(统编版)2020学年高中数学第一章推理与证明4数学归纳法教学案北师大版选修23

陕西省石泉县高中数学第一章推理与证明1.4 数学归纳法（2）教案北师大版选修2-2
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4 数学归纳法(2)。

【关键字】基础§4 数学归纳法我们已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明命题,但是在数列和函数中,有大量的关于自然数的不等式,如何证明它们呢？这节课就讨论另一种证明方法——数学归纳法.高手支招1细品教材一、数学归纳法状元笔记数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤，是论证的根底保证,即通过验证落实传递的起点,这个根底必须是真实可靠;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即命题只要对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法.特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性.如果没有第一步,而仅有第二步,命题也有可能是假命题.一般地,证明一个与正整数n有关的数学命题,可按下列步骤进行:(1)证明当n=1时命题成立.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1的命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对一切正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.【示例】用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3…(2n-1),其中n∈N*.思路分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k时等式两边的式子的联系,或增加了哪些项或减少了哪些项,问题就容易解决.证明：(1)当n=1时,左边1+1=2,右边=21·1=2,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3…(2n-1).则当n=k+1时,(k+2)…(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)=2k·1·3…(2k-1)·2(2k+1)=2k+1·1·3…(2k-1)(2k+1)，即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*,等式成立.二、数学归纳法的特点1.基本特点(1)无穷性:数学归纳法所证明的与正整数有关的命题,实际上就是关于正整数的无穷性命题,命题的无穷性是我们用演绎法无法证明的,所以数学归纳法恰恰就是有效地利用递推关系证明了命题无穷性的正确性.数学归纳法以之独特而简约的语言向我们展示了一种精简的“形”,并且没有损害论证的“神”,反而提供了一种把握“无限”趋势的有常形式,成为“沟通无限同有限的桥梁”.(2)有穷性:与正整数有关的命题具有无穷性,但是数学归纳法的基本步骤是有穷的,仅仅只有两个步骤,但这两个步骤是缺一不可的.数学归纳法是在可靠的根底上利用命题本身具有的传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题.数学归纳法之美,就在于由有限推证无限,把无限转化为有限.2.数学归纳法的核心在验证命题n=1正确的根底上,证明命题具有传递性,第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了有限到无限的飞跃.虽然刚开始接触会觉得“模式固定、呆板”,但经过一定的接触学习后,其各步骤及各步骤间体现出非同寻常的逻辑力量的哲学观点,让人深深体会到其凝练的论证中散发着的简洁和思辨.归纳根底与归纳假设及证明,此二者缺一不可,构成数归法的灵魂,同时,指出了数学归纳法的具体表现:正整数有无穷多个，这也是数学归纳法的精华.对于认识数学归纳法的内涵是十分重要的.三、数学归纳法的主要应用1.用数学归纳法证明不等式问题对与正整数有关的不等式的证明,如果用其他方法比较困难,此时可考虑利用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运用不等式的证明等其他方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口.状元笔记在数学归纳法中,由n=k时成立推证n=k+1也成立是关键和难点,在推证时一般要用到比较法、放缩法、配凑法、分析法等.【示例】求证:++…+＞,(n≥2,n∈N*).思路分析：本题可在由n=k到n=k+1时的推证过程中应用“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式常用的方法之一.证明：(1)当n=2时,左边=+++＞,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即++…+＞.则当n=k+1时,+…+++=++…++(-)＞+(-)＞+(3×-)=,所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知,原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立.2.用数学归纳法证明整除问题状元笔记用数学归纳法证明整除问题,P(k)P(k+1)的整式变形是难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,P(k)做何种变形.一般地,将n=k+1时P(k+1)的整式分拆配凑成P(k)的形式,再利用归纳假设和基本事实,这个变形是难点.对于整数a,b,如果a=b·c,c为整数,则能称a能被b整除;对于多项式A,B,如果A=B·C,C 为整式,则称A能被B整除.由多项式的定义容易得出:对多项式A,B,C,P,如果A能被C整除,那么PA也能被C整除;如果A,B能被C整除,那么A+B或A-B也能被C整除.【示例】用数学归纳法证明下述整除问题:求证:11n+2+122n+1(n∈N*)被133整除.思路分析：数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质,若干个数(或整式)都能被某一个数(或整式)整除,则其和、差、积也能被这个数(或整式)整除.证明：(1)当n=1时,113+123=1 331+1 728=3 059=133×23能被133整除,∴当n=1时命题正确;(2)假设当n=k 时命题正确,即11k+2+122k+1能被133整除,∴当n=k+1时,11k+3+122k+3=11×(11k+2+122k+1)+122k+3-11×122k+1=11×(11k+2+122k+1)+122k+1×(122-11)=11×(11k+2+122k+1)+122k+1×133,能被133整除,即当n=k+1时命题也正确;由前面可知命题对n∈N *都正确.3.用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题时,难点就是在P(k)⇒P(k+1)递推时,找出n=k 到n=k+1时递推公式,这是关键所在.分析增加一条曲线或直线后,点、线段、曲线段、平面块在P(k)的基础上增加了多少,就找出了相应的递推关系.【示例】平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一个点,证明交点的个数f(n)等于2)1(-n n . 思路分析：本例的关键是弄清增加一条直线能够增加多少个不同的交点,解此类问题时常运用几何图形的性质.证明：(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=21×2×(2-1)=1, 因此,当n=2时,命题成立.(2)假设当n=k 时(k≥2)命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k 条直线的交点的个数f(k)= 21k·(k -1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记为1(如右图). 由上面的假设,除1以外的其他k 条直线的交点的个数f(k)=21k(k-1).另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线1必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不同,且与平面内其他的21k(k-1)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数为21k(k-1)+k=21k[(k-1)+2]=21(k+1)[(k+1)-1]. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数f(k+1)=21(k+1)[(k+1)-1]. 根据(1)(2),可知命题对任何大于1的正整数都成立.高手支招2基础整理数学归纳法是数学证明中的一种方法,数学归纳法主要用于证明与正整数有关的命题,其主要作用根据如下:此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

§1 归纳与类比[对应学生用书P2]归纳 推 理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？ 提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？ 提示：一切金属都能导电．问题3：若数列{a n }的前四项为2,4,6,8，试写出a n . 提示：a n ＝2n (n ∈N ＋)．问题4：上面问题2、3得出结论有何特点？ 提示：都是由几个特殊事例得出一般结论．归纳推理定义特征根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，将这种推理方式称为归纳推理.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.类 比 推 理问题1：试写出三角形的两个性质． 提示：(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底乘积的12.问题2：你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗？试写出来． 提示：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.问题3：试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么．提示：由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征，即由特殊到特殊．定义特征由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，把这种推理过程称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.合情推理与演绎推理1．合情推理的含义合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理．2．演绎推理的含义演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．1．归纳推理的特点：(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．2．类比推理的特点：(1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象；(2)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠；(3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理不能作为数学证明的工具．[对应学生用书P3]数与式的归纳[例1] 已知：1>12；1＋12＋13>1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32；1＋12＋13＋…＋115>2；….根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论．[思路点拨] 观察不等式左边最后一项的分母特点为2n－1，不等式右边为n2，由此可得一般性结论．[精解详析] 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n－1，而不等式右端依次分别为：12，22，32，42，…，n 2.归纳得一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)．[一点通] 根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等； (2)提炼出数、式的变化规律； (3)运用归纳推理写出一般结论．1．已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1367B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1368C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13111 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13112 解析：该三角形每行所对应元素的个数为1,3,5……那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.答案：D2．(陕西高考)已知f (x )＝ x1＋x ，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2 014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝x1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x1＋2x＝x1＋3x，故可猜想f 2 014(x )＝x1＋2 014x.答案：x1＋2 014x3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)归纳猜想数列{a n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝a n 1＋2a n (n ∈N ＋)，得a 2＝13，a 3＝a 21＋2a 2＝15，a 4＝a 31＋2a 3＝17. (2)由a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，可归纳猜想a n ＝12n －1(n ∈N ＋).图与形的归纳[例2] 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图①②③④所示为她们刺绣的最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多，刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f 1＋1f2－1＋1f3－1＋…＋1fn －1的值．[思路点拨] 先求出f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值，并归纳出n 与f (n )的关系，然后即可解决问题(2)、(3)．[精解详析] (1)f (5)＝41. (2)f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，……由上式规律，得f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1fn －1＝12nn －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，∴1f 1＋1f2－1＋1f 3－1＋…＋1fn －1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n.[一点通] 解决此类问题可以从两个方面入手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．4．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )解析：由图可知该五角星对角上亮的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A中所示的图形．答案：A5．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0132的格点的坐标为( )A．(1 006,1 005) B．(1 007,1 006)C．(1 008,1 007) D．(1 009,1 008)解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 007，1 006)处标2 0132.答案：B6．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝____________；当n>4时，f(n)＝______________.(用含n的数学表达式表示)解析：画图可知，f (4)＝5，当n >4时， 可得递推式f (n )－f (n －1)＝n －1，由f (n )－f (n －1)＝n －1， f (n －1)－f (n －2)＝n －2，…f (4)－f (3)＝3，叠加可得， f (n )－f (3)＝12(n ＋2)(n －3)，又f (3)＝2，所以f (n )＝12(n ＋2)(n －3)＋2，化简整理得f (n )＝12(n －2)(n ＋1)．答案：5 12(n －2)(n ＋1)．几何图形的类比[例3] (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦； (2)与圆心距离相等的两弦长相等； (3)圆的周长C ＝πd (d 是直径)； (4)圆的面积S ＝πr 2.[思路点拨] 先找出相似的性质再类比，一般是点类比线、线类比面、面类比体． [精解详析] 圆与球有下列相似的性质：(1)圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合；球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构成的集合．(2)圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形；球是空间中封闭的曲面所围成的对称图形．通过与圆的有关性质类比，可以推测球的有关性质.圆球圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与截面(不经过球心的小圆面)圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两条弦长相等与球心距离相等的两个截面的面积相等圆的周长C ＝πd 球的表面积S ＝πd 2圆的面积S ＝πr 2球的体积V ＝43πr 3[一点通] 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形 立体图形 点 点、线 直线 直线、平面 边长 棱长、面积面积 体积 三角形 四面体 线线角 面面角 平行四边形平行六面体圆球7．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( ) A ．空间中平行于同一直线的两直线平行 B ．空间中平行于同一平面的两直线平行 C ．空间中平行于同一直线的两平面平行 D ．空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比． 答案：D8．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22 B.l 22C.lr2D.不可类比解析：扇形的弧长类比三角形的底，扇形的半径类比三角形的高．所以S扇形＝l×r 2.答案：C9．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P—ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.定义、定理或性质中的类比[例4][精解详析] (1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量；(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律，即：a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a＋x＝0与a＋x＝0都有唯一解，x＝－a与x＝－a；(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a＋0＝a.[一点通] 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，本例中实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量0分别在实数加法和向量加法中占有特殊的地位．因此我们可以从这四个方面进行类比．10．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.等式不等式a ＝b ⇒a＋c ＝b ＋c ① a ＝b ⇒ac ＝bc ② a ＝b ⇒a 2＝b 2③答案：①a >b ⇒a ＋c >b ＋c ②a >b ⇒ac >bc (c >0) ③a >b >0⇒a 2>b 2.(说明：“>”也可改为“<”)11．已知等差数列{a n }的公差为d ，a m ，a n 是{a n }的任意两项(n ≠m )，则d ＝a n －a mn －m，类比上述性质，已知等比数列{b n }的公比为q ，b n ，b m 是{b n }的任意两项(n ≠m )，则q ＝________.解析：∵a n ＝a m q n －m，∴q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n am 1n m-.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a nam 1n m -1．用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．2．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．3．多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．[对应课时跟踪训练一]1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n 项可能是( ) A ．2×10nB ．2×10n －1C ．2×10n ＋1D.2×10n －2答案：B2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 1A ．2B ．4C ．6 D.8解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.答案：C3．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227 B.258 C.15750 D.355113解析：由题意知275L 2h ＝13πr 2h ⇒275L 2＝13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π＝258. 答案：B4．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )解析：每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．答案：A5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n－1)＝n2(n≥2，n∈N＋)．8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．解：在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F .于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。

1.4《数学归纳法》一、教学分析本课是数学归纳法的第一节课。

前面学生已经学过归纳和推理相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。

不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段，它有利于发现问题，形成猜想，但是结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法；完全归纳，结论可靠，但一一核对困难。

从而需要一种科学的方法解决与正整数相关的数学问题，即必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。

数学归纳法安排在归纳和推理之后，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。

并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

二、教学目标学生通过归纳和推理等相关知识的学习，已基本掌握了不完全归纳法，具有一定的观察、归纳、猜想能力。

通过新课程教学方法的实施和新课程理念的渗透，学生已基本习惯于对已给问题进行探究，但主动提出问题和置疑的能力还有待进一步提高。

能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。

如何让学生主动置疑和提出问题？本课在这方面作了一些尝试。

根据教学内容特点和新课程高中数学标准以及学生现有的知识水平，按照学生终身发展需要而制订以下教学目标。

1.知识和技能（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

（2）初步理解数学归纳法原理。

（3）理解并记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。

（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。

2.过程和方法（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生的观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感、态度和价值观（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

（2）学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。

第一章推理与证明归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．1 观察下列等式：cos 2α＝2cos2α－1；cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

第一章 推理与证明1.1归纳推理教学目标：1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程： 一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解：1、 蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、 三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒ 由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n -⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m 均为正实数） 这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。

三、例题讲解：例1 通过观察下列等式，猜想一个一般性结论，并证明结论的真假。

23130sin 75sin 15sin 222=++ ；23145sin 85sin 25sin 222=++ ； 23150sin 90sin 30sin 222=++ ；23180sin 120sin 60sin 222=++ 。

§4 数学归纳法学 习 目 标核 心 素 养1．了解数学归纳法的思想实质，掌握数学归纳法的两个步骤．(重点)2．体会数学归纳法原理，并能应用数学归纳法证明简单的问题．(重点、难点)1．通过对数学归纳法步骤的理解，提升逻辑推理的核心素养.2．通过应用数学归纳法证明数学问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.1．数学归纳法的根本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n 有关的数学命题的一种方法．它的根本步骤是： (1)验证：当n 取第一个值n 0(如n 0＝1或2等)时，命题成立；(2)在假设当n ＝k (n ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n 0开场的正整数n 都成立． 2．应用数学归纳法注意的问题(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个根本步骤缺一不可．(3)步骤(2)的证明必须以“假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立〞为条件．1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N ＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4D [当n ＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，应选D.]2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N＋)时命题成立的根底上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( ) A ．一切正整数命题成立 B ．一切正奇数命题成立 C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对B [此题证的是对n ＝1,3,5,7…时命题成立，即命题对一切正奇数成立．] 3．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ∈N ＋，n ≥2)〞的过程中，由n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)推导到n ＝k ＋1时，不等式左边增加的式子是________．12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k －1)＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，故左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.]用数学归纳法证明等式【例1】 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 思路探究：验证n ＝1时等式成立→假设n ＝k 时等式成立→证明n ＝k ＋1时等式成立→结论[证明] (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．∴n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知等式对任意正整数n 都成立．数学归纳法证题的三个关键点1．验证是根底找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1． 2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k 〞到“k ＋1〞的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．3．利用假设是核心在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立〞作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．1．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n4(n ＋1)(n ∈N ＋)．[证明] (1)当n ＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k4(k ＋1)成立， 当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋1(2k ＋2)(2k ＋4) ＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]， 所以n ＝k ＋1时，等式成立，综上可得，等式对于任意n ∈N ＋都成立.用数学归纳法证明不等式【例2】 (1)用数学归纳法证明不等式n ＋1＋n ＋2＋…＋n ＋n >24(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．(2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋)． 思路探究：(1)写出当n ＝k 时左边的式子，和当n ＝k ＋1时左边的式子，比拟即可． (2)在由n ＝k 到n ＝k ＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度． 1(2k ＋1)(2k ＋2) [(1)当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2).] (2)[证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 那么当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N ＋都成立．本例(2)中把“<2n 〞改为“>n (n >1且n ∈N ＋)〞，能给予证明吗？ [证明] ①当n ＝2时，左边＝1＋12＝2＋22，右边＝2， ∴左边>右边，所以不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k>k . 那么n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1>k 2＋1k ＋1＝k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N ＋且n >1都成立．数学归纳法证明第二步时的注意点用数学归纳法证明不等式，推导n ＝k ＋1也成立时，证明不等式的常用方法，如比拟法、分析法、综合法均可灵活运用．在证明过程中，常常要在“凑〞出归纳假设的前提下，根据剩余局部的构造特点及n ＝k ＋1时命题的需要进展放缩．2．假设n ∈N ＋，且n >1，求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324. [证明] (1)当n ＝2时， 左边＝12＋1＋12＋2＝712＝1424>1324，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，且k ≥2)时不等式成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k >2324， 那么当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1324＋1(2k ＋1)(2k ＋2)>1324. ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)、(2)可知，对任意大于1的正整数不等式都成立.归纳——猜测证明【例3】 数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝n n (2n －1)且a 1＝3.(1)求a 2，a 3；(2)猜测数列{a n }的通项公式，并证明． 思路探究：(1)令n ＝2,3可分别求a 2，a 3.(2)根据a 1，a 2，a 3的值，找出规律，猜测a n ，再用数学归纳法证明． [解] (1)a 2＝S 22(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，那么a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜测：a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n ＝k 时猜测成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S k k (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k ＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k 2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1. 因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1，所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].这就证明了当n ＝k ＋1时命题成立． 由①②可知命题对任何n ∈N ＋都成立．证明“归纳—猜测—证明〞的一般环节和主要题型1．“归纳—猜测—证明〞的一般环节2．“归纳—猜测—证明〞的主要题型 (1)数列的递推公式，求通项或前n 项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜测并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．3．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜测a n ，并证明．[解] 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1； 由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158.猜测a n ＝2n－12n －1.下面证明猜测正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜测成立．(2)假设当n ＝k 时猜测成立，那么有a k ＝2k－12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －2k －12k －1＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n－12n －1对任意正整数n 都成立.用数学归纳法证明整除性问题1．数学归纳法的第一步n 的初始值是否一定为1?[提示] 不一定，如证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，第一个值为n 0＝3. 2．数学归纳法两个步骤之间有怎样的联系？[提示] 第一步是验证命题递推的根底，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n 取n 0以后的数命题是否正确，我们无法判定，同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个根底，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．【例4】 用数学归纳法证明：n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3能被9整除(n ∈N ＋)． 思路探究：在第二步时注意根据归纳假设进展拼凑．[证明] (1)当n ＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥1)时结论成立， 即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除． 那么当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋[(k ＋3)3－k 3] ＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9k 2＋27k ＋27 ＝[k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3]＋9(k 2＋3k ＋3)．因为k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，9(k 2＋3k ＋3)也能被9整除， 所以(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3也能被9整除，即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n ∈N ＋都成立．证明整除性问题的关键与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n ＝k ＋1时的式子进展增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来．4．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除〞的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为__________．(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6 [由n ＝k 成立推证n ＝k ＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.]1．数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n 项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决．2．第一个值n 0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n 0都是1． 3．步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立〞起着的作用，证明“当n ＝k ＋1时命题也成立〞的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法． ( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1． ( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N ＋，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3B [当n ＝1时，n ＋1＝2，故左边所得的项为1＋a ＋a 2．]3．用数学归纳法证明关于n 的恒等式时，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，表达式为________．1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)2[当n ＝k ＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2中的k 更换为k ＋1．]4．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2(n －1)(n ＋1)4.[证明] (1)当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0，所以等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2(k －1)(k ＋1)4.那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k ) ＝k 2(k －1)(k ＋1)4＋(2k ＋1)k (k ＋1)2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)]＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4.所以当n ＝k ＋1时等式成立． 由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋等式成立．。

1.1 归纳推理1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理． 思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示] 不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( ) ①归纳推理是由一般到一般的推理过程； ②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理； ③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确； ④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能． A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③④A [归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.] 2．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f (x )＝x1－x，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n ＋b n＝f (n )，观察f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，f (5)之间的关系，再归纳得出结论．(2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x1－2n －1x [(1)记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11．通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N ＋，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x )＝f (x )＝x1－x， f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x 1－x1－x＝x1－2x， f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2·x1－2x＝x1－4x， 由f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的表达式，归纳f n (x )＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b <210，a ，b ∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b <210.]【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－a n ＋1，则a 2 019等于( ) A ．2 B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1， 由a n ＋1＝2a n ＋1， 得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n ∈N ＋)．1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，试求f (1)，f (2)，f (3)，f (4)的值．[提示] 观察图形可知，f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f (n )的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】 有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n ∈N *)．16n (n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．[解]结论为：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．证明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．。

数学归纳法(第一课时)
【教学目标】
知识与技能：
（1）初步理解数学归纳法的原理；
（2）掌握用数学归纳法证明数学命题的两个步骤；
（3）会用数学证明一些与正整数相关的简单恒等式。

过程与方法
亲历知识的构建过程----发现问题、提出问题、分析问题、解决问题；体会类比的数学思想；感受无限的问题用有限的步骤来解决的思想方法。

情感目标
体会数学源于实际，高于实际的科学价值与文化价值；培养学生大胆猜想，小心求证的思维素质和科学精神；通过发现问题、提出问题、解决问题、合作交流等环节培养数学交流能力和合作精神。

【教学重点】
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用。

【教学难点】
（1）理解数学归纳法整体的严密性和有效性。

（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

【教学过程设计】
附：板书设计。

§4 数学归纳法[对应学生用书P10]在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：这种现象对你有何启发？提示：这种现象使我们想到一些与正整数n 有关的数学问题．数学归纳法及其基本步骤：数学归纳法是用来证明某些与正整数n 有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证：n ＝1时，命题成立；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n 都成立．1．数学归纳法仅适用于与正整数n 有关的数学命题的证明． 2．应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；(2)在证明n ＝k ＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．[对应学生用书P11][例1] 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N ＋)．[思路点拨] 运用数学归纳法由n ＝k 到n ＝k ＋1，等式左边增加了两项．结合等式右边的结构特点，进一步确定所需要的项及多余项，最后凑成所需要的结构形式即可．[精解详析] (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12. 左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 则当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2 ＝1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋1k ＋＋k ＋1k ＋.即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)和(2)可知，对一切正整数n 等式都成立．[一点通] 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加了怎样的项．1．用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2(其中n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2， 那么，当n ＝k ＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)(k 2＋4k ＋4)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 2．用数学归纳法证明： 当n ∈N ＋时，13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2n ＋24.证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝12×224＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，等式成立，即 13＋23＋33＋…＋k 3＝k 2k ＋24.那么，当n ＝k ＋1时，有 13＋23＋33＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝k 2k ＋24＋(k ＋1)3＝(k ＋1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 24＋k ＋1 ＝(k ＋1)2k 2＋4k ＋44＝k ＋2k ＋24＝k ＋2k ＋＋1]24.即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何n ∈N ＋等式都成立.[例2] 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)． [思路点拨] 在由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程中可考虑使用“放缩法”，使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式的常用方法之一．[精解详析] (1)当n ＝2时， 左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时， 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋1k ＋＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝⎛13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－⎭⎪⎫1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立．[一点通] 对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口．3．数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋n a n ＋12n (n ≥1，且n ∈N ＋)，用数学归纳法证明：a n ≥2(n ≥2，且n ∈N ＋)．证明：(1)当n ＝2时，a 2＝2≥2，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时不等式成立， 即a k ≥2(k ≥2)， 那么a k ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1k k ＋a k ＋12k ≥2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)(2)可知：a n ≥2对所有n ≥2(n ∈N ＋)都成立．4．用数学归纳法证明：当n ∈N ＋时，1＋22＋32＋…＋n n <(n ＋1)n. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2,1<2，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋k k <(k ＋1)k， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋33＋…＋k k ＋(k ＋1)k ＋1<(k ＋1)k ＋(k ＋1)k ＋1＝(k＋1)k(k ＋2)<(k ＋2)k ＋1＝[(k ＋1)＋1]k ＋1＝右边，即左边<右边，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N ＋都成立 .[例3] 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1n －n ＋，….设S n 为数列前n 项和，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．[精解详析] S 1＝11×4＝14，S 2＝14＋14×7＝27， S 3＝27＋17×10＝310， S 4＝310＋110×13＝413， 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1，可以猜想S n ＝n3n ＋1.下面用数学归纳法证明：(1)显然当n ＝1时，S 1＝11×4＝14成立．(2)假设当n ＝k 时，等式成立，即S k ＝k 3k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋1k ＋－k ＋＋1]＝k 3k ＋1＋1k ＋k ＋＝k k ＋＋1k ＋k ＋＝k ＋k ＋k ＋k ＋＝k ＋1k ＋＋1，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何n ∈N ＋都成立．[一点通] “观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法： ①观察：由已知条件写出前几项；②归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系； ③猜想：猜想一般项的表达式； ④证明：用数学归纳法证明猜想的结论．5．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解：(1)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N ＋)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1(k ∈N ＋)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k＝2k ＋1－12k ＋－1， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n ∈N ＋都成立， 即a n ＝2n－12n －1(n ∈N ＋)．6．设函数y ＝f (x )，对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy . (1)求f (0)的值；(2)若f (1)＝1，求f (2)，f (3)，f (4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f (n )(n ∈N ＋)的表达式并用数学归纳法证明． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋2×0×0，得f (0)＝0.(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.(3)由(2)可猜想f(n)＝n2.用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，f(1)＝12＝1显然成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时，命题成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，即当n＝k＋1时命题也成立，由①②可知，对一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立．运用数学归纳法时易犯的错误：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错．(2)不利用归纳假设：归纳假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了．(3)步骤不严谨、不规范，在利用假设后，不作任何推导或计算而直接写出所要结论．[对应课时跟踪训练四1．在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0＝( )A．1 B．3C．5 D.7解析：n的取值与2n，n2的取值如下表：由于2n2n>n 2. 答案：C2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( ) A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确 B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确 C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假设n ≤k (k ≥1)，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析：因为n 为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第(k ＋1)个正奇数即n ＝2k ＋1正确．答案：B3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D.f (n )＋n －2解析：凸n 边形有f (n )条对角线，每增加1条边，增加的那个顶点对应n －2条对角线，它的相邻的两个顶点连成1条对角线，故凸n ＋1边形的对角线条数f (n ＋1)比f (n )多n －1条．答案：C4．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加1k ＋B ．增加12k ＋1＋1k ＋ C ．增加12k ＋1＋1k ＋，减少1k ＋1D ．增加1k ＋，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋＋k ＋，又1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋＋k ＋－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＝12k ＋1＋1k ＋－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加12k ＋1＋1k ＋，减少1k ＋1. 答案：C5．用数学归纳法证明 1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n－1(n ∈N ＋)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n ＝k 时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1，则当n ＝k ＋1时， 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以，当n ＝k ＋1时等式成立． 由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立． 上述证明的错误是________． 解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是 1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1，即一定用上第二步中的假设． 答案：没有用上归纳假设进行递推 6．用数学归纳法证明121×3＋223×5＋…＋n 2n －n ＋＝n n ＋n ＋，推证当n＝k ＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．解析：当n ＝k ＋1时， 121×3＋223×5＋…＋k 2k －k ＋＋k ＋2k ＋k ＋＝k k ＋k ＋＋k ＋2k ＋k ＋，故只需证明k k ＋k ＋＋k ＋2k ＋k ＋＝k ＋k ＋k ＋即可．答案：k k ＋k ＋＋k ＋2k ＋k ＋＝k ＋k ＋k ＋7．数列{a n }满足a n >0(n ∈N ＋)，S n 为数列{a n }的前n 项和，并且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明．解：由a n >0，得S n >0，由a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，整理得a 21＝1，取正根得a 1＝1，所以S 1＝1.由S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1，得S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2－1＋1S 2－1，整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2. 同理可求得S 3＝ 3. 由此猜想S n ＝n . 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k . 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N ＋，S n ＝n 都成立．8．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)．解：(1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1，且32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (n ∈N ＋)时， 命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12.精品资料值得拥有11 又1＋12＋13＋…＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k<12＋k＋2k·12k＝12＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N＋都成立．。

高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。