2015年秋季新版华东师大版七年级数学上学期5.1.2、垂线导学案2

图 1图2图4优质资料---欢迎下载《垂线》导学案1．学习目标：经历垂线的画法、垂线性质及点到直线的距离的探索过程，进一步发展学生的空间观念和有条理表达的能力.2．学习重点：垂线的概念及性质.3．学习难点：点到直线的距离的概念及应用.情景导入 趣味感知情景导入：如图1，马路l 上有两城市B 、C ，马路外有城市A ，要在马路上修建货运站P ，使P 到三城市路程和最短，问货运站P 应建在何处？动手动脑 自主学习 1．当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 垂直用符号“⊥”表示，如图2，直线AB 与直线CD 互相垂直，记作AB ⊥CD ，垂足为点O.温馨提示：两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，两条线段或两条射线垂直是指这两条线段或射线所在的直线垂直.2．用三角板画一条直线的垂线的一般步骤：（1）把三角尺的一条直角边靠在已知直线上；（2）使三角尺的另一条直角边经过已知点；（3）沿已知点所在的直角边画出直线. 可简记为：一靠二过三画.温馨提示：画一条线段或射线的垂线时，就是画它们所在直线的垂线. 我们还可以用量角器、方格纸、折纸等方法画一条直线的垂线.3．垂线的性质 （1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；温馨提示：在“有且只有”中，“有”表示“存在”，“只有”表示“唯一”；“过一点”中的“点”既可以在直线外，也可以在直线上.（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简称“垂线段最短”.4．点到直线的距离过直线外一点作已知直线的垂线，这一点与垂足所构成的线段的长度，叫做点到直线的距离. 如图3中，过点A 作l 的垂线，垂足为点B ，线段AB 的长度叫做点A 到直线l 的距离.温馨提示：点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，不能说“垂线段是距离”，作“点到直线的距离”实质上是直线外这个点到垂足之间的距离，仍可理解为两点间的距离. 点拨知识 导航关键1．垂直的概念例1 如图4，已知直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠AOD 内一点，OE ⊥AB ，若∠BOD=45°，求∠COE 的度数.思路点拨：考虑到∠COE 由∠AOC 与∠AOE 两部分组成，可以分别求出这两个角的度数；如果考虑∠COE 是∠DOE 的邻补角，则可以先求出∠DOE 的度数.解法一：因为OE ⊥AB ，所以∠AOE=90°，又因为∠AOC=∠BOD=45°，所以∠COE=∠AOC ＋∠AOE=45°＋90°=135°.解法二：因为OE ⊥AB ，所以∠BOE=90°，又因为∠BOD=45°，图3图1 图 2图 5 图 6 图7 所以∠DOE=∠BOE －∠BOD=90°－45°=45°.所以∠COE=180°－∠DOE=180°－45°=135°.2．垂线的性质与直线的性质的区别例2 如图5，在铁路旁有一个城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种方案是唯一的，其理由是（ ）.A ．经过两点有且只有一条直线B ．两点之间的所有连线中，线段最短C ．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.易错点提示：本题没有线段最短之意，故选项B 、D 错误；易错选A ，但选项A 表示两点确定一条直线，并无垂直之意，本题意不只是通过城镇与铁路确定一条直线，且要与铁路垂直. 错选的原因是对直线的性质与垂线的性质没有区分开来.解：根据垂线的性质，正确选项为C.3．垂线在生活中的应用例3 如图6，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 是分别位于公路AB 两侧的两所学校.（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来.（2）当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M 学校的影响逐渐减小而对N 学校的影响逐渐增大？关键点提示：由生活常识告诉我们，汽车离学校的距离越近，噪音对学校的影响就越大；汽车离学校的距离越远，则噪音对学校的影响就越小.解：（1）如图7所示，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，过点N 作NF ⊥AB 于点F ，根据“垂线段最短”，当汽车行驶到点E 处时，对M 学校影响最大；当汽车行驶到点F 处时，对N 学校影响最大.（2）如图7所示，汽车由A 向E 行驶时，对两学校影响逐渐增大；由F 向B 行驶时，对两学校的影响逐渐减小；汽车由E 向F 行驶时，对M 学校的影响逐渐减小而对N 学校的影响逐渐增大.运用知识 能力升级1．如图1，直线l 1、l 2交于点O ，OM ⊥l 1，若α∠=44°，则β∠的度数为（ ）.A ．46°B ．45°C ．44°D ．43°2．如图2，已知AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，如果AB=4cm ，AC=3cm ，BC=5cm ，AD=2.4cm ，那么点C 到直线AB 的距离为（ ）.A ．2.4cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm图 3 图 5 图63．如图3，工匠李师傅为检查门框AB 是否垂直于地面，在门框AB 的上端A 用细线悬挂一铅锤，看铅垂线AE 是否与AB 重合，若门框AB 垂直于地面，则AE 与AB 重合；否则AE 与AB 不重合. 李师傅这样测量的根据是____________.4．如图4，已知AO ⊥OB ，垂足为点O ，若∠2－∠1=20°，则∠1的度数为_________.5．如图5，MN 表示一条公路，A 、B 分别表示两个村庄，小英从A 村出发，到B 村办事，然后再回到公路，怎样走最近？请画出线路图.6．如图6，已知直线AB 与CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，若∠DOF=65°.请你计算出∠AOC 与∠BOE 的度数.参考答案1．A ．提示：因为OM ⊥l 1，所以∠1=90°，所以α∠＋β∠=90°，即β∠=90°－44°=46°.2．B ．提示：点C 到直线AB 的距离为线段AC 的长.3．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4．35°. 提示：由于∠2=∠1＋20°，又∠1＋∠2=90°，所以∠1＋∠1＋20°=90°，故∠1=35°.5．解：如图1所示. 连接AB ，过点B 作直线MN 的垂线段BC.则A →B →C 就是所画的最短路线.6．解：因为OF ⊥AB ，所以∠BOF=90°.因为∠DOF=65°，所以∠BOD=∠BOF －∠BOD=90°－65°=25°.又因为∠AOC 和∠BOD 是对顶角，所以∠AOC=∠BOD=25°.因为OE ⊥CD ，所以∠DOE=90°. 所以∠BOE=∠DOE －∠BOD=90°－25°=65°. 图 1 图4。

课题：5.1.2 垂线授课教师：学科组长：教研组长：课时目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.2.知道垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.3、知道垂线段的概念,知道垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.教学重点1、两条直线互相垂直的概念、性质和画法.2、“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用.教学难点：对点到直线的距离的概念的理解教学过程一、课前预习导学：阅读课本P3-6页练习，解决以下问题：1、两条相交直线，在什么情况下具有互相垂直的位置关系？请举例说明2、举出生活中两条直线互相垂直的实例来。

3、你会画两条互相垂直的图形吗？经过已知直线上一点或直线外一点你会画这条直线的垂线吗？由此你得到到了什么结论。

4、你以垂线段这个概念是怎么理解的？你又是怎样理解垂线最短的呢？能举出生活中的应用实例吗？5、点到直线的距离是什么？与两点间的距离有什么异同？二、课堂研讨：1、垂直的概念：1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?2.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?3.师生共同给出垂直定义.4.垂直的表示法.垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.5.简单应用(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条, 并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.2、画图实践,探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1)已知直线L及直线L上一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在直线的垂线.3、垂线段的性质研究：阅读课本P5页中的问题及探究(1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?(2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢?把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题了：问题2:在连接直线L外一点P与直线L 上各点的线段中,哪一条最短?解决方法：1、教师演示教具,给学生直观的感受.教具如图:在硬纸板上固定木条L,L外一点P,转动的木条a一端固定在点P.使木条L与a相交,左右摆动木条a,L与a的交点A随之变化,线段PA 长度也随之变化.PA最短时,a与L的位置关系如何?用三角尺检验.2、学生画图操作,得出结论.(1)画出直线L,L外一点P;(2)过P点出PO⊥L,垂足为O;(3)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.总结：师生交流,得出垂线的另一条性质.PMANPBPBAODCBAlPaA连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 简单说成:垂线段最短. 关于垂线段的思考:(1)垂线段与垂线的区别联系. (2)垂线段与线段的区别与联系. 4、点到直线的距离1.师生根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名.结合课本图形(图 5.1-9),深入认识垂线段PO:PO⊥L,⊥POA=90°,O 为垂足,垂线段PO 的长度比其他线段PA 1、PA 2……中是最短的.按照两点间的距离给点到直线的距离命名,教师板书: 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.在图5.1-9中,PO 的长度是点P 到直线L 的距离,其余结论PA 、PA 2……长度都不是点P 到L 的距离.2.对应练习：.练习1:已知直线a 、b,过点a 上一点A 作AB⊥a,交b 于点B,过B 作BC⊥b 交a 上于点C.请说出哪一条线段的长是哪一点到哪一条直线的距离? 并且用刻度尺测量这个距离.练习2:课本中水渠该怎么挖?在图上画出来.如果图中比例尺为1:100000, 水渠大约要挖多长?三、课堂小结：本节学习了互相垂直、垂线等概念, 还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线性质,你能说出相关的内容吗?四、课堂诊测1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（ ）A.有两个角相等B.有两对角相等C.有三个角相等D.有四对邻补角2.如图1所示，P 为直线l 外一点，A 、B 、C 在直线l 上，且PB ⊥l ,垂足为B ，∠APC=90°，则下列错误的是（ ） A ．线段PB 的长度叫做点P 到直线l 的距离 B ．PA 、PB 、PC 三条线段中，PB 最短 C ．线段AC 的长等于点P 到直线l 的距离 D ．线段PA 叫A 到直线PC 的距离3.如图2，AC ⊥l 1 ，AB ⊥ l 2，垂足分别为A 、B ，则A 点到直线的距离是线段________的长.4. 如图3，已知直线AB 、CD 都经过O 点，OE 为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE四、作业1.课本P8页5、6题，P9页9、10题课后反思b aC B A 图1图2ACOBDE12图3。

垂线【学习目标】1. 了解两直线互相垂直的意义，并会判断两直线垂直.2. 理解垂线的性质，了解垂线、垂线段、点到直线的距离的区别.【知识储备】1. 如图，直线AB 与CD 相交，所构成的四个角中有一个为________时，其他三个角也都成为__________，此时，直线AB 、CD_______ _____，记作“___ ________”，他们的交点O 叫做_________.2. 过直线外一点到直线各点的距离长短不一，其中最短的为点到直线的__________.【学习流程】一、提前自学（一）自学要求: 用20分钟时间自主阅读教材本节内容,独立思考或独立完成问题预设和尝试练习的问题.（二）自我发现：1. 请按以下要求作图：（1）过直线ABAB(2)过直线AB 上一点P ，作一条直线垂直于直线AB2. 由上题可知，在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有_______直线与已知直线______.3. 什么叫点到直线的距离？点到直线的连线中有什么重要性质？（三）尝试练习：1. 有以下说法：①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，②两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直，③两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直，④两条直线相交，若一组邻角相等，则这两条直线互相垂直。

其中正确的是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2.点直线的距离是指：( )A 、直线外一点到该直线的垂线的长度B 、直线外一点到该直线的垂线段的长度C 、直线外一点与直线外一点间的距离D 、从直线外一点向该直线所画的垂线段3. 如图1所示，当∠1与∠2满足 时，能使OA ⊥OB4. 如图2所示，从河中向稻田A 处引水，为使水渠最短，可过A 做AB ⊥CD 于点B ，沿线段AB 修渠最短，其根据是二、组内交流:（一）检 查 （二）对学与群学:三、第二次尝试：1. 在如图所示的各个三角形中，分别画出AB 边上的高，并量出三角形顶点C 到直线AB 的距离。

5．1.2 垂线(第2课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解垂直的概念．2．理解垂线的性质：经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．3．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．【过程与方法】通过探索、猜测，进一步体会推理的必要性，发展学生初步推理能力．【情感态度与价值观】通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，感受推理过程的严谨以及结论的确定性．二、重难点目标【教学重点】垂直的概念、性质和画法．【教学难点】两条直线互相垂直的性质和画法．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P3～P6的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)垂线1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.垂直用“⊥”表示，如a、b互相垂直，则记为：a⊥b或b⊥a.2．下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有①②③④.①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．3．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(二)垂线段4．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．即：垂线段最短.5．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.6．如图所示，点A到直线l的距离是(A)A．线段AD的长度B．线段AE的长度C．线段AB的长度D．线段AC的长度环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)如图1，过点P画AB的垂线；(2)如图2，过点P分别画OA、OB的垂线；(3)如图3，过点A画BC的垂线．【互动探索】(引发学生思考)理解画垂线的步骤，根据画垂线的步骤求解．【解答】如图所示．【互动总结】(学生总结，老师点评)垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．【例2】如图所示是一条河的示意图，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据垂线的性质可得，即过点C作CE⊥AB，再根据“垂线段最短”可得CE最短．【解答】如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短．因为垂线段最短．【互动总结】(学生总结，老师点评)在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，直线a、b相交于点A，点B在直线a上，过点B作直线b的垂线，垂足为点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为(A)A．40°B．50°C．60°D．140°2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是(C)A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为点C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP的长不可能是(A)A．2B．3C．4D．54．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，能表示点到直线的距离的线段有5条．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.(1)过点O画直线MN⊥CD；(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．【互动探索】(1)根据题意画出直线MN即可；(2)当点F在射线OM上时，根据垂直定义求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠BOD＝∠AOC，即可求出答案；当点F在射线ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB＋∠BON即可．【解答】(1)如图所示．(2)①当点F在射线OM上时．因为OE⊥AB，MN⊥CD，所以∠EOB＝∠MOD＝90°，所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.②当点F在射线ON上时，如图中点F′.因为MN⊥CD，所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，所以∠AOM ＝90°－∠AOC ＝55°， 所以∠BON ＝∠AOM ＝55°，所以∠EOF ′＝∠EOB ＋∠BON ＝90°＋55°＝145°， 即∠EOF 的度数是35°或145°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了垂线的作法、角的计算、对顶角、垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠EOM 和∠AOM 的度数，题目较好，难度不大，注意分类讨论思想的运用．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)垂线⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫定义作法⎩⎪⎨⎪⎧一落二移三画性质：垂线段最短求最短距离 练习设计请完成本课时对应练习！。

学习目标知识目标：理解垂线的概念，掌握垂线的性质，会过一点作已知直线的垂线，并能运用垂线的概念及性质解决一些实际问题。

能力目标：通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理的表达能力。

情感目标：合作交流，体验成功。

重点与难点重点：垂线、垂线段，点到直线的距离的概念。

难点：垂线的性质和点到直线的距离。

地位及作用：垂直是平面内的两条直线相交的一种特殊的位置关系，是空间与图形所要研究的基本问题，它在人们日常生活有着广泛有应用，也是后面进一步学习的重要基础。

学习用具：1、三角板，直尺等作图工具。

2、取两根直木条重叠，并在中间用钉钉上。

《 垂 线 》导学案导学过程设计：一、创设情景，引入新课 如右图，在点A 处有一只青蛙，要准备快速地跳到小河边BC ，你能帮它确定一条线路吗？二、分组讨论，探究新知1、转一转，理解掌握垂直的定义。

两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____角时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。

如图AB 、 CD ，互相垂直，记作 。

2、画一画，探究垂线的性质。

如何过一点A作已知直线l的垂线？这样的直线你能作出多少条？画一画，想一想，由此你得出什么结论？3、量一量，探究垂线段的长。

已知直线l，过已知点P作直线l的垂线，垂足为O，线段PO叫做点A到直线l的＿＿＿,度量它的长度为＿＿＿，连结PA1、PA2、PA3、PA4、PA5并度量其长度，你发现什么结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、试一试，解决情景问题。

三、反思小结，内化新知1、你会过一点做已知直线的垂线吗？会表示吗？能画几条呢？2、垂线和垂线段所表示的意义相同吗？（从端点、长度等比较）3、举出你在生活当中见到要使用“点到直线距离”的例子。

学法指导想一想，画一画，由一般到特殊注意书写格式画一画，想一想量一量，想一想展示交流，畅所欲言四、尝试练习，自主评价1、基础知识扫描1）如图所示，直线AB 与直线CD 的位置关系是_______，记作_______，此时,•∠AOD=∠_______=∠_______ = ∠_______= 度。

2.垂线学习目标：1.理解垂线的概念及画法；2.理解垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题(重点、难点).自主学习一、知识链接1.两点间的距离如何测量呢？2.两条直线相交会形成几个角？这些角之间有何数量关系？二、新知预习（预习课本P162-164）完成下列各题：1.垂直的有关概念：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为时，其他三个角也为直角，此时，这两条直线互相垂直，把它们的交点叫做，其中一条直线叫做另一条直线的 .2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 .3.从直线外一点到这条直线的的长度，叫做点到直线的距离.练习：如图，（1）图中互相垂直的两条直线为，垂足为；（写一组即可）（2）点B到直线AD的距离为；（3）点A到直线BC的距离为 .合作探究一、要点探究探究点1：垂线的概念问题1:两条直线如何才算垂直呢？两条直线互相垂直，四个角的大小各如何呢？问题2:试着借助下图写出问题1的推理过程.已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC=90°，说明∠AOD、∠BOD、∠BOC均为直角.【要点归纳】1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所构成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.2.垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.3.交点O叫做垂足.4.垂直是相交的特殊情况.如图，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则直线m、n的位置关系是________ ；(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______°.如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝116°，求∠AOD的度数．探究点2：垂线的画法及基本事实问题3 （1）画已知直线l的垂线能画几条?(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?【要点归纳】垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意：（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.探究点3：点到直线的距离问题4 如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.（1）线段AB, AC, AD , AE谁最短？（2）你能用一句话表示这个结论吗？【要点归纳】（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短.（2）线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.垂直；(2)垂线段最短.点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离当堂检测1.过点P向线段AB所在直线画垂线，画图正确的是（）A． B． C．D．2.如图，已知AB⊥CD，垂足为O，且直线AB与EF相交于点O,则图中∠1与∠2的关系是（）A．∠1+∠2＝180°B．∠1+∠2＝90°C．∠1＝∠2D．无法确定3.点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离（）A．等于4cm B．等于3cm C．小于3cm D．不大于3cm4.两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是（）A．两对对顶角分别相等B．有一对对顶角互补C．有两个角是直角D．有三个角相等5.如图，要从小河a引水到村庄A，设计人员设计了一条最佳路线如图所示，其设计的依据是．第5题图第6题图第7题图6．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于点E．若∠AED＝145°，则∠CEF＝°．7．如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，则∠DBA＝．8．如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线．若∠AOB＝40°，求∠EOF、∠COE的度数．参考答案自主学习二、新知预习1.直角垂足垂线2.垂直3.垂线段练习：1.（1）BC、AD D （2）线段BD （3）线段AD合作探究一、要点探究探究点1：垂线的概念问题2 解：因为∠AOC=90°，所以∠BOD=90°，∠AOD=∠BOC=180°-∠AOC=90°.（1）m⊥n （2）90解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝90°．∵∠EOC＝116°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE=116°﹣90°＝26°，则∠AOD＝180°﹣∠AOC＝154°．解：过农田P处作河流的垂线，垂足为点O，则沿着线段OP挖掘能使渠道最短，画图略.当堂检测1．C 2．B 3．D 4．A 5．垂线段最短 6．55 7．72°8．解：∵AO⊥OD且∠AOB＝40°，∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°.∴∠EOF ＝50°．又∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOD＝50°．∴∠COE＝180°﹣∠EOF -∠DOC=180°﹣50°﹣50°＝80°．。