数轴的理解
数轴是体现数形结合思想的重要数学模型，能够直观反映数学的大小、顺序、正负，是坐标系建立的基础，所以全面理解数轴对培养学生数学思想有极其重要的作用。
一、目前教学的错误认识
一般地讲，数轴要有三要素：正方向、坐标原点和单位长度。
很多老师认为这三个特征缺一不可。
但是需要注意的是缺一不可的含义并不是必须画出来。
就像几何证明是建立在公里基础上的，但是我们没有必要每个问题都把公理搬出来。
下面是一个国标级的表述：
这种表述本身没有错误，但是理解有一些问题。
有些老师根据这种表述就提出了下列图形不是数轴：
因为找不到坐标原点和单位长度。
因此要求学生画数轴时必须画出三要素，这种要求在初学数轴时是必要的，但是如果过分强调这三要素必须画出才叫数轴就给学生一个错误的理解，也为以后数学地思考造成了障碍。
这种理解源于对定义的理解问题
1、“规定了”和“画出了”的区别。
实际上我们很多时候要求画出来的没有必要的。
比如
这个是不是数轴。
当然是，因为从数字的排列看，右边一定是正方向，1左边的一个单位的位置就一定是坐标原点，因此这个图形规定出来了数轴的三要素，因此应该是数轴。
数学中的规定性有时是可以违反直观的，比如下图中OA和OB一样长吗？你可定会认为不一样长。
但是如果题中已知OA=OB，这样画就错了吗？很多人会认为错了。
但是这是不对的。
因为两条线段不相等是你量出来的，而两条线段相等是题中给的已知条件，请问哪个更为优先呢？当然是已知条件，因为这是我们思考的基本依据。
至于测量出来不等可以归结为作图误差，不能作为否定已知条件的理由。
规定正方向，并不要求一定向右或者必须画出来，因此可以间接规定，而不画出来。
这样才能在实际应用过程中避免出现思维障碍或者浪费时间。
比如如果让学生表示一千万的点，还有画出单位1和坐标原点，在要求长度准确，请问能做到不？
2、每个数轴都应该有确定的三要素吗？比如“数轴上任意两点”怎么表示。
按照下图表示，A和B是任意两点吗？
如果规定了O是坐标原点，那么A就只能表示一个负数，因此并不是任意两点。
如果把O点去掉就是任意两点了吗，还不是。
因为数轴有正方向，这样画就是隐含了数A小于数B 的结论。
所以说只有在一个没有三要素的数轴上任一点两个位置作为A和B才能叫任意两点。
可见，在表述实际问题有时是不能用确定的数轴表述的。
二、应该怎样理解数轴
1、数轴规定的必要性。
数轴的三要素是规定一个确定数轴的必要条件。
这里用的词是“规定”，所以这种规定就是要有必要性。
因为没有明确的规定，数与直线上的点就不会出现一一对应的关系。
我们是想用点的位置关系直观地描述数学的大小关系，因此这些规定都是必须的。
规定方向的目的，是为了将数能够按照大小在直线上排列起来。
规定了坐标原点和单位长度，才能都依次确定其他数的位置。
区别数轴就是看这些规定是不是一样。
如果一样那就是同一个数轴。
数轴的三要素是数轴的基本要素，因此对任意一个数轴来说都必须明确。
但是明确需要一个度。
对于一个确定性问题，数轴三要素是已知的。
对于一个实际问题来说三要素可能是不确定的，等问题解决了三要素才能确定出来。
2、数轴规定的任意性。
三要素的规定是任意的，是可以根据我们的实际需要规定的。
比如正方向，我们一般要求是向右的方向，但这不能让学生理解为只能是向右，不能只有在说温度计时才把数轴立起来。
我们数轴水平放置是由于我们的书写是按行书写的，水平放置的数轴可以避免版面的浪费，所以才有左右的两个方向，直线在平面上是任意方向的，因此数轴的方向可以指向任意方向，而不是左右两个方向，更不是只有右向。
学生之所以会出现这样的理解，是因为我们举出了太多的这样的数轴，而几乎没有其他方向的。
这是默会知识，自然习得的，并不是老师说的，而是做出来的。
不仅数轴的方向规定是任意的，原点和单位长度更是任意的。
原点是数轴上的哪一点？每个学生在数轴上任意点一点，他们得到的坐标原点不一样吗？其实是一样的，因为直线上任意一点都可以把数轴分成完全一样的两条射线。
因此过分强调原点的位置也是不对的。
同样我们强调的是单位长度，而不是1厘米，1公里等，而是抽象的单位1。
单位1是小学应用题中的一个难点，把谁看做单位1。
学生在学数轴时，物理还没学，所以只能由数学老师把长度单位讲一下了。
长度单位有很多，不仅包括物理中讲的长度单位，还应该包括任意长度。
也就是说，在实际使用数轴时，我们可以把任意长度作为单位用于规定数轴的长度。
教学中每个问题中都应该让学生有把谁看做1的思考。
3、数轴的工具性。
数轴是我们研究数的性质的工具，因此要以合理使用为主要目的。
数轴能够用来干什么。
数轴是一个数形结合的模型。
可以从整体上认识数的概念，包括数的大小，实数的有序性和稠密性，无理数存在的可能性，数与点的对应关系，坐标的概念基础等。
教学中过分强调数轴本身是没有必要的，要重视在不同实际问题中，如何利用数轴将实际问题表述清楚。
重点训练以下几点:
●数与点的对应关系。
包括给我一个数我就可以在数轴上找到一个点，反之亦然；这类问题主要是要求你将数标在数轴上，这种习题有很多，增加了很多其他相关知识造成了学生基本技能训练的不足。
这里训练缺失的包括：如何表述一个很大的数和一个不知道具体数值的数。
比如数轴上表示数的训练：怎么表示一千万，怎么表示任意一个正数；利用数轴估计数的训练：给你一个数在数轴上的位置，要求你写出这个数的近似值。
●数的大小与点的顺序的关系。
利用这种关系能够比较两个数的大小，也可以说明不同点在数轴上的位置。
这方面的训练过分强调了原点的分界作用，而对于任意点的分界作用强调不够，没有给解不等式提供经验基础。
在理解数的大小基础上，还要强化数可以根据数轴理进行排序的，可以从小到大排序、也可以从大到小排序，可以等间距排序、也可以变间距排序，为数列的学习提供经验基础。
●理解数学概念。
很多数学概念都可以通过数轴理解，这里可以提出一些创新性的新概念，也可以直观理解旧概念。
比如理解平均数时，我们可以把这些数表示在数轴上，再看这些数的位置与平均数位置之间的关系，从平均数对应的点是处在这些数的核心位置，从
而理解什么时候需要求平均数，以及用平均数能够解释一组数的什么性质。
再比如可以定义对称数、等距数等新概念，为绝对值等概念的学习提供经验基础。
实际问题的表述。
将实际问题表述到数轴上，建立已知和未知的联系，从而达到解决实际问题的目的。
提供小学实际问题线段图表述的定量水平，将线段改成数轴，可以用来解决一些实际问题，也可以解决一些抽象的数学问题。
强化实际问题中单位长度的理解不够，学生需要在实际问题中理解单位长度规定的任意性。
4、数轴的学习基础。
学生已经学习了数的大小比较，应用题的线段图，线段的长度，数量的单位。
学生应该在复习这些知识的同时概括出来一般性模型——数轴。
比如五年级的时候就学过类似的知识：数（整数、小数、分数）都可以用数轴上的点表示，也可以在数轴上比较数的大小，在数轴上表示两个数的点，在右边的点所表示的数总比在左边的点所表示的数大。
这就是用数轴比较两个数大小的开始。
小学阶段是直接比较两个具体数的大小，到初中就需要比较具有某些性质或条件的任意两个数的大小了。
数轴是数学中重要的概念和工具，小学阶段已经具有了初步的数轴经验，到初中就应该提升其理论性，为代数学习奠定基础。
要通过逻辑分析的方法，理解数轴的方方面面，不仅失去了提升学生数学能力的机会，同时也可能给学生一些错误的默会知识，那么学生就只能在不断解题纠错的过程中锤炼自己的意志，而不是运用数轴的有力工具解决各种数学问题。
这种前后矛盾的教学会给部分孩子造成思维的混乱，违反了有效教学的基本原则。
