰直角三角形,求点D 的坐标.21. 在平行四边形ABCD 中，分别以AD 、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE 、DF ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．22. 已知：矩形ABCD.（1）如图（1），P 为矩形ABCD 的边AD 上一点，求证：2222PD PB PC PA +=+.（2）如图（2），当点P 运动到矩形ABCD 外时，结论是否仍然成立？请说明你的理由.ABBC CA D DP ●●P 图（1）图（2）CA23. 已知，如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D,CE平分∠BCA,交AB于G,请你过G作GM⊥AC,垂足为M,连结ME,判断四边形BGME的形状并证明.BGEA24.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于1.5万元，其中空调、彩电的进价和设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）商场有哪几种进货方案可供选择？（3）选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？25. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为；（温馨提示：可以作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．）（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．26. 已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D 为直线BC 上一动点（点D不与点B ，C 重合）．以AD 为边做正方形ADEF ，连接CF （1）如图1，当点D 在线段BC 上时．求证CF+CD=BC ；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为AE ，DF 相交于点O ，连接OC ．求OC 的长度．27. 如图，已知直线 162y x =-+ 交x 轴于B ，交y 轴于C ，并与直线y = x 交于点A ，点P 在射线OA 上从点O 出发沿射线OA 方向以每秒1个单位长的速度运动，过P 作PQ // x 轴交直线 162y x =-+ 于Q ，以PQ 为边向下作正方形PQMN ，设点P 的运动时间为t 秒，正方形PQMN 与△AOB 的重叠部分的面积为S ． （1）直接写出点A 的坐标（2）当点P 在线段OA 上且MN 在x 轴上时，求线段PQ 的长；（3）当点Q 在第一象限内时， 求S 与t 的函数关系式，并求对应的t 的取值范围.图3图2图1CD y= -12x。

2014-2015学年北京教院附中八年级（下）期中数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把正确结论的代号写在题后的括号内.1．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝5，则AB等于（）A．B．4C．D．都不对2．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝5，b＝12，c＝13C．a＝1，b＝2，c＝D．a＝，b＝2，c＝33．（3分）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点，所得四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．任意四边形4．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（）A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9 6．（3分）如图，A为反比例函数图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB ＝3，则k的值为（）A．3B．6C．D．无法确定7．（3分）在下列方程中，没有实数根的是（）A．x2+2x﹣1＝0B．x2+2x+2＝0C．x2+x+1＝0D．﹣x2+2x+2＝08．（3分）在函数的图象上有三个点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2 9．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为正方形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BDC．AC⊥BD D．AC＝BD且AC⊥BD10．（3分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠．恰好得到菱形AECF．若AD＝，则菱形AECF的面积为（）A．2B．4C．4D．8二．填空题（11--19每小题2分，20题3分，共21分）11．（2分）已知双曲线在第二、四象限内，则m的取值范围是．12．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝．13．（2分）一元二次方程x2﹣5x＝0的解为．14．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE＝6cm，则BC＝cm．15．（2分）如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则AB的长等于．16．（2分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD＝4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为cm．17．（2分）平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝cm．18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM＝1，N 为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为．19．（2分）平行四边形的一个角的平分线分对边为3和4两部分，则平行四边形的周长为．20．（3分）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．三．解答题（第21题10分，第22-24题6分，共28分）21．（10分）解一元二次方程：（1）（2x﹣5）2＝49（2）x2+4x﹣8＝0．22．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠BCD＝2∠B，求∠B的度数．23．（6分）如图，函数（x＞0，k是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1，过点B作y轴的垂线，垂足为C，连接AB，AC．（1）求k的值；（2）若△ABC的面积为4，求点B的坐标．24．（6分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．四．画图题（4分）25．（4分）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x＝．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）五．解答题（26题5分，27-28每题6分，共17分）26．（5分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．27．（6分）若m是非负整数，且关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，求m的值及其对应方程的根．28．（6分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．六．附加题（5分）29．（5分）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝，P是AC 上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．2014-2015学年北京教院附中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共30分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把正确结论的代号写在题后的括号内.1．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，BC＝5，则AB等于（）A．B．4C．D．都不对【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，∴AB＝＝．故选：A．2．（3分）下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝5，b＝12，c＝13C．a＝1，b＝2，c＝D．a＝，b＝2，c＝3【解答】解：A、∵32+42＝52，∴以a＝3，b＝4，c＝5为边的三角形是直角三角形；B、∵52+122＝132，∴以a＝5，b＝12，c＝13为边的三角形是直角三角形；C、∵12+22＝（）2，∴以a＝1，b＝2，c＝为边的三角形是直角三角形；D、∵（）2+22≠32，∴以a＝，b＝2，c＝3为边的三角形不是直角三角形．故选：D．3．（3分）顺次连结对角线垂直的四边形各边中点，所得四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．任意四边形【解答】解：∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD（三角形的中位线平行于第三边），∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO＝∠ENO＝90°，∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴∠MEN＝90°，∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故选：B．4．（3分）对于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y＝得﹣1＝﹣1，故A选项正确；B、∵k＝2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．故选：C．5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（）A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝9D．（x﹣2）2＝9【解答】解：移项得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+22＝5+22，（x﹣2）2＝9，故选：D．6．（3分）如图，A为反比例函数图象上一点，AB⊥x轴于点B，若S△AOB ＝3，则k的值为（）A．3B．6C．D．无法确定＝|k|＝3；【解答】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB又由于函数图象位于一、三象限，则k＝6．故选：B．7．（3分）在下列方程中，没有实数根的是（）A．x2+2x﹣1＝0B．x2+2x+2＝0C．x2+x+1＝0D．﹣x2+2x+2＝0【解答】解：A、∵△＝4+4＝8＞0，∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故本选项错误；B、∵△＝8﹣8＝0，∴方程x2+2x+2＝0有两个相等的实数根，故本选项错误；C、∵△＝2﹣4＝﹣2＜0，∴方程x2+x+1＝0没有实数根，故本选项正确；D、∵△＝4﹣（﹣8）＝12＞0，∴方程﹣x2+2x+2＝0有两个不相等的实数根，此选项错误；故选：C．8．（3分）在函数的图象上有三个点（﹣4，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y3＜y1＜y2【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣3＜0，∴此函数的图象在二、四象限，∵﹣4＜0，﹣1＜0，3＞0，∴（﹣4，y1），（﹣1，y2）在第二象限，（3，y3）在第四象限，∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，∵﹣4＜﹣1，∴y2＞y1＞0，∴y3＜y1＜y2．故选：D．9．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为正方形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BDC．AC⊥BD D．AC＝BD且AC⊥BD【解答】解：可添加AC＝BD且AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形．故选：D．10．（3分）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠．恰好得到菱形AECF．若AD＝，则菱形AECF的面积为（）A．2B．4C．4D．8【解答】解：由翻折的性质得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD＝，在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE，∴∠OAE＝×90°＝30°，∴AE＝AO÷cos30°＝÷＝2，∴菱形AECF的面积＝AE•AD＝2．故选：A．二．填空题（11--19每小题2分，20题3分，共21分）11．（2分）已知双曲线在第二、四象限内，则m的取值范围是m＜﹣7．【解答】解：∵双曲线在第二、四象限内，∴m+7＜0，解得m＜﹣7．故答案为：m＜﹣7．12．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝50°．【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，∴∠A＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝50°．故答案是：50°．13．（2分）一元二次方程x2﹣5x＝0的解为x1＝0，x2＝5．【解答】解：x（x﹣5）＝0，x＝0或x﹣5＝0，所以x1＝0，x2＝5．故答案为x1＝0，x2＝5．14．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE＝6cm，则BC＝12cm．【解答】解：∵△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵DE＝6cm，∴BC＝2DE＝2×6＝12cm．故答案为12．15．（2分）如图，菱形ABCD中，若BD＝24，AC＝10，则AB的长等于13．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD＝24，AC＝10，∴BO＝12，AO＝5，AC⊥BD，∴AB＝＝13．故答案为：13．16．（2分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点E、F，已知AD＝4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，对角线AC长为5cm．【解答】解：∵图中阴影部分的面积总和为6cm2，AD＝4cm，则AD×CD＝×4×CD＝6，CD＝3，在直角三角形ACD中AD＝4，CD＝3，由勾股定理得AC＝5，∴对角线AC长为5cm．故答案为5．17．（2分）平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝4cm．【解答】解：∵平行四边形的周长为20cm，∴AB+BC＝10cm；又△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，∴BC﹣AB＝2cm，解得：AB＝4cm，BC＝6cm．∵AB＝CD，∴CD＝4cm故答案为：4．18．（2分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM＝1，N 为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为5．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，∴在Rt△BCM中，BM＝＝＝5，故答案为5．19．（2分）平行四边形的一个角的平分线分对边为3和4两部分，则平行四边形的周长为20或22．【解答】解：如图，▱ABCD中，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴AD＝AE，①AE＝3时，BE＝4，则AB＝AE+BE＝3+4＝7，AD＝3，平行四边形的周长＝2（3+7）＝20，②AE＝4时，BE＝3，则AB＝AE+BE＝4+3＝7，AD＝4，平行四边形的周长＝2（4+7）＝22，综上所述，平行四边形的周长为20或22．故答案为：20或22．20．（3分）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）．【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB 的交点，此时OP＝PD≠5；（2）OD是等腰三角形的一条腰时：①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，在直角△OPC中，CP＝＝＝3，则P的坐标是（3，4）．②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DM⊥BC于点M，在直角△PDM中，PM＝＝3，当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．三．解答题（第21题10分，第22-24题6分，共28分）21．（10分）解一元二次方程：（1）（2x﹣5）2＝49（2）x2+4x﹣8＝0．【解答】解：（1）（2x﹣5）2＝49，2x﹣5＝±7，x1＝6，x2＝﹣1；（2）x2+4x﹣8＝0，x2+4x＝8，x2+4x+4＝8+4，（x+2）2＝12，x+2＝，x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．22．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠BCD＝2∠B，求∠B的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，又∵∠BCD＝2∠B，∴∠B＝60°．23．（6分）如图，函数（x＞0，k是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1，过点B作y轴的垂线，垂足为C，连接AB，AC．（1）求k的值；（2）若△ABC的面积为4，求点B的坐标．【解答】解：（1）∵函数（x＞0，k是常数）的图象经过A（1，4）∴k＝1×4＝4．（2）由（1）可知y＝，∴ab＝4∵BC＝a，OC＝b∴a（4﹣b）＝4即4a﹣ab＝8∴a＝3，b＝即点B的坐标为（3，）．24．（6分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，∴∠ABC＝×180°＝60°，∴∠ABO＝∠ABC＝30°，∵菱形ABCD的周长是8cm．∴AB＝2cm，∴OA＝AB＝1cm，∴OB＝＝，∴AC＝2OA＝2cm，BD＝2OB＝2cm；（2）S＝AC•BD＝×2×2＝2（cm2）．菱形ABCD四．画图题（4分）25．（4分）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图甲，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2＝5，解得x＝．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图乙所示的分割线，拼出如图丙所示的新的正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的小正方形，排列形式如图丁，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图丁中画出分割线，并在图戊的正方形网格图（图中的每一个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）【解答】解：符合条件的正方形如图4、图5所示：．五．解答题（26题5分，27-28每题6分，共17分）26．（5分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形，＝AB•BC+AC•CD，∴S四边形ABCD＝×1×2+××2，＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．27．（6分）若m是非负整数，且关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，求m的值及其对应方程的根．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴m﹣1≠0，即m≠1，且△≥0，即△＝4﹣4（m﹣1）＝8﹣4m≥0，解得m≤2，∵m是非负整数，∴m＝0或2，当m＝0，原方程变为：﹣x2﹣2x+1＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，当m＝2，原方程变为：x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1．28．（6分）（1）如图矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由．（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．【解答】解：（1）四边形CODP的形状是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴OC＝OD，∵DP∥OC，DP＝OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵OC＝OD，∴平行四边形CODP是菱形；（2）四边形CODP的形状是矩形，理由是：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∵DP∥OC，DP＝OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵∠DOC＝90°，∴平行四边形CODP是矩形；（3）四边形CODP的形状是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∴∠DOC＝90°，OD＝OC，∵DP∥OC，DP＝OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵∠DOC＝90°，OD＝OC∴平行四边形CODP是正方形．六．附加题（5分）29．（5分）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝，P是AC 上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．（1）如图（1），作DF⊥AC．∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝．∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC•tan30°＝1，∴PF＝，∴DP＝＝．（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°，又∵PD＝BC＝，∴cos∠PDF＝＝，∴∠PDF＝30°．∴∠PDA＝∠ADF﹣∠PDF＝15°．当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．∴∠PDA＝∠ADF+∠PDF＝75°．故∠PDA的度数为15°或75°；（3）当点P运动到边AC中点（如图4），即CP＝时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上．∵四边形DPBQ为平行四边形，∴BC∥DP，∵∠ACB＝90°，∴∠DPC＝90°，即DP⊥AC．而在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，∴根据勾股定理得：AC＝3，∵△DAC为等腰直角三角形，∴DP＝CP＝AC＝，∵BC∥DP，∴PC是平行四边形DPBQ的高，＝DP•CP＝．∴S平行四边形DPBQ。

2013-2014八年级第二学期期中考试数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分，请把正确答案填在下面表格中）A、2a＜2bB、－2a＜－2bC、a－2＜b－2D、a＋2＜b＋22、下列从左到右变形，其中是因式分解的是A、21234a b a ab=⋅B、2(2)(2)4x x x+-=-C、24814(2)1x x x x--=--D、222()ax ay a x y-=-3、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-≤32121xx的解集在数轴上表示为4、下列多项式中不能用平方差公式分解的是A、22m n--B、2216x y-+C、22964a b-D、2249x y-5、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A、4cmB、6cmC、8 cmD、10cm6、如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A、30°B、36°C、45°D、70°(第5题图) (第6题图)7、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（）A、4B、10C、4或10D、以上答案都不对8、如下图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=5，DC=1，AC=5，那么AB的长度是A.27B.27C.10D.25(第8题图) (第9题图) (第10题图)9、如图4，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，则图中的四边形ACED的面积为（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、无法确定10、如图5，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连结BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转900得到△DCF，连结EF，若∠BEC=600，则∠EFD的度数为（）A、100B、150C、200D、250二、填空题（每题2分，共20分）11、不等式2x-1<3的解集是12、分解因式：=-bba82213、根据图示程序计算函数值，若输入的x的值为0.5，则输出的y值为14、已知27x y-=，25x y+=，则224x y-=15、已知32,5221+-=-=xyxy，如果21yy<，则x的取值范围是；16.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.输入xy=x+2-２≤x≤1y=-x+21＜x≤2输出y17.如图，已知的垂直平分线交于点，则 .18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上,BC 与DE 交于点M ,如果∠ADF =100°,那么∠BMD 为 度.19．如图，已知正方形ABCD ，E 是BA 延长线上的点，且∠E=60 0，现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转到△AGF 的位置，则当旋转角度∠EAF= 时，FG ∥AB ．20、若09622=+++-b b a ,则多项式22ab b a -的值为三、解答题21、解下列不等式（组），并把它们的解集表示在数轴上（8分）①3x -﹤26x + ②25031x x ->⎧⎨-<-⎩22、分解因式（8分）①2721x x - ②2232x y x y y-+第19题DBCF G23、阅读理解（6分）分解因式：21203456-+x x分析：由于常数项数值较大，则采用x 2－120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：21203456-⨯+-+x xx x-+=22226060603456=2x--+(60)36003456=2(60)144x--=22x--(60)12=(6012)(6012)--x x-+--=(48)(72)x x请按照上面的方法分解因式：242184+-x x24．如图，将Rt△ABC沿CB方向平移距离BE后得到Rt△DEF，已知AG=2，BE=4，DE=6，求阴影部分的面积．（8分）25、阅读下题及其证明（8分）过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB 和△AEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据； 若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程。

2014北京八中初二（下）期中数学一.选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰直角三角形B．平行四边形C．圆D．等边三角形2．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．（3分）△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长为（）A．3 B．6 C．12 D．244．（3分）下列三角形中不是直角三角形的是（）A．三个内角之比为5：6：1B．其中一边上的中线等于这一边的一半C．三边之长为9、40、41D．三边之比为1.5：2：35．（3分）若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是（）A．12和2 B．3和4 C．14和16 D．4和86．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．7．（3分）如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是AB边的中点，图中与△ADE面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A．1﹣B．1﹣C．D．9．（3分）在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，则BC的长为（）A．25 B．7 C．25或7 D．不能确定10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（）A． B．C．D．二.填空题（每题2分，共20分）11．（2分）将代数式x2﹣4x+2配方的结果是．12．（2分）方程y2+4y﹣45=0的根为．13．（2分）下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为（填序号）①AB=CD，AD=BC；②AD=BC，AD∥BC；③AB=CD，∠B=∠D；④AB∥CD，∠A=∠C．14．（2分）如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为60°，则两纸条重叠部分的面积是．15．（2分）如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是．16．（2分）如图，在▱ABCD中，∠DAB的角平分线交CD于E，若DE：EC=3：1，AB的长为8，则BC的长为．17．（2分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和10，则b的面积为．18．（2分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0有实数根，则k满足．19．（2分）如图平行四边形ABCD中，∠C=90度，沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=16，AB=8，则DE的长．20．（2分）如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以它的对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，再以正方形OB2B3C2的对角线OB3为一边作正方形OB3B4C3，…，依次进行下去，则点B6的坐标是．三.解答题（共22分）21．（10分）解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2=2（2）2x2﹣4x﹣7=0．22．（6分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．23．（6分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．四．作图题（4分）24．（4分）根据题意作出图形，并回答相关问题：请在网格中设计一个图案（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），要求所设计的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且图案的顶点在格点上，面积等于3．请将你所设计的图案用铅笔涂黑．五．解答题（共24分）25．（6分）义卖活动中某班以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件．此班计划盈利400元，因为将商品卖给本校师生，所以限定每件商品利润不得超过20%，问每件商品售价多少元？26．（6分）设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF=45°．若AB=5，求△ECF的周长．27．（6分）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4=0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0的解都是整数？28．（6分）在▱ABCD中，∠A=∠DBC，过点D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，连接EF、EC，M、N、P分别为EF、EC、BC的中点，连接NP．请你发现∠ABD与∠MNP满足的等量关系，并证明．参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，共30分）1．【解答】A、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、圆是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选C．2．【解答】根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．3．【解答】∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，∴AB=2EF，BC=2DE，AC=2DF，∵DF+EF+DE=6，∴AB+BC+AC=2EF+2DE+2DF=12．故选C．4．【解答】A、设三个内角为5x，6x，x则，5x+6x+x=180°，x=15°．此时三个内角分别为75°、90°、15°，即有一个角是直角，所以该三角形是直角三角形，不符合题意；B、一边上的中线等于这一边的一半的三角形是直角三角形，不符合题意；C、92+402=412，满足勾股定理的逆定理，所以该三角形是直角三角形，不符合题意；D、设该三角形的三边为1.5x、2x、3x则（1.5x）2+（2x）2≠（3x）2，不满足勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形，符合题意．故选D．AB=7，设两条对角线AC、BD的长分别是x，y．∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD∴OA=x，OB=y，∴在△AOB中，，即：，解得：，将四个选项分别代入方程组中，只有C选项满足．故选C．6．【解答】图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：=，∴﹣1到A的距离是，那么点A所表示的数为：﹣1．故选C．7．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，DC=AB，在△ADB和△CBD中：，∴△ADB≌△CBD（SSS），∴S△ADB=S△CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=BO，CO=AO，即：O是DB、AC中点，∴S△DOC=S△COB=S△DOA=S△AOB=S△ADB，∴S△ADE=S△DEB=S△ABD，∴S△DOC=S△COB=S△DOA=S△AOB=S△ADE=S△DEB=S△ADB，∴不包括△ADE共有5个三角形与△ADE面积相等，故选：C．8．【解答】设CD与B′C′相交于点O，连接OA．根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD=AB′，AO=AO，∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．∴∠OAD=∠OAB′=30°．又∵AD=1，∴OD=AD•tan∠OAD=．∴公共部分的面积=2×××1=1×=．故选D．9．【解答】如图1，锐角△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD===9，在Rt△ADC中AC=20，AD=12，由勾股定理得DC===16，BC的长为BD+DC=9+16=25．如图2，钝角△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD===9，在Rt△ACD中AC=20，AD=12，由勾股定理得DC===16，BC=CD﹣BD=7．10．【解答】过点H作HM⊥BC于点M，∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB=6，BC=8，∴BE=BC=8，∠CBE=90°，BG=AB=6，∴HM∥BE，∵H是EG的中点，∴MH=BE=4，BM=GM=BG=3，∴CM=BC﹣BM=8﹣3=5，在Rt△CHM中，CH==．故选D．二.填空题（每题2分，共20分）11．【解答】x2﹣4x+2=x2﹣4x+4﹣2=（x﹣2）2﹣2．故答案为：（x﹣2）2﹣2．12．【解答】∵y2+4y﹣45=0，∴（y﹣5）（y+9）=0，y1=5，y2=﹣9．故答案为：5，﹣9．13．【解答】①AB=CD，AD=BC可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定；②AD=BC，AD∥BC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；③AB=CD，∠B=∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形；④AB∥CD，∠A=∠C可证出∠B=∠D，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定；故答案为：③．14．【解答】由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=60°，过A作AE⊥BC于E，则AE=1，设BE=x，∵∠ABE=60°，∴∠BAE=30°，在△ABE中，∠AEB=90°，由勾股定理解得：x=，∴AB=BC=，∴重叠部分的面积是：×1=．故答案为：．15．【解答】如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）．故答案为（0，1）．16．【解答】∵在▱ABCD中，∠DAB的角平分线交CD于E，∴∠DEA=∠BAE，∠DAE=∠BAE，AD=BC，∴∠DEA=∠DAE，∴AD=DE=BC，∵DE：EC=3：1，AB的长为8，∴DE=AD=BC=6．故答案为：6．17．【解答】如图，∵a、b、c都为正方形，∴BC=BF，∠CBF=90°，AC2=4，DF2=10，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABC和△DFB中，，∴AB=DF，在△ABC中，BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=4+10=14，∴b的面积为14．故答案为14．18．【解答】①当关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0是一元一次方程时，k﹣1=0，解得k=1；②当关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0是一元二次方程时．∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0有实数根，∴，解得：．故答案为：k≥﹣．19．【解答】∵平行四边形ABCD中，∠C=90度，∴平行四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC．∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴∠CBD=∠C′BD．∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠C′BD，∴BE=DE．设DE=x，则BE=x，AE=16﹣x，在Rt△ABE中，∠A=90°，∴AB2+AE2=BE2，即82+（16﹣x）2=x2，解得x=10，即DE=10．故答案为10．∵从B到B6经过了6次变化，∵45°×6=270°，∴位置在x轴的负半轴上．∵（）6=8．∴点B6的坐标是（﹣8，0）．故答案为：（﹣8，0）．三.解答题（共22分）21．【解答】（1）开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣；（2）这里a=2，b=﹣4，c=﹣7，∵△=16+56=72，∴x=．22．【解答】证明：连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形．23．【解答】过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．四．作图题（4分）24．【解答】如图所示：答案不唯一．五．解答题（共24分）25．【解答】设每件商品售价x元，才能赚400元，根据题意得（x﹣21）（350﹣10x）=400，解得x1=25，x2=31．∵21×（1+20%）=25.2，而x1＜25.2，x2＞25.2，∴x2=31（不合题意，舍去），则取x=25．当x=25时，350﹣10x=350﹣10×25=100．故要卖出100件商品，每件售25元．26．【解答】如图所示，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG．∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．∴△EFC的周长=EC+CF+EF=EC+CF+BE+FD=BC+CD=5×2=10．27．【解答】∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4=0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0有解，则m≠0，∴△≥0mx2﹣4x+4=0，∴△=16﹣16m≥0，即m≤1；x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0，△=16m2﹣16m2+16m+20≥0，∴4m+5≥0，m≥﹣；∴﹣≤m≤1，而m是整数，所以m=1，m=0（舍去），m=﹣1（一个为x2+4x﹣4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），当m=1时，mx2﹣4x+4=0即x2﹣4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0即x2﹣4x﹣5=0，方程的解是x1=5，x2=﹣1；当m=0时，mx2﹣4x+4=0时，方程是﹣4x+4=0不是一元二次方程，故舍去．故m=1．28．【解答】∠ABD+∠MNP=180°，理由：如图，连接BE、CF，延长CE交BD于点G，∵点N、M分别为EC、EF的中点，∴MN是△CEF的中位线，∴MN∥CF，∴∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCE，∵点N、P分别为EC、BC的中点，∴PN是△CBE的中位线，∴PN∥BE，∴∠ENP=∠BEG，∵AB∥CD，∴∠BDC=∠ABD，又∵∠EDF=∠ABD，∴∠BDC=∠EDF，∴∠BDC﹣∠EDC=∠EDF﹣∠EDC，即∠BDE=∠CDF，∵∠A=∠DBC，∠ADB=∠DBC，∴∠A=∠ADB，∴AB=BD，又∵AB=CD，∴BD=CD，在△BDE和△∠CDF中，，∴△BDE≌△∠CDF，∴∠DBE=∠DCF，根据三角形的外角的性质，可得∠BGE=∠BDC+∠DCE，在△BGE中，∠BEG+∠BGE+∠GBE=180°，∴∠ENP+（∠BDC+∠DCE）+∠DCF=180°，∴（∠ENP+∠DCF+∠DCE）+∠BDC=180°，又∵∠ENP+∠DCF+∠DCE=∠MNP，∠BDC=∠ABD，∴∠ABD+∠MNP=180°．。

2024-2025学年度第一学期期中练习题年级：初二 科目：数学 班级：_______ 姓名：________一、选择题（每题2分，共20分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．．．是正确的. 1．如图所示的4组图形中，成轴对称的是( )A.B.C.D.2．下列计算正确的是( )A. 336a a a +=B. 235a a a +=C. 326()a a =D. 339a a a ⋅= 3． 在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x 轴对称的点的坐标为( )A. ()3,2-B. ()2,3-C. ()3,2-D. ()2,3-4．下列是最简分式的是( )A. 2xy xB. 2x y x y ++C. 22x y x y-+ D. 22x y x y --5．如图，修建房屋时，为了使木门框不变形，建筑工人在木门框上斜着加了一根木条，这样做的道理是( ) A. 三角形具有稳定性 B.两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两直线平行，内错角相等第5题图6．如图，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了CN ∥OA ，连接EN ，△ODM ≌△CEN 根据的是( ) A. SASB. SSSC. ASAD. AAS第6题图易水小寒转发7．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分∠ABC 交AC 边于点E ，∠BAC =55°，∠ABE =25°，则∠CAD 的度数是 ( ) A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第7题图 第8题图 第9题图8．如图，将两块大小相同的三角板（∠B ＝∠C ＝30°的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若BE 交CF 于点D ，交AC 于点M ，AB 交CF 于点N ，则下列结论中： ①∠EAM ＝∠F AN ；②△ACN ≌△ABM ；③∠EAF +∠BAC ＝120°；④EM ＝FN . 正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，若a+b =7，ab =11，则阴影部分的面积为( ) A. 8 B. 7C. 6D. 510．如图，点E 在等边△ABC 的边BC 上，BE =4，射线CD ⊥BC ，垂足为点C ，点P 是射线CD 上一动点，点F 是线段AB 上一动点， 当EP +FP 的值最小时，BF =5，则AB 的长为( )A. 6.5B. 7C.8.5D. 10二、填空题（每题2分，共16分） 11．若分式12-x 有意义，则x 的取值范围是 ． 第10题图 12．因式分解：xy 2-x =________．13．n 边形从一个顶点出发最多引5条对角线，则n =_____． 14．26x x k ++是一个完全平方式，那么k =_____． 15．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AC =8cm ，DE 是BC 边上的垂直平分线，△ABD 的周长为14cm ，则△ABC 的面积是______cm 2．16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为42°，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．17．已知1020a =，10050b =，则2a b +=________．A a C DP易水小寒转发18．如图AB =AC ，AF =AE ，∠EAF =∠BAC ，点C ，D ，E ，F 共线，有如下结论：①△AFB ≌△AEC ；②BF =CE ；③∠BFC =∠EAF ； ④AB =BC ．正确的结论有________．第18题图三、解答题(19题16分，20题8分，21题4分，22题6分，23题5分，24-26每题6分，27题7分，共64分) 19．计算:（1）3225()x x x ⋅÷； （2）3x 2 (x 2 + 2x − 3)； （3）()()312x x +-； （4）2(2)2(2)(2)a b a b a b +-+-．20. 因式分解： （1）234ma ma m --； （2）22(2)m n m +-． 22．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°．（1）尺规作图：在AC 上找一点D ，使得点D 到A 、B 的距离相等； （保留作图痕迹，不用写作法和证明）（2）若AC =9，求点D 到AB 的距离．23．请根据条件进行推理，完成下面的证明，并在括号内注明理由．如图，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． 求证：DE=DF ．证明：在△ABD 和△ACD 中，AB=AC ，AD=______， BD=CD ，∴△ABD ≌△ACD ( ) ． ∴∠________=∠_______． ∴AD 是∠BAC 的角平分线． 又∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，F易水小24．如图，∠A =∠D =90°，AC 与BD 相交于点E ，BE CE ．求证：△ABC ≌△DCB ．25．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．（1）图①是2024年8月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B ，D 上的数相乘，位置A ，E 上的数相乘，再相减． 例如：5×19－4×20，2×16－1×17，不难发现，结果都等于______．（请完成填空）“Z”字型框架图① 图②（2）设“Z”字型框架中位置C 上的数为x ，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明.（3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数a ＝_____．26．在等边△ABC 中，点D 在AC 边上（不与A ，C 重合），延长BC 至点E ，使AD=CE ，连接DE ．（1）如图1，当点D 是AC 边中点时，线段DB 与DE 的数量关系是 ； （2）如图2，当点D 是AC 边上任意一点时，（1）中线段DB 与DE 的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1 图2B易水小寒转发27．已知，如图1，四边形ABCD ，∠B =90°，AB ＞BC ，AC 平分∠BAD ，点E 是边AB 上的一点，且EC =CD ．（1） 若AB =6，AE =4，则AD = ；（2） 若∠BAD =m °，则∠ECD 的度数为 (用含m 的式子表示)；（3）如图2，连接ED ，过点B 作BH ⊥AC ，垂足为点G ，交ED 于点H ，判断EH 与HD 的数量关系并证明．图1 图2E AE易水小寒转四、附加题（28题2分，第29题8分，共10分）28. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且满足a+b =3c -2，a -b =2c -6，则c 的取值范围是____________．29. 小聪和小明在学习了平面直角坐标系后，产生了强烈的兴趣，于是尝试定义了平面直角坐 标系xOy 中任意两点()111,P x y 与()222,P x y 的一种新距离： 小聪定义了1P 与2P 的“倍分解距离”，如下：在平面直角坐标系x O y 中，任意两点()111,P x y 与()222,P x y ，任意给定0m ＞都有如下定义： 若1212x x y y -≥-，则()1212,m d P P m x x =-； 若1212x x y y --＜，则()12121,m d P P y y m=-． 例如，点M （1，2），N （3，1），Q （2，4），当m =1时：(),132m d M N =-=，(),143m d N Q =-=．小明定义了1P 与2P 的“和距离”，如下：在平面直角坐标系xOy 中，任意两点()111,P x y 与()222,P x y ． 点1P 与2P 的“和距离”为：()121212,d P P x x y y =-+-和． 例如，点M （1，2），N （3，1），(),13213d M N =-+-=和． 根据以上材料解决如下问题： 在平面直角坐标系xOy 中：（1）m =1时，已知点()3,1A ，则(),m d A O = ，(),d A O =和 ；（2）若点()(),0,0C x y x y ≥≥，且点(),3d C O =和，请写出符合题意的三个点C 的坐 标，证明这些点在一条直线上；（3）当m =2， n ＞0时，若点E ，F 满足(),3m d E O =, (),d F O n =和，当所有符合条 件的点E 所组成的图形和点F 所组成的图形有四个交点时，直接写出n 的取值范围．易水小寒转发。

北京八中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a，b，c是等差数列，则下列哪个选项是正确的？A. a + c = 2bB. a + b = 2cC. b + c = 2aD. a + b = c + d答案：A2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，下列哪个选项是正确的？A. f(x)的最小值是0B. f(x)的最小值是4C. f(x)的最小值是-4D. f(x)的最小值不存在答案：A3. 若x，y满足方程组\(\left\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=1\end{array}\right.\)，则x+y的值是？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C4. 已知三角形ABC的内角A，B，C满足A + B = 2C，下列哪个选项是正确的？A. C = 90°B. C = 60°C. C = 45°D. C = 30°答案：B5. 若一个圆的半径为r，则该圆的面积是？A. \(\pi r^2\)B. \(\pi r\)C. \(2\pi r\)D. \(\frac{1}{2}\pi r^2\)答案：A6. 已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为2，则该数列的前5项和S_5是？A. 31B. 32C. 33D. 35答案：B7. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是？A. (0, 3)B. (-3/2, 0)C. (3/2, 0)D. (0, -3)答案：C8. 已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(1, -4)，下列哪个选项是正确的？A. a + b + c = -4B. a + b = -5C. 4a + 2b + c = -4D. a - b + c = -4答案：C9. 已知函数f(x) = |x|，下列哪个选项是正确的？A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)既不是奇函数也不是偶函数D. f(x)是周期函数答案：B10. 若一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，则该三角形的周长是？A. 16B. 21C. 26D. 31答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列{a_n}的首项为2，公差为3，则该数列的第5项a_5是_________。

2014-2015学年北京八中怡海分校八年级（下）期中数学试卷一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．已知x=2是一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个解，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．2或﹣42．将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x+4）2=﹣3 D．（x+2）2=﹣53．直角三角形两边长分别是3、4，第三边是（）A．5 B．C．5或D．无法确定4．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AC⊥BD5．下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5 B．a=5，b=12，c=13C．a=1，b=3，c=D．a=，b=，c=6．若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠27．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C 向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，对角线交于点O，连结AO，如果AB=4，AO=4，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4D．8二、细心填一填（每空2分，共24分）9．方程x2=2x的解是．10．如图，等边△BCP在正方形ABCD内，则∠APD=度．11．矩形的两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长为12，则对角线长为．12．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有一个实数根为x=3，则方程的另一个根为；m的值为．13．菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的周长为cm，面积为cm2．14．如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP=．15．如图，已知正方形ABCD的边长为，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，且AE=DF=CG=BH，则四边形EFGH的形状为，它的面积的最小值为．16．如图，AD∥BC，AB⊥BC，动点E从点A开始沿AD运动，动点F从点B开始沿BC运动，AM=10cm，BN=8cm（1）若动点E的速度为2cm/s，动点F的速度为1cm/s时，当运动时间为秒时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；（2）若AB=4cm，当点E、F的运动速度比=时，在某一时刻，四边形EMFN为菱形．三、作图题（3分）17．现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形．（标上相应的序号）四、耐心算一算（每小题4分，共16分）18．用配方法解方程：2x2+2x﹣1=0．19．用适当的方法解关于x的一元二次方程：（1）x（3x+4）=2（公式法）（2）（2x+1）2﹣3（2x+1）+2=0（3）mx2﹣（4m﹣1）x+3m﹣1=0（m≠0）五、解答与证明（共33分）20．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．21．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．22．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知AB=8cm，BC=10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC．23．已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．24．如图，已知在△ABC中，DE∥BC交AC于点E，交AB于点D，DE=BC求证：D、E分别是AB、AC的中点．25．如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG．（1）求证：BE=DG，BE⊥DG；（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：△MPN是等腰直角三角形；（3）若AB=4，EF=2，∠DAE=45°，直接写出MN=．26．如图，在正方形ABCD外侧作直线DQ，点C关于直线DQ的对称点为P，连接DP、AP，AP交直线DQ于点F，交BD于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠QDC=25°，求∠DPA的度数；（3）探究线段AE、EF、FP的等量关系并加以证明．六、附加题：思维拓展（本题6分，计入总分）27．已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．2014-2015学年北京八中怡海分校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（每小题3分，共24分）1．已知x=2是一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个解，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．2或﹣4【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个解，∴22+2m﹣8=0，∴m=2．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2．将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A．（x+4）2=2 B．（x+2）2=2 C．（x+4）2=﹣3 D．（x+2）2=﹣5【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程常数项移到右边，两边加上2变形即可得到结果．【解答】解：将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（x+2）2=2．故选B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．直角三角形两边长分别是3、4，第三边是（）A．5 B．C．5或D．无法确定【考点】勾股定理．【分析】此题要考虑两种情况：当第三边是斜边时；当第三边是直角边时．【解答】解：当第三边是斜边时，则第三边==5；当第三边是直角边时，则第三边==．故选C．【点评】熟练运用勾股定理，注意此题的两种情况．4．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AC=BD C．AB=BC D．AC⊥BD【考点】矩形的判定．【分析】由平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定方法即可得出结论．【解答】解：需要添加的条件是AC=BD；理由如下：∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．5．下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5 B．a=5，b=12，c=13C．a=1，b=3，c=D．a=，b=，c=【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．【解答】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；B、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、12+32=（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣2≠0且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△=（﹣2）2﹣4（m﹣2）＞0，解得m＜3且m≠2．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．7．如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C 向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关【考点】三角形中位线定理．【专题】压轴题．【分析】因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．故选C．【点评】主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，对角线交于点O，连结AO，如果AB=4，AO=4，那么AC的长等于（）A．12 B．16 C．4D．8【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】在AC上截取CG=AB=4，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=4，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC．【解答】解：在AC上截取CG=AB=4，连接OG，∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，∴B、A、O、C四点共圆，∴∠ABO=∠ACO，在△BAO和△CGO中，∴△BAO≌△CGO（SAS），∴OA=OG=4，∠AOB=∠COG，∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，即△AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG==8，即AC=AG+CG=8+4=12．故选A．【点评】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．二、细心填一填（每空2分，共24分）9．方程x2=2x的解是x1=0，x2=2．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到x2﹣2x=0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）=0，方程转化为两个一元一次方程：x=0或x﹣2=0，即可得到原方程的解为x1=0，x2=2．【解答】解：∵x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴x1=0，x2=2．故答案为x1=0，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．10．如图，等边△BCP在正方形ABCD内，则∠APD=150度．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出AB=BP=CP=CD，∠ABP=∠DCP=30°，由三角形内角和定理求出∠BAP=∠BPA=∠CDP=∠CPD=75°，再求出∠PAD=∠PDA=15°，然后由三角形内角和定理求出∠APD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，∵△BCP是等边三角形，∴BP=CP=BC，∠PBC=∠BCP=∠BPC=60°，∴AB=BP=CP=CD，∠ABP=∠DCP=90°﹣60°=30°，∴∠BAP=∠BPA=∠CDP=∠CPD=（180°﹣30°）=75°，∴∠PAD=∠PDA=90°﹣75°=15°，∴∠APD=180°﹣15°﹣15°=150°；故答案为：150．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．11．矩形的两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长为12，则对角线长为24．【考点】矩形的性质．【分析】由矩形的性质得出OA=OB，证明△AOB是等边三角形，得出OA=OB=AB=12，即可得出对角线的长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=12，∴AC=BD=24．故答案为：24．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．12．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0有一个实数根为x=3，则方程的另一个根为﹣1；m的值为3．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【分析】根据两根之和为﹣，两根之积为，求解即可．【解答】解：设方程的另一个根为a，则a+3=2，3a=﹣m，解得：a=﹣1，m=3．故答案为：﹣1，3．【点评】本题考查了根与系数的关系，解答本题的关键是掌握两根之和为﹣，两根之积为．13．菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的周长为20cm，面积为24cm2．【考点】菱形的性质．【分析】由菱形对角线互相垂直平分，可得AC⊥BD，BO=4cm，AO=3cm，然后由勾股定理求得边长，进而可求出其周长；再由菱形的面积=对角线乘积的一半则可求出其面积．【解答】解：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=OD=BD=×8=4（cm），AO=OC=AC=×6=3（cm），∴AB=5（cm），∴菱形的周长为20cm；∴菱形的面积=×8×6=24cm2，故答案为：20，24．【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分以及数据菱形的面积公式：对角线乘积的一半．14．如图，正方形网格的边长为1，点A，B，C在网格的格点上，点P为BC的中点，则AP=．【考点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先根据网格计算出AC2=12+32=10，AB2=22+62=40，CB2=12+72=50，进而可得∠CAB=90°，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【解答】解：AC2=12+32=10，AB2=22+62=40，CB2=12+72=50，∵10+40=50，∴AC2+AB2=CB2，∴∠CAB=90°，∵点P为BC的中点，∴AP=BC=×=．故答案为：．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．如图，已知正方形ABCD的边长为，点E，F，G，H分别在正方形的四条边上，且AE=DF=CG=BH，则四边形EFGH的形状为正方形，它的面积的最小值为．【考点】正方形的判定与性质；二次函数的最值．【分析】先证明△AEH ≌△DFE ≌△CGF ≌△BHG ，从而得到HE=EF=FG=HG ，然后证明EFGH 四边形有一个角是直角，从而可判断出四边形EFGH 的形状，设AE=x ，则AH=（﹣x ），依据正方形的面积公式以及勾股定理可得到四边形EFGH 的面积与x 的函数关系式，依据二次函数的性质求得二次函数的最小值即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=AD ，∠A=∠B=∠C=∠D ．∵AE=DF=CG=BH ， ∴AH=ED=FG=BG ．在△AEH 、△DFE 、△CGF 、△BHG 中，，∴△AEH ≌△DFE ≌△CGF ≌△BHG ．∴HE=EF=FG=HG ． ∴四边形EFGH 是菱形． ∵△AEH ≌△DFE ， ∴∠AEH=∠DFE ．∵∠AHE+∠AEH=90°， ∴∠DEF+∠AEH=90°． ∴∠HEF=90°． ∴EHGF 为正方形．设AE=x ，则AH=（﹣x ）．∵正方形EFHG 的面积=HE 2=AE 2+AH 2=x 2+（﹣x ）2=2x 2﹣2x+5，∴当x=﹣=时，正方形的面积有最小值．∴正方形EFHG 的面积的最小值=（）2+（﹣）2=．故答案为：正方形；．【点评】本题主要考查的正方形的判定与性质、二次函数的最值，全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式、勾股定理等知识，列出四边形EFGH 的面积与x 的函数关系式是解题的关键．16．如图，AD∥BC，AB⊥BC，动点E从点A开始沿AD运动，动点F从点B开始沿BC运动，AM=10cm，BN=8cm（1）若动点E的速度为2cm/s，动点F的速度为1cm/s时，当运动时间为2或6秒时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；（2）若AB=4cm，当点E、F的运动速度比=时，在某一时刻，四边形EMFN为菱形．【考点】菱形的判定；平行四边形的判定．【专题】动点型．【分析】（1）当EM=FN时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形，分类讨论：当点E，F在MN的左侧时，EM=10﹣2t，FN=8﹣t，则10﹣2t=8﹣t；当点F在MN的左侧时，点E在MN的右侧时，EM=2t﹣10，FN=8﹣t，则2t﹣10=8﹣t，然后分别解方程即可得到对应的t的值；（2）作MN的垂直平分线交AD于M，交BC于N，交MN于O点，作MQ⊥BC于Q，如图，先证明△OME≌△ONF 得到EM=FN，则可判断四边形MENF为平行四边形，加上MN⊥EF，则四边形MENF为菱形，接着在Rt△MNQ中利用勾股定理计算出MN=2，通过Rt△OEM∽Rt△QMN，利用相似比可计算出EM=5，则NF=5，于是得到AE=AM﹣EM=5，BQ=BN+NF=13，然后得到点E和点F的速度比．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴EM∥FN，当EM=FN时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形，当点E，F在MN的左侧时，∵AM=10cm，BN=8cm∴EM=10﹣2t，FN=8﹣t，∴10﹣2t=8﹣t，解得：t=2，当点F在MN的左侧时，点E在MN的右侧时，∵AM=10cm，BN=8cm∴EM=2t﹣10，FN=8﹣t，∴2t﹣10=8﹣t，解得：t=6，综上所述：当t=2s或6s时，以E，F，N，M为顶点的四边形为平行四边形；（2）作MN的垂直平分线交AD于M，交BC于N，交MN于O点，作MQ⊥BC于Q，如图，∵AD∥BC，∴∠OEM=∠OFN，∠OME=∠ONF，在△OME和△ONF中，，∴△OME≌△ONF，∴EM=FN，而EM∥FN，∴四边形MENF为平行四边形，∵MN⊥EF，∴四边形MENF为菱形，在Rt△MNQ中，∵MQ=AB=4，NQ=BQ﹣BN=AM﹣BN=10﹣8=2，∴MN==2，∴OM=，∵∠NMQ=∠OEM，∴Rt△OEM∽Rt△QMN，∴=，即=，解得EM=5，∴NF=5，∴AE=AM﹣EM=5，BQ=BN+NF=13，∴=．故答案为：2或6；．【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．也考查了相似三角形的判定与性质．三、作图题（3分）17．现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形．（标上相应的序号）【考点】作图—应用与设计作图．【分析】利用正方形的性质可得出其边长，进而得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确得出正方形边长是解题关键．四、耐心算一算（每小题4分，共16分）18．用配方法解方程：2x2+2x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程整理后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2+x=，配方得：x2+x+=，即（x+）2=，开方得：x+=±，解得：x1=﹣+，x2=﹣﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．用适当的方法解关于x的一元二次方程：（1）x（3x+4）=2（公式法）（2）（2x+1）2﹣3（2x+1）+2=0（3）mx2﹣（4m﹣1）x+3m﹣1=0（m≠0）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．【专题】计算题．【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）3x2+4x﹣2=0△=42﹣4×3×（﹣2）=40，x==所以x1=，x2=；（2）[（2x+1﹣1][（2x+1﹣2]=0，2x+1﹣1=0或2x+1﹣2=0，所以x1=0，x2=；（3）[mx﹣（3m﹣1）]（x﹣1）=0，mx﹣（3m﹣1）=0或x﹣1=0，所以x1=，x2=1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．五、解答与证明（共33分）20．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．【解答】证明：连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．21．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．【解答】解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，=ABBC+ACCD，∴S四边形ABCD=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．22．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知AB=8cm，BC=10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），求EC．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由翻折的性质可知AF=AD=10，由勾股定理可先求得BF的长，然后在△FEC中，依据勾股定理、翻折的性质进行求解即可．【解答】解∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=10，CD=AB=8．∠B=∠C=90°由翻折的性质可知；AF=AD=10，EF=ED．设EC=x，则EF=8﹣x．在Rt△ABF中，BF==6∴FC=4．在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，∴（8﹣x）2=16+x2解得：x=3．∴EC=3．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．23．已知：关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．【考点】根的判别式；一元一次方程的解；解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）分类讨论m=0和m≠0两种情况下方程根的个数；（2）把mx2+（3m+1）x+3=0因式分解得到x1=﹣，x2=﹣3，根据题意可知﹣是整数，据此求出正整数m的值．【解答】（1）证明：当m=0时，x=﹣3，当m≠0时，b2﹣4ac=（3m﹣1）2≥0，所以该一元二次方程有两个实根，综上不论m为何实数，此方程总有实数根；（2）解：∵mx2+（3m+1）x+3=0，∴（mx+1）（x+3）=0，∴x1=﹣，x2=﹣3，∵方程有两个不同的整数根，且m为正整数，∴m=1．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．24．如图，已知在△ABC中，DE∥BC交AC于点E，交AB于点D，DE=BC求证：D、E分别是AB、AC的中点．【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】如图，作BF∥AC交ED的延长线于点F，构建平行四边形BCEF，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定定理AAS得到△ADE≌△BDF，则该全等三角形的对应边相等：AD=BD，AE=BF=EC，即证得结论．【解答】证明：作BF∥AC交ED的延长线于点F，∵DE∥BC，∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC=EF=2ED，AC∥BF，EC=BF，∴ED=DF，∠A=∠DBF，∴在△ADE与△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（AAS）∴AD=BD，AE=BF=EC，即D、E分别是AB、AC的中点．【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质．注意：本题中辅助线的作法，通过作辅助线构建全等三角形是解题的难点．25．如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG．（1）求证：BE=DG，BE⊥DG；（2）连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：△MPN是等腰直角三角形；（3）若AB=4，EF=2，∠DAE=45°，直接写出MN=2．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；正方形的性质．【分析】（1）根据SAS证明△BEA与△DAG全等，再利用全等三角形的性质证明即可；（2）利用三角形中位线定理证得△MPN是等腰直角三角形；（3）过点G作GH垂直于DA的延长线于点H，利用勾股定理得出DG，进一步得出PN，利用勾股定理得出结果．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD和正方形AEFG，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAD+∠DAE=∠EAG+∠DAE，∴∠BAE=∠DAG，∵在△BEA与△DAG中，，∴△BEA≌△DAG（SAS），∴BE=DG，∠ADG=∠ABE，∴∠BOD=∠BAD=90°，∴BE⊥DG；（2）证明：如图，由三角形中位线定理可得：MP∥BE，MP=BE，PN∥DG，PN=DG，∴PM=PN，∠MPN=∠BOD=90°，即△MPN是等腰直角三角形；（3）解：如图，过点G作GH垂直于DA的延长线于点H，∵∠DAE=45°，∠EAG=90°，∴∠HAG=45°，∵EF=2，∴AH=HG=2，∵AB=4，∴DH=6，∴DG==2，∴NP=MP=，∴MN=2．【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，结合图形和数据，灵活作出辅助线解决问题．26．如图，在正方形ABCD外侧作直线DQ，点C关于直线DQ的对称点为P，连接DP、AP，AP交直线DQ于点F，交BD于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠QDC=25°，求∠DPA的度数；（3）探究线段AE、EF、FP的等量关系并加以证明．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可；（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；（3）由轴对称的性质可得：EC=EA，FC=FP，∠DPA=∠DAP=∠DCF，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：（2）∵∠QDP=∠QDC=25°，DP=DC=AD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠QDP=∠QDC=25°，∴∠PDA=140°，∴∠DPA==20°；（3）AE2=EF2+FP2，∵△DAE≌△DCE，△DFP≌△DFC，可得：EC=EA，FC=FP，∠DPA=∠DAP=∠DCF，∵∠DEA+∠DAP=∠CEF+∠DCF=90°，∴∠EFC=∠ADC=90°，∴AE2=EF2+FP2【点评】此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用轴对称的性质得出对应边相等是解题关键．六、附加题：思维拓展（本题6分，计入总分）27．已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）首先作EF⊥AB于点F，根据直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B，分别求出A、B的坐标，以及AB的长度各是多少；然后设EF=EO=x，则BE=3﹣x，BF=1，再根据勾股定理，可得BE2=EF2+BF2，据此求出x 的值是多少，即可确定出∠BAO的平分线的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形．根据题意，分3种情况：①当AN、OM是菱形ANMO的两条对角线时；②当AO、MN是菱形ANMO的两条对角线时；③当AM、ON是菱形ANMO的两条对角线时；然后根据菱形的特征，分别求出点N的坐标各是多少即可．【解答】解：（1）如图1，AE为∠BAO的平分线，交y轴于点E，作EF⊥AB于点F，∵直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B，∴A（﹣4，0），B（0，3），∴AB==5，设EF=EO=x，则BE=3﹣x，BF=AB﹣AF=AB﹣AO=5﹣4=1，∵BE2=EF2+BF2，∴（3﹣x）2=x2+12，解得，∴点E的坐标是（0，），设AE的函数关系式是y=kx+b，则解得∴∠BAO的平分线的函数关系式是y=（x≥﹣4）．（2）存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形．①如图2，∵四边形OAMN为菱形，∴ON∥AB，ON=AO=4，∵AB所在的直线的解析式是y=x+3，∴ON所在的直线的解析式是y=x，设点N的坐标为（m，），则m2+（m）2=42，解得m=±，∴点N的坐标为（）或（﹣，﹣）．②如图3，当AO是菱形ANOM其中的一条对角线时，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴MN所在的直线的解析式是x=﹣2，当x=﹣2时，=﹣+3=，∴点N的坐标为（﹣2，﹣）．③如图4，设点N的坐标为（m，n），当AM、ON是菱形ANMO的两条对角线时，∵AM⊥ON，∴…（1），∵ON的中点P在直线AB上，∴…（2），由（1）（2），解得∴点N 的坐标为．综上，可得点N 的坐标为，，或．【点评】（1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．。

初中数学试卷 桑水出品北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第二学期初二年级数学期中试卷班级 姓名_______ 学号_______ 成绩_______一、选择题：（每题3分，共30分．请将唯一正确的答案填涂在机读卡上．）1．在三边分别为下列长度的三角形中，不是．．直角三角形的是 A ．9，12，15 B ．1，2，3 C ．2，3，5 D ．4，7，52．用配方法解方程0522=--x x 时，原方程应变形为A. 6)1(2=+xB. 6)1(2=-xC. 9)2(2=+xD. 9)2(2=-x3．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是A ．AB ＝CD B ．AC ＝BD C ．AB ＝BC D ．AC ⊥BD4．如图，矩形ABCD 中,AB=3，两条对角线AC 、BD 所夹的 钝角为120°，则对角线BD 的长为A ．3B ．6C ．D ．5. △ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若△DEF 的周长为6，则△ABC 周长为A. 3B. 6C. 12D. 246．如图，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是A ．O D C B A 7．若关于y 的一元二次方程 ky 2 - 4y - 3 = 3y + 4 有实数根, 则k 的取值范围是A ． k ≥74-且k ≠ 0B ． k > 74-且k ≠ 0C ．k ≥74-D ．k > 74-8. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米 9. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm(第9题) (第10题)10．如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的个数有① 四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ② 四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③ 四边形A 5B 5C 5D 5的周长是4a b +； ④ 四边形A n B n C n D n 的面积是12n ab +． A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个二、填空题：（每题2分，共20分．请将答案写在答题纸上．）11. 一元二次方程x 2－5 x ＝0的根是________．12. 若1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =________．13．若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 ． 14. 如右图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，若EF ＝3，则菱形ABCD 的周长是 ．15．已知菱形的一条对角线长为12，面积是30，则这个菱形的另一条对角线长是________.16．如右图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O,两条对角线的和为18，AD 的长为5，则∆OBC 的周长为___________．17．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它的斜边上F EA的高为．18．把一张矩形纸片ABCD按如右图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若∠ DEF=60°，FC=2，则BF的长为．19．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是线段OA上一点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____________________.20. 如图，由全等三角形拼出的一系列图形中，第n个图形由n+1个全等三角形拼成，则第4个图形中平行四边形的个数为；第2n－1个图形中平行四边形的个数为.……以下空白处可当草稿纸使用D CB A 北京师范大学附属实验中学2014—2015学年度第二学期初二年级数学期中试卷（答题纸）班级 姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题：（共20分．请将答案写在横线上．）11. ． 12. ．13. ． 14. ．15. ． 16. ．17. ． 18. ．19. ． 20. ， ．三、解答题：（共50分）21．解方程（共16分）（1） ()232=+x （2）2250x x +-= （3）9)7)(3(-=+-x x （4）2632-=x x 22.(5分) 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且CF AE =.求证：四边形BFDE 是平行四边形.23.(5分) 如图，四边形ABCD 中, AD//BC, ∠ABC=45︒ , ∠ADC=120︒ ，AD=DC ，AB=22,求BC 的长.24.(5分) 列方程解应用题： 某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？25.(4分) 根据题意作出图形，并回答相关问题： （1）现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请在图1中用分割线把它们分割后标上序号，重新在图2中拼接成一个正方形．（标上相应的序号）（2）在△ABC 中，AC =BC =2，∠ACB =90︒，D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上一动点，在右图中作出点E ，使EC +ED 的值最小 (不写作法，保留作图痕迹) ，BC DA E F此时EC +ED 的值是________.26.(5分) 已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m --+-= .（1）证明：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若0≠m ，设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x >2x ），若y 是关于m 的函数，且121x x y -=，求y 与m 的函数解析式. 27.(5分) 有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm ，BC = 8cm.①如图1，现将纸片沿直线AD 折叠，使直角边AC 落在斜边AB 上，则CD = _________ cm.图1 图2②如图2，若将直角∠C 沿MN 折叠，点C 与AB 中点H 重合，点M 、N 分别在AC 、BC 上，则2AM 、2BN 与2MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.班级 姓名_______ 学号_______28.(5分) （1）如图1，将∠EAF 绕着正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转，∠EAF 的两边交BC 于E ，交CD 于F ，连接EF ．若∠EAF=45°，BE 、DF 的长度是方程2560x x -+=的两根，请直接写出EF 的长；（2）如图2，将∠EAF 绕着四边形ABCD 的顶点A 顺时针旋转，∠EAF 的两边交CB 的延长线于E ，交DC 的延长线于F ，连接EF ．若AB=AD ，∠ABC 与∠ADC互补，∠EAF=21∠BAD ，请直接写出EF 与DF 、BE 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的前提下，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF 的周长．图1 图2（1）EF 的长为： ；（2）数量关系： ；证明：附加题（共10分）29.(4分) 请阅读下列材料：问题：如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使得BP AP +的值最小．小明的思路是：如图2，作点A 关于直线l 的对称点'A ，连接B A '，则B A '与直线l 的交点P 即为所求.图3l C A B P A 'D PB A l l 图2图1AB请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设'AA 与直线l 的交点为C ，过点B 作l BD ⊥，垂足为D . 若1=CP ，2=PD ，1=AC ，写出BP AP +的值为 ；（2）将（1）中的条件“1=AC ”去掉，换成“AC BD -=4”，其它条件不变，写出此时BP AP +的值 ；（3）1)32(2+-m +4)28(2+-m 的最小值为 ．30.(6分) 如图1，在△ACB 和△AED 中，AC=BC ，AE=DE ，∠ACB ＝∠AED ＝90°，点E 在AB 上，点D 在AC 上．（1）若F 是BD 的中点，求证：CF=EF ；（2） 将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使AE 恰好在AC 上（如图2）．若F 为BD 上一点，且CF=EF ，求证：BF= DF ； （3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3）．若F 是BD 的中点．探究CE 与EF 的数量关系，并证明你的结论．以下空白处可当草稿纸使用参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. C 9. A 10. C 二、 填空题11. 0,512. -2. 113. -214. 2415. 516. 14 17. 1360 18. 419. (2，4)、(3，4)、 (8，4)20. 6， n ²三、解答题 21. (1) 23±-=x(2) 1211x x =-+=-（3）9)7)(3(-=+-x x ；解：92142-=-+x x01242=-+x x …… 2分0)2)(6(=-+x x∴2,621=-=x x …… 4分（4）333±=x 22. 证明：连接BD 交AC 于点O ．．．．．．．1分 Q □ ABCD,AO CO BO DO ∴== ．．．．．．．3分又 AE CF =QEO FO ∴=且BO DO = ．．．．．．．4分∴□ BFDE ．．．．．．．5分 （其他证法相应给分）23. 解：如图，过A 作AE ⊥BC 于E, 连接AC.∴ ∠AEB=∠AEC=90︒.∵ ∠ABC=45︒，AB=22,O F E D C B A∴ AE=BE =2. ………………1分∵ AD//BC, ∠ADC=120︒，∴ ∠1=∠2, ∠D+∠DCB=180︒.∴ ∠DCB=60︒. ………………………………………………………………………2分 ∵ AD=DC,∴ ∠1=∠3.∴ ∠2=∠3=21∠DCB=30︒. ……………………………………………………3分 在Rt △AEC 中，∠AEC=90︒，∴ AC=2AE=4∴EC=22AE AC -=32.…………………………………………………4分∴ BC= BE+EC=2+32. …………………………………………………5分24. 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．则依题意得：21010(1)10(1)x x ++++=33.1把（1+x ）看成一个整体，配方得： 21(1)2x ++=2.56，即23()2x +=2．56, ∴x +32=±1.6，即x +32=1.6或x +32=-1.6. ∴1x =0.1=10%，2x =-3.1∵因为增长率为正数，∴取x =10%.答:该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．25. （1）（226. 解：（1）由题意有22[(21)]4()1m m m ∆=----=＞0.∴ 不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根. ---------------------2分（2）方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x >2x ），解关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m --+-=可得1x m =，21x m =-. ---------------------4分∴mm m x x y 111112=--=-=. --------------5分 27. (1) 3 ……2分（2）答：2AM +2BN =2MN ……… 3分证明：过点B 作BP ∥AC 交MH 延长线于点P ，∴∠A=∠PBH在△AMH 和△BPH 中∠A=∠PBHAH=BH∠AHM=∠BHP∴△AMH ≌△BPH∴AM=BP ，MH=PH又∵NH ⊥MP∴MN=NP∵BP ∥AC ，∠C=90︒∴∠NBP=90︒∴222NP BN BP =+∴2AM +2BN =2MN ……… 5分28. 解：（1）5． ………… 1分（2）EF=DF-BE ． ………… 2分证明：在DF 上截取DM=BE ，连接AM ．如图，∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°,∴∠D=∠ABE ．∵AD=AB ，∴△ADM ≌△ABE ．∴AM=AE ，∠DAM=∠BAE ．∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=21∠BAD ，∴∠DAM+∠BAF=21∠BAD ．∴∠MAF=21∠BAD ．∴∠EAF=∠MAF ．∵AF 是△EAF 与△MAF 的公共边，∴△EAF ≌△MAF ．∴EF=MF ．∵MF=DF-DM=DF-BE,∴EF=DF-BE．……… 4分(3) △CEF的周长为15．……… 5分29.（1）3倍根号2 ………2分（2）5 ………2分（3）根号34 ………1分30.（1）略（2）略（3）CE=EF取AD、AB的中点分别为M、N ，证明△EMF与△FNC全等，进而证明△CEF是等腰直角三角形即可。

2014-2015学年北京八中分校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）▱ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（3分）已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）A．3cm B．26cm C．24cm D．65cm3．（3分）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）A．8米B．10米C．12米D．14米4．（3分）方程x2+3x﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根5．（3分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝1.5，b＝2，c＝3B．a＝7，b＝24，c＝25C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝3，b＝4，c＝56．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．7．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1B．﹣+1C．﹣1D．8．（3分）平行四边形一边长10cm，那么它的两条对角线的长可能是（）A．10cm和8cm B．13cm和7cm C．9cm和9cm D．9cm和12cm 9．（3分）能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）A．AD＝BC，AB∥CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．AB＝BC，AD＝DC D．AB∥CD，CD＝AB10．（3分）若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥且k≠0B．k＞且k≠0C．k≥D．k＞二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）一元二次方程（x+2）2﹣x＝3（x2+2）化为一般形式是，它的一次项是，常数项是．12．（3分）时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是．13．（3分）若▱ABCD的∠BAD的平分线交BC于E，且AE＝BE，则∠BCD等于度．14．（3分）已知a＜0，则点P（a2，﹣a+3）关于原点的对称点P1在第象限．15．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是°．16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC＝．于E，若线段AE＝5，则S四边形ABCD17．（3分）如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于．18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为．三．解答题19．（16分）解方程（1）3x2﹣4x＝2（2）（x﹣6）2＝2（6﹣x）（3）x2﹣1＝4x（用配方法）（4）4（x﹣3）2＝（3x+5）2．20．（5分）已知：如图，▱ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE ＝BF．21．（4分）市人民政府为了解决群众看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品，经过连续两次降价后，由每盒200元调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A、B对称点的坐标．23．（5分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．24．（5分）已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，此方程总有实数根；（2）若关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3＝0的两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．25．（5分）已知：点P为正方形ABCD内一点，连接P A、PB、PC，若AP2+CP2＝2PB2，求证：A、P、C三点共线．四、解答题（共2小题，满分0分）26．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10℃，令G（t）表示时间段0﹣t月的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）A．B．C．D．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM＝，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：．2014-2015学年北京八中分校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）▱ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠C的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A＝×180°＝60°，∴∠C＝60°．故选：C．2．（3分）已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）A．3cm B．26cm C．24cm D．65cm【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的三边的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴AC+BC+AB＝2（DE+DF+EF）＝2×（3+4+6）＝26（cm）．故选：B．3．（3分）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（）A．8米B．10米C．12米D．14米【解答】解：画出示意图如下所示：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，∴AB＝12m，即旗杆的高是12m．故选：C．4．（3分）方程x2+3x﹣4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根【解答】解：x2+3x﹣4＝0，∵△＝b2﹣4ac＝9+16＝25＞0，∴方程x2+3x﹣4＝0，有两个不相等的实数根．故选：A．5．（3分）下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a＝1.5，b＝2，c＝3B．a＝7，b＝24，c＝25C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝3，b＝4，c＝5【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；B、∵72+242＝252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵32+42＝52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．故选：A．6．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或﹣1D．【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故选：B．7．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1B．﹣+1C．﹣1D．【解答】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：＝，∴﹣1到A的距离是，那么点A所表示的数为：﹣1．故选：C．8．（3分）平行四边形一边长10cm，那么它的两条对角线的长可能是（）A．10cm和8cm B．13cm和7cm C．9cm和9cm D．9cm和12cm 【解答】解：如图，BC＝10cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝BD，OC＝AC；A、若AC＝8cm，BD＝10cm，则OB＝5cm，OC＝4cm，∵5+4＜10，不能组成三角形，故本选项错误；B、若AC＝7cm，BD＝13cm，则OB＝6.5cm，OC＝3.5cm，∵3.5+6.5＝10，∴不能组成三角形，故本选项错误；C、若AC＝9cm，BD＝9cm，则OB＝4.5cm，OC＝4.5cm，∵4.5+4.5＜10，不能组成三角形，故本选项错误；D、若AC＝9cm，BD＝12cm，则OB＝6cm，OC＝4.5cm，∵6﹣4.5＜10＜6+4.5，能组成三角形，故本选项正确．故选：D．9．（3分）能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）A．AD＝BC，AB∥CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．AB＝BC，AD＝DC D．AB∥CD，CD＝AB【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，A、B、C均不符合是平行四边形的条件；D、满足一组对边相等且平行的四边形是平行四边形．故选：D．10．（3分）若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3＝3y+4有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥且k≠0B．k＞且k≠0C．k≥D．k＞【解答】解：方程化为一般式为：ky2﹣7y﹣7＝0有实数，∵关于y的一元二次方程ky2﹣7y﹣7＝0有实数根，∴k≠0且△≥0，即（﹣7）2﹣4k×（﹣7）≥0，解得k≥﹣，∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选：A．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）一元二次方程（x+2）2﹣x＝3（x2+2）化为一般形式是2x2﹣3x+2＝0，它的一次项是﹣3x，常数项是2．【解答】解：原方程可化为：x2+4x+4﹣x＝3x2+6；移项合并同类项得一般形式2x2﹣3x+2＝0．一次项是﹣3x，常数项是2．12．（3分）时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的旋转角是90°．【解答】解：∵时针从上午的8时到11时共旋转了3个格，每相邻两个格之间的夹角是30°，∴时针旋转的旋转角＝30°×3＝90°．故答案为：90°．13．（3分）若▱ABCD的∠BAD的平分线交BC于E，且AE＝BE，则∠BCD等于120度．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∠AEB＝∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∵AE＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝120°．故答案为120．14．（3分）已知a＜0，则点P（a2，﹣a+3）关于原点的对称点P1在第三象限．【解答】解：∵a＜0，∴a2＞0，﹣a+3＞0，∴P点在第一象限，∴关于原点的对称点P1在第三象限．故答案为：三．15．（3分）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠D的度数是60°．【解答】解：由旋转的性质可知，∠AOC＝40°，而∠AOD＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠AOC＝50°又∵点C恰好在AB上，OA＝OC，∠AOC＝40°，∴∠A＝＝70°，由旋转的性质可知，∠OCD＝∠A＝70°在△OCD中，∠D＝180°﹣∠OCD﹣∠COD＝60°．16．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC 于E，若线段AE＝5，则S四边形ABCD＝25．【解答】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，∵AE⊥BC，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠CF A＝90°，而∠C＝90°，∴四边形AECF为矩形，∴∠2+∠3＝90°，又∵∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABE和△ADF中∴△ABE≌△ADF，∴AE＝AF＝5，S△ABE ＝S△ADF，∴四边形AECF 是边长为5的正方形，∴S 四边形ABCD ＝S 正方形AECF ＝52＝25．故答案为25．17．（3分）如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 10 ．【解答】解：设设三角形的两直角边分别为x ，y ， 则，由②得x 2+y 2﹣2xy ＝4…③，①﹣③得2xy ＝48则（x +y ）2＝x 2+y 2+2xy ＝52+48＝100，x +y ＝＝10．故答案是：10．18．（3分）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，取斜边的中点，向斜边作垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为 ．【解答】解：由题意知，画到第7个三角形，其斜边与△ABC 的BC 边重叠．∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝．再依次运用勾股定理可求得第7个三角形的斜边长是．故此时这个三角形的斜边长为．三．解答题19．（16分）解方程（1）3x2﹣4x＝2（2）（x﹣6）2＝2（6﹣x）（3）x2﹣1＝4x（用配方法）（4）4（x﹣3）2＝（3x+5）2．【解答】解：（1）3x2﹣4x﹣2＝0，△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣2）＝40，x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）（x﹣6）2+2（x﹣6）＝0，（x﹣6）（x﹣6+2）＝0，x﹣6＝0或x﹣6+2＝0，所以x1＝6，x2＝4；（3）x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝5，（x﹣2）2＝5，x＝2±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（4）4（x﹣3）2﹣（3x+5）2＝0，（2x﹣6+3x+5）（2x﹣6﹣3x﹣5）＝0，2x﹣6+3x+5＝0或2x﹣6﹣3x﹣5＝0，所以x1＝，x2＝﹣11．20．（5分）已知：如图，▱ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠DEA＝∠BFC在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴DE＝BF．21．（4分）市人民政府为了解决群众看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品，经过连续两次降价后，由每盒200元调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得200×（1﹣x）2＝128解得x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去）答：这种药品平均每次降价率是20%．22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A、B对称点的坐标．【解答】解：（1）如图所示：A1（0，4），B1（﹣2，4）；（2）如图所示：△OAB关于原点O的中心对称图形，点A、B对称点的坐标分别为：A′（﹣4，0），B′（﹣4，﹣2）．23．（5分）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接AC．∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形，＝AB•BC+AC•CD，∴S四边形ABCD＝×1×2+××2，＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．24．（5分）已知关于x的方程kx2+（3k+1）x+3＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，此方程总有实数根；（2）若关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3＝0的两个根均为整数，且k为正整数，求k的值．【解答】解：（1）①当k＝0时，方程为x+3＝0，解得x＝﹣3，∴此时方程有实数根；②当k≠0时，△＝（3k+1）2﹣12k＝（3k﹣1）2，∵（3k﹣1）2≥0，∴△≥0∴此时方程有实数根；∴综上，无论k取任何实数时，此方程总有实数根；（2）解方程得到：x＝，则x1＝﹣3，x2＝﹣．∵关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3＝0的两个根均为整数，且k为正整数∴k＝1．25．（5分）已知：点P为正方形ABCD内一点，连接P A、PB、PC，若AP2+CP2＝2PB2，求证：A、P、C三点共线．【解答】证明：将△P AB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．∵BP＝BP′，∠PBP′＝90°，∴△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2＝2PB2；∵P A2+PC2＝2PB2＝PP′2，∴PC2+P′C2＝PP′2，∴∠P′CP＝90°；∵∠PBP′＝∠PCP′＝90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC＝180°；∴∠BPC+∠APB＝180°，∴A、P、C三点共线．四、解答题（共2小题，满分0分）26．某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10℃，令G（t）表示时间段0﹣t月的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）A．B．C．D．【解答】解：注意到后几个月的气温单调下降，则从o到12月前的某些时刻，平均气温应大于10℃，可排除B；6月前的平均气温应小于10℃，故可排除C；又∵该年的平均气温为10℃，∴t＝12时，G（t）＝10，故D也不对．故选：A．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM＝，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：1≤AE≤3．【解答】解：（1）过点M作MH⊥AD交AD于点H，如图，则MH＝AB＝3，AH＝BM＝，∴矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E，∴EM＝BM＝，在Rt△EHM中，EH＝，∴AE＝AH﹣EH＝；（2）在Rt△ABC中，AC＝＝5，如图1，M点在C点处，沿∠ACB的对角线折叠，则CE＝CB＝4，所以AE＝AC ﹣BC＝1；如图2，N点在A点处，沿∠CAB的对角线折叠，则AE＝AB＝3，∴AE的取值范围为1≤AE≤3．故答案为1≤AE≤3．。