第一章 函数 极限 连续单元测试

函数极限与连续测验题姓名 学号 计分一、 填空题（每小题3分，共18分）1．(lim sin x →+∞= 。

2．已知21lim 31x x bx c x →++=-，则常数b = ，c = 。

3．已知cos ,||1()2|1|,||1x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则x = 为()f x 的间断点，且为第 类间断点。

4．已知函数sin ,0(),0x e x f x x x βα⎧+>⎪=⎨⎪≤⎩连续，则常数α= ，β= 。

5．当0x +→是x 的 阶无穷小。

6．23634(21)(34)lim (61)x x x x →∞--=+ 。

二、选择题（每小题2分，共20分）1、在区间(,)-∞+∞内方程1142||||cos 0x x x +-=（ ）（A ）无实根 （B ）有且仅有一个实根（C ）有且仅有两个实根 （D ）有无穷多个实根 2．设数列的通项为*1,21(),2n n k x k N n n n k⎧=+⎪=∈⎨⎪=⎩，则当n →+∞时，n x 为（ ）（A ）无穷小量 （B ）无穷大量 （C ）有界量 （D ）无界量3．当0x →时，tan sin x x -是3x 的（ ）（A ）低阶无穷小 （B ）高阶无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）同阶无穷小4．已知()f x 与()g x 在()x -∞<<+∞上连续，且()()f x g x <，则有（ ）（A ）()()f x g x ->- （B ）lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞<（C ）00lim ()lim ()x x x x f x g x →→< （D ）lim ()lim ()x x f x g x →∞→∞≤ 5．当1x →时，函数1211()1x x f x e x --=-的极限（ ） （A ）为∞ （B ）不存在 （C ）等于2 （D ）等于06．下列说法正确的是（ ）（A ）两个无穷大量之和一定是无穷大（B ）有界函数与无穷大量的乘积一定是无穷大（C ）初等函数在定义域内连续（D ）一个函数的极限为A ，则表示函数值越来越接近于A（E ）同一过程的无穷大与无穷大之积一定是无穷大（F ）不是无穷大量的一定是有界量（G ）无界一定是无穷大（H ）无穷大一定无界7．设()f x 则0,lim ()x f x →=（ ） （A ）1 （B ）不存在 （C ）2e - （D ）2e8． 函数122(1)()2x x f x e x x --=+-的第一类间断点的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ） 3 （D ） 09. 已知0lim 2(3)x x f x →=，则0(2)lim x f x x →=（ ） （A ）16 （B ）13 （C ）12（D ） 4 10. 一下几种叙述能否作为函数极限0lim ()x x f x A →=的定义（ ） （A ）0,0,εδ∀>∃>当00||x x δ<-<时，恒有|()|f x A ε-<（B ）0,0,εδ∀>∃>当00||x x δ<-<时，恒有|()|(0)f x A k k ε-<>为常数（C ）+,0,n δ∀∈∃>N 当00||x x δ<-<时，恒有1|()|f x A n -<（D ）+0,,n ε∀>∃∈N 当010||x x n<-<时，恒有|()|f x A ε-< （E ）0,0,δε∃>∀>当00||x x δ<-<时，恒有|()|f x A ε-<（F ）0,0,δε∀>∃>当00||x x δ<-<时，恒有|()|f x A ε-<（G ）当x 充分靠近0x 时，()f x 越来越接近A三、 计算题（每小题5分，共25分）1．10lim xx +→； 2．sin 22sin 20lim ln(1)x xx e e x x →-+； 3．lim 2sin 2n nn x →+∞； 4. 试确定常数,λμ使下面等式成立)lim0.x x λμ→+∞-= 5. 11042|sin |lim .1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭ 四、已知函数()lim n nn nn x x f x x x --→+∞-=+，讨论函数()f x 的连续性，并作出函数()f x 的图形。

高等数学达标测试题《第一章 函数 连续 极限》一、判断题(每题2分)1. 函数()25f x x =-，则()00f =（ ）.2. 函数()25f x x =-的定义域为(),-∞+∞（ ）3. 函数25y u x ==+，则y = ）4. 函数y =21y u x =+复合而成（ ）5. 任意两个函数()(),y f u u x ϕ==都可以复合成复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦ （ ）6. 当0x →时，4x 是无穷小量（ ）7. 有限个无穷小量的代数和是无穷小量（ ）8. 2x =是函数()2x f x x =-的一个间断点（ ） 9. 函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上必有最大值和最小值（ ）10. 函数x y =是偶函数。

（ ）11. 函数x x y sin cos +=是非奇非偶函数（ ）12. 函数x x y cos 2+=是非奇非偶函数（ ）13. 函数xx y sin =是奇函数 （ ） 14. 有界函数与无穷小量之积是无穷小量。

（ ）15. 在自变量的同一变化过程中，无穷小量与无穷大量互为“倒数”关系。

（ ）16. 每一个分段函数都有极限。

（ ）17. 基本初等函数在其定义域内都是连续的。

（ ）18. 极限0lim ()x x f x A →=的充要条件为=+→)(lim 0x f x x 0lim ()x x f x A -→=。

（ ） 19. 若()f x 在 0x 处极限存在，则()f x 在0x 处一定连续（ ）20. 若()f x 在 0x 处连续，则()f x 在0x 处一定极限存在（ ）21. 函数()f x 在 0x 处连续的充要条件是在0x 处左右均连续。

（ ）22. 在自变量的同一变化过程中，无穷大量与无穷小互为“倒数”关系。

（ ）23. 在自变量的同一变化过程中，非零无穷小量与无穷大互为“倒数”关系。

第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。

第一章函数、极限与连续习题答案第一章函数、极限与连续1 .若」t =t 31，贝U 「t 3 1 =( D )A. t 3 1B. t 62 C. t 92 D. t 9 3t 6 3t 322.设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是(C )3.下列函数f x 与g x 相等的是（A ）4.下列函数中为奇函数的是（A )2x x八sin xf-c 2—22 ?A . y2B . y - xe x Csin xD . y = x cosx xsin xx25 .若函数 fx l=x , - 2：；x ：：：2，则 f x-1 的值域为（B ）A . 0,2B . 0,3C . 0,21D . 0,316 .函数y =10x4 -2的反函数是（D)xA . y =igB . log x 2 x —2C .1y =Iog 2_D . y =1 lg x 2xa XX 是有理数 7.设函数%是无理数°<a< p="">"，则（B ）1 5 3,2C .-1,1 3D . -1,1A . f x = x 2 , g x - x 4—2B . fx=x , gx= xC . x -1f X gx 「X 1x2=(A )C. 0A .当X r J 时，f x 是无穷大B .当x - 工:时，f x 是无穷小C .当X r -■时，f x 是无穷大D .当x —. -■时，f x 是无穷小f x 在点X 。

连续的（10.若函数f x 在某点X 。

极限存在，则（C ）f x 在X o 的函数值必存在且等于极限值8 .设f x 在R 上有定义,函数f x 在点X 。

左、右极限都存在且相等是函数A .充分条件B .充分且必要条件C .必要条件D .非充分也非必要条件x 2 a,cos x,x —1在R 上连续，则a 的值为（D ） x ::: 1C . -1D . -2B . f x 在X o 函数值必存在，但不一定等于极限值C . f X 在X o 的函数值可以不存在D . 如果f X o 存在的话, 11.数列0，3，2， A .以0为极限4，…是(B )B. 以1为极限C .以口为极限n2 . lim xsin ( CxD .不存在在极限B .不存在C . 1D . 019. lim xln x =0 __________ 。

函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。

第一章 函数、极限与持续一、判定题一、若()0lim x x f x A →=，那么()0f x A =; （ ⨯ ） 2、已知()0f x 不存在，但()0lim x x f x →有可能存在； （ ∨ ） 3、假设()00f x +与()00f x -都存在，那么()0lim x x f x →必存在； （ ⨯ ） 4、sin lim1;x x x→∞= （ ⨯ ） 5、1lim(1).x x e x →∞-= （ ⨯ ） 6、假设(),()f x g x 在点0x 处均不持续，那么()()f x g x +在0x 处亦不持续； （ ⨯ ）7、 ||y x =在0x =处不持续； （ ⨯ ）8、()f x 与0x 处持续当且仅当()f x 在0x 处既左持续又右持续； （ ∨ ）9、设()y f x =在[,]a b 上持续，且无零点，那么()f x 在[,]a b 上恒为正或恒为负； （∨ ）10、设()y f x =在(,)a b 上持续，那么()f x 在(,)a b 内必有界； （⨯ ）二、选择题1．设()x f 在R 上有概念，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 持续的( C )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件2．假设函数()x f 在某点0x 极限存在，那么( C )A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不必然等于极限值C ．()x f 在0x 的函数值能够不存在D ．若是()0x f 存在的话，必等于极限值3．数列0，31，42，53，64，…是( B ) A ．以0为极限 B ．以1为极限C ．以nn 2-为极限 D ．不存在在极限 4．=∞→x x x 1sin lim ( C ) A ．∞ B ．不存在 C ．1 D ．05．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x 211lim ( A )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 6．无穷小量是( C )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零7．假设函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上持续，那么a 的值为( D )A ．0B ．1C ．-1D ．-28．设()⎩⎨⎧≥+<=0,0,x x a x e x f x 要使()x f 在0=x 处持续，那么=a ( B ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．-19．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,3sin 1x a x x x x f ，假设()x f 在()+∞∞-,上是持续函数，那么=a ( C )A ．0B ．1C ．31 D ．3 10．方程014=--x x 至少有一根的区间是( D )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()3,2 D ．()2,1三、填空题1．()=--+∞→13lim n n n x 23。

函数单元测试（ A ）一、填充题：1、设的定义域为0,1，则f (x 2)的定义域是 ________________。

2、 f ( x)x 2, q(x) sin x 1，则 f q( x)________,q f x__________。

3、设 f x1 x 22x 2 ，则 f x_____________。

f xsin x , x 1) _________, f ( ) _________0,x, f (4、1 42。

5、已知函数 f x 是偶函数，且在 0,上是减函数，则函数f x在,0 上必是 ____________函数。

6、设yu 3 , u 1 v , v arccos x ，则复合函数 y f x _____________ 。

7、 设函数 f x sin 2 x cos 2 x 其周期为__________ ____ 。

( ) , 二、选择题：ln(1 x) ,xf (x)21、函数sin x ,x2（ A ） ln(1)24 （B ） 22、设 f (x)x2, g(x)e x ，则（ A ） e x 22 x（B ）ef ( ) 等于（）则 4 （ C ） 2（D ） 4f [ g( x)]（）（C ） xx 2（ D ） e x3、设函数 f x的定义域是 [ 0,1]，则fx 2 的定义域是（）（ A ） [-1 ，1] （B ）[0 ，1]（C ）[-1 ， 0]（ D ）（- ∞， +∞）4、函数fx 10x10 x 是（）（ A ）奇函数（B ）偶函 数（ C ）非奇非偶函（D ）既是奇函数又是偶函数5、函数yarcsin 3x1 2 的复合过程是（）( A)yu 2 , uarcsin 3x 1( B) y arcsin 2 u, u 3x 1(C ) y u 2,uarcsin v, v 3x1 (D) yu 2 ,usin v,v sin 3x16、y34x的反函数是（）( A)yx 34(B) y x 4 3( C) y 4 x 3(D) y 4 x 37、下列函数中为基本初等函数的是（）( A) f ( x) ln( x31) ( B) f ( x)0, x 01, x(C) f ( x) arctan(5x 1) ( D ) f ( x) x 2 1 三、判断题：1、确定函数的两个要素是定义域和对应关系。

2015函数、极限与连续习题加答案制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续2 第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与xy =相同；2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（ ）3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ）4. )0(2>=x x y 是偶函数；（ ）5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续3 （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。

（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ； 3.122+=xxy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(x x +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ； 5.)2(sin log2+=x y 是由简单函数 和复合而成； 6.1)(2+=xx f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续4 三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sin B 、13+x C 、xx +3D 、xx -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－23.)sin()(2x xx f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续5 (1)342+-=x x y(2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续6 (1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xx x f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程 (1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y(3)212x y -= (4))3lg(x y -=制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续76.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。

（完整版）高职专升本第一章函数极限与连续习题及答案高等数学习题集第一章函数极限与连续一.选择题1．若函数)(x f 的定义域为[0,1]，则函数)(ln x f 的定义域是（ B ）。

A [0,1]B [1,e]C [0,e]D (1,e)2．设xx f 11)(+=，则)]([x f f =（ A ）。

(2002-03电大试题) A.x x ++11 B.x x +1 C.x ++111 D.x+11。

3．设)(x f =e 2x ，则函数)()()(x f x f x F -+=是（ B ）。

A 奇函数；B 偶函数；C 既是奇函数又是偶函数；D 非奇非偶函数。

4．下列说法错误的是（ D ）。

A y=2x 与y=|x|表示同一函数；B x x f 3sin 21)(=是有界函数； C x x x f +=cos )(不是周期函数； D 12+=x y 在(－∞,＋∞)内是单调函数。

5．下列函数中非奇非偶的函数是（ D ）。

A ||lg )(x x f =；B 2)(xx e e x f --=； C x x x f sin )(+=； D ||)(x x x f -=。

6．下列函数中（ A ）是基本初等函数。

A x x f 2=)(；B x x f 2=)(；C 2)(+=x x f ；D x x x f +=2)(。

7．函数（ A ）是初等函数： A x x y arccos 12-=；B =≠--=.1,0,1,112x x x x y C xx y ln )ln(-=；D ΛΛ+++++=+12421n y 8．“数列{x n }的极限存在”是“数列{x n }有界”的（ A ）。

A 充分但非必要条件；B 必要但非充分条件；C 充分必要条件；D 既非充分亦非必要条件。

9．∞→x lim 5x 的值是（ D ）。

A +∞； B -∞； C 0； D 不存在。

10．+∞→x lim e -x 的值是（ A ）。

函数极限连续复习题答案一、选择题1. 函数极限的定义是什么？A. 当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的值B. 当自变量趋近于无穷大时，函数值趋近于一个确定的值C. 当自变量趋近于无穷小时，函数值趋近于一个确定的值D. 当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大答案：A2. 函数在某点连续的定义是什么？A. 函数在该点的极限值等于函数值B. 函数在该点的极限值等于无穷大C. 函数在该点的极限值等于无穷小D. 函数在该点的极限值不存在答案：A3. 函数在某点不连续的类型有哪些？A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 以上都是答案：D二、填空题1. 函数极限的符号表示为：\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)，其中\(L\)表示函数值趋近于的确定值。

2. 函数在某点连续的充要条件是：\(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\)。

3. 函数在某点不连续时，若左极限和右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值，则该点为可去间断点。

三、解答题1. 求函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)在\(x = 1\)处的极限值。

解：首先对函数进行化简，得到\(f(x) = x + 1\)（当\(x \neq1\)）。

因此，\(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2\)。

2. 判断函数\(g(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}\)在\(x = 0\)处是否连续，并说明理由。

解：计算左极限和右极限，得到\(\lim_{x \to 0^-} g(x) = 0\)和\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0\)。

由于\(g(0) = 0\)，且左极限等于右极限等于函数值，所以函数在\(x = 0\)处连续。

第一章函数、极限与连续1 . 若」 t =t31，贝 U 「t 31 =( D )A. t 31 B. t62 C. t92 D. t 9 3t 6 3t322. 设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是 ( C )1 5C.-1,1 D. -1,13 ,233. 下列函数 f x 与 g x 相等的是 （A ）— 2A. f x = x 2 , g x - x4B . fx=x ,gx= xC.fX gx「X 1x -14. 下列函数中为奇函数的是 （A )2x x八sin xf- c 2— 22 ?A. y2B .y - xe xCsin xD . y = x cosx xsin xx25 . 若函数 fxl=x , - 2：； x ：：： 2，则 f x-1 的值域为 （B ）A. 0,2B. 0,3C. 0,21D. 0,316 . 函数y =10x4 -2 的反函数是（D )xC .A . y =igB .log x 2x—2a X X 是有理数7.设函数 %是无理数°<a"，则（B ）1y =Iog 2_ D . y =1 lg x 2 x1A . 当 Xr J 时， f x 是无穷大B . 当 x- 工: 时， f x 是无穷小C. 当 Xr - ■时， f x 是无穷大 D . 当 x—. - ■时， f x 是无穷小8 . 设 f x 在R上有定义 ,f x 在点X。

连续的（A . 充分条件C.必要条件x2 a,cos x, 函数 f x 在点X。

左、右极限都存在且相等是函数B. 充分且必要条件D. 非充分也非必要条件x—1在 R 上连续，则 a 的值为（D）x::: 1C. -1D.-210.若函数 f x 在某点X。

极限存在，则（C ）f x 在X o的函数值必存在且等于极限值B. f x 在X o函数值必存在，但不一定等于极限值C. f X 在X o的函数值可以不存在D. 如果f X o存在的话 ,11 . 数列0，3 ，2，4，是 (B )A.以0为极限B.以1为极限C . 以口为极限D . 不存在在极限n112 . lim xsin( CxB. 不存在C. 1D. 013.li=(A )C.0x2214?无穷小量是（C）A.比零稍大一点的一个数B. —个很小很小的数C. 以零为极限的一个变量 D . 数零[2X，-1 _ x ：： 015. 设f(x)= 2, x :：: 1 则f x的定义域为[-1,3] , f 0 =x—1, 1 _x _32 __ , f 1 =0。

第一章：函数、极限与连续性测试题班级 姓名 学号 成绩一、填空题（每题5分，共40分）1、函数2)1ln()(++-=x x x f 的定义域是 。

2、函数x y sin ln ln =是由 、 和 复合而成。

3、已知1)2(lim 22x =-+→a x x ,则a ＝ 。

4、设⎩⎨⎧+-≥+=0,10,1)(＜x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x 、=→)(lim 1x f x 。

5、=-→202cos 1lim x x x 。

6、=→x x x sin lim 0 ，=→xx x sin lim 0 。

7、当0→x 时，2x 与2)1(+x x 相比是 无穷小量。

8、函数⎩⎨⎧-≤-=1,21,1)(＞x x x x x f 的间断点是x ＝ ，该间断点属于第 类间断点。

二、选择题(每题4分,共20分） 1、函数21)(x x x f +=是（ ）。

A 、 奇函数 B 、 偶函数 C 、 非奇非偶函数 D 、 以上都不对2、设x x f 2sin )(=，则当0x →时，函数()f x 是（ ).A 、 不是无穷小B 、 是无穷小且与x 是等价无穷小C 、 是无穷小且与2x 是等价无穷小D 、 是无穷小且与2x 是等价无穷小3、下列各式中正确的是( ）。

A 、1lim 1x x e x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、1lim 1t t e t →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 、 1lim 1x x e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭D 、 1lim 2xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 4、极限0lim x x x→的值为（ )。

A 、1 B 、1- C 、不存在 D 、05、设⎩⎨⎧≤<≤<--=10011)(x xx x x f ，则=→)(lim 0x f x （ ）。

A 、1- B 、0 C 、1 D 、不存在三、计算题(每题6分，共18分)1、求xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→21lim 2、求22011lim xx x +-→3、四、解答题（每题11分，共22分）1、 假设某种产品的供求规律由下列方程:Q －P ＝6和Q ＋3P ＝26给出，试求：（1） 该产品的均衡价格和均衡数量。

第一章 函数、极限、连续习题A一、选择题.１、函数()x y lg lg =的定义域为（ ）.A ．()+∞,0B ． [)+∞,1C ．()+∞,1D ． ()1,0 ２、设()()212x x f x f =-+，则()x f 为（ ）.A ．122--x x B ．122+-x x C ．x x 22- D ． 3122-+x x３、函数()1ln 2++=x x x y ()+∞<<∞-x 是（ ）.A ．偶函数B ． 奇函数C ． 非奇非偶函数D ． 不能判定４、设()()21ln x x f +=，()2cos 1x x g -=，则当0→x 时，()x f 是()x g 的（ ）. A ．高阶无穷小 B ．低阶无穷小 C ．等价无穷小 D ．同阶（但不等价）无穷小５、对于函数222-+-=x x x x y ，下列结论正确的是（ ）.A ．1=x 为第二类间断点，2-=x 为第二类间断点B ．1=x 为第一类间断点，2-=x 为第一类间断点C ．1=x 为第一类间断点，2-=x 为第二类间断点D ．1=x 为第二类间断点，2-=x 为第一类间断点 ６、下列等式成立的是（ ） A ．1sin lim=∞→x x x B ．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→11limC ．()121ln lim=+→xx x D ． ()111arcsin lim1=--→x x x ７、下列方程在[]1,0上有实根的是（ ）.A ．021sin =-+x x B ．0132=++x x C ．02arctan =+x D ．021sin =+-x x ８、函数()xx x f -=1的定义域为（ ）. A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()+∞∞-, D ．()()+∞∞-,00,９、设()xx x f 1+=，则下列成立的是（ ）.A ．()x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛1 B ．()()x f x f =1 C ．()()x f x f f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 D ．()x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛11１０、函数()11122---=x xe xf 的可去间断点的个数是（ ）.A ． ０B ． １C ． ２D ． ３ １１、函数()x e x x x f cos sin ⋅= ()+∞<<∞-x 是（ ）.A ．有界函数B ．单调函数C ．周期函数D ．偶函数 1２、设()⎩⎨⎧-+=x x x f 21 3110≤<≤<x x ，则1=x 为函数的（ ）. A ．连续点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．振荡间断点１３、a 取什么值时，()⎪⎩⎪⎨⎧--=ax x x f 416244=≠x x 在其定义域内连续（ ）.A ．４B ．１６C ．８D ．２１４、∞→x 时与121-x e 等价的无穷小为（ ）.A ．x 1cos 1- B ．2sin 1x C ．x 1 D ．21sin x１５、()x f 与()x g 能表示同一个函数的是（ ）.A ．()()x x g x x f ==,2B ．()()1,112+=--=x x g x x x f C ．()()x x g x x f ==,tan arctan D ．()()5353,x x g x x f == １６、下列能构成复合函数的为（ ）A ．R x x u u y ∈-==,13,B ．()0,,,3∞-∈=-=x x u u yC ．R x x u u y ∈--==,1,2D ．()0,,1,lg 2∞-∈-==x x u u y １７、函数()x f 在0x x =处极限存在，是()x f 在0x x =连续的（ ）. A ．充要条件 B ．必要条件 C ．充分条件 D ．无关条件 二、填空题. １、函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-=10lg arcsin 1ln 1x x y 的定义域为 ．２、设函数()⎩⎨⎧=01x f12>≤x x π，则()=x f arctan ． ３、()[]=-++∞→x x x x ln 1ln lim ．４、()xxx f sin =，则0=x 为函数的 间断点． ５、311x y +-=的反函数为 ．６、已知()3122++--=bx x xax x f ，当∞→x 时，=a ，=b 时()x f 为无穷小．７、=-+→xxx cos 1lim0 ．８、已知()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+=x x x x x x x x f 1,11sin 117,7,71，则7-=x 是函数的间断点，1=x 是函数的 间断点．９、已知0112lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+++∞→b ax x x x ，则=a ，=b ． １０、()=-→xxx x 2cos 01lim ．１１、=+---→11221limx xx x ． １２、当()=0f 时，()xx x f 1arctan=在0=x 处连续． １３、=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n 111lim2 个 ． １４、=-+∞→4sin 2limx xx x ． １５、 ． 三、解答题.１、求下列函数的极限： ①⎪⎭⎫ ⎝⎛++++∞→n n 2141211lim②nn n n n 323211lim ++++∞→ ③⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++∞→22321limn n n n ④xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→1212lim⑤()xx x x x cos 2cos 13arctan 30lim-→ ⑥234221lim--++-→x x x x x ⑦147529103434lim +++++∞→x x x x x x２、a 取何值时，()x f 在其定义域内连续，()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-++=42442x x x b ax x x f ．３、设()1sin lim=→x x f x ，求()x x f x sin 11lim 0-+→．４、xxx cos 1lim0-+→． ５、设()x f 是三次多项式，且有()()()0142lim lim 42≠=-=-→→a ax x f a x x f a x ax ，求()ax x f ax 3lim 3-→． 四、１、设()x f 对一切21,x x 满足()()()2121x f x f x x f +=+，并且()x f 在0=x 处连续，证明：函数()x f 在任意点0x 处连续．２、设函数()x f 在()+∞∞-,有定义，并满足()()x f x f =2，如果在点0=x 处连续，求证：()x f 在()+∞∞-,为常数．第一章函数、极限、连续习题B一、选择题1．设函数()arctan(1)f x x =-，则函数()f x 的定义域为（ ） A ．[]0,2 B ．(]0,2 Ｃ．()0,2 Ｄ．[)0,2 ２．已知(21)f x -的定义域为[]1,2，则(1)f x -的定义域为（ ）Ａ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ Ｂ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ Ｃ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ Ｄ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ ３．函数tan y x =是定义域内的（ ）Ａ．无界函数 Ｂ．有界函数 Ｃ．递增函数 Ｄ．递减函数 ４．下列函数中，图形关于y 轴对称的是（ ）Ａ．sin y x = Ｂ．21y x =+ Ｃ．222x x y --= Ｄ．cos y x x =５．下列数列{}nx 中，收敛的为（ ）Ａ．０，１，０，１，… Ｂ．212212n nn nnn x n ⎧+⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数Ｃ．1(1)nn n x n +=- Ｄ．1(1)2n n x +-=６．设2(1)f x x x +=+，则()f x ＝( )Ａ．2x x + Ｂ．21x x -+ Ｃ．21x x ++ Ｄ．2x x - 7．当0x →时，与1cos 2x -等价无穷小量是（ ）Ａ．22x Ｂ．2x Ｃ．22x Ｄ．24x８．当0x →时，与x 等价无穷小量是（ ）Ａ．212x x + Ｂ．sin x x - Ｃ．1sin xＤ．tan 2x９．sin limx x xx→∞-=（ ） Ａ．不存在 Ｂ．０ Ｃ．∞ Ｄ．１１０．11lim(1)x x x+→∞+＝（ ） Ａ．∞ Ｂ．1e + Ｃ．e Ｄ．不存在１１．设函数ln(1)0()1x x f x xa x +⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩ 在0x =处连续，则常数a ＝（ ）Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．1- Ｄ．２１２．设321()2x f x x x -=+-，则1x =是()f x 的（ ）Ａ．可去间断点 Ｂ．跳跃间断点 Ｃ．振荡间断点 Ｄ．无穷间断点 １３．11()2x f x -=，在1x =处（ ）Ａ．有定义 Ｂ．极限存在 Ｃ．左极限存在 Ｄ．右极限存在１４．2lim21x ax bxx →∞+=-，则（ ） Ａ．20a b ==， Ｂ．02a b ==， Ｃ．20a b =-=， Ｄ．22a b ==， １５．当0x →时，sin x x -是2x 的（ ） Ａ．低阶无穷小 Ｂ．同阶无穷小 Ｃ．高阶无穷小 Ｄ．等阶无穷小 １６．arctan 2xy π=+的反函数是（ ） Ａ．32tan(),,22y x x πππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ Ｂ．tan ,,222x y x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭Ｃ．32tan ,,222xy x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ Ｄ．1tan ,,222y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭ １７．arcsin(lg)10xy =的定义域（ ）Ａ．(]0,100 Ｂ．()0,100 Ｃ．()1,100 Ｄ．[]1,100１8若n n a ∞→lim存在，下列哪一个条件能推出n n b ∞→lim 存在（ ） Ａ．n n n b a ∞→lim 存在 Ｂ．nnn b a ∞→lim 存在 Ｃ．n n n b a +∞→lim存在 Ｄ．)74(lim n n n b a -∞→存在 二、填空１．21()arcsin 7x f x -=的定义域为 ２．已知22(sin )cos2tan f x x x =+，01x <<，则()f x =３．1213lim ++∞→n n n ＝ ４．21lim (1cos )x x x→∞-＝ ５．538(1)(13)lim 2(9)x x x x →∞+-+＝ ６．若2lim 11x x ax b x →∞⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭，则a = b =７．已知13lim 1x x x a e x --→∞-⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =８．0x →= ９．已知1()(1)sin 1f x x x =--，则1x =是()f x 的 间断点 １０．已知sin ()xf x x=，则0x =是()f x 的 间断点 三、解答题１．求下列函数的极限（１）22)nx →∞（２）111lim()1447(32)(31)x n n →∞+++⨯⨯-+（３）1lim sin x x x→∞ （４）3111lim()11x x x→--- （５）322024lim 23x x x x x x→-++ （６）lim )x x x →+∞ （７）120lim(1)xx x →- （８）11lim 1x x x x -→∞+⎛⎫⎪-⎝⎭２．已知当0x →时，123(1)1ax +-与cos 1x -是等阶无穷小，求常数a３．设1lim ()x f x →存在，21()32lim ()x f x x x f x →=+，求()f x ４．试确定,a b 的值，使()()(1)x e bf x x a x -=--有无穷间断点0x =．５．1()1(1)sin 11ax f x x x x -∞≤≤⎧⎪=⎨-<<+∞⎪-⎩，要使()f x 在(),-∞+∞内连续，应怎样选择a ．６．已知lim (32x x →+∞=，求常数,a b ． 四、证明题１．验证方程210x x -=至少有一个小于１的正根。

第一章 函数 极限 连续自测题一、填空题（每小题 2 分，共20 分）1. 设函数,)(,ln )(12+==x e x g x x f 则=))((x g f 。

2. 函数)2ln(34+=x xy 的定义域为 。

3. =++-∞→323)2(123lim x x x x 。

4. =→xxx 2sin lim0 。

5. e xkx x =+∞→2)1(lim ，则=k 。

6. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=01001)(x x x x x x f ，则)(lim 0x f x → 。

7. 若32lim22=-+-→x ax x x ，则=a 。

8. 设当0→x 时，2ax 与4tan 2x 为等价无穷小，则=a 。

9. 设函数)0(sin )(≠=a x ax x f 在0=x 处连续，且21)0(-=f ，则=a 。

10. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<=<<-=2131113)(2x x x ax x x f 在1=x 处连续，则=a 。

二、选择题（每小题 3 分，共30 分）1. 函数)1()(+=x x x f 与1)(+=x x x g 在（ ）内表示同一个函数。

A. ]0,1[-； B . ]1,(-∞；C . ),0[+∞；D . ),1[+∞-。

2. 设函数)(x f 的定义域为]1,0[，则函数)12(-x f 的定义域为（ ）。

A. ]21,21[-； B. ]1,21[； C. ]1,0[； D. ]1,21[-。

3. 函数x x x f sin )(3=是（ ）。

A. 奇函数 ；B. 偶函数；C. 有界函数；D. 周期函数。

4. 220sin lim xmx x →（m 为常数）等于（ ）。

A. 0； B. 1； C. 2m ； D. 21m。

5. 当0→x 时，2x 与x sin 比较，则（ ）。

A. 2x 是较x sin 高阶的无穷小量； B. 2x 是较x sin 低阶的无穷小量；C. 2x 与x sin 为同阶无穷小量，但不是等价无穷小量；D. 2x 与x sin 为等价无穷小量。

第一章 函数 极限 连续 自测题参考答案A 级自测题一、选择题（每小题4分，共24分）．1．设()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时2()f x x x =-，则当[1,0]x ∈-时，()f x =（ ）． A ．2x x -+B ．2x x +C ．2||x x -D ．2x x --解：()()f x f x -= ,[1,0][0,1]x x ∈-⇒-∈, 2()f x x x ∴-=--，故选D ．2．设0lim ()x x f x →及0lim ()x x g x →均存在，则0()lim ()x x f x g x →（ ）．A ．存在B ．不存在C ．不一定存在D ．存在但非零解：C ，例如2200ln(1)ln(1)lim 0,lim x x x x x x →→++==∞3．当0x →时，下列无穷小量中与x 不等价的是（ ）．A ．210x x -B ．2ln(1)x x+ C ．2e 21x x -- D ．2sin(2sin )x x +解：由和差取低阶的原则可知AB C 均与x 等价，2sin(2sin )x x +与2x 等价． 4．极限（ ）等于e ．A ．01lim 1xx x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．31lim 1x x x +→-∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C ．1lim 1xx x →+∞⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ D ．()1lim 1x x x →∞+ 解：显然选B.5．已知2lim()01x x ax b x →∞--=+，其中a 与b 为常数．则（ ）． A ．1a b == B ．1a =-，1b = C ．1a =，1b =- D ．1a b ==-解：由题意得2lim()1x x ax b x →∞-=+，即222lim()lim 11x x x x ax axax x x →∞→∞---=++存在，所以10a -=得1a =．故22lim()lim()11x x x x b ax x x x →∞→∞=-=-++=1-．于是选C ．6．若函数2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+⎪=⎨>⎪⎩ 在(,)-∞+∞内连续，则a 和b 的关系是（ ）．A ．a b =B ．a b >C ．a b <D ．不能确定解：由于()f x 在(,)-∞+∞内连续，则0lim ()lim ()(0)x x f x f x f a -+→→===．且有 2lim ()lim()x x f x a bx a --→→=+=，00sin lim ()lim x x bxf x b x++→→==，故a b =．选A ． 二、填空题（每小题4分，共24分）．1．设函数()f x 的定义域是[0,1]，则11x f x -⎛⎫⎪+⎝⎭的定义域是_________．解：由1122010*******x x x x x x -+-≤≤⇒≤≤⇒≤-≤⇒∈+++[1,)+∞． 2．设2()e x f x =，[()]1f x x ϕ=-且()x ϕ≥0．则()x ϕ= _________． 解：由2()e x f x =可得2()[()]e 1x f x x ϕϕ==-⇒()x ϕ (,0]x ∈-∞．3．2sin 0lim(13sin )xx x →+=_________．解： 2sin 0lim(13sin )xx x →+=163sin 0lim[(13sin )]x x x →+=6e ．4．21lim(cos2)x x x →=________．解： 21lim(cos 2)x x x →=20ln[(cos 21)1]exp{lim}x x x →-+=20cos 21exp{lim }x x x→-=2e -． 5．设0x →时，2cos e e x x x -与n x 是同阶无穷小，则n =_________． 解：由于22cos (cos 1)[1]x x x xx x ee e e--=-，而当0x →时，24(cos 1)21(cos 1)()2x x x ex x x ---⋅- ，所以5n =．6．0x →=_________．解：原式=201sin 2lim 2x x x x →-=0sin lim x x x →-=1-．三、计算题（每小题5分，共25分）．1．求极限3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭． 解：3113lim()11x x x →---=23113lim 1x x x x →++--=21(1)(2)lim(1)(1)x x x x x x →-+-++=212lim()1x x x x →+-++=1-． 2．计算302050(41)(92)lim (61)x x x x →∞++-．解：302050(41)(92)lim (61)x x x x →∞++-=30205012(4)(9)lim 1(6)x x x x→∞++-=302050496⋅=102()3． 3．计算1lim 1x x →∞⎛- ⎪⎝⎭．解：1lim(1x x→∞-lim(1(1x →∞⋅+1e e -⋅=1． 4．求极限20lim x x +→．解：200lim lim x x x ++→→02lim 12x xx +→==4． 5．求极限1121lim 22n n n n +→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：1121lim (22)n n n n +→∞-=112(1)1lim 2[21]n n n n n ++→∞⋅-=1211lim 2ln 2(1)n n n n n +→∞⋅⋅⋅+=11lim 2ln 21n n nn +→∞⋅⋅+=ln 2． 四、已知函数1ln(1),0()0,0sin ,01x x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>-⎩ ．试确定()f x 的间断点及其类型．（8分）解：0lim ()x f x +→ =0sin lim 1x x x +→-=0，0lim ()x f x -→=01lim ln(1)x x x-→-=110lim ln[(1)]x x x ---→-=1-，所以0x =是()f x 的第一类间断点（跳跃间断点）．又(1)f 不存在且1lim ()x f x →=1sin lim1x xx →-=∞，故1x =是()f x 的第二类间断点（无穷间断点）．五、设函数,0sin ()3,0.2(1),0xax b x x f x x a b x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪-+>⎪⎩e 求a ，b 使()f x 在0x =处连续．（7分）解：由于0lim ()x f x +→=0lim[2(1)]2x a b x a b +→-+=-，0lim ()x f x -→=0lim[]sin x x axb a b x-→+=+e 而(0)3f =，所以23a b -=，3a b +=，从而2,1a b ==．六、证明题（每小题6分，共12分）．1．设11nn k x n k ==+∑．证明数列{}n x 收敛；证：用单调有界收敛准则证明．由于1111111n nn n k k x x n k n k ++==-=-+++∑∑=11121221n n n +-+++ =102(21)(1)n n >++，其中1,2,n = ．所以{}n x 单调增加．又11111nnn k k x n k n===≤=+∑∑，所以{}n x 有上界，{}n x 收敛．2．求证方程1cos 0x x ++=在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上至少有一个根．证：令1(c )os x f x x ++=，则函数()f x 在闭区间ππ[,]22-上连续，又()10,22f -=-+<ππ，()1022f =+>ππ，根据零点定理，在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一点ξ使得()0f ξ=，即1cos 0ξξ++=，因此方程1cos 0x x ++=在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上至少有一个根．B 级自测题一、选择题（每小题3分，共18分）．1．函数1()lg 1xf x x -=+为（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．两者都不是解：因为1()lg ()1xf x f x x+-==--，故选A ．2．下列极限不存在的是（ ）． A ．1lim 2xx →+∞B ．01lim sin x x x→C．x →∞D ．01lim arctanx x+→解：因为lim1x →+∞=，lim 1x →-∞=-，故选C ．3．若1n →∞=，则a ，b 的值分别为（ ）． A ．1,2a b == B ．2a =，1b =C ．1a =，b 任意D ．2a =，b 任意解：分子有理化后可知选D ． 4．若120lim(122)2ax bx x x x +→+-=，则a ，b 的值分别为（ ）． A ．1,2a b == B ．0,2a b ==C ．ln 2,0a b ==D ．2ln 2a =，b 任意 解：因为2122ln 2200ln(122)lim(122)2exp(lim )2expln 2ax bx x x x x x x e ax bx+→→+-+-=⇒===+ 222200ln(122)22lim ln 2lim ln 2x x x x x x ax bx ax bx →→+--⇒=⇒=++，故选D ． 5．设0x →时，22e ()x ax bx c -++是比2x 高阶的无穷小，其中a ，b ，c 是常数，则（ ）． A ．1,2,0a b c === B ．1,0a c b === C ．2,0a c b === D ．1,0a b c ===解：由题意得22lim[()]0x x e ax bx c →-++=，所以1c =．又2222200()1lim 0lim()0x x x x e ax bx c e ba x x x→→-++-=⇒--=， 所以0,1b a ==．选B ．6．设函数3()sin x x f x x-=π，则（ ）．A ．有无穷多个第一类间断点B ．只有1个可去间断点C ．有2个跳跃间断点D ．有3个可去间断点解：显然1,0,1x =-是()f x 的3个间断点．因为33001limlim sin x x x x x x x x πππ→→--==-， 310(1)(2)2lim lim sin sin x y x x y y y x y πππ→-→---==--，312limsin x x x xππ→-=-， 故选D ． 二、填空题（每小题3分，共15分）．1．设1,0()1, 0x x f x x +<⎧=⎨⎩．则[()]f f x =_________．解：由()f x 的定义知1(),()02,1[()]1, ()01, 1f x f x x x f f x f x x +<+<-⎧⎧==⎨⎨≥≥-⎩⎩．2．01lim x x →．解：01limx x →1201lim ln()1xx x x→+-=1121102[(1)]ln lim {[1()]}x x x x x →--++-=ln e =1．3．设()f x 在点0x =处连续，若1sin 20()lim 1e xx f x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2()limx f x x →=_________． 解：1sin 0()lim 1x x f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭=01()lim ln(1)sin x f x x xe →⋅+=01()limsin x f x x x e→⋅=0()limx f x x e →=2e ，故2()limx f x x →=2． 4．设23()lim 8nn n x f x x →∞=+，则()f x 的间断点为_________．解：由于0,||11,1()910,||1x x f x x x >⎧⎪⎪=⎪=⎨⎪=-⎪<⎪⎩ 不存在，，1lim ()0x f x +→=，1lim ()0x f x -→=，1(1)9f =，而(1)f -不存在．所以1x =-与1x =为函数()f x 的间断点，5．设ln(12),0()sin 1, 0x x f x ax bx x +⎧>⎪=⎨⎪+⎩在点0x =处连续，则a =________，b =________．解： 0lim ()x f x -→=0lim (1)x bx -→+=1，且 0lim ()x f x +→=0ln(12)lim sin x x ax +→+=02lim x x ax +→=2a， 得2a =，b 任意．三、计算题（每小题7分，共49分）． 1．计算2limsin (n →∞．解：222limsin (limsin (π)limsin (n n n n →∞→∞→∞==而12n =，所以2limsin (1n →∞=2．计算1x →．解：将分母分解因式，分子有理化，于是21lim2x x x →+-=1x →=1x →=6-．3．计算1lim(1!2!3!!)!n n n →∞++++ ． 解：111!(1!2!3!!)[(2)(2)!(1)!!]!!!n n n n n n n n n ⋅≤++++≤⋅-⋅-+-+1211(1!2!3!!)1!(1)n n n n n n -⇒≤++++≤++- ，由夹逼准则可知所求极限为14．计算121cos 0lim(1e sin )xxx x -→+．解： 121cos 0lim(1sin )x xx e x -→+=20ln(1sin )exp{lim}1cos x x e x x →+-=20sin exp{lim }1cos x x e xx→- =2202sin exp{lim }x xx→=2e ． 5．若02x →=．试求0lim ()x f x →．解：由于02x →=且30lim 10x x e →-=，则有1)0x →=，0lim ()sin 20x f x x →=，从而02x →=01()sin 22lim 3x f x x x→⋅，又0sin 2lim 12x x x →=，由此可知存在0lim ()x f x →，且0lim ()6x f x →=．6．计算x →，其中0lim ()1x f x →=-．解：0x →=x →=0ln(1x →+0x →=01lim 4x x e → =14．7．求极限0x →解：当0x →时，arcsin0x →=0x →=01lim sin 1cos x x x x x→--=01limsin 1cos x x x x x →-- =001sin 1cos lim lim x x x x x x →→--=2001sin 1lim lim 2x x x x x x →→-⋅=1．四、试讨论函数1sin ,0()0, 0ax x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的连续性（其中a 为常数）．（8分） 解：当0x ≠时， 1()sinaf x x x=为初等函数．故()f x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞内连续，则只需讨论()f x 在点0x =处的连续性．（1）当0a >时，0lim 0ax x →=，1sinx为有界量，故01lim sin 0(0)ax x f x →==，可知()f x 在点0x =处连续；（2）当0a =时， 0011lim sinlimsin ax x x x x→→=不存在，可知()f x 在点0x =处不连续；（3）当0a <时，若1022x n ππ=→+（n →∞）时，()(2)2a f x n ππ-=+→∞，01lim sin a x x x→不存在，所以()f x 在点0x =处不连续． 综上所述，当0a >时， ()f x 在(,)-∞+∞内连续；当0a ≤时， ()f x 在(,0)(0,)-∞⋃+∞内连续，在点0x =处间断．五、证明题（每小题5分，共10分）．1．设1302x <<，1n x +=1,2,n = ），证明数列{}n x 收敛，并求极限lim n n x →∞． 解：显然0n x ≥，由22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可知32n x =，所以302n x ≤≤，另一方面，10n n n x x x +-==≥，即{}n x 单调增，由单调有界定理知{}n x 收敛，设lim n n x A →∞=，则由1n x +32A A =2. 设自然数1n >．试证方程22112110n n n x a x a x --+++-= 至少有两个不同实根，其中 1221,,n a a a - 为常数．证： 设221121()1n n n f x x a x a x --=+++- ．由于(0)10f =-<，则对于1n >，当x →+∞时()f x →+∞，x →-∞时()f x →+∞．所以()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上连续且(0)()0f f ⋅+∞<，(0)()0f f ⋅-∞<；根据零点定理可知，()0f x =在(,0)-∞，(0,)+∞两区间内各至少有一个实根， 即方程22112110n n n x a x a x --+++-= 至少有两个不同实根．。

1第一章 函数、极限与连续一、判断题 1 若 lim f x = A ，则 f x o 二 A ;xJ x o2、已知f x 0不存在，但lim f x 有可能存在; ^^03、若f x 0 0与f x 0 -0都存在，则lim f x 必存在;6、若f(x),g(x)在点x 0处均不连续，则f(x) g(x)在x 处亦不连续；( )7、 y =| x |在x = 0处不连续;8、 f (x)与X 。

处连续当且仅当f (x)在x 0处既左连续又右连续；( )9、 设y =f(x)在［a,b ］上连续，且无零点，则f (x)在［a,b ］上恒为正或恒为负；( ) 10、 设y=f(x)在(a,b)上连续，则f (x)在(a,b)内必有界；()1 •设f X 在R 上有定义，函数f x 在点X 0左、右极限都存在且相等是函数f x 在点X 。

连续的(C )A .充分条件 C •必要条件B .充分且必要条件 D .非充分也非必要条件lim 沁 X —•”x选择题4、22 •若函数f x 在某点x o 极限存在，则（C ） A • f x 在x o 的函数值必存在且等于极限值 B. f x 在X 。

函数值必存在，但不一定等于极限值 C. f x 在x o 的函数值可以不存在 D. 如果f X 。

存在的话，必等于极限值 3.数列0， 1，2，3，4，3456…是(B )A .以0为极限B . 以1为极限C .以“ 一2为极限n D . 不存在在极限14 . lim xsin ( C )A . ::B .不存在C . 1D . 02x5 . lim i 1=( A )xixA . e ，B .二C . 0D .-26 .无穷小量是（C ）A .比零稍大一点的一个数B . 一个很小很小的数C .以零为极限的一个变量D .数零X 二 1■在R 上连续，则a 的值为（D ）x 1C . -1D . -2xe8 .设 f (x )=」1a + x 要使f x 在x = 0处连续，则a 二A . 2B . 1C . 0D . -17.若函数f (x )=」x 2+a COS 让X,I . x 037 . lim 3n sin 二=x 。