最新人教初中数学七年级上册《3.4 实际问题与一元一次方程》精品教学课件 (24)

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2. 长风乐园的门票价格规定如下表所列.某 校七年级(1 ),(2)两个班级共104人去游长风 乐园,其中(1)班人数较少,不到50人,(2)班人 数较多,有50人.经估算,如果两班都以班为单 位分别购票,则一共应付1240元;如果两班联 合起来,作为一个团体购票,则可以节省不少 钱.问两班共有多少学生?
3.4. 再探究实际问题 与一元一次方程(3)
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男生都喜欢看NBA,激烈的对抗 中比分交替上升,最终由积分显 示牌上的各队积分进行排位.下 面我们来看一个2000赛季国内篮 球甲A联赛常规赛的最终积分榜
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队名 比赛场次 胜场
八一双鹿
22
18
上海东方
22
如果一个队胜M场,则负 (22—M)场,胜场积分为2M,负场 积分为22—M,总积分为
2M+(22—M)=M+22 设一个队胜了X场,则负了 (22—X)场,如果这个队的胜场总 积分等于负场总积分,则有方程
2X=(22—X) 计算得
X=22/3
总结 (1)利用方程不仅能计 算未知数的值,而且可以进 一步进行推理 (2)对于解决实际问题, 检验解出的结果是否合乎 实际意义是必要的.
6
16
沈部雄师
22
0
22
观设察胜积一分场榜积,从X最分下的面话一,从行表最可中新看其人出他什教任么版何？初一行中可数以学列精方品程课,求出X的值
积分
40 40 36 36 34 34 33 32 32 29 28 22
从第一行得出方程: 18X+1×4=40 由此得出
X=2 用表中其他行可以验证,得出结论:负一场积1分,胜一场积2分.

若从甲组抽调一部分人到乙组，使甲组人数是乙组人
数的一半，求应从甲组抽调多少人到乙组.
解：设应从甲组抽调x人到乙组，则2(35－x)＝28＋x.
解得x＝14.
答：应从甲组抽调14人到乙组．
感悟新知
知识点 2 工程问题
1. 基本关系式 工作量= 工作效率× 工作时间，
工作时间=
工作量
工作量
，工作效率=
甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后2
天由乙、丙两人合作完成，问乙中途离开了几天？
解题秘方：将总工作量看作整体1，等量关系为各
部分的工作量之和等于总工作量1.
感悟新知
知2－练
解：设乙中途离开了x 天，根据题意得：


×7+


(7－x)+


+
解得x=3.
答：乙中途离开了3 天.


2. 常见的相等关系为：总工作量=各部分工作量之和.
感悟新知
知2－练
例 3 某市为打造引江关键风光带，将一段长为1 200 米
的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，
共用时60 天. 已知甲队每天整治24 米，乙队每天整
治16 米，求甲、乙两队分别整治河道多少米.
解题秘方：在工程问题中，工作量、工作效率、工
第三章
一元一次方程
3.4 实际问题与一元一次方程
感悟新知
知识点 1 配套问题
知1－讲
1. 在配套问题中，配套的物品之间都具有一定的数量关系，
这个数量关系可以作为列方程的根据.
2. 生产配套问题中的基本相等关系 加工(或生产)的各种零
件、配件的总数量比等于一套组合件中各种零件、配件

1
位数的 ，求这个两位数？
5
解:设这个两位数的个位数字为x,则它的十位数字为 （x-1） 。据题意列方程得:
5（ x+x-1）=10（x-1）+x
去括号，得 10x-5=10x-10+x
移项及合并同类项，得 x=5
这个两位数为 ：10 ×(5-1) +5 =45
答：这个两位数为45。
3、一个三位数，三个数位上的数字之和是 15，个位上的数是十位上的数的3倍，百位 上的数比十位上的数多5，求这个三位数。
回顾与思考
和、差、倍问题
数字问题
盈亏
方
商品销售问题
打折
程
储蓄利息
另调
应
调
配
用
抽调
题
工
程
相遇
行程问题
追击
决
策
航行
设未知数的技巧：
1、设直接未知数，即求什么设什么。 2、设间接未知数。 3、设辅助未知数，即“设而不求”
在列方程解决实际问题的过程应注意 哪些问题？
（1）设未知数时，要仔细分析问题中 的数量关系，找出题中的已知条件和未 知数，一般采用直接设法，有些问题可 用间接设法，要注意未知数的单位，不 要漏写。
在快乐学习中健康成长， 在健康成长中快乐学习。
解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百 位上的数字为x+5。
等量关系：个位数字+十位数字+百位数字=15
依题意，得：3x+ x +x +5 =15 x=2
3x=6
x+5=7
∴ 这个三位数是 726 答：这个三位数是726
4、一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大 1，个位上的数比十位上的数的3倍小1，如果把这个三位 数的百位上的数字9，求原来的三位数。

配套类问题
例题2 （1）七年级（1）班43人参加运土劳动，共有30根
扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数 相配不多不少？若设有x人挑土，填写下表：
挑土 人数/人 扁担/根 抬土
x x
43－x
1 (43 x) 2
其他方法： 设挑土用x根扁担，则抬土用（30－x）根扁担，挑土用x人， 根据题意，得x+2(30－x)=43, 解得x=17 抬土用2(30－x)人， 因此，挑土人数为17，抬土人数为Leabharlann (30－17)=26.x x
即可知两个等量关系： 挑土人数+抬土人数=43人，挑土用扁担数 +抬土用扁担数=30根. 1 根据等量关系，列方程 x 2 (43 x) 30 ，解得x= 17 .因此挑土人 数为 17 ，抬土人数为 43-17=26 . 你能用其他方法计算这道题吗？
1 (43 x) 2
43-x
x x 72 - x 1 3;上述所列方程， ① ; ② 72 x ; ③ x 3x 72; ④ 72 x 3 x 3
正确的有（C ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小 时能生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多 少人生产螺帽，才能使生产的螺栓、螺帽刚好配套？（每个 螺栓配两个螺帽） 解： 设分配x人生产螺栓，则生产螺帽的人数为（60－x)人， 根据题意，得15x×2=10(60－x) 解这个方程，得x=15 所以60－x=45 答：应分配15人生产螺栓，45人生产螺帽，才能使生产的螺 栓和螺帽刚好配套.
列一元一次方程解决实际问题的步骤: （1）审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系; （2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系 ； （3）设：设未知数； （4）列：列方程 ； （5）解：解方程 ； （6）答：检验所求解是否符合题意,写出答案（包括单位名称）. 一项任务，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成， 现由甲单独做4小时，剩下的甲、乙合做，还要几小时完成？ 若设剩下部分要x小时完成，下列方程正确的是（ C ）

设胜场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值.例如， 从第一行得方程
10x+1×4=24 用积分榜中其他可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场2分. （1）如果一个队胜m场，则负（14-m）场，胜场积分为2m，负场积分
为14-m，总积分为 2m+（14-m）=m+14
（2）设一胜了x场，则负了（14-x）场，如果这个队的胜场总积分等 于负场总积分，则得方程 2x=14-x
X+0.25x=60 由此得
X=48 类似地，可以设另一件衣服的进价为y元它的商品利润是-0.25y元， 列方程得
Y-0.25y=60 由此得
Y=80 两件衣服的进价是x+y=128,而两件衣服的售价是60+60=120元，进价 大于售价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元.
探究2：球赛积分表问题 （1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
解：设安排x人先做4h.根据先后两个小时段的工作量之和应等于
总工作量，列出方程 解方程，得
4x+8（x+2）=40 4x+8x+16=40 12x=24
4x 8(x 2) 1 40 40
这类问题中常常把总工 作量看作1，并利用“ 工作量=人均效率×人 数×时间”的关系考虑 问题.
X=2
答：应安排2人先做4h.
归纳
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
实际问题的答 案
设未知数，列方程 检验
一元一次方程
解 方 程
一元一次方程的解
课堂探究

引例： 一件工作，甲单独做x小时完成，乙单
独做y小1 时完1成，那么甲、乙的工作效率分
x
y
别为 、 的工作量为
m x
my；甲或、乙1x 合1y 作m m天可。以完成
活动1.自主学习 难点强调
开启 智慧 例2 整理一批图书，由一个人做要40 h
完成．现在计划由一部分人先做4 h，再增加 2人和他们一起做8 h，完成这项工作．假设这 些人的工作效率相同，具体应安排多骑！”
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方 程
x=10
22 － x =12
活动1.自主学习 难点强调
开启 智慧
工程问题中的量及其关系：
1.工作效率：单位时间完成的工作 量2.工程问题中的基本关系：
工作量=工作效率×工作时间
3.总工作量可看做“1”
4.合效率：各效率之和; 各部分工作量之和=工作总量
活动1.自主学习 难点强调
工程问题中的等量关系： 工作总量 = 工作效率×工作时间
2. 重点
建立模型解决实际问题的一般方法．
3. 难点
列方程解决“配套问题”和“工程问 题”
二、学习过程
活动1.自主学习 难点强调 活动2.成果展示 学生讲解
活动3.答案演示 师生答疑 活动4.小组竞赛 展示风采
活动5. 轻松一刻 你我共享
活动1.自主学习 难点强调
问题情境
例1 某车间有22名工人，每人每天可以 生产1 200个螺钉或2 000个螺母，1个螺钉 需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺 母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工 人各多少名？

2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和. (1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
效率 时间
工作量
甲
1
20
x
1x 20
乙
பைடு நூலகம்
1
8
8
10
10
解：设甲加工x天，两人如期完成任务，则 在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天.
依题意，得
1 x 8 1. 20 10
解得x=4,则8-x=4.
答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可 正好按期完成任务.
要点归纳
解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
想一想：本题需要我们解决的问题是什么？
题目中哪些信息能解决人员安排的问题？
螺母和螺钉的数量关系如何？
如果设x名工 人生产螺母，怎
样列方程？
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉
x × 1200 ＝ 1200 x
螺母 22－x × 2000 ＝ 2000(22－x)
人数和为22人 螺母总产量是螺钉的2倍 等量关系：螺母总量=螺钉总量×2
第三章 一元一次方程
3.4 实际问题与一元一次方程
第1课时 产品配套问题和工程问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解配套问题、工程问题的背景. 2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依
据的主要等量关系. (难点) 3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过

知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：解决生活中销售盈亏问题
活动3 反思过程，发现规律
重点、难点知识▲
点评：不要认为一件盈利25%，一件亏损25%，结果不盈 不亏，因为盈亏要看这两件的进价．例如盈利25%的一件 进价为40元，那么这一件盈利40%×25%=10（元），亏 损25%的一件进价为80元，那么这一件亏损了 80×25%=20（元），总的还是亏损10元，这就是说，亏 损25%的一件进价如果比盈利25%的一件进价高，那么总 的是亏损，反之才是盈利．
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：解决生活中销售盈亏问题
活动2 集思广益，讨论交流解决问题
重点、难点知识▲
解决销售中的利润问题，一定掌握进价、售价、标价、利
润、利润率、打折等概念和它们之间的基本数量关系：
利润=售价－进价；
利润率=
利润 进价
100%=
售价-进价 进价
100%
折数
售价=标价 × 10 =进价×（1+利润率）
问题3 这里的盈利率、亏损率指的是什么？
这里盈利 25%= 进利价润，亏损25%就是盈利-25%．
利润率=
利润 进价
100%=
售价-进价 进价
100%
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：解决生活中销售盈亏问题
活动2 集思广益，讨论交流解决问题
重点、难点知识▲
第一件 第二件
售价 60 60
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：解决生活中销售盈亏问题
活动3 反思过程，发现规律
重点、难点知识▲
总结：有关销售盈亏问题的应用题中：
（1）当利润值为正数时是盈利，当利润值为负数时为亏损；

10X = 5X + 4×0.5
解得 X = 0.4
答：哥哥要0.4小时才可以把作业送到
家
学校
追及地
你知道 吗？
若哥哥恰好准时送到作业，（明明的速度仍然 为4千米/时）问：哥哥的速度为多少？
敌军在早晨5时从距离我军7千米的驻地开始逃跑， 我军发现后立即追击，速度是敌军的1.5倍，结果在7 时30分追上，我军追击速度是多少？
例1.A、B两地相距230千米，甲队从A地出发两小时后，
乙队从B地出发与甲相向而行，乙队出发20小时后相遇， 已知乙的速度比甲的速度每小时快1千米，求甲、乙的速 度各是多少？
分析：设：甲速为x千米/时，则乙速为（x+1）千米/时
230KM
AC
D
B
甲2小时所走 的路程 2x
甲20小时所走 乙20小时所走
7x-6.5x=5
(2)设x秒后甲可以追上乙，根据题意，得
7x-6.5x=6.5
2、某班级组织去风景区春游，大部分同学先坐公共 汽车前往，平均速度为 24 Km/时 ；4名负责后勤的同 学晚半小时坐校车出发，速度为60 Km/时 ，结果同时 到达山脚下，到达后发现乘坐缆车上山费用较大，且 不能浏览风景。于是商定：大部队步行上山，4名后勤 改为先遣队，乘缆车上山，做好在山顶举行活动的准 备。缆车的速度是步行的3倍，步行同学中途在一个景 点逗留了10分钟，到达山顶时比先遣队晚了半小时。
（3）列方程 列方程应满足三个条件：各类是同类量，单
位一致，两边是等量．
（4）解方程 方程的变形应根据等式性质和运算法则． （5）写出答案 检查方程的解是否符合应用题的实
际意义，进行取舍，并注意单位．
2、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关 系，如果用s、v、t分别表示路程、速度、时间，那么s、v 、t三个量的关系为sv=t ，或v=S/t ，或t= S/v ．

八一双鹿 14
10
4
24
上海东方 14
10
4
24
北京首钢 14
9
5
23
记录恒和 14
9
5
23
辽宁盼盼 14
7
7
2前卫奥神 14
4
10 18
江苏南钢 14
0
14 14
(1) 列式表示积分与胜负场数之间的数量关系;
(2) 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
问题一：要解决问题时，必须求出胜一
（注意检验方程的解是否符合实际意义）
5、我们还要知道：方程不仅可以求具体数值，也可 以根据方程来提示一些规律，还能进行推理判断。
作业：
1.课本习题3.4第8题。 2.爷爷和孙子下12盘棋（未出现和棋） 后，得分相同，爷爷赢一盘得1分，孙 子赢一盘得3分，爷爷赢了多少盘？能 出现爷爷得分是孙子的2倍吗？能出现 爷爷得分比孙子多5分吗？请说明理由。
分析：1、整理信息：找出已知信息和未知信息:
（__5初_-_x一_）_（_场2），班共共积打了了__9_5____分场。球，若胜了x场，则负了 胜一场积__2__分，胜场共积_2_x__分；负一场_1___
分，负场共积（__5_-_x_）___分。
2．题中的等量关系是什么：
_胜__场__总__积___分__+_负___场__总__积___分__=_共__ 积9分
分析：1. 广州医药队共打了3__0_场球，负了_1_1_场， 若一平__胜场场__了积共__积x__场_3___分，___分（。则__，平3_胜_0了（_场-_3分1_0共1-_；1_积-1负x_-x__））一3_场_x场_，分_共_；_积_平分了一，_场3_负0_7积_场分_共_1。_积_胜分， 2．题中的等0 量关系是什么：

两个等量关系的问题：利用第一个等量关系设未知数， 第二个等量关系列方程.
探究新知
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉
x × 1 200 ＝ 1 200 x
螺母
22－x × 2 000 ＝ 2 000(22－x)
人数和为22人 如果设x名工人生产 螺母，怎样列方程？
列方程： 2 000(22－x)＝2×1 200x
螺母总产量 是螺钉的2倍
探究ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 22－x × 1 200 ＝ 1 200 (22－x)
螺母
x × 2 000 ＝ 2 000x
人数和为22人 如果设x名工人生产 螺母，怎样列方程？
列方程： 2 000x＝2×1 200(22－x)
螺母总产量 是螺钉的2倍
列表分析：
的关系考虑问题.
人均效率 人数 时间 工作量
前一部 分工作
后一部 分工作
1 40
× x ×4＝
4x 40
1 40
×(x＋2 )× 8 ＝
8(x 2) 40
4x ＋ 8( x＋2)＝1 40 40
工作量之和等 于总工作量1
探究新知
解：设安排 x 人先做4 h. 依题意得： 4x ＋ 8( x＋2)＝1
本课时学习了一元一次方程与配套问题和工程问题，在 配套问题中，要弄清楚数量之间的关系，在工程问题中， 要弄清工作量、工作时间、工作效率之间的关系.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程一般包 括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程 ，解方程，检验所得结果，确定答案.正确分析问题中 的相等关系是列方程的基础.

螺钉个数 螺母个数 人人数 人人数
22名 1 200个2 000个 x名
(22－x)名
1
2000
200x个
(22－x)个
“每人每天的工作效率×人数=每天的工作 量（产品数量）”
思考 &分析
知识源于悟☞
(3)要使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则它 们个数之间存在着怎样的数量关系？
“1个螺钉要配2个螺母”
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问题情境
例1 某车间有22名工人，每人每天可以 生产1 200个螺钉或2 000个螺母，1个螺钉 需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺 母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工 人各多少名？
并用自己的语言概括出来. （2）设适当的未知数，将上述问题在表格中表示出来.
总工 每个 作量 人的
工作 效率
先安 排的 人数
增加 的人 数
先安排的 人的工作 时间
增加 的人 的工 作时 间源自先安排的人 完成的工作 量
增加的人完 成的工作量
1
1 40
x人
2人
（4+8） 8小时 小时
1 8 4x
40
1 28 40
40
40
解方程得
x 8.
共用去：8+4=12（天）
答：完成这项工程共用12天.
作业 拓展
回味无 穷
1.必做题： 教科书第101页练习第1、2题.
2.补充题： 编写一道应用题，使它的题意适合一元一次方程：60x=4（10x+25）.

学习目标
1.知识目标： （1）能在具体打折问题中准确找出等量关系列方程求解. （2）进一步经历运用一元一次方程解决实际问题的过程，体会结 合一元一次方程解决实际问题的一般步骤. 2.能力目标 会从问题情境中探索等量关系，经历和体验运用一元一次方方程解 决实际问题的过程，培养抽象、概括、分析问题、解决问题的能力。 3.情感目标： 体验生活中的数学的应用与价值，感受数学来源于生活，感受数学 与人类生活的密切联系，激发学生学数学，用数学的兴趣。
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合并同类项
__8_
10
x
=
4200
系数化为1 x =
答：此彩电52的5标0价为5250元。
题型变化 求折扣数
已 知 某 商 品 的 进 价 为 1600 元 ， 标 价 为
2主2要0公0元式：，1、折利润价=销售价售—进时价的， 利2润、利率润为率=10利%润。 问此3、商打折品后的是商按品售几价=折商品销的原售标价的×折？扣数/10 进价
• 解：设小明在买标价为x元书的情况下，办会员卡与不办会员卡花钱一样，列 方程得
•
80%x+20=x
•
解得x=100
• 所以，小明在买标价为100元书的情况下，办会员卡与不办会员卡花钱一样。
• 当小明买标价为200元的书时，办会员卡购书需花费
•
20+200x80%=180(元）
•
能省钱为200-180=20（元） 所以办卡购书合算。
• 当小明买标价为60元的书时，办卡购书需花费
•
20+60x80%=68（元） 所以不办卡购书合算。
•

3分钟后比比谁自学的最棒！
合作与探究 例1.某车间有22名工人，每人每天可以生产 1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个 螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套， 应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
22-x 名工 分析：若设安排x名工人生产螺钉，则——— 人生产螺母. x名工人生产螺钉的数量是1200x ————— 个 ,其余工人生产的螺母数量是__________________ 2000(22-x) 个. 螺母数量与螺钉的数量有怎样的数量关系？根据 这个数量关系你能列出方程吗？
螺钉的总数×2=螺母的总数
解：设应安排x名工人生产螺钉，(22－x)名 工人生产螺母
依题意得： 2×1200x ＝2000(22－x). 解方程，得： 6x ＝ 5(22－x) ， 6x ＝ 110－5x ， 11x＝110, x＝10. 22－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺钉，12名 工人生产螺母. 如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
小结与归纳
用一元一次方程解决实际问题的 基本过程有几个步骤？分别是什么？
实际问题
设未知数，列方程
一元一次方程
解 方 程
实际问题 的答案
检 验
一元一次方程 的解（x = a）
作业：1.必做题：p106
2.选做题：p106
2 , 5 3 , 4
分析:这里可以把工作总量看作“1” 1 人均效率(一个人做1小时完成的工作量)为______ 40 设安排x人工作，先做4 h，这些人完成的工作量
x 2 人，这些人 为_______ ，增加2人后人数是______ 40
4x
8h完成的工作量为_______ 40 题中完成这项工作分了几个阶段？你可以列出方 第一阶段的工作量+第二阶段的工作量=1 程吗？

由题意，得 (1+20%)x= =378，解这个方程，得 x=315.
设亏损20%的豆浆机的进价为 y 元.
由题意，得 (1-20%)y=378，解这个方程，得 y=472.5.
所以这两个豆浆机的进价之和是315+472.5=787.5(元).
因为这两个豆浆机共卖了378×2=756(元)，且756-787.5=-31.5(元)，
相等关系“售价-进价=进价×润率”列方程.
同理也可以根据相等关系“进价×(1+利润率) =标价×打折率”
列方程.
例 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件
盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，
或是不盈不亏?
思考：销售的盈亏取决于什么？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系
(−6.4%)
× 100% − = 8% ，
解这个方程，得 x=0.17.
答：这种商品原来的利润率是17%.
某商店将两个进价不同的豆浆机都卖378元，其中一个盈利20%，另一个亏
损20%，那么在这次买卖中，这家商店是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？
解：设盈利20%的豆浆机的进价为 x 元.
A.5
B.6
)
C.7

解析：根据题意列方程，得200× -80=80×50%，
10
解得 x=6.
D.8
某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，
使得利润率增加了8%，那么这种商品原来的利润率是多少？
解：设原来的利润率是 x，原进价为 a 元，则售价为 a(1+x)元.
根据题意，得
1+ −(1−6.4%)