目录第五章曲面论基本定理 (67)§ 5.1 自然标架的运动公式 (67)§ 5.2 曲面的唯一性定理 (70)§ 5.3 曲面论基本方程 (72)§ 5.4 曲面的存在性定理 (76)§ 5.5 Gauss定理 (78)第五章 曲面论基本定理本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss 公式和Weingarten 公式，曲面论唯一性定理，Riemann 曲率张量，Gauss-Codazzi 方程，曲面论存在性定理，Gauss 定理计划学时：9学时，含习题课2学时.难点：Riemann 曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss 定理§ 5.1 自然标架的运动公式设:(,)S r r u v =v v 为正则曲面，(,)n n u v =v v是单位法向量. 第一、第二基本形式I dr dr =⋅v v和2II d r n dr dn =⋅=-⋅v v v 是曲面S 的两个不变二次形式，与3E 中直角坐标的选取无关.曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若:(,)S r r u v =v v和:S * (,)r r u v **=v v 有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ？3S E ⊂ Ω σ (见定理2.1)3S E *⊂答案是肯定的. 为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.为了公式的书写方便，从现在起记1u u =，2u v =. 注意12,u u 的上标不是乘幂的指数. 如果要表示乘幂，则使用括号写成()()23,u u αα，……，(1,2α=).这样，S 的参数方程为12(,)r r u u =v v . 从现在起，用r αv 表示向量函数12(,)r u u v对变量u α的偏导数. 采用Einstein 求和约定，将和式212121dr r du r du r du ααα===+∑vv v v简记为dr r du αα=v v. (1.4)就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，对该指标要从1到2求和. 如果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和. 例如，21112212211122122,1S TS T S T S T S T S T αβγαβγγγγγαβαβαβ===+++∑，212121P P P P ααααα===+∑.注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母：S T S T S T αβγαεγδβγαβαεδβ==. (γ不能换成别的字母)rvr rσ*=v v o在本书中，求和指标用希腊字母,,,αβγL 表示，它们的取值范围为,,1,2αβγ=L .类似地，采用Einstein 求和约定，向量函数12(,)r u u v的二阶微分可写成22d r r d u r du du ααβααβ=+v v v. 采用Einstein 求和约定，S 的第一、第二基本形式分别可以写成I ()()dr dr r du r du g du du αβαβαβαβ=⋅=⋅=v v v v ，2II d r n b du du αβαβ=⋅=v v， (1.6) 其中g r r αβαβ=⋅v v ，b r n αβαβ=⋅v v， (1.5)即1111g r r E =⋅=v v，1221g g F ==，22g G =，11b L =，1221b b M ==，22b N =.记()()22112212112212det (),det ()g g g g g b b b b b αβαβ==-==-. (1.7-8)用()g αβ表示度量矩阵()g αβ的逆矩阵，则有1,,0,.g g αγαγββαβδαβ=⎧==⎨≠⎩(1.9)实际上，1112221222122121111g g g g G F g g F E g EG F g g ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1.10) 采用现在的记号，曲面S 上每一点()12,p u u 有一个自然标架{}12;,,r r r n v v v v. 下面来导出自然标架的运动方程.由于12,,r r n v v v 线性无关，可将它们的偏导数再用12,,r r n v v v表示出来. 设,r r b n n b r γβαβαβγαβααβ=Γ+=-v v v v v ， (1.18)其中γαβΓ称为Christoffel 记号(第二类克氏符号). 令:r r ξαβξαβΓ=⋅v v， (1.22) 称为第一类克氏符号. 由r r αββα=v v可知两类克氏符号关于指标,αβ都是对称的：γαβγβαΓ=Γ，γγαββαΓ=Γ.用r ξv与(1.18)中的第1个式子作内积，得()r r r r b n g γγξαβξαβξαβγαβξγαβΓ=⋅=⋅Γ+=Γv v v v v . (1.20) 用g ξη乘(1.20)两边，再对指标ξ求和，由(1.9)可得g g g ξηξηγηγηξαβξγαβγαβαβδΓ=Γ=Γ=Γ， 即g γγξαβξαβΓ=Γ. (1.21)(1.20)和(1.21)说明αβγΓ是用()g λμ将αβγΓ降标而得的；而αβγΓ则是用()g λμ将αβγΓ升标而得的.类似地，用r ξ-v与(1.18)中的第2个式子作内积，得()b r n r b r g b γγξαξαξαγξγα=-⋅==v v v v， (1.14)从而b b g βγβααγ=. (1.15) 于是我们有自然标架{}12;,,r r r n v v v v的运动公式r u rαα∂∂=v v ， (1.11) r u r b n αβγαβγαβ∂∂=Γ+v v v ， n u b r αβαβ∂∂=-v v ， (1.18) 其中b αβ是第二类基本量，b b g βγβααγ=，被第一类基本量和第二类基本量所确定.我们断言Christoffel 记号γαβΓ被第一类基本量g αβ唯一确定. 事实上，由g r r αβαβ=⋅v v 得g u r r r r αγβαβγβαγαβγαβγ∂∂=⋅+⋅=Γ+Γv v v v. 返回(1.23)由γαβγβαΓ=Γ可得 2g g g u u u αγβγαββγαγβααβγβαγγαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂+-=Γ+Γ+Γ+Γ-Γ-Γ=Γ，即有()12g g g u u u γαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-. 返回(1.24)于是由(1.21)，()12g g g u u u g g γγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-. (1.25)通常把(1.18)的第一式称为Gauss 公式，(1.18)的第二式称为Weingarten 公式.Gauss 公式的几何意义：r αβv的切向部分是r γαβγΓv，法向部分是b n αβv. 当曲面的参数方程给出时，利用Gauss 公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel 记号γαβΓ，而不需要用公式(1.22)来求.Weingarten 公式的几何意义；矩阵()b βα正好是Weingarten 变换W 在切空间的自然基12{,}r r v v 下的矩阵：()W r n b r βαααβ=-=v v v.在正交参数网中，Christoffel 记号γαβΓ的计算公式(1.28).例 求曲面(,)z f x y =的Christoffel 记号.解 曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =v. 因此1u x =，2u y =，()111,0,r f =v ，()220,1,r f =v，)12,,1n f f =--v .其中1x f f =，2y f f =. 因为()()0,0,0,0,1r f f αβαβαβ==v，所以()()()()()1222120,0,1,,11f r r r n n f f f f f αβγαβγαβαβαβΓ=-⋅=---++v v v v v()()()()()2212122212,,1f f f f f f f αβ=+++.另一方面 ()1212121212,,r r r f f γαβγαβαβαβαβαβαβΓ=Γ+Γ=ΓΓΓ+Γv v v .所以()()1122121f f f f αβαβΓ=++，()()2222121f f f f αβαβΓ=++，即有()()111221x xxx y f f f f Γ=++，()()112221x xyx y f f f f Γ=++，()()122221x yyx y f f f f Γ=++， ()()211221y xxx y f f f f Γ=++，()()212221y xyx y f f f f Γ=++，()()222221y yyx y f f f f Γ=++.课外作业：习题4，5§ 5.2 曲面的唯一性定理利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若:(,)S r r u v =v v和:(,)S r r u v ***=v v 有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ.定理2.1若12:(,)S r r u u =vv，12:(,)S r r u u ***=vv(12(,)u u ∈Ω)有相同的第一、第二基本形式，且区域Ω是连通的，则有3E 中的刚体运动σ使得()S S σ*=.证明 因为()S r =Ωv，()S r **=Ωv，只需证明存在3E 中的刚体运动σ使得3:r r E σ*=Ω→v vo .(1)不妨设0(0,0)=∈Ω. 设在该点两个曲面的自然标架分别为{}12(0);(0),(0),(0)rr r n v v v v 和{}12(0);(0),(0),(0)r r r n ****v v v v. 选取3E 中的刚体运动σ使得在1200(,)u u 点成立1122(0)((0)),(0)((0)),(0)((0)),(0)((0))r r r r r r n n σσσσ****====v v v v v v v v. (2)[事实上，令3(0)e n =v v，11(0)e =v v，231e e e =⨯v v v . 则由21(0)r e ⋅=v v ，())2223121(0)(0),,(0),(0),(0)r e r e e r n r ⋅===v v v vv v v可知11(0)r =v，212(0)r =+v v，3(0)n e =v v . (3) 同样，令3(0)e n **=v v，11(0)e **=v，231e e e ***=⨯. 则由,S S *有相同的第一基本形式，有11(0)r **=v，212(0)r ***=+v v v ，3(0)n e **=v v . (4)根据第一章定理1.1，存在刚体运动33::()()()E E p Op p O p a Op σσσ→≡≡=+u u v u u u u u u u v u u vv a A将正交标架{}123(0);,,r e e e v v v v 变成{}123(0);,,r e e e ****v v v v ，其中()(0)(0)a r r *=-v v vA ，而33123::()(,,)v v vA v v v A →==v v va R R A A是保持3E 定向的正交变换，即(3)A SO ∈. 由定义，σ将向量PQ uuu v变成向量()()()()()()()()()PQ P Q O Q O P OQ OP OQ OP PQ σσσσσ==-=-=-=u u u v u u u u u u u u u u u v u u u u u u u v u u u u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v A A A A .所以刚体运动σ将向量1(0)r v变成向量()111111((0))()()(0)(0)r e e r r σ**=====v v v v vA .同理，22((0))(0)r r σ*=v v . 又33((0))()(0)n e e n σσ**===v . ] 设()S S σ=%是将S 经过刚体运动σ后得到的曲面，则S %的参数方程为()()121212(,)(,)(,)r u u a r u u r u u σ==+v v v v %A . 于是 ()()()()()()()()()r du dr d r d rA dr A r du A r A du r du dr αααααααα========v v v v v v v v v %%A A A ， 从而11()r r =v v %A ，22()r r =v v%A .由于保持定向的正交变换保持外积不变，有121212()()()r r r r r r ⨯=⨯=⨯v v v v v v %%A A A ， ()1212121211()||||||r r r r r r n n r r r r r r ⎛⎫⨯⨯⨯==== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭v v v v v v v %%v %v v v v v v %%A A A .由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以S %的第一、第二基本形式分别为()()I ()()I I dr dr dr dr dr dr *=⋅=⋅=⋅==v v v v v v %%%A A ，°()()II ()()II II dr dn dr dn dr dn *=-⋅=-⋅=-⋅==v v v v v v %%A A .于是S %与S *有相同的第一、第二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组(1.11)，(1.18)，即有,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα==Γ+==-v v v v v v v %%%%%%%；,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα*******==Γ+==-v v v v v v v .由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：()(0)(0)(0)r r r σ*==v v v %，()111(0)(0)(0)r r r σ*==v v v %， ()222(0)(0)(0)r r r σ*==v v v %，(0)(0)n n *=v v %. 设120(,)u u ∈Ω是任意一点. 因为区域Ω是连通的，可取一条Ω中的连续可微曲线1122:(),()C u u t u u t ==，[0,1]t ∈，使得()()1212120(0),(0)(0,0),(1),(1)(,)u u u u u u ==.则限制在C 上{}12;,,r r r n v v v v %%%%和{}12;,,rr r n ****v v v v 满足同样的常微分方程组初值问题 111222,(),(),.dr du r dt dt dr du r b n dt dt dr du r b n dt dt dn du b r dtdt ααβγβγββγβγβαβαβ**********⎧=⎪⎪⎪=Γ+⎪⎪⎨⎪=Γ+⎪⎪⎪=-⎪⎩vv v v v v v v v v由常微分方程组解的唯一性得()121212000000(,)(,)(,)r u u r u u r u u σ*==v v v %.由120(,)u u ∈Ω的任意性可知r r σ*=v vo . □ 定理2.2 设12:(,)S r r u u =v v ，12:(,)S r r u u ***=v v是2个曲面，它们的第一、第二基本形式分别为I,II 和I ,II **. 如果存在光滑映射:S S ϕ*→使得(I )I ϕ**=，(II )II ϕ**=，则存在3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. (选取适用参数系) □课外作业：无§ 5.3 曲面论基本方程曲面论存在性问题：设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂¡上的2个给定的二次微分形式，是否存在3E 中的三次以上连续可微的曲面:(,)S r r u v =v v，使得ϕ，ψ正好是曲面S 的第一、第二基本形式？如果这样的曲面存在，则首先ϕ和ψ必须是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ必须是正定的. 除此之外，在本节中我们还要导出,g b αβαβ所应该满足的必要条件.假设有曲面:(,)S r r u v =vv使得它的第一、第二基本形式为I g du du αβαβ=， II b du du αβαβ=. (3.2) 在第一节中已经得到自然标架{}12;,,r r r n v v v v的运动公式,,r r u r r b n u n b r u ααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩vv v vv v v 返回 (3.3) 其中()12g g g u u u g gγγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-，bb g βγβααγ=. (3.4)因为S 是三次以上连续可微的，必须有22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂v v ， 22n nu u u uαββα∂∂=∂∂∂∂v v ，,,αβγ∀. (3.5) 将(3.3)代入(3.5)第1式，得()()r b n r b n u uδδαγδαγαβδαββγ∂∂Γ+=Γ+∂∂v v v v . (3.6) 将上式展开，并利用(3.3)，左边()b r r b n n b b r u u δαγαγδηδδαγδβηδβαγβδββ∂Γ∂=+ΓΓ++-∂∂v v v v v b b b r b n u u δαγαγηδδδαγηβαγβδαγδβββ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭v v . 右边b b b r b n u u δαβαβηδδδαβηγαβγδαβδγγγ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭v v . 比较两边,r n δv v的系数，得b b b b u u δδαβαγηδηδδδαβηγαγηβαβγαγβγβ∂Γ∂Γ-+ΓΓ-ΓΓ=-∂∂，,,,αβγδ∀， (3.8)b b b b b b u uαβαγδδδδαγδβαβδγβδαγγδαβγβ∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂，,,αβγ∀. (3.9) 注意(3.8)左边的量是被第一类基本量唯一确定的，将它记为:Ru u δδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， (3.10)称为曲面S 的Riemann 记号. 再记 R g R ηαδβγδηαβγ=， (3.11) 则自然就有R g R δδηαβγαηβγ=. (3.11)’与R δαβγ一样，R δαβγ也是被第一类基本量唯一确定的. R δαβγ和R δαβγ都称为曲面S 的Riemann 曲率张量. 采用这些符号，由曲面三阶连续可微得到的相容性条件(3.8)可以改写成R b b b b δδδαβγγαββαγ=-， (3.12)或等价地，R b b b b δαβγδβαγδγαβ=-. (3.13)相容性条件即方程(3.8)，或(3.12)，或(3.13)，称为Gauss 方程. 方程(3.9)称为Codazzi 方程.注1. Gauss 方程(3.13)看上去似乎有16个等式，实际上只有一个独立的方程：()()2221212112212R b b b LN M K EG F =-=-=-. 返回 (3.18)Codazzi 方程(3.9)中只有2个独立的方程111211212121212221222121,.b b b b u u b b b b u u δδδδδδδδ∂∂⎧-=-Γ+Γ⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩(3.20)这是因为有R R R R δαβγβγδααδβγδαγβ==-=-. (3.17)从而当1αδ==或2αδ==时得到8个恒等式00=；当αδ≠而βγ=时得到4个恒等式00=. 剩下的4个方程是相互等价的：1212212112212112R R R R ==-=-.[事实上， R g R g u u ηηηαβαγξηξηαδβγδηαβγδηαβξγαγξβγβ⎛⎫∂Γ∂Γ==-+ΓΓ-ΓΓ ⎪∂∂⎝⎭g g u u u u δαβδαγδηδηηηξξαβαγαβδξγαγδξβγβγβ∂Γ∂Γ∂∂=--Γ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂∂∂ ()()u u δαβδαγηηηηαβηδγδηγαγηδβδηβαβδηγαγδηβγβ∂Γ∂Γ=--ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂δαβδαγηηαγηδβαβηδγγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ. 利用(1.23)将(1.24)2项，并注意()12g g ηηξξηξηηηαγηδβξαγηδβξαγηδβξαγδβδβηαγαγηδβδβηαγΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ+ΓΓ，可得()()2222221122g g g g g g u u u u u u u u u u u u R ηηαδβγαγηδβαβηδγβδαβγδαγαδαδγαγγβδβγββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+--+-+ΓΓ-ΓΓ()222212g g g g u u u u u u u u δβαβδγαγγαγδββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-()12ηηηηαγηδβαβηδγδβηαγδγηαβ+ΓΓ-ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ] 注2. 将(3.3)看作以12,,,r r r n v v v v的12个分量为未知函数的一阶线性偏微分方程组，其中g αβ，b αβ是已知的函数，从而g αβ以及由(3.4)给出的,b γβαβαΓ也都是已知的. (3.3)的可积性条件是22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂v v ， 22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂v v ， 22n nu u u uαββα∂∂=∂∂∂∂v v.(C)由(3.3)可知可积性条件(C)的第一式自动成立. 第二式就是Gauss-Codazzi 方程(3.8)和(3.9)，也就是(3.18)和(3.20). 因为()()2b b n b r r b r b n b r b b n u u u u u γγγγδδγγαααγγαγβδγβαδβγαγββαβββ⎛⎫∂∂∂∂==+Γ+=+Γ+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭v v v v v v v ， 所以可积性条件(C)的第三式为b b b b u uγγβδγδγααδββδαβα∂∂+Γ=+Γ∂∂，b b b b γγαγββγα=. (3.14)上面第二式自动成立，因为b b g b b b g b b b b b γγδγδδηαγβαδγβαδγβαδββηα====.以g γδ乘(3.14)第一式的两边，再对γ求和，可知它等价于g b g b b b b b u u u uγδδβγδγγγγδαααδγβββδγαββαα∂∂∂∂-+Γ=-+Γ∂∂∂∂. 将(1.23)g u βαγαβγαβγ∂∂=Γ+Γ代入上式得b b b b u uδβγγδααγδββγδαβα∂∂-Γ=-Γ∂∂， 即b b b b b b u uδβγγγγδααγδββγδααγδββγδαβα∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂. 这就是(3.8). 所以(3.14)第一式与(3.9)是等价的.在正交参数网中，111222,0,g E g g G ===. 因此11122211,0,E Gg g g ===. 因此 111111112122222111211212222222,,,,,.u v u v u v E E G E G G Γ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=111111222222111222,,,222,,.222u v u v u v E E G E E EE G G G G GΓ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=由此得22212221222111212122112112111211221211122122222222222224444224444v u u u v v v u v u vv v v uu u u u v v v u R g R GRG v u E G E G E G E G G G G EG G EG G GE E G GG G E G E G E G G G G EG G EG G αα⎡⎤∂Γ∂Γ===-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡--=--+-+-⎤⎢⎥⎣⎦22244244vv v v v uu u u u E E E G G E G G E G E G=-++-++ (见课本) 222424()()2424vv v v v uu u u u vv v v uu u u E E G E EG G E GG EG EG EGE E EG G G EG EG EG ++=-+-+⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭=+2222v u v u v uv u E G E G ⎫⎛⎫⎛⎫=++⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭v u v u ⎫⎫⎪=+=+⎬⎬⎪⎭⎭.返回(3.22) 如果参数曲线网是正交的曲率线网，则0F M ==，Codazzi 方程(3.20)可简化为21112212112121222211,22.22v v v v u u u u LE NE L b b HE E G NG LG N b b HG G E ⎧=-Γ+Γ=+=⎪⎪⎨⎪=Γ-Γ=+=⎪⎩返回 (3.23)课外作业：习题4，5§ 5.4 曲面的存在性定理本节证明Gauss-Codazzi 方程也是曲面存在的充分条件.设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂¡上的2个给定的二次微分式，其中ϕ和ψ是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ是正定的. 令()g αβ为矩阵()g αβ的逆矩阵，()1,2g g g u u ug γγδγαβαβδαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-Γ=Γ， (4.2-3) Ru uδδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， R g R ηδαβγδηαβγ=. (4.4-5) 定理4.1 如果上面给定的二次微分式ϕ，ψ满足()21122121212111211212121212221222121,,,b b b R b b b b u u b b b b u u δδδδδδδδ⎧-=-⎪∂∂⎪⎪-=-Γ+Γ⎨∂∂⎪∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩(4.6) 则对任意一点()1200,u u ∈Ω，必有()1200,u u 的(连通)邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的正则曲面:S 12(,)r r u u =v v，使得ϕ和ψ分别是S 的第一、第二基本形式. 在相差一个3E 中的刚体运动的情况下，这样的曲面是唯一的. 如果Ω是连通且单连通区域，则曲面S 可以定义在整个Ω上.证明 唯一性由定理2.1可得. 只需证明存在性.构造一阶线性偏微分方程组,,,r r u r r b n u n b r uααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩vv v v v v v (4.7)其中12,,,r r r n v v v v是未知向量，从而共有12个未知函数，自变量是12,u u . 根据一阶偏微分方程组理论，(4.6)有解的充分必要条件是由(4.7)可推得22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂v v ，22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂v v ， 22n nu u u uαββα∂∂=∂∂∂∂v v . (C)从§3的讨论我们知道当Gauss-Codazzi 方程(4.6)成立时，可积条件(C)也成立，从而(4.7)是可积的，即对任意一点()1200,u u ∈Ω，有()1200,u u 的邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的向量函数1212121212(,),(,),(,),(,)r u u r u u r u u n u u v v v v，(4.8)它们满足(4.7)及任给的初始条件1201201201200010********(,),(,),(,),(,)r u u r r u u r r u u r n u u n ====v v v v v v v v. (4.9)现在选取初始标架{}000012;,,r r r n v v v v使得()001200000000012(,),0,1,,,0r r g u u r n n n rr n αβαβα⋅=⋅=⋅=>v vv vv vv v v. (4.10) 下面我们证明(4.8)中的函数31212::(,)(,)r U E u u r u u →vva 定义了一个正则曲面S = ()r U v，以ϕ和ψ分别为S 的第一、第二基本形式.为此，考虑函数组f r rg αβαβαβ=⋅-v v ， f r n αα=⋅v v ， 1f n n =⋅-v v.(4.11)其中12121212(,),(,),(,)r u u r u u n u u v v v是方程组(4.7)的解. 因此6个函数,,f f f αβα满足一阶齐次线性偏微分方程组Cauchy 问题111111000000,,2,(,)0,(,)0,(,)0.f f f b f b f u f b f f b f u f b f uf u u f u u f u u αβδδαγδββγδαγαβγβαγγγαβγααβγαβββαβααβα∂⎧=Γ+Γ++⎪∂⎪∂⎪=-+Γ+⎪∂⎨⎪∂=-⎪∂⎪⎪===⎩(4.12-13)事实上，()()f r g r r r u u u u r b n r r b n r αββαβαβαγγγγδδαγδαγββγδβγααβγβαγ∂∂∂∂=⋅+⋅-∂∂∂∂=Γ+⋅+Γ+⋅-Γ-Γv vv v v v v v v v()()f g b f f g b f δδαγδβδβαγββγδαδαβγααβγβαγ=Γ+++Γ++-Γ-Γf f b f b f δδαγδββγδαγαβγβα=Γ+Γ++.()f r n n r r b n n b r r u u uγγααααβγαββγαβββ∂∂∂=⋅+⋅=Γ+⋅-⋅∂∂∂v v v v v v v v v ()()1f b f b f g b f f b f γγγγαβγαββγαγαβγααβγαβ=Γ++-+=-+Γ+. 222f n n b r n b f u uββαβαβαα∂∂=⋅=-⋅=-∂∂vv v v .根据Cauchy 问题解的唯一性，得到0f αβ=，0f α=，0f =，即有 r r g αβαβ⋅=v v ， 0r n α⋅=v v ， 1n n ⋅=v v. (4.14)由上式得()212det 0r r g αβ⨯=>v v ，这说明S 是正则曲面.又()120n r r ⨯⨯=v v v v ，即n v 与12r r ⨯v v共线，从而()()()222121212,,det 0r r n r r n r r g αβ=⨯⋅=⨯=>⎡⎤⎣⎦v v v v v v v v .因为在()1200,u u 点()()0001212,,,,0r r n r r n =>v v v v v v ，由连续性得到在U 上()12,,0r r n >v v v . 因此1212/n r r r r =⨯⨯v v v v v .因为12(,)r u u v 满足方程组(4.7)第1式，故{}12,,,r r r n v v v v 是曲面S 的自然标架. 由(4.14)第1式和(4.7)第2式可知S 的第一、第二基本形式分别是ϕ和ψ.当Ω连通且单连通时，方程组(4.7)有定义在整个Ω上的解. □ 课外作业：习题2，4§ 5.5 Gauss 定理由(3.18)得到2121222LN M R K EG F EG F-==--. (5.3) 所以Gauss 曲率K 被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本形式无关，是曲面的内蕴几何量. 于是有下面的Gauss 绝妙定理(Egregium Theorem).定理5.1 曲面的Gauss 曲率是曲面在保长变换下的不变量. 由(3.22)得到正交参数网(0F =)时，v u K ⎧⎫⎪=+⎬⎪⎭.(5.4)特别，取等温参数网时，2:E G λ==，其中(,)0u v λλ=>. 此时 21ln K λλ=-∆，(5.5) 其中2222u v∂∂∆=+∂∂是关于变量,u v 的Laplace 算子.引理 直纹面:(,)()()S r u v a u vl u =+v v v是可展曲面的充要条件是0K =.证明. 设S 是直纹面，参数方程为(,)()()r u v a u vl u =+v v v. 则u r a vl ''=+v v v ，v r l =vv，)()u v u v r r n a vl l r r ⨯''==+⨯⨯v v v v v v v v ， uu r a vl ''''=+v v v ，uv r l '=v ，0vv r =.从而0N =，))(),,uv M r n a vl l l a l l '''''=⋅=+⨯⋅=v v v v vv vv v .因此()()22222,,a l l LN MK EG F EG F ''-==---v v v .根据第三章定理6.1即得引理. □定理5.2 一个曲面S 是可展曲面的充要条件是S 的Gauss 曲率0K ≡. 证明 必要性由上面的引理可得.充分性. 根据引理，只须证明S 是直纹面. 设S 的主曲率为12,κκ. 由条件可知120κκ=.1. 如果S 上的点都是脐点，则S 是平面，从而是直纹面.2. 假设S 上没有脐点，则可取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L NE Gκκ=≠==. 那么120H κ=≠. 由Codazzi 方程(3.23)得 0u u N HG ==，即有0,()u G G G v ==. (5.6)于是111122122221222211022u G g g g g E u u u E∂∂∂⎛⎫Γ=Γ=+-=-= ⎪∂∂∂⎝⎭， ()1222122222220vv v r r r r b n r N n r ⨯=Γ+Γ+⨯=⨯=v v v v v v v v v . (5.8) 根据第一章定理2.2，(5.7)说明v -曲线()0,r u v v 的切向量()0,v r u v v具有固定方向. 因此v -曲线是直线，从而S 是直纹面.事实上，令1||vv r l r=v vv，则v v r r l ==vvvv . 于是由(5.8)，0vv v v v v r r l G l l ⎡⎤⎤=⨯=+⨯=⨯⎦⎣⎦v v v v v v，即有0v l l ⨯=v v v ，从而0v l =v v. 这样()l l u =v v，()v r u =v.令()v v =. 则()(,)()()0vr u v v v l u -=v v，故有(,)()()()r u v v v l u a u -=v v v ，也就是(,)()()()r u v a u v v l u =+v v v.作参数变换,()u u v v v ==，则S 是直纹面：(,)()()r u v a u v l u =+v v v. □定理 5.3 曲面S 是可展曲面的充要条件是S (局部地)可以与平面建立保长对应.证明 根据第三章定理6.3，可展曲面S 局部地可以与平面建立保长对应. 反之，若曲面S 局部可以与平面建立保长对应，则由Gauss 绝妙定理，S 的Gauss 曲率0K ≡，从而是可展曲面. □注 根据后面第六章的定理4.1，具有相同常数Gauss 曲率K 的曲面之间局部可以建立保长对应.下面的例子说明两个具有相同的非常数Gauss 曲率的曲面之间未必能建立保长对应.例 设常数,,,a b a b 满足0ab ab =≠. 证明曲面 ()2212:,,()S r a u bv a u bv =+v与()2212:,,()S r a u b v a u b v =+v之间在对应,u u v v ==下有相同的Gauss 曲率. 但是当2222(,)(,)a b a b ≠且22(,)a b ≠22(,)b a 时，曲面S 与S 之间不存在保长对应.证明 对于曲面S ,(),0,u r a au =v ，()0,,v r b bv =v ，()0,0,uu r a =v，0uvr =v v ，()0,0,vv r b =v . (),,1u v r r ab u v ⨯=--v v，)..1n u v =--v .因此S 的第一、第二基本形式分别为222222I (1)2(1)a u du abuv dudv b v dv =++++，22II =.曲面S 的Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.9)同理，曲面S 的第一基本形式为222222I (1)2(1)a u du abu v dudv b v dv =++++， Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.10)因为ab ab =，所以在对应,u u v v ==下它们有相同的Gauss 曲率.设有保长对应():(,)(,)(,)(,),(,)u v u v u v u u v v u v ϕϕ==a . (5.11) 则在对应点有相同的Gauss 曲率. 故由(5.9)和(5.10)得[][]2222(,)(,)u u v v u v u v +=+. (5.12)因此(0,0)0,(0,0)0u v ==. (5.13)将(5.12)两边对,u v 求偏导数，得,u u v v uu v v u uu v v v +=+=.再对,u v 求偏导数，得()()221uu u uu u uu u v v v +++=，0uv u v uv u v uu u u v v v v +++=，()()221vv v vv v uu u v v v +++=.在0u v ==处取值，可得()()221u u u v +=，0u v u v u u v v +=，()()221v v u v +=. (5.14) 这说明()(0,0),(0,0)u u u v 和()(0,0),(0,0)v v u v 是相互正交的单位向量. 可设 ()()(0,0),(0,0)cos ,sin u u u v θθ=，()()(0,0),(0,0)sin ,cos v v u v θθ=±-.另一方面，将0u v ==代入S 和S 的第一基本形式得()[][]22222222I(0,0,,)I u v u v du dv a du b dv a u du u dv b v du v dv ϕ*=+==+++()()()()2222222222222u u u v u v v v a u b v du a u u b v v dudv a u b v dv ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 因此在0u v ==处成立22222cos sin a b a θθ+=，22()cos sin 0a b θθ-=，22222sin cos a b b θθ+=.如果22a b =，则有2222a b a b ===，与已知条件矛盾.如果22a b ≠，则有sin 0θ=或cos 0θ=. 当sin 0θ=时，有()()2222,,a b a b =；当cos 0θ=时，有()22,b a ()22,a b =，同样导致矛盾. □下面的定理说明在某些情况下曲面的法曲率的确包含了曲面形状的全部信息.定理5.4 设:S S ϕ*→是连续可微映射，其中S 上没有脐点，且Gauss 曲率K 处处不为0. 若在每一点p S ∈处，():p p T S T S ϕϕ**→保持所有方向的法曲率不变，则有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=.证明 由条件，可在S 上取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L N E Gκκ=≠=≠. 不妨设12κκ<.设S *的参数方程为(,)r u v *v，映射ϕ的参数表示为()(,)(,),(,)u v u u v v u v ϕ=. 对于S 的两个主方向,u v r r v v ，对应的方向是()u r ϕ*v 和()v r ϕ*v . 则()0u r ϕ*≠v v ，()0v r ϕ*≠vv ，且()u r ϕ*v 与()v r ϕ*v 线性无关，因为沿()u r ϕ*v 和()v r ϕ*v 方向的法曲率不等(法曲率仅依赖于方向).因此在每一点p S ∈处():p p T S T S ϕϕ**→是线性同构. 由第三章定理5.1，可在S *上选取适用参数系,u v 使得S *的参数方程为(,)r u v *v，映射ϕ的参数表示为()(,),u v u v ϕ=.下面证明在相同参数的对应下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 由于沿着切方向u r *v ，:1:0du dv =，法曲率/n L E κ=达到最小值1κ，因此u r *v是S *的主方向. 同理，v r *v 也是S *的主方向. 又由12κκ<可知u r *v 与v r *v正交. 因此在S *上参数曲线网也是正交的曲率线网.于是在S *上也有0F M ==，并且 12L L N N E E G Gκκ==<==. (5.22)另外，沿着切方向:1:1du dv =，也有n L N L NE G E Gκ++==++. 将(5.22)代入可得1212E G E GE G E Gκκκκ++=++，即()()()()1212E G E G E G E G κκκκ++=++，也就是12()()EG GE EG GE κκ-=-. (5.24)所以E GE Gλ==，11E L L E κλκ==，22G N N G κλκ==.(5.26-27)剩下的只要证明1λ=.由Codazzi 方程(3.23)得,v v u u L HE N HG ==.(5.28),v v u u L HE N HG ==. (5.29)其中1122()H κκ=+. 将(5.26-27)代入(5.29)，得(),()v v v v u u u u L L H E E N N H G G λλλλλλλλ+=++=+.再与(5.28)比较，得12,v v u u E H E G H G λκλλκλ==.于是0u v λλ==，λ是一常数.最后由(5.4)，(5.26)，有1v u K K λ⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭.但120K K κκ==≠，只有1λ=.于是在适用参数系下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 根据定理2.2，有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. □课外作业：习题1(2,4,6)，2希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。
![[理学]5常微分方程_OK](https://img.taocdn.com/s1/m/0a7991efc281e53a5902ff1e.png)
