机器人学 微分变换
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机械臂运动学
机械臂运动学基础1、机械臂的运动学模型机械臂运动学研究的是机械臂运动，而不考虑产生运动的力。
运动学研究机械臂的位置，速度和加速度。
机械手的运动学的研究涉及到的几何和基于时间的内容，特别是各个关节彼此之间的关系以及随时间变化规律。
典型的机器人由一些串行连接的关节和连杆组成。
每个关节具有一个自由度，平移或旋转。
对于具有n 个关节的机械臂，关节的编号从1到n ，有n +1个连杆，编号从0到n 。
连杆0是机械臂的基础，一般是固定的，连杆n 上带有末端执行器。
关节i 连接连杆i 和连杆i-1。
一个连杆可以被视为一个刚体，确定与它相邻的两个关节的坐标轴之间的相对位置。
一个连杆可以用两个参数描述，连杆长度和连杆扭转，这两个量定义了与它相关的两个坐标轴在空间的相对位置。
而第一连杆和最后一个连杆的参数没有意义，一般选择为0。
一个关节用两个参数描述，一是连杆的偏移，是指从一个连杆到下一个连杆沿的关节轴线的距离。
二是关节角度，指一个关节相对于下一个关节轴的旋转角度。
为了便于描述的每一个关节的位置，我们在每一个关节设置一个坐标系， 对于一个关节链，Denavit 和Hartenberg 提出了一种用矩阵表示各个关节之间关系的系统方法。
对于转动关节i ，规定它的转动平行于坐标轴zi-1，坐标轴xi-1对准从zi-1到zi 的法线方向，如果zi-1与zi 相交，则xi-1取zi−1 ×zi 的方向。
连杆，关节参数概括如下： ● 连杆长度ai 沿着xi 轴从zi-1和zi 轴之间的距离; ● 连杆扭转αi 从zi-1轴到zi 轴相对xi-1轴夹角;● 连杆偏移di 从坐标系i-1的原点沿着zi-1轴到xi 轴的距离; ● 关节角度θi xi-1轴和xi 轴之间关于zi-1轴的夹角。
对于一个转动关节θi 是关节变量，di 是常数。
而移动关节di 是可变的，θi 是恒定的。
为了统一，表示为i i iq d θ⎧=⎨⎩转动关节移动关节运用Denavit-Hartenberg （DH ）方法，可以将相邻的两个坐标系之间的变换关系表示为一个4x4的齐次变换矩阵1cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin 0sin cos 01i i i i i i i i i ii ii i i i iii a a A d θθαθαθθθαθαθαα--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦上式表示出了坐标系i 相对于坐标系i-1的关系。
工业机器人微分运动和速度
例：如图示二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s 速度移动，杆长为l1 =l2=0.5m。设在某瞬时θ1 =30o，θ2 = -60o ，求 相应瞬时的关节速度。
对于圆柱坐标机器人，给定在相应位置的3个关节速度如下，求 手坐标系速度的3个分量。 dr/dt=0.1，dα/dt=0.05，dl/dt=0.2，r=15，α= 30o，l=10 运动顺序为：先沿x轴移动r，再绕z轴旋转α角，最后沿z轴移动l。
沿x,y,z轴的 微分运动
绕x,y,z轴的 微分旋转
d1 dx d dy 2 d 3 dz 机器人雅可比矩阵 d x 4 d 5 y z d 6
假设，坐标系noa相对于参考坐标系做一个微量的运动。 从两种不同的角度来坐标系noa的变化。
z
a' a z o' o n' n a' a o'
o
n' n
x
y
x
y
只关注手部坐标系的运动
机器人的关节做微量运动导致了 手部坐标系的微量运动
3.6坐标系的微分运动 3.6.1微分平移： Transdx, dy, dz 例3.2 cos x 1 3.6.2微分旋转： sin x x用弧度
[T dT ] [Transdx, dy, dz Rotk , d ][T ]
[dT] [Transdx, dy, dz Rotk , d I ][T ]
令： [] [Transdx, dy, dz Rotk , d I ]
↓↓
0 z y dx z 0 x dy ，称为微分算子（相 则可得： y x 0 dz 对于固定参考坐标系）。 0 0 0 0
微分几何在机器人中的应用
微分几何在机器人中的应用微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。
微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。
微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率就是微分几何中重要的讨论内容，计算曲线或曲面上每一点的曲率要用到微分的方法。
微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，如机械齿轮啮合理论应用方面，充分应用了微分几何学的理论。
机器人是高级整合控制论、机械电子、计算机、材料和仿生学的产物，一般由执行机构、驱动装置、检测装置和控制系统和复杂机械等组成。
目前机器人的任务是协助或取代人类工作的工作，其中最主要的是代替人类完成上肢动作。
因此，机械手是机器人完成操作指令的机构，其最基本的组成部分是手臂和手，一般采用空间开链连杆机构，其中的运动副（转动副或移动副）常称为关节，关节的个数通常反映机器人的自由度数。
根据关节配置型式和运动坐标形式的不同，机器人执行机构手臂的动作形态以微分几何来划分，可分为直角坐标式，圆柱坐标式，极坐标式和关节坐标式。
描述手指动作的曲线用到微分几何的frenet公式，即用曲线的切向量、方向量、和这两个向量都垂直的向量来研究、描述。
机器人根据功能需求不同可分为家务型，操作型，程控型，数控型和搜救型等，其中，家务型和搜救型要求机器人具有一定程度的移动行走能力。
对此，机器人移动功能的实现同样需要微分几何理论的应用。
因此，微分几何理论实现机器人方面的研究应用具有重大作用。
微分几何在机器人中的应用主要体现在民用，现代和工业三方面，其中礼仪机器人则是民用方面的典型代表，该机器人以仿人为目的，实现行走，作业和识别外界环境。
工业机器人方面的应用不胜枚举，如排爆机器人，搜救机器人等。
以下列举描述微分几何在机器人中的应用。
机器人学第七章(机器人动力学的凯恩方法)
第七章 机器人动力学的凯恩方法7.1 引言机器人动力学凯恩方程方法是建立在凯恩动力学方程基础上的，因而本章首先介绍凯恩动力学方程。
7.1.1 质点系的凯恩动力学方程设一质点系具有n 个质点，该质点系的动力学普遍方程为()[]01=⋅-∑=ni i i i ir a m fδ （7-1）式中 i f ——作用于第i 质点主动力矢量；i m ——质点i 的质量；i a ——质点i 的加速度矢量；i r ——质点i 在参考坐标系中的位置矢量；i r δ——质点i 的微分位移；“·”——数量积符号。
设质点系为完全系，即它具有l 个自由度和l 个广义坐标，则()t q q q r r li i (21)= （7-2）式中 i q ――广义坐标；t ——时间变量； 质点i 的线速度为j lj q i j l j j i i i q v q q r dt r v j ∑∑===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂=1.1 式中j i j i q i qvq r v j ∂∂=∂∂=. （7-3）凯恩（kane ）定义,j i q i j v v q =∂∂为质点I 相对于广义速度的偏速度。
微分i r δ可表示为j lj q i j lj j ii q v q q r r j δδδ∑∑===∂∂=1.1 （7-4）将（7-4）代入（7-1）式，得(), 110j ll i i i i q j i j f m a v q δ==⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦∑∑ 交换求和符号，得(), 110j ln i i i i q j i j f m a v q δ==⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦∑∑因为j q 是独立变量，故(), 10j nii i i q j fm a v =-⋅=∑ j=1,2,．．．，l （7-5） 或, , 110j j nnii q i i i q j i fv m a v ==⋅-⋅=∑∑这就是质点系的凯恩动力学方程(Kane Dynamics Equation ),可以改写为', 1', 101,2,,_______j j j j nj i i q i n j i i i q i F j l F f v F m a v F ==⎫⎪+==⋅⋅⋅⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭⋅⋅∑∑广义主动力广义惯性力 （7-6）7.1.2 刚体的凯恩动力学方程如图7-1所示将刚体看成是由n 个质点组成的。
第5章 微分变换
的向量k旋转dθ角。由此可得到
（5.3）
式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标
dT (Trans (dx, dy, dz ) Rot (k , d ) I )T
（5.4）
如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结 果可表示为
T dT T Trans(dx, dy, dz) Rot (k , d )
微分变换结果如图5.1所示。
2017年7月6日 智能与控制工程研究所 11
5.5 坐标系之间的微分变换 (Transforming Differential Changes between Coordinate Frames)
上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系 之间的微分变换，也就是已知微分变换算子 ，如何求出T坐标的微分变换算 子T 。由式（5.7）和（5.8）可知
（5.1）
矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下
a11 x a 21 dA x a31 x a 41 x a12 x a 22 x a32 x a 42 x a13 x a 23 x a33 x a 43 x a14 x a 24 x dx a34 x a 44 x
x
0
y 0 x 0
1 0 0 1
（5.20）
2017年7月6日
智能与控制工程研究所
9
比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、 z轴分别旋转 的结果相同，即 x、 y、 z
x k x d
y k y d
（5.5）
（5.3）
式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标
dT (Trans (dx, dy, dz ) Rot (k , d ) I )T
（5.4）
如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结 果可表示为
T dT T Trans(dx, dy, dz) Rot (k , d )
微分变换结果如图5.1所示。
2017年7月6日 智能与控制工程研究所 11
5.5 坐标系之间的微分变换 (Transforming Differential Changes between Coordinate Frames)
上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系 之间的微分变换，也就是已知微分变换算子 ，如何求出T坐标的微分变换算 子T 。由式（5.7）和（5.8）可知
（5.1）
矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下
a11 x a 21 dA x a31 x a 41 x a12 x a 22 x a32 x a 42 x a13 x a 23 x a33 x a 43 x a14 x a 24 x dx a34 x a 44 x
x
0
y 0 x 0
1 0 0 1
（5.20）
2017年7月6日
智能与控制工程研究所
9
比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、 z轴分别旋转 的结果相同，即 x、 y、 z
x k x d
y k y d
（5.5）
关于机器人坐标系的微分变换
关于机器人坐标系的微分变换对于机器人的坐标系的微分变换则是指微分平移和微分旋转运动的合成。
假设用T标示原始坐标系，并且假定由于微分变换所引起的坐标系T的变换用dT来表示，则：[T+dT]=[Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dθ)][T]移项后可得到：[dT]=[Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dθ)-I][T]其中，I是单位矩阵，[dT]表示微分变换后坐标系的变换。
则[dT]=[Δ][T][Δ]=[Trans(dx,dy,dz)Rot(k,dθ)-I]Δ称之为微分算子。
ps:对于微分平移，就是坐标系平移一个微分量，可以使用Trans(dx,dy,dz)来表示，其含义是坐标系沿着三个轴做了微小的运动。
对于微分旋转，就是坐标系的小量旋转，可以使用Rot(k,dθ)来描述，即坐标系绕k轴转动了dθ角度。
由于转动量非常的小，可以做近似处理。
假设绕x,y,z轴的微分转动分别定义为σx,σy,σz。
则sin(σx)=σx 其中σx为弧度。
cos(σx)=1在矩阵运算中，矩阵乘法对于顺序有严格的要求。
不同的顺序计算得到的结果通常也相同。
Rot(x,σx)=[1 0 0 0;0 1 -σx 0;0 σx 1 0;0 0 0 1];Rot(y,σy)=[1 0 σy 0;0 1 0 0;-σy 0 1 0;0 0 0 1];Rot(z,σz)=[1 -σz 0 0;σz 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1 ];虽然上面三个式子与每个分量的单位长度为1的规定不相符。
由于微分的值非常的小，因此，可以忽略高次项。
对于Rot(x,σx)Rot(y,σy)与Rot(y,σy)Rot(x,σx)相乘的结果忽略高次项之后，即高次项为0。
则两式的结果相同。
因此，在微分运动中，可以认为相乘的顺序可以互换。
接上，由于Δ是相对于固定坐标系的微分算子。
假设相对于当前坐标系的微分算子为TΔ。
因为相对于固定坐标系为左乘，相对于动坐标系为右乘。
机器人学微分变换
（5.17） （5.18） （5.19） （5.20）
9
比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、
z轴分别旋转 x、 y、的 z结果相同，即
x kxd
y k y d
z kz d
由此可得到绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换算子为
（5.21）
0 z y dx
z
0
x
d
y
0
y
x 0
0 0
dz 0
（5.22）
微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即
d dxi dy j dzk
（5.23）
xi y j zk
lim sin d
0
lim cos 1
0
lim vers 0
0
2019年7月24日
湖北汽车工业学院机械系
6
将上述关系代入式（5.11）可得
1 - kzdθ kydθ 0
kzdθ 1 - kxdθ 0
Rot( k, dθ) = - kydθ kxdθ 1 0
0
（5.24）
将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D
D d x d y d z x y z T
（5.25）
这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算
子 ，或基于T坐标的微分运动矢量 T D ( T d, T ) 的微分变换算子 T 。
2019年7月24日
由式（5.7）可得 dA A
z
机器人学第二章(数学基础)
微分的几何意义：切线的 纵坐标。
ABCD
计算方法：通过微分公式 或链式法则求得微分。
微分的运算性质：包括线 性性质、乘积性质、商的 微分性质等。
积分
定义
积分是微分的逆运算，即求函数与坐 标轴所夹的面积。
计算方法
通过不定积分和定积分的计算公式求 得积分。
定积分的几何意义
曲线与坐标轴所夹的面积。
定积分的性质
正运动学
正运动学是根据已知的关节参数，计算出机器人末端执行器的位置和 姿态。
逆运动学
逆运动学则是根据目标的位置和姿态，反推出机器人各关节的参数。
雅可比矩阵
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的微小位移与关节角度的微小变 化之间的关系。
动力学
动力学定义
动力学主要研究机器人在运动过程中受 到的力与力矩，以及这些力与力矩如何
随机变量
离散随机变量
随机变量可以取有限或可数无 穷多的值，这种情况下我们称
随机变量为离散随机变量。
连续随机变量
如果随机变量可以取任何实数 值，则称为连续随机变量。
期望值
对于离散随机变量，期望值定 义为E(X)=∑XP(X)，对于连续
随机变量，期望值定义为 E(X)=∫XP(X)dX。
统计推断
参数估计04 优化理论 Nhomakorabea线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于找到一组变量的最优值，这些变量受到一组线性等式或不等式的 约束。
线性规划的数学模型通常由目标函数和约束条件组成，目标函数是要求最大或最小的线性函数，约束条 件也是线性等式或不等式。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、内点法等算法求解，这些算法可以在有限步内找到最优解或近似 最优解。
机器人学蔡自兴课后习题答案
For personal use only in study and research; not for commercial use其余的比较简单，大家可以自己考虑。
3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。
给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。
解： 坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。
∴对P A 描述有 P T P BA B A = ；其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A B = 。
9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。
要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。
（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
（2）作图说明每个从右至左的变换序列。
（3）作图说明每个从左至右的变换序列。
解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ；所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。
方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。
机器人学_第五讲 微分运动和速度
• 微分旋转-Rot(k,dθ) -即坐标系绕k轴转动dθ角。
• 微分变换 -一组平移和旋转共同组成。
4
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 微分旋转
定义：绕x,y,z轴的微分转动分别为δx, δy, δz。
由于旋转量很小，近似等式有：
sinx x
弧度
cosx 1
1
Rot(x,x) 0
0 0
0 1
x
0
0
x
1 0
0 0
Rot( y,y)
1 0
0 1
y
0
0 1 0 0
y
0 1 0
0
1
0 Rot(z,z) z
0
0
1
0
z
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
注意：这里 1 (x)2 1 违反了单位方向向量的要求，但是，高阶微分项 ( x)2可以看做忽略不计，所以依旧可以认为是满足的。
T
Tz
Ty
0
Tx
Tx T dy
0 T dz
0 0 0 0
其中：
Tx n
Ty o
Tz a
Tdx n p d Tdy o p d Tdz a p d
14
第五讲 3 雅克比矩阵定义
雅克比（Jacobian）矩阵：表示机械臂末端速度和各 个关节速度之间的关系。 对于在三维空间中运行的具有6个关节的机器人有：
dT代表什么？
还记得不？
dT T T T
注意：下面的左右乘的区别，依旧是绝对左乘，相对右乘
13
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 坐标系之间的微分变换
由于两者都是描述坐标系在固定参考坐标系中的相同变化，
• 微分变换 -一组平移和旋转共同组成。
4
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 微分旋转
定义：绕x,y,z轴的微分转动分别为δx, δy, δz。
由于旋转量很小，近似等式有：
sinx x
弧度
cosx 1
1
Rot(x,x) 0
0 0
0 1
x
0
0
x
1 0
0 0
Rot( y,y)
1 0
0 1
y
0
0 1 0 0
y
0 1 0
0
1
0 Rot(z,z) z
0
0
1
0
z
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
注意：这里 1 (x)2 1 违反了单位方向向量的要求，但是，高阶微分项 ( x)2可以看做忽略不计，所以依旧可以认为是满足的。
T
Tz
Ty
0
Tx
Tx T dy
0 T dz
0 0 0 0
其中：
Tx n
Ty o
Tz a
Tdx n p d Tdy o p d Tdz a p d
14
第五讲 3 雅克比矩阵定义
雅克比（Jacobian）矩阵：表示机械臂末端速度和各 个关节速度之间的关系。 对于在三维空间中运行的具有6个关节的机器人有：
dT代表什么？
还记得不？
dT T T T
注意：下面的左右乘的区别，依旧是绝对左乘，相对右乘
13
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 坐标系之间的微分变换
由于两者都是描述坐标系在固定参考坐标系中的相同变化，
机器人微分运动学
ny ty by 0 0 0
nz tz bz 0 0 0
( P n) x (P t) x ( P b) x nx tx bx
( P n) y (P t) y ( P b) y ny ty by
( P n) z d x d (P t) y y ( P b) z d z n z x t z y bz z
T
称为刚体的广义速度矢量，它能完整地刻画任意刚体 在三维空间中的运动。若用差分代替微分，则上式可写为
D dx
dy
dz x y z
T
称为微分运动矢量。 微分运动矢量D在不同坐标系中的表示是不一样的， 在一个坐标系中的微分运动给定之后，如何求出在另 一坐标系中的微分运动？
根据前面齐次变换的学习知道，任意坐标系{T}在参考 系中的表示为：
一般情况下, 雅可比矩阵可以看成是矢量对矢量 的导数,如在上面的例子中：
雅可比矩阵的第i列 表示的是机械臂第i 个关节速度对机械 臂末端速度的贡献
x P 1 J T θ y 1
x 2 y 2
如果有如下所示的n个独立变量的函数
根据差积的性质： a (b c) b (a c) b (c a) （1） a ( a c) 0 （2） 则得到：
0 (n t ) (b n) ((P n) d n) (n t ) 0 ( t b ) (( P t ) d t ) T T 1T (b n) (t b) 0 ((P b) d b) 0 0 0 0
机器人学导论第3章1ppt课件
0
1
1 0 y 0
Rot(y,y)
0
1 0 0
y 0 1 0
0
0 0 1
1 z 0 0
Rot
(z,z)
z
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
注意：上述矩阵违反了每个向量长度为1的规 定。例如 12x2 1。然而由于微分值很小，在计 算时高阶微分可以忽略不计。并且这样的近似并不 影响计算结果。所以我们采. 用这样的向量长度。
2 0 0 0 1 0
1
0
1
0
0
0
0 1 0 0 0 0
J
0
0
0
2
0
0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
解：
0
0 .1
0 .1
D
0
0 0 . 2
2 0 0 0 1 0 0 0 dx
1
0
1
0
0
0
0.1
0.1
dy
D
JD
0 0
10 00
0 2
接下来让我们对B点的位置方程求微分 XBl1co1sl2cos1(2) YBl1sin1l2sin1(2) 方程两边对 1 和 2求微分，可得到
.
微分关系
d dB B y x l1 lc 1 so 1 i1 n ls 2 l2 c so i1 1 n s2 2 ) )( ( l2 l2 c so i1 1 n s2 2 ))( ( d d1 2
B点的微分 运动方程
雅克比矩阵
.
关节的微 分运动
§3.2 雅克比矩阵
1 研究雅克比矩阵的意义 由式3.6可以看到，雅克比矩阵将单个关节的微分 运动或速度转换为感兴趣点的微分运动或速度，也 可以将单个关节的运动与整个机构的运动联系起来。 2 雅克比矩阵的计算 由式3.6可以看到，由于角度是时变的，所以雅克 比矩阵也是时变的。所以我们可以通过对位置方程 中的时间变量求导的方法来计算雅克比矩阵
第五章_机器人静力学
求微分变换dA。
0
0
0
1
解：
0 z y dx 0 0 0.1 1
z
0
y
0
x
0
x
dy
0
00
0
0 0
dz 0
0.1 0
0
0
0 0
0.5
0
0 0 0.1 1 0 0 1 10 0 0.1 0 1
dAA00.1
0 0
0 0
0 1 0 0 0.50 1 0
5 0 0 0
首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图所示。
位移方程
x
y
l1c1 l1s1
l2c12 l2 s12
式 中 ： C 1cos1, S 1sin1, C 12cos12, S 12sin12
图 两自由度平面机械手
微分得
矩阵形式
d dy x l1lc1s11l2 l2 cs11 22
l2s12d1 l2c12d2
所以得 d T T T r a n s ( d x , d y , d z ) R o t ( k , d ) I 4 4
令 T ( d x , r d y , d z ) a R ( k , d n ) o I 4 4 s t
规定，当微分运动相对于基系进行时，上式记为Δ0；当运 动相对于坐标系i时，上式记为Δi 。
J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ：
Jij(q ) x iq (q j),i 1 ,2 ,...,6 ;j 1 ,2 ,...,n
式中，x代表操作空间，q代表关节空间。
若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和 第二列矢量，即
•
机器人的微分运动与速度
四、力雅可比
• 机器人在与外界环境相互作用时，在接触处要产 生力 f 和力矩 n ，统称为末端广义力矢量，记做：
f F n
• 在静止状态下，广义力矢量 F 应与各关节的驱动 力或力矩平衡。 n 个关节的驱动力矩组成 n 维矢 T 量： T 1 2 n ，称为关节力矢量。
• 因此，当机械手运动到某个形位时，恰好使此时 的雅可比行列式值为0，就会造成奇异，此时机械 手的形位成为奇异形位； • 机械手在工作时，应避开奇异形位附近，以免发 生危险，这导致了机械手的工作空间进一步缩小。
奇异性的例子
l1 sin 1 l2 sin( 2 1 ) l2 sin( 2 1 ) J l cos l cos( ) l cos( ) 1 2 2 1 2 2 1 1
手爪速度向量
y A 0.8 sin 1 0.4 sin( 2 1 ) 0.5 sin(3 2 1 )
雅可比矩阵J
关节速度向量
1 2 3
0.4 sin( ) ( ) 0.5 sin( ) ( ) A 0.8 sin 1 x 1 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 0.4 cos( ) 0.5 cos( ) A 0.8 cos1 y 2 1 ) ( 3 2 1 ) ( 1 2 1 3 2 1
（二）雅可比矩阵的构造法
• 矢量积法和微分构造法： D J q dq V J q q • 对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵是6×n矩阵，其 前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度 V 的传递 i 对手爪 比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 q 角速度 的传递比，因此将 J 分块为：
04-机器人课程-运动学
1、机器人运动学
1.5机器人微分运动及速度
机器人的微分运动是研究机器人关节变量的微小变化与机器人手部位姿的微小变化 之间的微分关系。如果已知两者之间的微分关系，就可以解决机器人微分运动的两 类基本问题：一类是在已知机器人各个关节变量的微小变化时求机器人手部位姿的 微小变化；另一类是在已知机器人手部位姿的微小变化时求机器人各个关节变量相 应的微小变化。机器人的微分运动对机器人控制、误差分析、动力分析和保证工作 精度具有十分重要的意义。
1、机器人运动学
1.3齐次变换及运算
1.3.1 直角坐标变换 在机器人中建立直角坐标系后，机器人的手部和各活动杆件之间相对位 置和姿态就可以看成是直角坐标系之间的坐标变换。
1、机器人运动学
1.3齐次变换及运算
平移变换 设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，但两者的坐标原点不重合，如图3-7所 示。 若用矢量Pij表示坐标系{i}和坐标系{j}原点之间的矢量，则坐标系{j}就可以看成 是由坐标系{i}沿矢量Pij平移变换而来的，所以称矢量Pij为平移变换矩阵，它是一个 3×1的矩阵
1.1、机器人位姿描述
机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置和姿态，有 时也会用到其他各个活动杆件在空间的位置和姿态。需要先 了解的与机器人运动相关的一些基础知识。 机器人的机构运动简图、机器人的自由度、机器人的坐标系、 机器人的工作空间、机器人的位姿
1、机器人运动学
1.2机器人的位姿
所谓机器人的位姿主要就是指机器人手部在空间的位置和姿态。有了机器 人坐标系，机器人手部和各个活动杆件相对于其他坐标系的位置和姿态就 可以用一个3×1的位置矩阵和一个3×3的姿态矩阵来描述。如图3-2所示， 机器人手部的坐标系{H}相对于机座坐标系{O}位置就可以用坐标系{H}的 原点OH在坐标系{O}三个坐标分量xOH、yOH、zOH、组成3×1的位置矩阵来 表示
机器人学蔡自兴课后习题答案
其余的比较简单，大家可以自己考虑。
3. 坐标系{B}的位置变化如下：初始时，坐标系{A}与{B}重合，让坐标系{B}绕描述AB的描述变为对PZ轴旋转角；然后再绕X B旋转角。
给出把对矢量PB的旋转矩阵。
解：坐标系{B}相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。
A；对P A A B描述有P T PBA其中T Rot(z,)Rot(x,)B。
9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。
要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。
（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。
（2）作图说明每个从右至左的变换序列。
（3）作图说明每个从左至右的变换序列。
解：（1）方法1:如图建立两个坐标系{1x y z}o2x y z，与2个楔块相固联。
o、{}111222图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：T1Rot(y,90)Rot(z,90)；对楔块2进行的变换矩阵为：o0o o T2Trans(3,0,4)Rot(z,90)TRot(x,90)Rot(z,180)；21000其中01052T；0010000100100012所以：1000T；10100T2114 00010001对楔块2的变换步骤：①绕自身坐标系X轴旋转90；②绕新形成的坐标系的Z轴旋转180；③绕定系的Z轴旋转90；④沿定系的各轴平移(3,0,4)。
方法2：如图建立两个坐标系{o1x y z}、{o2x2y2z2}与参考坐标系重合，两坐标系111与2个楔块相固联。
图1：楔块坐标系建立（方法2）对楔块1进行的变换矩阵为：T1Rot(y,90)Rot(z,90)；对楔块2进行的变换矩阵为：o o oT2Trans(2,0,9)Trans(4,0,0)Rot(y,90)Rot(x,180)Rot(z,90)；00100012所以：1000T；101001000T。
机器人学导论复习题及参考 答案
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案机器人学导论一、名词解释题：1.自由度：2.机器人工作载荷：3.柔性手：4.制动器失效抱闸：5.机器人运动学：6.机器人动力学：7.虚功原理：8.PWM驱动：9.电机无自转：10.直流伺服电机的调节特性：11.直流伺服电机的调速精度：12.PID控制：13.压电元件：14.图像锐化：15.隶属函数：16.BP网络：17.脱机编程：18.AUV：二、简答题：1.机器人学主要包含哪些研究内容？2.机器人常用的机身和臂部的配置型式有哪些？3.拉格朗日运动方程式的一般表示形式与各变量含义？4.机器人控制系统的基本单元有哪些？5.直流电机的额定值有哪些？6.常见的机器人外部传感器有哪些？7.简述脉冲回波式超声波传感器的工作原理。
8.机器人视觉的硬件系统由哪些部分组成？9.为什么要做图像的预处理？机器视觉常用的预处理步骤有哪些？10.请简述模糊控制器的组成及各组成部分的用途。
11.从描述操作命令的角度看，机器人编程语言可分为哪几类？12.仿人机器人的关键技术有哪些？三、论述题：1.试论述机器人技术的发展趋势。
2.试论述精度、重复精度与分辨率之间的关系。
3.试论述轮式行走机构和足式行走机构的特点和各自适用的场合。
4.试论述机器人静力学、动力学、运动学的关系。
5.机器人单关节伺服控制中，位置反馈增益和速度反馈增益是如何确定的？6.试论述工业机器人的应用准则。
四、计算题：（需写出计算步骤，无计算步骤不能得分）：1.已知点u的坐标为[7,3,2]T，对点u依次进行如下的变换：（1）绕z轴旋转90°得到点v；（2）绕y轴旋转90°得到点w；（3）沿x轴平移4个单位，再沿y轴平移-3个单位，最后沿z轴平移7个单位得到点t。
求u, v, w, t各点的齐次坐标。
xyzOuvwt2.如图所示为具有三个旋转关节的3R 机械手，求末端机械手在基坐标系{x 0,y 0}下的运动学方程。
微分变换与雅可比矩阵
d [dx, dy, dz ]T , [x, y, z ]T
微分运动向量：由d和δ组成的列向量，用D表示。
D [dx , dy , dz , x , y , z ]T
同理，△T也是由两个向量dT和δT构成，
DT [dxT , dyT , dzT , xT , yT , zT ]T
机器人最后一个杆相对杆 5的位姿方位由下式描述：
被观察物体为ＯＣＡＭ（ＯＣ），假定在ＣＡＭ坐标中观察使 得终端操作机构与物体接触要有一个微分变化：
dＣＡＭ＝dＣ＝-0.1i+0.2j+0k
试求在Ｔ６坐标系中所需的变化。 解： 设变换方程式为Ｔ５Ａ６ＥＸ＝Ｔ５ CT5ＯＣ
δＣＡＭ＝δＣ＝0i+0j+0.2k
z 0
y x
0 0
x
0
dx 0 0 dy dz 0.1 0 0
0 0.1 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0
0 0 0 0 dT T 0.1 0 0 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0
于是
T+dT= Trans(dx,dy,dz) Rot(K, d)T
dT= [Trans(dx,dy,dz) Rot(K, d) –I ]T 令△= Trans(dx,dy,dz) Rot(K, d) - I， 称此表达式为微 分算子。于是 dT= [Trans(dx,dy,dz) Rot(K, d) –I ]T =△T
第五章 微分变换和雅可比矩阵
一、机器人微分运动 1、微分平移
2、微分旋转 （1）绕坐标轴的微分旋转 当θ→0时，sinθ→dθ, cosθ→1 绕三个坐标轴的微分转角分别为
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k z d
0
k x d
d
y
k y d 0
k x d 0
0 0
dz 0
(5.13)
2020年4月22日
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6
5.4 微分旋转 (Differential Rotations)
式（5.13）给出的微分变换算子 是基于微分旋转角dθ的微分平移和旋
转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换。
微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针
对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分 变换可表示为
T dT Trans(dx, dy, dz)Rot (k, d )T
（5.3）
式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标 的向量k旋转dθ角。由此可得到
Rot
(z,
)
sin
cos
0 00 1
（5.16）
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7
在微分变换的情况下，sinθ→dθ，cosθ→1，上面三个式子变为
1 0 0 0
Rot
(x,
x
)
0 0
0
1 x 0
x 1 0
0 0 1
1 0 y 0
Rot
第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为
1 0
0 0
Rot (x, ) 0 cos sin 0 0 sin cos 0
0 0
0 1
（5.14）
cos 0 sin 0
Rot ( y, )
0
1 0 0
sin 0 cos 0
0
0 0 1
（5.15）
cos sin 0 0
dz； Rot (k, d是绕) T坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到
dT T (Trans(dx, dy, dz)Rot (k, d ) I )
（5.6）
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3
我们用符号 来表示式（5.4）和式（5.6）中的 (Trans(dx, dy, dz)Rot (k, d ) I ) 并将它称为微分变换算子
5.1 引言（Introduction）
微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚 度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或 其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化 时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐 标或参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系 中力与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化为关节 坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题时，也 会用到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和方法，包括 微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆 雅可比矩阵及其应用。
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1
5.2 微分矩阵（Derivative Matrixes）
给出一个4×4的矩阵A
a11 a12 a13 a14
A a21
a22
a23
a24
aa3411
a32 a42
a33 a43
a34 a44
（5.1）
矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下
0
0
01
由式（5.6）可得
(5.12)
1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0
dx 1
d
y
k z d
dz 1
k y d
0
k z d
1
k x d
0
k y d k x d
1
0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1
0 k z d k y d d x
一般性旋转变换的变换矩阵是
（5.10）
kxkxversθ + cosθ kykxversθ - kzsinθ kzkxversθ + kysinθ 0
kxkyversθ + kzsinθ kykyversθ + cosθ kzkyversθ - kxsinθ 0
Rot( k,θ) = kxkzversθ - kysinθ kykzversθ + kxsinθ kzkzversθ + cosθ 0 (5.11)
Trans(dx, dy, dz)Rot (k, d ) I
这样式（5.4）和式（5.6）就可写成如下形式
（5.6）
dT T
（5.7）
和
dT T T
（5.8）
式（5.7）中的微分变换算子 是针对基坐标的，而式（5.8）中的微分变换 算子 T 则是针对T坐标的。
在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，
0
0
0
1
当进行微分旋转变换时，旋转角dθ极小，此时有如下关系
lim sin d
0
lim cos 1
0
lim vers 0
0
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5
将上述关系代入式（5.11）可得
1 - kzdθ kydθ 0
kzdθ 1 - kxdθ 0
Rot( k, dθ) = - kydθ kxdθ 1 0
平移变换矩阵是
Trans( a, b, c ) =
100a 010b 001c 0001
（5.9）
2020年4月22日
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4
当平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为
Trans( d ) =
1 0 0 dx 0 1 0 dy 0 0 1 dz 0001
a11 a12 a13 a14
x a21
x a22
x a23
x a24
dA
x a31
x a32
x a33
x a34
dx
x a41
x a42
x a43
x a44
x x x x
（5.2）
2020年4月22日
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2
5.3 微分平移和旋转变换 ( Differential Translation and Rotation )
dT (Trans(dx, dy, dz)Rot (k, d ) I )T
（5.4）
如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结 果可表示为
T dT T Trans(dx, dy, dz)Rot(k, d )
（5.5）
此时，式中 Trans(dx, dy, dz) 是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，