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第五章 机器人学微分变换

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《微分变换》课件

《微分变换》课件

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非线性微分变换：如非线性微分方 程的解
连续微分变换：如连续傅里叶变换、 拉普拉斯变换等
微分变换的应用场景
信号处理：用 于处理和分析 信号，如音频、 视频、图像等
控制系统：用 于分析和设计 控制系统，如 自动控制、机
器人控制等
数学建模：用 于建立数学模 型，解决实际 问题，如物理、 化学、生物等
跨学科融合：微分变换与其他学科的融合越来越紧密，如与机器学习、深 度学习等领域的融合，为微分变换的发展提供了新的方向。
微分变换的未来展望
应用领域：微分 变换将在更多领 域得到应用，如 信号处理、图像 处理、数据分析 等
理论研究：微分 变换的理论研究 将更加深入，如 非线性微分变换、 分数阶微分变换 等
添加 标题
微分变换的性质：线性、可加性、可乘性
添加 标题
微分变换的应用：求解微分方程、求导数、 求积分等
添加 标题
微分变换的算法实现：通过计算f(a+h)f(a)/h得到微分变换的结果，然后进行线性、 可加性、可乘性的验证。
微分变换的算法优化
减少计算复杂 度：通过优化 算法，减少计 算量，提高计
算效率
微分变换是描述物 理系统动态行为的 一种数学工具
微分变换可以将复 杂的物理问题转化 为简单的数学问题
微分变换可以揭示 物理系统的内在规 律和特性
微分变换在工程、 科学、经济等领域 都有广泛的应用
微分变换的实现方法
微分变换的定义：将函数在某一点的导数作为新的函数值 微分变换的步骤：首先确定函数的导数，然后计算导数的值 微分变换的应用：在信号处理、图像处理等领域有广泛应用 微分变换的局限性：对于某些函数，微分变换可能无法得到准确的结果

机器人学导论第五章解读

机器人学导论第五章解读

建立连杆坐标系，图5-11为施加在连杆i 上的静力和静力矩（重力除外）。将这 些力相加并令其和为0，有
图5-11单连杆的静力和静力矩的平衡关系
将绕坐标系{i}原点的力矩相加，有 如果我们从施加于手部的力和力矩的描述开始，从 末端连杆到基座进行计算就可以计算出作用于每一 个连杆上的力和力矩。将以上两式重新整理，以便 从高序号连杆向低序号连杆进行迭代求解。结果如 下
0
v 0J θ θ
(5-64)
式中θ是操作臂关节角矢量，v是笛卡尔速度矢量。在式中 我们给雅克比表达式附加了左上标，以此来表示笛卡尔速 度所参考的坐标系。 是 对于通常的6关节机器人，雅克比矩阵是6×6阶矩阵，θ
0 6×1维的， v 也是6×1维的。这个6×1笛卡尔速度矢量是 由一个3×1的线速度矢量和一个3×1的角速度矢量组合起 来的： 0 0 (5-65) 0

B
VQ

B
dt
Q
给出速度表达式
A B

B VQ A R VQ B

经常讨论的是一个坐标系元旦相对于某个常见的世界参考坐 标系的速度，而不考虑任意坐标系中一般点的速度。对于这 种情况定义一个缩写符号
vC VCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱRG
那么 AvC 是坐标系{C}的原点在坐标系A中表示的速度，尽管 微分是相对于坐标系{U}进行的
（5-57）
5.7 雅克比
雅克比矩阵是多元形式的导数。例如假设有6 个函数，每个函数有6个独立变量：
由多元函数求导法则得
在任一瞬时，x都有一个确定的值，J(X)是一个线性变换。在 每个新时刻，如果X改变，线性变换也随之而变。所以雅克比 是时变的线性变换。
在机器人学中，通常使用雅克比将关节速度与 操作臂末端的笛卡尔速度联系起来，比如

机器人学导论第五章

机器人学导论第五章

ω
写出例5.3中的雅克比矩阵 由例5.3的结果 式（5-55）可写出坐标系{3} 的雅克比表达式
3
l1s2 J θ l1c2 l2
0 l2
（5-66）
式（5-57）可写出坐标系{0}的雅克比表达式
3
- l1s1 l2 s12 J θ l1c1 l2c12
雅克比矩阵的定义为
建立连杆坐标系，图5-11为施加在连杆i 上的静力和静力矩（重力除外）。将这 些力相加并令其和为0，有
图5-11单连杆的静力和静力矩的平衡关系
将绕坐标系{i}原点的力矩相加，有 如果我们从施加于手部的力和力矩的描述开始，从 末端连杆到基座进行计算就可以计算出作用于每一 个连杆上的力和力矩。将以上两式重新整理，以便 从高序号连杆向低序号连杆进行迭代求解。结果如 下
例5.3 图5-8所示是具有两个转动关节的操作 臂.计算出操作臂末端的速度，将它表达成操作 臂末端的函数。给出两种形式的解答，一种是 用坐标系{3}表示，一种是用坐标系{0}表示。
图5-8两连杆操作臂
图5-9两连杆操作臂的坐标系布局
首先将坐标系固连在连杆上，计算连杆变换如 下
c1 s 1 0 T 1 0 0 s1 0 0 c1 0 0 0 1 0 0 0 1
机器人学导论
第五章 静力和速度
——新疆大学机械工程学院
第五章 速度和静力
概述 在本章中，我们将机器人操作臂的讨论扩展到静 态位置问题以外。我们研究刚体线速度和角速 度的表示方法并且运用这些概念去分析操作臂 的运动。我们将讨论作用在刚体上的力，然后 应用这些概念去研究操作臂静力学应用的问题。 关于速度和静力的研究将得出一个称为操作臂雅 克比的实矩阵。

机器人原理与应用5

机器人原理与应用5

第五章 速度运动学
由以上分析可以得出两点结论：
r 操作机出现奇 （1）对于 J 1，当r 趋于0 时， 异问题。此时操作机失控，即遇到速度趋于无穷大的 为有限值时，r 或y 和 趋于无 困难。此时，若 x 穷大。事实上r=0 的条件是很容易辨别和避免的；

第五章 速度运动学
5.1操作机的微分移动

所谓微分运动指的是无限小的运动，即无限小的 移动和无限小的转动。它既可以用指定的当前坐 标系来描述，也可以用基础坐标系来描述。对于 微分移动（平动）的齐次变换矩阵T可表示为：
1 0 Trans(dx, dy, dz) 0 0 0 1 0 0 0 dx 0 dy 1 dz 0 1
J J1 r 1 2 2
J1和J 2分别为PE1和PE 2 逆时针转动 而成。 2
那么，如何验证呢？

第五章 速度运动学
x r r 例5-2：已知： y r2 y r x ，当手部沿着y=1的直线以匀速 x y 2 r
0 1 0 0 0 0 0.1 0 0 0.1 0 0.5 0 0 0 0
第五章 速度运动学
则：
0 1 0 0 0 0 0 0.1 0 1 dT T 0 0.1 0 0.5 0 0 0 0 0 0
到基坐标速度的变换。
f (1 , 2 ,, 6 ) J T
J 即为著名的雅可比矩阵，通过J 可以实现从关节速度
第五章 速度运动学
展开为：
f1 1 J f 6 1 f1 2 f 6 2 f1 6 J ij f 6 6
m n

机器人学第五章(机器人的运动特性)

机器人学第五章(机器人的运动特性)

第五章 机器人的运动特性5.1 机器人的雅可比（jacobians ）矩阵 5.1.1 雅可比雅可比是一个导数的多维形式。

例如，假定我们有6个函数，每一个是6个独立变量的函数()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===654321666543212265432111 x x x x x x f y x x x x x x f y x x x x x x f y （5-1） 我们也可以用矢量符号把这些方程写为：F(X)Y = （5-2）现在如果要计算i y 的作为i x 的函数的微分，我们简单的应用复合微分定律来计算⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂++∂∂+∂∂=∂∂∂++∂∂+∂∂=∂∂∂++∂∂+∂∂=∂666226116666222211226612211111 x x f x x f x x f y x x f x x f x x f y x x f x x f x x f y δδδδδδδδδ （5-3） 它同样可以用矢量符号写得更简单些X XFδδ∂∂=Y （5-4） （5-4）中的66⨯偏导数矩阵就是我们称为雅可比的J 。

注意如果方程式是非线性的，则偏导数为i x 的函数。

所以用下面的符号()X X J δδ=Y （5-5）把两边除以时间元素的微分，我们可以把雅可比看作为把X 中的速度映射到Y 中()X X J =Y（5-6） 在任一特定的瞬时，X 具有一定的值，而()X J 为一线性变换，在每一个新的瞬时，X变了，因此这个线性变换也变了，雅可比是随时间变化而变化的线性变换。

在机器人学的领域内，我们一般谈的是关于关节速度机械手端部速度间关系的雅可比。

例如()ΘΘ= J v 00（5-7） 其中，Θ为操作机的关节角矢量，而v 为直角坐标速度矢量。

在（5-7）中我们对雅可比加上了一个前上标，指明这个结果的直角坐标速度是表示在那个标架中。

有时当这个标架是很明显的或者它并不重要，这个标注可以去掉。

注意对于任何给定的操作机的构形，关节速度和端部速度之间的关系为线性的样子，这仅是一种瞬时关系，因为在下一瞬时，雅可比要稍微变化一点。

第5章 微分变换

第5章 微分变换
的向量k旋转dθ角。由此可得到
（5.3）
式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标
dT (Trans (dx, dy, dz ) Rot (k , d ) I )T
（5.4）
如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结 果可表示为
T dT T Trans(dx, dy, dz) Rot (k , d )
微分变换结果如图5.1所示。
2017年7月6日 智能与控制工程研究所 11
5.5 坐标系之间的微分变换 (Transforming Differential Changes between Coordinate Frames)
上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系 之间的微分变换，也就是已知微分变换算子 ，如何求出T坐标的微分变换算 子T 。由式（5.7）和（5.8）可知
（5.1）
矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下
a11 x a 21 dA x a31 x a 41 x a12 x a 22 x a32 x a 42 x a13 x a 23 x a33 x a 43 x a14 x a 24 x dx a34 x a 44 x
x
0
y 0 x 0
1 0 0 1
（5.20）
2017年7月6日
智能与控制工程研究所
9
比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、 z轴分别旋转 的结果相同，即 x、 y、 z
x k x d
y k y d
（5.5）

机器人学蔡自兴课后习题答案

For personal use only in study and research; not for commercial use其余的比较简单，大家可以自己考虑。

3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。

给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。

解： 坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。

∴对P A 描述有 P T P BA B A = ；其中 ),(),(φθx Rot z Rot T A B = 。

9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。

要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。

（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。

（2）作图说明每个从右至左的变换序列。

（3）作图说明每个从左至右的变换序列。

解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ；所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。

方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。

第5章机器人控制技术微分变换

第五章 微分变换
ChapterⅤ Differential Relationships
5.1 引言 5.2 微分矩阵 5.3 微分平移和旋转变换 5.4 微分旋转 5.5 坐标系之间的微分变换 5.6 机械手的微分变换方程 —— 雅可比方程 5.7 雅可比逆矩阵 5.8 本章小结
2020年4月26日
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微分变换结果如图5.1所示。
2020年4月26日
智能与控制工程研究所
11
5.5 坐标系之间的微分变换 (Transforming Differential Changes between Coordinate Frames)
上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系
（5.30）
根据矢量三重积的性质有
a b c
a b c b a c b c a
（5.31）
2020年4月26日
智能与控制工程研究所
13
同时，三重积中只要有二个矢量是相同的，其结果为零。如
a a c 0
根据上述性质，式（5.30）可写成
0
T
n o a n
0
n o
0 0
dz 1
（5.22）
微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即
d dxi dy j dzk
（5.23）
xi y j zk
（5.24）
将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D
D d x d y d z x y z T
（5.25）
这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算

机器人学_第五讲 微分运动和速度

• 微分旋转-Rot(k,dθ) -即坐标系绕k轴转动dθ角。
• 微分变换 -一组平移和旋转共同组成。
4
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 微分旋转
定义：绕x,y,z轴的微分转动分别为δx, δy, δz。
由于旋转量很小，近似等式有：
sinx x
弧度
cosx 1
1
Rot(x,x) 0
0 0
0 1
x
0
0
x
1 0
0 0
Rot( y,y)
1 0
0 1
y
0
0 1 0 0
y
0 1 0
0
1
0 Rot(z,z) z
0
0
1
0
z
1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
注意：这里 1 (x)2 1 违反了单位方向向量的要求，但是，高阶微分项 ( x)2可以看做忽略不计，所以依旧可以认为是满足的。
T
Tz
Ty
0
Tx
Tx T dy
0 T dz
0 0 0 0
其中：
Tx n
Ty o
Tz a
Tdx n p d Tdy o p d Tdz a p d
14
第五讲 3 雅克比矩阵定义
雅克比（Jacobian）矩阵：表示机械臂末端速度和各 个关节速度之间的关系。 对于在三维空间中运行的具有6个关节的机器人有：
dT代表什么？
还记得不？
dT T T T
注意：下面的左右乘的区别，依旧是绝对左乘，相对右乘
13
第五讲 2 坐标系的微分运动
• 坐标系之间的微分变换
由于两者都是描述坐标系在固定参考坐标系中的相同变化，

(完整版)机器人学蔡自兴课后习题答案

其余的比较简单，大家可以自己考虑。

3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。

给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。

解： 坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。

∴对P A 描述有 P T P BA B A = ；其中 ),(),(φθx Rot z Rot T AB = 。

9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。

要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。

（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。

（2）作图说明每个从右至左的变换序列。

（3）作图说明每个从左至右的变换序列。

解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ；对楔块2进行的变换矩阵为：)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ； 所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。

方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法2）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：)90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(o o o 2--=z Rot x Rot y Rot Trans Trans T ；所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10009010000121002T 。

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0 0 0
（5.29）
式中d和 分别是微分平移和微分旋转矢量。用 T 1左乘式（5.29）可得
n n n o n a n p d o n o o o a o p d 1 T T a n a o a a a p d 0 0 0 0
x
z
A x A+dA
图5.1 坐标A的微分变换
0 0 1 0 1 10 0 0.1 0 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0.1 0.5 0 1 0 0 0 0
即
0 0 dA 0.1 0
0 0.1 1 0 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0
式（5.13）给出的微分变换算子 是基于微分旋转角dθ的微分平移和旋 转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换。 第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为
0 1 0 cos Rot ( x, ) 0 sin 0 0 cos 0 Rot ( y, ) sin 0 0 sin cos 0 0 sin 1 0 0 cos 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
微分变换结果如图5.1所示。
2017年5月9日 11
5.5 坐标系之间的微分变换 (Transforming Differential Changes between Coordinate Frames)
上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系 之间的微分变换，也就是已知微分变换算子 ，如何求出T坐标的微分变换算 子 。由式（5.7）和（5.8）可知
矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下
a11 x a 21 dA x a31 x a 41 x a12 x a 22 x a32 x a 42 x a13 x a 23 x a33 x a 43 x a14 x a 24 x dx a34 x a 44 x
（5.30）
上式矩阵元素都具有如下矢量三重积形式
a b c
根据矢量三重积的性质有
a b c b a c b c a
2017年5月9日
（5.31）
（5.5）
此时，式中 Trans (dx, dy, dz ) 是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy， dz； 是绕 Rot (k , d ) T坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到
dT T (Trans (dx, dy, dz ) Rot (k , d ) I )
2017年5月9日
（5.14）
（5.15）
cos sin Rot ( z , ) 0 0
sin cos 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
（5.16）
2017年5月9日
8
在微分变换的情况下，sinθ→dθ，conθ→1，上面三个式子变为
1 0 0 1 Rot ( x, x ) 0 x 0 0 0 x 1 0 0 0 0 1
（5.2）
2017年5月9日
3
5.3 微分平移和旋转变换 ( Differential Translation and Rotation )
微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针 对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分
变换可表示为
T dT Trans (dx, dy, dz ) Rot (k , d )T
（5.6）
4
我们用符号 来表示式（5.4）和式（5.6）中的 (Trans (dx, dy, dz ) Rot (k , d ) I ) 并将它称为微分变换算子
Trans (dx, dy, dz ) Rot (k , d ) I
这样式（5.4）和式（5.6）就可写成如下形式
第五章 微分变换
ChapterⅤ Differential Relationships
5.1 引言
5.2
5.3 5.4
微分矩阵
微分平移和旋转变换 微分旋转
5.5
5.6 5.7 5.8
坐标系之间的微分变换
机械手的微分变换方程 —— 雅可比方程 雅可比逆矩阵 本章小结
2017年5月9日
1
5.1 引言（Introduction）
的向量k旋转dθ角。由此可得到
（5.3）
式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标
dT (Trans (dx, dy, dz ) Rot (k , d ) I )T
（5.4）
如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结 果可表示为
T dT T Trans(dx, dy, dz) Rot (k , d )
2017年5月9日 5
当平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为 1 0 Trans( d ) = 0 0 一般性旋转变换的变换矩阵是 kxkxversθ + cosθ kykxversθ - kzsinθ kzkxversθ + kysinθ 0 kxkyversθ + kzsinθ kykyversθ + cosθ kzkyversθ - kxsinθ 0 Rot( k,θ) = kxkzversθ - kysinθ kykzversθ + kxsinθ kzkzversθ + cosθ 0 (5.11) 0 0 0 1 当进行微分旋转变换时，旋转角dθ极小，此时有如下关系
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 d x 1 k d dy z d z k y d 1 0
0 k d z k y d 0
(5.12)
k z d 1 k x d 0
k z d 0 k x d 0
（5.17）
1 0 Rot ( y, y ) y 0
0 y 1 0 0 1 0 0
0 0 0 1
（5.18）
1 Rot ( z, z ) z 0 0
由此可得到
z 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚度 控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或其 它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化时， 需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐标或 参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系中力 与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化为关节坐标 的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题时，也会用 到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和方法，包括微分 平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可 比矩阵及其应用。
0
0 1 0 0
0 0 1 0
dx dy dz 1
（5.10）
lim sin d
0
lim cos 1
0
lim vers 0
2017年5月9日
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将上述关系代入式（5.11）可得 1 - kzdθ kydθ 0 kzdθ 1 - kxdθ 0 Rot( k, dθ) = - kydθ kxdθ 1 0 0 0 0 1 由式（5.6）可得
T T T
则为
T
（5.26）
（5.27）
T 1T
上式是一个重要的表达式，它描述了坐标系之间的微分变换关系。下面我
们用微分平移矢量d和微分旋转矢量 来推导 T 的表达式。
已知变换矩阵T为
n x n T y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
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【例5.1】已知坐标A的变换矩阵为
0 1 A 0 0 0 0 1 0 1 10 0 5 0 0 0 1
y
z
y
当用微分平移矢量d = 1i + 0j + 0.5k和微分旋转矢 量δ＝ 0i + 0.1j + 0k对坐标A 进行变换时，求出微 分变换的结果dA。 解：首先，由式（5.22）求出微分变换算子 由式（5.7）可得 dA A
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5.2 微分矩阵（Derivative Matrixes）
给出一个4×4的矩阵A
a11 a A 21 a31 a 41 a12 a 22 a32 a 42 a13 a 23 a33 a 43 a14 a 24 a34 a 44
（5.1）
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我们用矢量的叉乘来得到式（5.27）等号右边二项的乘积
n x n y T n z 0
o x a x p d x o y a y p d y o z a z p d z
微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即
d d xi d y j d z k
（5.23） （5.24）
xi y j z k
将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D
D dx

dy
dz
x y z T
（5.25）
这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算 子 ，或基于T坐标的微分运动矢量 T D ( T d , T ) 的微分变换算子 T 。