第八讲 一元一次方程复习

乐博思
《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1．经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；
2．了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；
3．能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的解的合理性．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．。

一元一次方程--专题复习1、定义：2、一般形式：3、解一元一次方程的步骤：去分母--去括号--移项--合并同类项--化系数为1①合并同类项--- 依据是 注意：（1）系数合并时要连同前面的＋、－号；（2）合并同类项的实质是系数的合并，字母和指数都不变；（3）系数的合并实际上是有理数的加法运算②移项---注意：（1）移项时，所移的项一定要变号，而且必须是从方程的一边移到另一边；（2）通常将未知数移到等号的左边；常数项移到等号的右边； ③系数化为1注意：最终结果应化简或约分【基础演练】1、小明在解方程为未知数）x x a (135=-时，误将-x 看成+x ，得出的解是x=-2,则原方程的解是 。

2、若关于x 的一元一次方程12332=---k x k x 的解是x=-1，则k 的值是3、下列方程中解为1=x 的是（ ）A.23+=x xB.121=-xC.121=+xD.22131=--+x x 4、关于x 的方程23=-x m 与方程2x-1=3d 的解相同，则m= 。

知识梳理1、一元一次方程看“两数”【例1】若方程0253=+-m x 是关于x 的一元一次方程，则m= .【例2】若关于x 的方程（m-1)x+5=3m 是一元一次方程，则m .【例3】已知关于x 的方程k k xk 351)2(=+--是关于x 的一元一次方程，则k = . 2、开放性问题【例1】把若干糖果分给若干小朋友，若每人3块，则多12块，若每人5块，则缺10块，就以上情景，请你提出一个问题并列一元一次方程解答。

【巩固练习】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，设该电器的成本价位x 元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A.()2080%80%301=⨯+xB.2080%80%30=∙∙xC.x =⨯⨯%80%302080D.%802080%30⨯=∙x3、应用合并同类项解方程【例1】解方程：1641321161814121=------x x x x x x x题型分析4、变形题聚焦【例1】天平盘内分别盛有盐，B 盘中有盐45g ，若从A 盘中拿出3g 放入B 盘，这时天平正好平衡，问A 盘中德盐有多少？【变式1】有两个工程队，甲工程队有32人，乙工程队有28人，如果使甲工程队的人数是乙工程队的两倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？【变式2】甲乙两人分别存书128本和54本，现要让甲给乙一部分书，使甲有的书占乙有的书的20%，问甲给了乙多少本书？5、解方程（1）103.02.017.07.0=--x x （2）32532+=-x x（3）)24(7)816(5)12(3-=---x x x （4）3)562(25)623(32=---x x6、建立一元一次方程模型，解决问题(1). x 的12减去3等于－1，则=x _______________ （2）若式子12－3（9－y ）与式子5（y －4）的值相等，则y= _________． (3) 34+x 与56互为倒数，则=x _______________________ （4）. 若23234+x a 与43152+x a 是同类项，则x= . （5）．若()022=-+-y y x ，则y x += _________________(6)．方程12-x =54+x 的解是___________________________7、实际应用投资收益问题：投资问题中投资收益=%100⨯实际投资额投资收益. 【例1】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开放商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可以在以下两种方案中作出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得租金为商铺标价的10%。

专题08 一元一次方程（知识大串讲）【知识点梳理】考点1 一元一次方程1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；2.方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值考点2 等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；考点3含参一元一次方程1、次数含参：主要考察一元一次方程定义2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数考点4一元一次方程的解使一元一次方程等号左右两边相等的未知数的值。

考点5 解一元一次方程解一元一次方程的步骤：1.去分母两边同乘最简公分母2.去括号（1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号（2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项（1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项（1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax = b ”的形式（ a ≠ 0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1（1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 abx =； （2）注意：分子、分母不能颠倒【典例分析】【考点1 一元一次方程定义】【典例1】（2021秋•雅安期末）下列四个方程中，是一元一次方程的是（ ） A ．x 2﹣1＝0 B ．x ﹣1＝0C ．x +y ＝1D ．﹣1＝0【答案】B【解答】解：A ．根据一元一次方程的定义，x 2﹣1＝0中x 的次数是2，那么x 2﹣1＝0不是一元一次方程，故A 不符合题意．B ．根据一元一次方程的定义，x ﹣1＝0是一元一次方程，那么B 符合题意．C ．根据一元一次方程的定义，x +y ＝1中含有两个未知数，那么x +y ＝1不是一元一次方程，故B 不符合题意．D ．根据一元一次方程的定义，不是整式方程，而是分式方程，那么不是一元一次方程，故D 不符合题意． 故选：B ．【变式1】（2022春•沙坪坝区期末）下列方程是一元一次方程的是（ ） A ．2x 2﹣1＝0B ．y ＝x +1C ．＝1D ．x ﹣2＝1【答案】D【解答】解：A、未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；C、方程左边是分式，不是一元一次方程，故本选项不符合题意；D、符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意．故选：D【考点2 等式性质】【典例2】（2022春•龙凤区期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（）A．由a＝b，得＝B．由﹣3x＝﹣3y，得x＝﹣yC．由＝1，得x＝D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b【答案】D【解答】解：A．由a＝b，得＝，故A选项不符合题意；B．由﹣3x＝﹣3y，得x＝y，故B选项不符合题意；C．由＝1，得x＝4，故C选项不符合题意；D．若（m2+1）a＝（m2+1）b，则a＝b，故D选项符合题意；故选：D．【变式2-1】（2021秋•渭城区期末）根据等式的性质，下列变形错误的是（）A．若a＝b，则2a＝2b B．若2a＝3b，则2a﹣2＝3b﹣2C．若ac＝bc，则a＝b D．若＝，则2a＝2b【答案】C【解答】解：A．根据等式的基本性质，若a＝b，则2a＝2b，故A正确，那么A不符合题意；B．根据等式的基本性质，若2a＝3b，得2a﹣2＝3b﹣2，故B正确，那么B不符合题意；C．根据等式的基本性质，由ac＝bc，当c≠0，得a＝b，故C错误，那么C符合题意；D．根据等式的基本性质，若＝，则2a＝2b，故D正确，那么D不符合题意．故选：C．【变式2-2】（2021秋•庄河市期末）已知等式2a﹣3b＝9，则下列等式不成立的是（）A．2a＝9+3b B．2a﹣4＝9+3b C．D．3b＝2a﹣9【答案】B【解答】解：A、因为2a﹣3b＝9，所以2a＝9+3b，故A不符合题意；B、因为2a﹣3b＝9，所以2a﹣4＝9+3b﹣4，故B符合题意；C、因为2a﹣3b＝9，所以a﹣b＝，故C不符合题意；D、因为2a﹣3b＝9，所以3b＝2a﹣9，故D不符合题意；故选：B．【考点3含参一元一次方程】【典例3】（2021秋•禹州市期末）已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（）A．3或1B．1C．3D．0【答案】B【解答】解：根据题意得：|a﹣2|＝1，解得a＝3或a＝1，因为a﹣3≠0，所以a≠3，综上可知：a＝1．故选：B．【变式3-1】（2021秋•巩义市期末）若使方程（m+2）x＝1是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．m≠﹣2B．m≠0C．m≠2D．m＞﹣2【答案】A【解答】解：由题意可知：m+2≠0，解得m≠﹣2．故选：A．【变式3-2】（2022春•漳州期末）若关于x的方程2x m﹣1+3＝0是一元一次方程，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：根据题意得：m﹣1＝1，解得：m＝2．故选：D．【典例4】（2022春•漳州期末）若x＝2是方程2x+a﹣5＝0的解，则a的值是（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【答案】A【解答】解：把x＝2代入方程得：4+a﹣5＝0，解得：a＝1．故选：A．【变式4-1】（2021秋•许昌期末）已知x＝2是关于x的方程2x﹣a+6＝0的解，则常数a 的值是（）A．8B．10C．﹣8D．﹣10【答案】B【解答】解：把x＝2代入方程2x﹣a+6＝0得：4﹣a+6＝0，解得：a＝10，故选：B．【变式4-2】（2021秋•东莞市期末）若x＝2是方程4x+2m﹣14＝0的解，则m的值为（）A．10B．4C．﹣3D．3【答案】D【解答】解：把x＝2代入方程得：4×2+2m﹣14＝0，解得：m＝3，故选：D．【典例5】（2021秋•山西期末）若x＝2是关于x的一元一次方程ax﹣b＝3的解，则4a﹣2b+1的值是（）A．7B．8C．﹣7D．﹣8【答案】A【解答】解：∵x＝2是方程ax﹣b＝3的解，∴4a﹣2b＝6，∴4a﹣2b+1＝7，故选：A．【变式5】（2022•江津区一模）若x＝3是方程a﹣bx＝4的解，则﹣6b+2a+2021值为（）A．2017B．2027C．2045D．2029【答案】D【解答】解：把x＝3代入方程a﹣bx＝4得：a﹣3b＝4，所以﹣6b+2a+2021＝2（a﹣3b）+2021＝2×4+2021＝8+2021＝2029，故选：D．【考点4 解一元一次方程】【典例6】（2021秋•潼南区期末）方程5x﹣2（x﹣1）＝8去括号变形正确的是（）A．5x﹣2x+1＝8B．5x﹣2x﹣1＝8C．5x﹣2x+2＝8D．5x﹣2x﹣2＝8【答案】C【解答】解：方程5x﹣2（x﹣1）＝8去括号变形得：5x﹣2x+2＝8．故选：C．【变式6-1】（2021秋•天桥区期末）解方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1）时，去括号正确的是（）A．3﹣x+6＝5x+5B．3﹣x﹣6＝5x+1C．3﹣x+6＝5x﹣5D．3﹣x﹣6＝5x﹣1【答案】C【解答】解：方程3﹣（x﹣6）＝5（x﹣1），去括号得：3﹣x+6＝5x﹣5．故选：C．【典例7】（2022春•沙坪坝区期末）解方程﹣3时，去分母正确的是（）A．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3B．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×5C．5（2x﹣3）＝3×2x﹣3×15D．3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×15【答案】D【解答】解：解方程﹣3时，去分母得：3（2x﹣3）＝5×2x﹣3×15．故选：D．【变式7-1】（2022春•交城县校级期末）解方程，以下去分母正确的是（）A．3（x+1）﹣2x﹣3＝1B．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1C．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6D．3（x+1）﹣2x+3＝6【答案】C【解答】解：，去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．故选：C．【变式7-2】（2021秋•铁西区期末）解一元一次方程（x+1）＝﹣x时，去分母正确的是（）A．3（x+1）＝2x B．3（x+1）＝x C．x+1＝2x D．3（x+1）＝﹣2x 【答案】D【解答】解：解一元一次方程（x+1）＝﹣x时，去分母得：3（x+1）＝﹣2x．故选：D．【典例8】（2021秋•三原县期末）代数式3x+1与互为相反数，则x的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【答案】A【解答】解：根据题意得：3x+1+＝0，去分母得：2（3x+1）+（x﹣3）＝0，去括号得：6x+2+x﹣3＝0，移项合并得：7x＝1，解得：x＝．故选：A．【变式8-1】（2021秋•福田区校级期末）如果单项式﹣xy b与是同类项，那么关于x的方程ax+b＝0的解为（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3【答案】D【解答】解：∵单项式﹣xy b与x a y3是同类项，∴a＝1，b＝3，代入方程得：x+3＝0，解得：x＝﹣3．故选：D．【变式8-2】（2021秋•海淀区校级期末）如果3（x﹣2）与2（3﹣x）互为相反数，那么x 的值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解答】解：根据题意得：3（x﹣2）+2（3﹣x）＝0，去括号得：3x﹣6+6﹣2x＝0，移项得：3x﹣2x＝6﹣6，合并得：x＝0．故选：A．【典例9】（2021秋•秀英区校级期末）解下列方程：（1）4﹣（x+3）＝2（x﹣1）；（2）．【解答】解：（1）4﹣（x+3）＝2（x﹣1），4﹣x﹣3＝2x﹣2，﹣x﹣2x＝﹣2﹣4+3，﹣3x＝﹣3，x＝1；（2），21﹣7（2x+5）＝3（4﹣3x），21﹣14x﹣35＝12﹣9x，﹣14x+9x＝12﹣21+35，﹣5x＝26，x＝﹣．【变式9-1】（2022春•二道区期末）解方程：3（x﹣2）＝x﹣（8﹣3x）．【解答】解：去括号，可得：3x﹣6＝x﹣8+3x，移项，可得：3x﹣x﹣3x＝﹣8+6，合并同类项，可得：﹣x＝﹣2，系数化为1，可得：x＝2．【变式9-2】（2022春•常宁市期末）解方程：．【解答】解：2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6（x﹣1），4x﹣2﹣3x﹣3＝6x﹣6，4x﹣3x﹣6x＝﹣6+2+3，﹣5x＝﹣1，x＝．【变式9-3】（2021秋•邹平市校级期末）解方程（1）x﹣＝+1；（2）＝1；【解答】解：（1）去分母，可得：15x﹣3（x﹣2）＝5（2x﹣5）+15，去括号，可得：15x﹣3x+6＝10x﹣25+15，移项，可得：15x﹣3x﹣10x＝﹣25+15﹣6，合并同类项，可得：2x＝﹣16，系数化为1，可得：x＝﹣8．（2）原方程可化为：﹣＝1，去分母，可得：30x﹣7（17﹣20x）＝21，去括号，可得：30x﹣119+140x＝21，移项，可得：30x+140x＝21+119，合并同类项，可得：170x＝140，系数化为1，可得：x＝．。

一元一次方程一.等式和方程1.等式：含有的式子2.等式的性质①等式两边都同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

②等式两边都同一个数（除数不能是0）,所得结果仍是等式。

3.方程：含有未知数的等式叫方程。

（1）能够使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解。

要检验未知数的某一个值是不是方程的解，就把这个值代入方程，看左、右两边的值是否相等。

必须注意方程的解和解方程这两个概念的区别。

方程的解是演算的结果，即求出的适合方程的未知数的值；解方程是求方程的解的演算过程。

4.方程的解一--使得方程左右两边相等的未知数的值5.检验：把未知数的值分别代入方程的左右两边。

6.等式的性质等式的性质①等式两边加（或减）同一个数（或式），结果仍相等。

即如果a = b,那么a±c = b±c等式的性质②等式两边乘同一个数，或除以同一不为0的数，结果仍相等。

即如果a=b,那么ac=bca _b如果a=b （cHO）那么c c二.一元一次方程的解法和应用（一）元一次方程的求解（1）一元一次方程：①只有一个未知数，②未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。

（2）一元一次方程的最简形式2. （3）解一元一次方程的一般步骤。

一元一次方程的应用（二）一元一次方程的应用“1、类型：1.销售、利润问题2.工程问题3.行程问题4•比例问题5.其他问题（数字问题、等积变形、日历问题、人数问题、储蓄问题等）2、列方程解应用题的一般步骤：①审题，弄清题意找出题屮的等量关系②设未知数③列出方程④解方程⑤检验⑥答元一次方程常见题型类型一:利用方程的有关概念，等式性质等解决问题7. 如果Q 与一3互为相反数，那么Q 等于( )•c. 138. ___________________________________________________________ 求作一个一元一次方程使它的解为x=-2,这个一元一次方程为 ________________________________________【能力提高】1.己知方程(m+l)x lml 4-3-0.是关于x 的一元一次方程，则m 的值是( )A. ± 1B. 1C.-1D.O 或 12. 使(«-l)x-6 = 0为关于兀的一元一次方程的 ______________ (写出一个你喜欢的数即可).3. 若关于兀的方程U-2)/-,l +5^ = O 是一元一次方程，则“ _____________ .C. x=0 丄 二12x + 33. 下列方程小是一元一次方程的是( A. 2x = 3yB. 7% + 5 = 6(x-l)C ・ X 2= 1D. --2 = xX4•下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y 二9X 2—3x=l— = 1 x2x=l 3x - 5 3+7=10x 2+x=l5.根据下列条件列出方程(1)比x 大2的数等于7(2) x 比它的2倍小34 5(3) x 比它的上大丄5 166•只列方程，不解方程1) 3x + 5的值等于3, 求x 的值2) 当x 取何值时，3x + 5与4 —x 的值相等3) 当a 为何值量，式子2(3a-4)的值比2a + 7的值大34) 3x4-5与3-x 互为相反数，x 取何值A. 3B. —3 1. 【基础练习】 下列各式不是方程的是( )A. y2_y=4B. m - 2nC. p 2-2pq + q 2D. x = 02. 下列等式中是一元一次方程的是(A. S=Xab2B. x —y=04.若关于x的方程伙+ 2庆+4尬-5£ =()是一元一次方程，则方程的解x二___________・5.已知(2加一3庆一(2-3加)兀=1是关于x的一元一次方程，则加= _______ .6. 已知方程（ci - 2）丿"卜’ +4 = 0是一元一次方程，则a = ___ ； x = _______ .7. 若关于兀的方程伙-2）』刊+5" 0是一元一次方程，贝〃二 __________ .若关于x 的方程（k + 2）x 2 + 4kx-5k = 0是一元一次方程，则方程的解兀二 ______ . &如果@ + 1）』“珂_2 = 0是一元一次方程，那么。

一元一次方程的专题复习一、知识梳理1.有关方程的概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。

方程必须满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。

二者缺一不可。

（2 ）使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

注意：一元方程的解又叫做方程的根。

3）一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程必须满足三个条件：一是只有一个未知数；二是未知数的次数是 1 ;三是未知数的系数不为零，三者缺一不可。

（4）一元一次方程的标准形式ax+b=O （其中x是未知数，a、b是已知数，并且0）2.等式的基本性质等式的基本性质1.等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得的结果仍是等式。

等式的基本性质 2.等式的两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得的结果仍是等式。

3.利用等式的基本性质解一元一次方程利用等式的基本性质解一元一次方程就是利用等式的性质把方程的ax=b （错误!未找到引用源。

0）进行变形，最后化为错误！未找到引用源。

的形式。

一元一次方程ax=b的解的情况讨论：（1 ）当az 0时，方程有唯一解，即x= b错误!未找到引用源。

a（2 ）当a=0, b=0时，方程无数解（3）当a=0, b工0错误！未找到引用源。

时，方程无解二、典型例题专题一、一元一次方程的相关概念题型一、方程及一元一次方程的定义例1.下列各式中， ____________ 方程； ____________ 一元一次方程（只填番号）＜① x 0 :② 3a 2 :③ 7 25 :④ x 2 9x ；1⑤ 2x 10 ； ®1 3 :⑦ 5 2x 1。

x变式练习：下列式子是方程的是 ______________ ；是一元一次方程的是 ___________①2x 1 2x 1X ;② ：③x 1 :④x2xx2 ;⑤x 2y 1 ; ® 5 23;⑦47x :⑧ x 1 y 。